成都七中高2020届高三上期入学考试试题数学(理科)
成都七中高2020届高三上期入学考试试题数学(理科)
1成都七中高2020届高三上期入学考试题数学（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上．）1. 已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-<，则（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆ C.{}1A B x x ⋂=< D. {}0A B x x ⋃=> 2. 已知a R ∈，i 为虚数单位，若a i i+为实数，a 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A. 15B. 16C. 18D. 214. 函数()()2x x f x x e e -=-的大致图象为( )A.B.C.D.5. 5(2x +的展开式中，4x 的系数是（ ）A. 40B. 60C. 80D. 100 6. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ）A. 16k ≥B. 8k <C. 16k <D. 8k ≥7. 已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，满足23cos 2A +cos 2A =0，7,6a c ==，则b 等于（ ）A. 10B. 9C. 8D. 5 8. 曲线4y x =与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A.152 B. 154 C. 154ln 24- D. 158ln 22-三．解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2n a n b -=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <．18. 如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.沿EF 将BEF ∆裁掉，并将AED ∆, CFD ∆分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2．(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值．19. 某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．20. 已知椭圆2222:x y C a b+=()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =，且123cos 5F PF ∠=． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围．21. 已知函数23(),()2x f x xe g x x x ==+-． （1）求证：2()15()022f xg x x x -+->对(0,)x ∈+∞恒成立； （2）若()()(0)3()2f x F x xg x x =>-+，若12120,2x x x x <<+≤，求证：12()()F x F x >．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ+=11:(0)2OM πθθθ=<<与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的范围．。
2020届四川省成都七中高三上学期入学数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都七中高三上学期入学试题数学（理）一、单选题1．已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-<，则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}1A B x x ⋂=<D ．{}0A B x x ⋃=>【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B ，之后根据子集的定义可以判断出B A ⊆，根据交集中元素的特征求得{}|01A B x x ⋂=<<，根据并集中元素的特征，可以求得{}=|1A B x x ⋃<，从而求得结果. 详解：由20x x -<可以求得01x <<，从而求得{}|01B x x =<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，{}=|1A B x x ⋃<，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目. 2．已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 的值为 （） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】 解：()21a aii i a i i i+=+=-Q为实数， 10a ∴-=，即1a =．故选:A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）A ．15B ．16C ．18D ．21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4．函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e Q -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =Q 在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x xee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．5(2)x x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果． 【详解】5(2)x x +二项展开式的通项为5552155(2)()2k k kkk kk T C x x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15，而对于k的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果.详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7．已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( )A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=1 25,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=15.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-125(舍去),故选D.8．曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为（）A．152B．154C．154ln24-D．158ln22-【答案】D【解析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形如下：由45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x =或4x =， 所以曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为 ()421441115S 5542084458ln21222x dx x x lnx ln x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.故选D 【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为( ) A ．2- B ．2C ．e -D ．e【答案】B【解析】求得()f x 的导数，设出切点(),m n ，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m ，从而可得结果． 