小学奥数竞赛常考知识点：约数与倍数
小学奥数经典专题点拨：约数与倍数
约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。
奥数专题数论-约数倍数附答案
(数论问题约数倍数)1、 五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答：2、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答3、 五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答：一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l 81.乙数是_____. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？4、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？答：5、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度/高难度两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．答：（数论问题）1、五年级数的约数倍数答案：解答：依题意，这个数同时是2、3、4、5、6、7、8、9的倍数.因此，这个数最小是2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数，即[2，3，4，5，6，7，8，9]=5×7×8×9=2520.2、五年级数的约数倍数答案：解答：由(甲，乙)=7，且甲：乙=89，得乙数=7×8=56..3、五年级数的约数倍数答案：解答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．4、五年级数的约数倍数答案：解答：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。
爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。
由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
(小学奥数)约数与倍数(一)
1. 本講主要對課本中的：約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數性質的應用。
2. 本講核心目標：讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，例如：（1）約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數的內在關係；（2）整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的結構，而且表達形式唯一”一、 約數、公約數與最大公約數概念(1)約數:在正整數範圍內約數又叫因數,整數a 能被整數b 整除，a 叫做b 的倍數，b 就叫做a 的約數；(2)公約數:如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；(3)最大公約數：公約數中最大的一個就是最大公約數；(4)0被排除在約數與倍數之外1． 求最大公約數的方法①分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的約數，然後相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=； ③輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數．用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個餘數；再用第一個餘數除小的一個數，得第二個餘知識點撥教學目標5-4-1.約數與倍數（一）數；又用第二個餘數除第一個餘數，得第三個餘數；這樣逐次用後一個餘數去除前一個餘數，直到餘數是0為止．那麼，最後一個除數就是所求的最大公約數．(如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質的)．例如，求600和1515的最大公約數：15156002315÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公約數是15．2． 最大公約數的性質①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數；③幾個數都乘以一個自然數n ，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以n ．3． 求一組分數的最大公約數先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a ；求出各個分數的分子的最大公約數b ；b a即為所求． 4． 約數、公約數最大公約數的關係（1）約數是對一個數說的；（2）公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數二、倍數的概念與最小公倍數(1)倍數:一個整數能夠被另一整數整除，這個整數就是另一整數的倍數(2)公倍數:在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，那麼這些倍數就叫做它們的公倍數(3)最小公倍數：公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。
小学奥数数论竞赛常考知识点：约数与倍数
小学奥数数论竞赛常考知识点：约数与倍数
约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b 就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个，叫做这几个数的公约数。
公约数的性质：1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的公约数等于这几个数的公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公约数有：1、2、3、6;那么12和18的公约数是：6，记作(12，18)=6;求公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;18的倍数有：18、36、54、72……;那么12和18的公倍数有：36、72、108……;那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
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六年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 六年级奥数约数与倍数〈一〉学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：〈1〉约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； 〈2〉整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念〈1〉约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；〈2〉公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”； 〈3〉最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；〈4〉0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法⒈分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；⒉短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．〈如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的〉．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质⒈几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；⒉几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；3.几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系〈1〉约数是对一个数说的；〈2〉公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数〈1〉倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数〈2〉公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数〈3〉最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
