第13章电介质

一、电极化强度

1、电极化强度是描述电介质极化强弱程度的物理量，定义单位为体积内分子电偶极矩的矢量和，即：。

2、电极化规律，电极化强度与介质中的电场强度成正比，比例系数叫电极化率，各项同性时

3、极化强度与极化电荷面密度的关系

式中为极化强度与介质表面外法线方向的夹角。

两介质界面

二、电介质中的高斯定理电位移矢量

1、高斯定理在有介质条件下的应用。

由真空中的高斯定理，在介质中考虑到极化电荷的影响

又

得

2、电位移矢量

定义：

3、介质中的高斯定理

引进电位移矢量之后使介质中的高斯定理形式简化，闭合曲面的电位移通量只和自由电荷有关，而与电介质的极化电荷无关。应注意极化电荷（或极化强度）的作用隐含在电位移矢量中，所以电位移矢量既描述了

介质中的场强也描述了介质的极化。

4、各向同性均匀电介质充满电场所在空间，或各向同性均匀电介质的表面是等势面时，参量，，等之间的相互关系。

由定义式

及

可得：

在上述条件下并且有

5、介质的击穿

在很强的电场作用下介质的绝缘性能会遭到破坏，这称为介质的击穿。某种介质能承受的最大电场强度叫做击穿场强。

三、电场的边值关系（在边界面上无自由电荷的条件下）

1、电介质分界面两边电位移的法向分量相等，即

2、电介质分解面两边电场强度的切向分量相等，即

3、电位移线的折射定律

四、电场的能量

1、点电荷的能量

或

或

2、电荷连续分布时的电能

对体电荷分布

对面电荷分布

3、电场的能量

电场的能量密度

五、各向同性介质中静电场量基本关系

第13章电介

质

【例13-1】如题图13-1a所示平行板电容器，两板间距为。将它充电至电势差为，然后断开电源，插入的相对介电常数为的电介质平板

（1）求电介质中的，，的大小及电介质表面的极化电荷。

（2）求电容器两板板间的电势差；

（3）画出电容器内的线、线及线；

（4）如果在插入电介质平板后，保持电源接通。那么电介质中的、、又为多大？

【解】（1）插入电介质平板之前，电容器极板间的场强，又因此。虽然插入介质。由于已断开电源所以不变，由此我们可计算、、，由介质中高斯定理可知

插入介质板后两平行板间的电势差

（2）线，线与线如图b所示。

（3）由上面计算可知当断开电源在平行板电容器内插入介质后，电容器两板间电压下降了。现在保持电源接通的情况下，电源对电容器就要充电。因此电容器两板上的自由电荷面密度就改变了。空气中的场强也改变了，下面我们先计算在电源保持接通情况下的。

得

由此：

【例13-2】设均匀极化的电介质球，极化强度为

（1）求极化电荷在球心处产生的场强。

（2）求证极化电荷在介质球内部产生的电场为均匀电场。

【解】（1）如题13-2a取坐标方向为极化电荷面密度

球面元的极化电荷在球心处产生的场强

方极化电荷的场的方向与的方向相反

（2）既然介质球被均匀极化，介质中每个电偶极子平均地看来都在方向发生了一个位移，对整个介质球看来相当于一个体电荷密度为的带电球体发生了一个的位移。在相重合的地方不带电（为中性）而不重迭部分即界面上出现的电荷即为极化电荷。如图b。下面我们就用这种模型来求证介质球内为均匀电场均匀带电体密度为的球体内任一点的场强（参阅例11-4）

均匀带电体密度为的球体内任一点的场强

介质球均匀极化介质球内任意一点的场强由场强迭加原理，见图13-2b。

设单位体积中电偶极子的个数为，那么电荷密度。所以上式

得证。

【例13-3】在真空中原来场强为，今在这电场中放入一相对介电常数为的介质球，求这介质球内任意一点的场强。

【解】由上例可知均匀极化球中的极化电荷的场为均匀场，现在介质球放在均匀场内。这场和合场强仍为均匀场。设介质球的极化强度为，由上例可知。

（1）

由电极化规律（2）

由场强迭加原理（3）

（2）代入（1）得（4）

（4）代入（3）得

移项整理得介质中任意点的场强

【例13-4】设MN平面下方充满介电常数为的均匀介质，上方为真空。真空中O点与MN平面的垂直距离为r，O'点是垂足。（1）若将点电荷放在O'处，求O点的场强；

（2）若将点电荷放在O处，求O'点极化电荷面密度及电位移矢量。

【解】（1）点电荷位于O'点时，它在介质表面产生的电场沿介质表面，呈辐射状，无法向分量，介质的极化强度也无法向分量，因此，除点电荷所在处外介质表面上无极化电荷。点电荷所在处介质面上极化电荷与点电荷重合，它们在真空和介质中产生的合场强呈均匀辐射状。

以O'为中心作半径为r的球形高斯面，因为电荷产生电场，因此球面上各点的量值相等，而的量值不等。根据介质中高斯定理，设真空中及介质中电位移矢量分别为和，有

，

解得

（2）在O处点电荷场作用下，设O'处极化电荷面密度为，则据场强迭加原理，界面附近真空中的场强：

（1）

面元附近介质中的场强：

（2）

据边界条件，真空中和介质中电位移矢量相等：

（3）

由上述三式解得O'处极化电荷面密度

（4）

（4）

将（4）式代入（1）式，得

垂足O'的电位移矢量

。

【例13-5】如图a所示，静电除尘的实验装置中，内有半径为的金属丝，外有半径为金属筒，整个装置细而长。在做实验时，金属丝和金属筒之间加上高电压，当烟灰往上冒的时候，在电场力的作用下产生位移极化，设烟尘极化可近似看作为电偶极矩为的电偶极子，并设在运动过程中它的电矩不变，且电偶极子的方向与电场方向平行。

（1）试分析烟灰在圆柱筒内将如何运动。

（2）求烟灰在离中心线处所受的电场力。

（3）求烟灰从运动到过程中电场力对烟灰所作的功。