【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10．巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( ) A ．12B ．22 C ．32D ．1【答案】A【解析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型. 11．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.12．如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A ．()0f x ≥恒成立B ．()()8f x f x =+C ．()243(23)f x x x x =-+-<≤D ．()20190f =【答案】C【解析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：Q 正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =， 当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56【解析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若x ，y 满足约束条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩______．【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y +的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O 到直线20x y ++=的距离最小， 此时最小值22d ==， 则22x y +的最小值是2，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15．已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为120︒，且32AB AC ==u u u r u u u r ，，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________． 【答案】712【解析】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ 2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16．若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12-【解析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-.【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以122212444444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-,所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析【解析】()1直接利用等差数列前n 项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d=． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.若将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；5【解析】（1）设正方形ABCD 的边长为4，由222DE EF DF +=，可得EF ED ⊥，结合MD EF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF ⊥平面MED . （2）建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ⊥，垂足为N ，求出向量212sin()cos 22C C π+==和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为.. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n次发生k次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅====()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a =在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- =2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯ 35=，解得2a =，1c =Q ，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=， 则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k =+=+， AQ BQ =Q ,AB QM ∴⊥,即，QM k k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k+=-…②把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430kk -+> 解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21．已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立； ()2若()()()(0)32f x F x xg x x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明． 【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，Q 当0x >时，()10x h x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x-=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<Q ，122x x +≤，∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<Q ，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证． 【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sin ρθθ+=.（1）求C 的极坐标方程； （2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcos θ，y=ρsin θ，能求出圆C 的极坐标方程． （2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cos θ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tan θ1＞0，能求出OP OQ 的范围． 试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. （2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ+=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。
【081115】成都七中20202020学年度高三年级考试doc高中数学
【081115】成都七中20202020学年度高三年级考试doc高中数学理科综合试卷2018.11.15 本试卷分第一卷和第二卷两部分。
第一卷第1至4页，第二卷5至12页。
共300分，考试时刻150分钟。
第一卷(选择题共126分)本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止，将答题卡交回。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
可能用到的原子量：H-1，C-12，O-16，Na-23，K-23，S-32，Cu-64一、本大题共13题，每题6分，共78分。