五年级奥数专题 约数、倍数、完全平方数(学生版)
学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。
2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
(完整版)约数和倍数(小学奥数)
（十六）约数和倍数例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。
问长方体的长与宽的和是几米？例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。
问：下一次响铃又亮灯是几点钟？例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。
已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。
例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？练习1. 求720的所有约数的个数。
2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？7. 求50以内约数最多的自然数。
8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？10. 求5040的所有约数的和。
约数和倍数重点
★约数（因数）、倍数相关重点1、整除：如果a÷b是两个整数相除，而且商也是整数而没有余数（除数b不能为0）我们就说a能被b 整除或b能整除a在整数中，0是一个特殊的数。
0乘以任何数等于0，所以0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是零的约数。
2、约数（因数）、倍数：如果a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
如：a÷b=c或b×c=a（a、b、c都是整数，b不等于0）则：a是b和c的倍数，b是c和a的约数★一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
★一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3、关于2、3、5的倍数的特征：⑴一个数，个位上的数字如果是0、2、4、6、8，这个数一定能被2整除。
⑵一个数，个位上的数字如果是0、5，这个数一定能被5整除。
⑶一个数的各位数字之和是三的倍数，这个数就一定能被3整除。
4、约数、公约数、公倍数：约数：一个数的因数就是它的约数。
★公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数（或公因数）。
★最大公约数：几个数的公约数中最大的一个就是几个数的最大公约数。
★公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
★最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个就是这几个数的最小公倍数。
(没有最大公倍数）☆成倍数关系的两个数，最大公约数是小数，最小公倍数是大数。
5、质数、互质数：质数：只有1和它本身两个因数的数叫质数（或素数）。
互质数：只有公约数1的两个数，叫做互质数★如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
★如果两个数成倍数关系，那么它们的最小公倍数就是较大的数。
★分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质（分数的基本性质源于除法的：被除数和除数同时乘以或除以相同的数，<0除外>商不变。
）6、最简分数：分子和分母只有公约数1的分数叫做最简分数。
小学奥数数论知识点
小学奥数数论知识点一、数的认识1. 自然数：用于计数和排序的数，包括0和正整数。
2. 奇数与偶数：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。
3. 质数与合数：质数是只有1和本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和本身外还有其他因数的自然数。
4. 因数与倍数：如果整数a能被整数b整除，a是b的倍数，b是a的因数。
二、数的运算1. 加法与减法：加法是将两个或多个数合并成一个数的运算，减法是从一个数中去掉另一个数的运算。
2. 乘法与除法：乘法是重复加法的简化，除法是将一个数分成几个相等部分的运算。
3. 余数：在除法中，被除数除以除数后剩下的数称为余数。
三、数的性质1. 唯一分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为质数的乘积。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个或多个整数共有的最大的因数，最小公倍数是这些整数的最小公共倍数。
3. 奇偶性：奇数加奇数得偶数，偶数加偶数得偶数，奇数加偶数得奇数。
四、数的应用1. 约数倍数问题：涉及找出一个数的约数或倍数的问题。
2. 质数问题：涉及质数的分布、判断和性质的问题。
3. 分数的拆分与比较：涉及将分数拆分为不同单位的和，以及比较分数大小的问题。
五、解题技巧1. 枚举法：通过列举所有可能的情况来找到答案。
2. 反证法：假设某个结论是错误的，通过推理得出矛盾，从而证明原结论是正确的。
3. 归纳法：通过观察一系列特殊情况，找出一般规律。
六、例题解析1. 例题一：找出20以内的所有质数。
- 解析：20以内的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。
2. 例题二：求36和54的最大公约数。
- 解析：通过辗转相除法，可以求得36和54的最大公约数是18。
七、总结数论是数学的基础分支之一，对于培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。
小学奥数数论涉及的知识点广泛，包括数的认识、数的运算、数的性质、数的应用以及解题技巧等。
掌握这些知识点，对于提高学生的数学素养和解决复杂问题的能力至关重要。
奥数讲义数论专题：约数与倍数
