证明平行垂直知识点整理

八、三个公理

公理1、判断直线在平面内的依据或者说判定公理。

如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

该性质是判定直线在平面内的依据，用集合符号表示为：

lα。依据直线在平面内，可以判断点在平面内，即A∈l,lαA∈α.

公理2、判断点在直线上的依据，要判断直线经过点只要证明点在以该直线为供公交线的两个平面内即可。

如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

用集合符号表示为：A∈α，A∈βα∩β=α且A∈α。

由此易知，如果两个平面有两个公共点，那么这两个平面相交于由这两点确定的一条直线，即

α∩β=AB。

依据两平面相交的意义，可以判断点在直线上，即A∈α，A∈β，α∩β=αA∈α。

公理3以及三个推论、确定为一个平面的依据。（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线

1.经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

2．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

3．经过两条相交直线，有且只有一个平面。

4．经过两条平行直线，有且只有一个平面。

所以在判断或证明时要有针对性地找到依据进行处理。

证明线共点问题基本步骤是：1、两条相交点为A，2、利用A在以另外直线为交线的两个平面上，3、从而确定A在另外直线上。主要依据公理二。

证明线共面问题基本步骤是：1、两条直线或三个不共线点确定一个平面，2、利用公理一说明其他直线在这平面上，3、从而确定直线确定一个平面上。主要依据公理一，三及推论。

对于符号语言判断题，尽可能作出图形或演示出位置进行判断推理。

九、16个定理的记忆

1、平行传递性同类平行具有传递性2个定理

⑴线

⑵面

2、平行与垂直的传递性同类平行与异类垂直具有传递性4个定理

//////⇒⇒⇐⇐线线

线面面面3、平行6个定理

证线面平行有两种方法①在面内找线证明与已知线平行②过已知线找面证明与已知面平行。

证面面平行有两种方法①一个平面内有两条相交直线与另一平面平行②一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别平行。常用的是②

//线线

//线面//面面附

注意①有中点证平行的要抓住中位线。②有等式或比例证平行找到相似比。③利用好平行四边形证平行

4、垂直无论是证明线线垂直还是面面垂直都要经过线面垂直来处理4个定理

⇒

⇒

⊥⊥⊥⇐⇐线线线面面面

附

注意①有边长相等的，抓公共端点作三角形顶点，取底边中点连接顶点这就是一条高线。②有数据的要注意勾股定理判断垂直。③如证明AC ⊥BD 可以反证BD ⊥AC 再去证明BD ⊥过AC 直线的一个平面即可。

十、几个结论

1、直线外一点，与已知直线平行的直线有1条，与已知直线平行的平面有无数个。

2、直线外一点，与已知直线垂直的直线有无数条，与已知直线垂直的平面有1个。

3、平面外一点，与已知平面平行的直线有无数条，与已知平面平行的平面有1个。

4、平面外一点，与已知平面垂直的直线有1条，与已知平面垂直的平面有无数个。