在以下各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.以下关于玉米、蓝藻和变形虫细胞结构和生理功能的正确表达是：A. 都能进行细胞分裂，都有细胞周期B. 遗传物质差不多上DNA，细胞内都有转录和翻译过程C. 细胞内都有核糖体，但都不含中心体D. 三者的原生质层都有选择透过性，都能选择性的吸取和排出物质2.将一植物放在密闭的玻璃罩内置于室外进行培养，假定玻璃罩内植物的生理状态与自然环境中相同。
用CO2浓度测定仪测定该玻璃罩内一天中CO2浓度的变化情形，绘制成如右图的曲线。
由图获得的正确信息是：A. d点时CO2浓度最低，讲明现在植物光合作用最强B. a点时叶肉细胞中产生ATP的部位只有线粒体C. 植物进行光合作用开始于b点之前D. c点时植物的光合作用强度等于呼吸作用强度3. 以下图表示人体和人体细胞内某些信息传递机制的模式图，图示中箭头表示信息传递的方向。
以下有关表达中，正确的选项是：A．假如该图表示反射弧，那么其中的信息是以局部电流的形式传导的B．假如该图中的a为下丘脑、b为垂体、c为甲状腺，那么c分泌的甲状腺激素增加到一定程度后，对a分泌d、b分泌e具有抑制作用C．假如该图表示细胞中遗传信息传递过程，那么d过程只发生于细胞核中D．假如该图为细胞免疫过程，a为效应T细胞，b为靶细胞，c代表抗体4.以下关于基因工程的表达中正确的选项是：A.源于原核生物的目的基因不能导入真核细胞B.用质粒做运载体是由于所有生物都有质粒C.DNA连接酶的作用是催化碱基对之间的氢键形成D.只要露出的黏性末端相同，就能够用不同的限制酶分不切取质粒和目的基因5．右图为哺乳动物某组织示意图，其中①是毛细血管壁，②是成熟红细胞，③是血浆，④是细胞内液，⑤是组织液。
2024届成都七中度高三(上)入学考试理数试题+答案
, 得
x2
y2
y
4 1
2s s2
.
48
1 s2 1 s2
2
2
2s2
1 s2 2
1 ，而
x
4 1 s2
2
2 ，
即曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1 x 2 ，
48
x 1 t cos
由
y
2
t
sin
(t 为参数），
当 cos 0 时，消去参数 t ，可得直线 l 的直角坐标方程为 y x tan 2 tan ， 当 cos 0 时，可得直线 l 的参数方程为 x= 1 . （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 整理可得： (1 cos2 )t 2 4(sin cos )t 2 0．①
2 ，过点 F 作直线 l 与双曲线 C的左、右支分别交于点 A 、 B ，过点 F 作直线 l2 与双曲线 E 的左、右支分别
交于点 C、 D ，且点 B、 C关于原点 O对称．
(1)求双曲线 E 的方程； (2)求证：直线 A D 过定点．
注：22 与 23 题为选做题，2 选 1，均为 10 分。
欧拉公式，复数 z ei 在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
3．椭圆 x2 y2 1的焦距是 2，则 m 的值为（ ） m4
A．8
B．5
C．5 或 3
D．第四象限 D．8 或 5
4．某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形① ②中，可能是其俯
视图的是
A．① ② 都可能
(2)设 g x
f
x
1 2
x2
1
，若
2020届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市第七中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．设集合(){}{}22log 1A x y x B y y x==-==，，则A B =I（ ）A ．(]02，B ．()12，C ．()1+∞，D ．(]12， 【答案】C【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：(){}{}22log 1A x y x B y y x==-==Q ，{}{}|10|1A x x x x ∴=->=>，{|0}B y y =…， ()1,A B ∴=+∞I ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知i 为虚数单位，若复数31iz i-=+,则||z =（）A ．1B ．2C ．D 【答案】D【解析】运用复数除法的运算法化简复数z ，再根据复数模的计算公式，求出||z ，最后选出答案. 【详解】因为3(3)(1)121(1)(1)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以||z == D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和复数求模公式，考查了数学运算能力. 3．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b <B ．()ln 0a b ->C ．1133a b >D ．a b >【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，由于指数函数2xy =为增函数，且a b >，22a b ∴>，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，由于对数函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，a b >Q ，当01a b <-<时，()ln ln10a b -<=，B 选项中的不等式不恒成立；对于C 选项，由于幂函数13y x =在(),-∞+∞上单调递增，且a b >，1133a b ∴>，C 选项中的不等式恒成立；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但a b <，D 选项中的不等式不恒成立. 故选C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.4．已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量CD uuu r 在AB u u u r方向上的投影为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．-【答案】B【解析】先求出CD uuu r ，AB u u u r 的坐标，再根据投影公式：向量CD uuu r 在AB u u u r方向上的投影为||AB CD AB ⋅u u u r u u u r u u u r 即可求得． 【详解】因为(2,1)(5,5)15AB CD ⋅=⋅=u u u r u u u r ，||AB =u u u r，所以向量CD uuu r 在AB u u u r 方向上的投影为||cos ,||AB CDCD AB CD AB ⋅〈〉==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 【点睛】本题考查向量a r 在向量b r 方向上的投影公式：||a b b⋅r r，是基础题．5．成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：55~8：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：55~9：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】B6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{}nS n是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C7．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】A8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（ ）A ．9B ．6C ．3D ．1【答案】A9．椭圆22:193x y C +=与双曲线()2222100x y Q m n m n-=>>:，焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ） A．B．C ．12±D ．2±【答案】A10．