华杯赛数论专题：约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a ＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例题：例1.360有多少个约数？【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.例9.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.【答案】924,109956【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例11.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【答案】147或105【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例12.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.例13.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例14. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例15.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例16.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例18.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。
约数与倍数知识点总结
约数与倍数知识点总结一、约数的定义与性质1. 定义：如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
2. 性质：（1）1是任何整数的约数；（2）任何整数都是其本身的约数；（3）如果a是b的约数，那么-b也是b的约数，即约数是成对出现的；（4）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的约数；（5）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的倍数。
二、约数与倍数的应用1. 约数的应用：（1）判断一个数是否是质数：一个数的约数只有1和本身，那么这个数就是质数；（2）求一个数的所有约数：可以利用因式分解的方法来求一个数的所有约数；（3）求两个数的最大公约数：可以利用约数的性质来求两个数的最大公约数。
2. 倍数的应用：（1）求两个数的最小公倍数：可以利用倍数的性质来求两个数的最小公倍数；（2）判断一个数与另一个数的关系：如果一个数是另一个数的倍数，就说明这两个数之间存在一定的倍数关系。
三、整数的因数分解1. 定义：将一个整数用几个素数的乘积表示出来，这样的运算叫做分解因数。
2. 方法：（1）分解质因数：一个合数可以分解为几个素数的积；（2）分解因数的方法：首先写成质因数，然后列成积。
3. 应用：（1）求一个数的所有约数；（2）求两个数的最大公约数；（3）求两个数的最小公倍数。
四、素数与合数1. 定义：（1）素数：一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他正整数整除的数；（2）合数：大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他约数的数。
2. 性质：（1）1不是素数也不是合数；（2）任何一个大于1的自然数都可以表示为质数的积；（3）质数的特性：一个合数可以分解为几个素数的积。
3. 应用：判断一个数是否是素数；对一个合数进行因数分解。
五、相关的习题和例题例1：求出自然数24的所有约数。
解：首先找出24的所有因数，再对因数进行两两配对，最后对配对的结果进行相乘，就可以得到24的所有约数。
奥数技巧倍数与约数
奥数技巧倍数与约数在数学学科中，奥数（奥林匹克数学）是指一种高难度的数学竞赛，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
奥数涉及的内容广泛，其中的技巧和方法对于提高数学水平和解决实际问题非常有帮助。
本文将重点介绍奥数技巧中与倍数与约数相关的知识和方法。
1.倍数倍数是数学中的一个重要概念，指的是某个数可以被另一个数整除的情况。
具体来说，如果一个数可以被另一个数除尽，那么前者就是后者的倍数。
在奥数中，寻找和计算倍数有一些常用的技巧。
1.1 规律法对于某个给定的数，通过观察它的倍数列表，可以发现其中的规律。
例如，我们想找到50的倍数，可以列出50的倍数表：50，100，150，200，250...我们可以发现，这些数每次增加50。
因此，50的倍数可以用递推公式表示为：50n（n为正整数）这样，我们就可以快速计算任意的50的倍数。
1.2 分解法有时候，我们需要找到一个数的所有倍数。
这时可以通过分解的方法来寻找。
以10为例，我们可以将10分解为2和5的乘积。
因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到。
例如：2的倍数：2，4，6，8，10，...5的倍数：5，10，15，20，...因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到：10的倍数：10，20，30，40，...2.约数与倍数相反，约数指的是可以整除某个数的因数。
寻找和计算约数也是奥数中的常见问题。
2.1 列举法对于某个数，我们可以逐个列举出所有小于等于它的正整数，看是否可以整除该数。
这种方法适用于小数。
以12为例，我们可以列举出12的所有约数：1，2，3，4，6，12可以看到，1和12都是12的约数，2和6也都是12的约数。
其中的规律是，12的约数可以用两个数相乘得到。
因此，我们可以通过分解12来找到它的约数。
2.2 分解法分解法是寻找约数的一种常用方法。
对于一个数，我们可以将它分解为质数的乘积，然后找到所有可能的组合。
以24为例，我们将24分解为2、2、2和3的乘积：24 = 2 * 2 * 2 * 3根据分解的结果，我们可以得到24的所有约数：1，2，3，4，6，8，12，24通过分解法，我们可以更快地找到一个数的所有约数。
小学奥数 数论问题 第三、四讲 提高篇之约数与倍数
第三讲提高篇之约数与倍数（一）约数与倍数注：0被排除在约数与倍数之外最大公约数：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数．在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数．例如(8,12) = 4，(6,9,15) =3最小公倍数：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如： [8,12] = 24，[6,9,15] = 90求最大公约数：（一）分解质因数（二）短除法求最小公倍数：（一）分解质因数（二）短除法（三）求最大公约数法最大公约数与最小公倍数的常用性质①两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
②两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
③对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍课上例题【例1】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【例2】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【例3】一次考试，参加的学生中有1/7得优，1/3得良，1/2得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50 人，那么得差的学生有（）人．课后习题基础篇：【闯关1】.两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？【闯关2】张阿姨把225 个苹果、350 个梨和150 个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9 个苹果、26个梨和6 个桔子没有分出去。
请问：每个小朋友分了多少个苹果？提高篇【闯关3】有4 个不同的正整数，它们的和是1111。
请问：它们的最大公约数最大能是多少？【闯关4】两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？巅峰篇【闯关5】甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126。
小学奥数数论题型：约数与倍数
小学奥数数论题型：约数与倍数
1.28的约数之和是多少?