已知函数()g x 为一次函数，若对mn R ∀∈，，有()()()3g m n g m g n +=+-，当[]11x ∈-，时，函数()(()2log 2f x x g x =+的最大值与最小值之和是（ ） A ．10 B ．8C ．7D ．6【答案】D11．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．212+ B 31+ C ．32D ．52【答案】B12．函数()f x 是定义在R 上的函数,且满足()()322f x f x +=,当[)1,1x ∈-时,()21f x x =-+,则方程()29log 08f x x -=在(]0,5的根的个数为（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】()()()()332222f x f x f x f x +=⇒=-. 当[)1,3x ∈时, ()()2233332=[(2)1](2)2222f x f x x x =---+=--+,当[)3,5x ∈时, ()()223333992[(4)](4)222244f x f x x x =-=--+=--+,在同一坐标系中作出函数f （x ）与函数29y log x 8=在（0，5]的函数图象如下所示：由图象可知，函数f （x ）与函数29y 10g x 8=在（0，5]上有4个交点，即方程29()log 08f x x -=在（0，5]的根的个数为4．故选：B二、填空题13．命题“200021x R x x ∃∈->，”的否定是___________________________________.【答案】221x R x x ∀∈-≤，【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“2000,21x R x x ∃∈->”的否定是：x R ∀∈，221x x -„． 故答案为：x R ∀∈，221x x -„．14．2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为______米.【答案】30 【解析】【详解】设旗杆的高度为x 米，如图，可知1806015105ABC ∠=--=o o o o ，301545CAB ∠=+=o o o ，所以1801054530ACB ∠=--=o o o o ，根据正弦定理可知sin 45sin 30BC AB=o o，即203BC =所以sin 60203x BC ==o， 所以320330x ==米.15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为_____________. 【答案】32【详解】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者． 2， 所以最大截面为233(2)S ==316．已知函数()323f x x x bx c =-++有极值，且导函数()'f x 的极值点是()f x 的零点，给出命题：①1c >-；②若0c >，则存在00x <，使得()00f x =；③()f x 与()'f x 所有极值之和一定小于0；④若10c -<<，且y kx =是曲线()()0C y f x x =<:的一条切线，则k 的取值范围是2724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.则以上命题正确序号是_____________. 【答案】①②③④ 【详解】 解：①正确；Q 函数32()3f x x x bx c =-++的导函数为：2()36f x x x b '=-+；且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点()660f x x ∴''=-=得1x =，当1x <时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当1x >时，()0f x ''>，()f x '单调递增，故1x =是()f x '的极小值点；()10f ∴=即130b c -++=；2b c ∴=-；Q 函数32()3f x x x bx c =-++有极值；2()36(2)f x x x c ∴'=-+-中，3643(2)0c ∆=-⨯⨯->； 解得：1c >-； ②正确；当0c >时，2()36(2)f x x x c '=-+-有两个不等的实根，设为1x ，2x ；Q 由①知，1x =是()f x '的极小值点；121x x ∴<<()1110f c '∴=--<-<，当11(,)x x ∈-∞ 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当112(),x x x ∈ 时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当12(),x x ∈+∞ 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当0x =时，()00f c =>， 当1x =时， ()10f =，∴存在00x <，使得0()0f x =；③正确；由①知()f x '极值为()13f b '=-设2()36(2)f x x x c '=-+-有两个不等的实根，设为1x ，2x ；122x x ∴+=，1223cx x -=()f x 的两个极值332212121212()()()3()()2f x f x x x x x b x x c +=+-++++，222121212121212()[]3[()2]()2x x x x x x x x x x b x x c =++--+-+++22121212121212()[()3]3[()2]()2x x x x x x x x x x b x x c =++--+-+++ 22222[23]3[22]2233c cb c --=---+⨯+ 2242(2)240b c c c =+-=-+-=()f x ∴与()f x '所有极值之和为： 12(1)()()3(2)310f f x f x b c c '++=-=--=--<．④正确；323()3(2)(1)(1)(1)f x x x c x c x c x =-+-+=-++-， 当0x <时，3|()||(1)(1)(1)|y f x x c x ==-++-若10c -<<．2()3(1)(1)0f x x c '=--+=解得1x =， 如图：且y kx =是3()(1)(1)(1)(0)y g x x c x x ==--++-<的一条切线，设切点坐标0(x ，00)(0)y x <，则2()3(1)(1)g x x c '=--++，203(1)(1)k x c ∴=--++， 因为3200000(1)(1)(1)3(1)(1)y x c x k x c x x --++-===--++， 320001(1)3(1)c x x x ∴+=--+-，223230000003(1)(1)3(1)(1)3(1)2(1)k x c x x x x x ∴=--++=----+-=-， 322000001(1)3(1)(1)(21)(0c x x x x x ∴+=--+-=-+∈，1) 031,12x ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，30272(1),24k x ⎛⎫∴=-∈-- ⎪⎝⎭．故答案为：①②③④．三、解答题17．已知函数()2324sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）用“五点作图法”作出()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC V 中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且3BC =，求ABC V 周长的最大值.【答案】（1）作图见解析（2）33【解析】（1）化简求出函数()f x 的解析式，列表描点即可用“五点作图法”画出函数()f x 在一个周期内的图象；（2）由题意求出角A 的值，再求ABC ∆周长的最大值． 【详解】解：（1）()311cos 23cos 2sin 24222xf x x x ⎛⎫-⋅+⋅+⋅- ⎪ ⎪⎭= 31sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 列表，描点如图所示：26x π-2ππ32π 2πx12π3π 712π 56π 1312πy11（2）当2262x k k Z πππ-=+∈，时，()f x 取得最大值，此时3x k k Z ππ=+∈，，∴ 3A π=.