2.一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字的积是24这个两位数是多少?
3.两个自然数的和是50，它们的公约数是5，则这两个数的差是多少?
4.用长是9公分、高是7公分的长方形木块叠成一正方体，至少需要这种长方体木块多少块?
5.张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得_元钱利润，那么他必须卖出苹果多少个?
6.一个公共汽车站，发出五路车，这五路车为每隔3、5、9、_、_分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟又同时发第二次?
7.饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，每只猴子可得_粒;如只分给第二群，每只猴子可得_5粒;如只分给第三群，每只猴子可得_粒，那么平均给三群猴子，每只猴可得花生多少粒?
8.一块长48公分、宽42公分的布。
不浪费边角料，能剪出的正方形布片多少块?
9.这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是多少?
_.把26，33，34，35，63，85，91，_3分成若干组，要求每一组中任意两个数的公约数是1，那么至少要分成多少组?
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问答互动环节设计思路
自动评分
利用课件的自动评分功能，对学生的测验结果进行客观评价。
反馈与建议
根据学生的测验成绩和表现，提供针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法。
设计测验题目
根据教学目标和内容，设计合理的测验题目，检验学生学习效果。
测验反馈机制构建策略
导航菜单优化建议
清晰明了
确保导航菜单清晰明了，方便学生快速找到所需内容。
例2
答案揭秘
第一群只数:5、10、15……
第二群只数:4、8、12……
第三群只数:3、6、9……
三群总只数:12、24、36……
60÷12=5 120÷24=5……
花生总数:60、120、180 ……
答:每只猴子可得5粒花生。
举一反三
练习1
用945个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
图片选择与处理
为图片添加必要的标注和说明文字，帮助观众更好地理解和记忆图片内容。
图片标注与说明
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
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从第一次同时发车到第二次同时发车 的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数。
规 律 总 结
练习2
9,15和10的最小公倍数是90, 所以3,5,9,15和10的最小公倍数也是90。 从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车。
参 考 答 案
方法
应用
五年级奥数 约数和倍数
3、约数与倍数一、填空：1、5184的全部约数有个，所有约数的和是。
2、区教委为表彰优秀教师，教师节那天，买来了菊花168支，玫瑰花252支，康乃馨210支。
如果要使每束花中三种花的支数彼此相等，用这些鲜花最多可以表彰______位优秀教师，每束花共有______支。
3、学校要选拔三名运动员参加区田径比赛，选出的这三位运动员的年龄刚好一个比一个大一岁。
体育老师还告诉大家，这三个运动员年龄的最小公倍数是1092。
那么这三个人中年龄最大的是岁。
4、化肥厂包装车间对化肥进行包装，需要经过：扎编织袋、装化肥入袋、缝袋口、搬运4道工序。
每人每小时能扎编织袋24个，或装化肥36袋，或缝袋口18只，或搬运化肥16袋。
这个车间至少要名工人才能进行合理分工。
5、炼化公司的文化广场上有一些五彩缤纷的“烟花”彩灯。
有一座“烟花”彩灯上装有100支彩色灯管，这些灯管的亮暗变化十分有趣，这100个灯管按1～100编号，它们的亮暗变化规律是：第一秒全部变亮，第二秒凡编号为2的倍数灯由亮变暗，第三秒凡编号为3的倍数的灯改变原来的亮暗状态（亮的变暗，暗的变亮）；…………………………第100秒100倍数的灯改变原来的亮暗状态。
问第100秒时，亮着的灯管有个。
6、王斌每隔7天去图书馆借一次书，李兴每隔10天去借一次书，陈军每隔15天去借一次书。
已知4月20日他们在一起借书，那么离4月20日最近的是_______月______日，他们三人又在同一天借书。
7、如图是一个小区街道的示意图，街道在B、C处拐弯，现要在街道一侧等距离地装上路灯，并要求在路的两端和拐弯处各装一盏路灯，这条街道最少要装_______盏路灯。
8、有4个自然数，它们的和是1067，这四个数的公约数最大可以是_________。
二、解答题：9、甲、乙两位同学写了两个数给老师看，老师看后告诉大家：甲、乙写的是两个不互质的自然数，甲写的数除以9，乙写的数除以10后，不改变这两个数的最大公约数，甲、乙写的两个数的最小公倍数是180。
掌握小学数学中的约数与倍数关系
掌握小学数学中的约数与倍数关系约数与倍数是小学数学中的基础概念，它们在数学运算、分解质因数、最大公约数和最小公倍数等方面都有重要的作用。
理解和掌握约数与倍数的关系是学习数学的基础，也是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要环节。
本文将从定义、性质以及应用等方面，全面介绍小学数学中的约数与倍数关系。
一、约数与倍数的定义1. 约数的定义约数是指能够整除一个数的自然数，也称为因数。
例如，对于数3来说，它的约数有1和3，因为1和3都可以整除3。
2. 倍数的定义倍数是指一个数是另一个数的整倍数。
例如，对于数3来说，它的倍数有3、6、9等，因为3可以被3整除。
二、约数与倍数的性质1. 约数的性质（1）任何数都是自身的约数，即任何数都可以整除自己。
（2）任何数的约数必定小于等于这个数本身。
（3）如果一个数a能够整除另一个数b，那么a的约数也是b的约数。
2. 倍数的性质（1）任何数都是自身的倍数，即任何数都可以被自己整除。
（2）任何数的倍数必定大于等于这个数本身。
（3）如果一个数a是另一个数b的倍数，那么a的倍数也是b的倍数。
三、约数与倍数的关系1. 约数与倍数的关系（1）一个数的约数必定是它的倍数。
（2）一个数的倍数必定是它的约数。
2. 理解约数与倍数的关系通过理解约数与倍数的关系，可以帮助学生更好地理解数的分解、质因数分解等概念。
例如，对于数12来说，它的约数有1、2、3、4、6和12，而它的倍数有12、24、36等。
我们可以发现，在12的约数中，每个约数都是12的倍数，而在12的倍数中，每个倍数都是12的约数。
这一点对于数的分解、加减法、乘除法等运算都有重要的指导作用。
四、约数与倍数的应用1. 分解质因数分解质因数是数学中的基本运算，也是解决约数与倍数相关问题的重要途径。
通过分解质因数，可以将一个数分解为几个质数的乘积，从而更好地理解约数与倍数的关系。
2. 最大公约数与最小公倍数最大公约数是指多个数中最大的公约数，最小公倍数是指多个数中最小的公倍数。
(完整版)小学奥数倍数与约数
倍数与约数我们知道6是2的3倍，即6=2×3 一般地，如果a=b×c，那么我们就说a是b （c）的倍数，而b（c）称为a的约数。
6=2×3，也就是6÷2=3，a=b×c，也就是a÷b=c，所以a是b的倍数（b是a的约数），那么a÷b余数为0，这时称a被b整除或b整除a。
如6被2整除（2整除6）.例1：求出12的全部约数。
分析：看看1,2,3.。
12这些数中，哪些能整除1212=1×12=2×6=3×4 所以12有6个约数。
如果一个大于1的整数a，只有2个约数（即1与a），那么a就称为质数。
如2、3、5、7。
例2:从7、1、4、6、0，的卡片中抽取4张，组成若干个四位数，如是2的倍数有几个？如是5的倍数有几个？如是3的倍数有几个？例3:7824是不是9的倍数？练习：1、求15的全部约数2、101是不是质数？3、写出196的全部约数4、有0、1、4、7、9五张卡片去四张组成能被3整除的四位数，有几个？这些数从小到大排列第3个是多少？5、一个数有8个约数，这数最小是多少？6、首位为4，并能被3整除的三位数有多少个？提升题7、下面这个四十一位数55.。
599.。
9（5和9各有20个）能被7整除，那么中间方框内的数字是几？8、判断下列各数，哪些有因数3，哪些有因数9，说明理由7212 62007 180018 450927 25489、四位数7a2b被2、3、5整除，求a、b10、四位数198x被2、3整除，求x11、被2、3、5整除的三位数中最大的是多少？最小的是多少？12、什么样的数，约数的个数是奇数思考题13、用1962a8表示六位数，如果能被99整除，求 a14、已知整数1x2x3x4x5能被11整除，求所有满足条件的整数15、某小学学生张明做数学题时发现任意一个三位数，连着写2次得到一个六位数，这六位数一定能被1、11、13整除，试说明理由。
小学奥数竞赛知识点总结
小学奥数竞赛知识点总结小学奥数竞赛是一项旨在培养学生数学思维能力和解题技巧的竞赛活动。
它不仅考察学生的计算能力，更注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将对小学奥数竞赛的常见知识点进行总结，帮助学生更好地备战竞赛。
一、四则运算四则运算是奥数竞赛的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
在解决奥数题目时，熟练掌握四则运算并能够合理运用是非常重要的。
此外，还需要注意运算顺序和运算符的优先级，以避免错误答案的出现。
二、倍数和约数倍数和约数是数论中的重要概念。
学生需要掌握如何判断一个数是另一个数的倍数，以及如何找出一个数的所有约数。
在奥数竞赛中，有时会出现关于倍数和约数的复杂问题，要求学生在有限的时间内找出解题思路，因此对于倍数和约数的理解和掌握十分重要。
三、分数与小数分数和小数是奥数竞赛中常见的题型。
学生需要能够进行分数与小数的相互转化，并且能够进行分数的四则运算。
熟练掌握分数和小数的计算方法可以帮助学生快速解题，并大大提高答题的准确率。
四、几何与图形几何与图形是小学奥数竞赛的难点之一。
学生需要掌握几何图形的基本属性，如各种图形的名称、边数、角数等。
同时，还需要理解几何图形之间的联系和转化，比如平移、旋转和镜像等。
同时，掌握使用坐标和尺规作图的方法，可以帮助学生更好地解决几何问题。
五、逻辑推理与问题解决逻辑推理与问题解决是奥数竞赛中的重要考点。
这类题目往往不仅需要学生具备良好的数学基础，还需要他们具备较强的逻辑推理能力和问题解决能力。
学生在平时的学习中可以通过解决一些趣味数学问题或逻辑题来提高自己的思维能力。
六、应用题应用题是小学奥数竞赛的常见题型之一。
这类题目往往与生活实际相结合，要求学生运用所学知识解决实际问题。
学生需要能够理解问题的意思，分析问题的解决步骤，并进行有效的计算和推理。
在应用题方面，学生需要培养自己的思维灵活性和解决问题的能力。
总结：小学奥数竞赛是一项挑战性的竞赛活动，要想在竞赛中取得好成绩，学生需要全面掌握数学的基础知识，并能够运用所学知识解决各类问题。
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小学奥数竞赛常考知识点：约数与倍数约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做
a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个，叫做这几个数的公约数。
公约数的性质：
1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的公约数等于这几个数
的公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18的公约数是：6，记作(12，18)=6;
求公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法。