由余弦定理可知：2222cos 3BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅，又3BC =∴223AB AC AB AC =+-⋅.由基本不等式()()2222134AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅=+-⋅≥+. ∴23AB AC +≤，当且仅当AB AC =时取等号. ∴当AB AC =，即ABC V 为正三角形时，周长的最大值为33.【点睛】本题主要考查了五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象，解三角形的问题，属于基础题． 18．如图①，是由矩形ABCD ，Rt EAB V 和Rt FAD V 组成的一个平面图形，其中3AB AE AF ===，4=AD ，将其沿AB AD ，折起使得AE AF ，重合，连接EC 如图②.（1）证明：平面ECD ⊥平面EAD ；（2）若M 为线段BC 中点，求直线EM 与平面AED 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（2）31313【解析】（1）由翻折变换的性质，先证明AE ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面AED ，又CD ⊂平面ECD ，所以平面ECD ⊥平面AED ．（2）过M 作AD 的垂线，连接EN ，直线EM 和平面AED 所成的角为MEN ∠，Rt MEN ∆中，313tan 13MN MEN EN ∠===，得出结论． 【详解】解：（1）证明：由翻折变换的性质：AE AD ⊥，AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AE ∴⊥平面ABCD ，CD ⊂Q 平面ABCD ，所以AE CD ⊥，又因为CD AD ⊥，AE AD A =I ，AE ⊂平面AED ，AD ⊂平面AED ． 所以CD ⊥平面AED ．又因为CD ⊂平面ECD ，所以平面ECD ⊥平面AED ．（2）过M 作AD 的垂线，垂足为N ，连接EN ，有//MN CD ，CD ⊥平面AED ， 所以MN ⊥平面AED ，因为EN ⊂平面AED所以MN EN ⊥，直线EM 和平面AED 所成的角为MEN ∠， 由M 为BC 的中点，//MN CD ，所以N 为AD 的中点， 所以2AN =，3MN CD ==，又3AE =，在EAN ∆中，2213EN AE AN =+=，Rt MEN ∆中，313tan 13MN MEN EN ∠===， 故直线EM 与平面AED 所成角的正切值为313．【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定；线面所成的角，属于中档题． 19．2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁） 年龄段 [)1525，[)2535，[)3545， [)4555， [)5565， []6575， 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 购物人数 828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物不使用网上购物（2）若从年龄在[)5565，，[]6575，的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关（2）详见解析【解析】（1）根据统计表中的数据，计算出是否低于45岁人数，以及对应的是否网上购物人数，列出分布列，计算k 值，查表判断即可；（2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下于是有2K的观测值2100(60151510)10014.28610.828752570307k⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关；（2）由题意可知，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为：223222531(0)10C C P XC C ===，11221123231222532(1)5C C C C C C P X C C +===，221111222312225313(2)30C C C C C C P X C C +===，212222531(3)15C C P X C C ===， 于是X 的分布列为： X 0 1 2 3 P110251330115所有1213122()0123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望．考查了分析解决问题的能力，数据处理能力和计算能力，属于中档题．20．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()122M -，，直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于A B ，两点.（1）若直线l 的方程为2y x =-，求ABO V 的面积；（2）若直线OAOB ，的斜率为12k k ，，且122k k +=，求直线l 的方程. 【答案】（1）822）240x y +-=【解析】（1）将点代入求出p 的值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角形的面积，（2）设直线l 方程为(2)y k x =-，根据韦达定理和斜率公式，即可求出．【详解】解：（1）将点(1,M -代入抛物线方程，可得4p =，则抛物线方程为28y x =.设()()1122,,A B x y x y ，，联立282y x y x ⎧=⎨=-⎩，可得21240x x -+=.∴1212x x +=，则12416AB x x =++=. 又点O 到直线AB.∴1162OAB S ==V （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()2y k x =-.()()1122,,A B x y x y ，，联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，可得()22224840k x k x k -++=，显然>0∆，从而212122484k x x x x k++==，. ∴()()()12121212121212122222222k x k x k x x y y k k k k k k x x x x x x x x --+⎛⎫+=+=+=-+=- ⎪⋅⎝⎭，224842224k k k k k+=-=-=， ∴2k =-.∴直线l 的方程为240x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式，属于中档题．21．已知函数()()[]sin 11226xx f x g x ax x e ππ+==+∈-，，，，其中a 为实数，e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意给定的[]022x ππ∈-，，在区间[]22ππ-，上总存在三个不同的()123i x i =，，，使得()()()()1230f x f x f x g x ===成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递增区间为02π⎛⎫-⎪⎝⎭，与322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，与302π⎛⎫⎪⎝⎭，（2）存在，221111212122a e e ππππππ-<<- 【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解， （2）结合（1）的讨论,对a 进行分类讨论，即可求解． 【详解】 解：（1）()[]sin 1,22xx f x x eππ+=∈-Q ， ()()()[]2cos sin 1cos sin 122x xxx e x x e x x f x x ee ππ-+--'∴==∈-，，. 当()'0f x >，即cos sin 10x x -->时，3sin 4x π⎛⎫+>⎪⎝⎭. 4224334k k x k Z πππππ∴++<<+∈， ∴222k x k k Z πππ-<<∈，.当0k =时，02x π-<<；当1k =时，322x ππ<<. 当()'0f x <，即cos sin 10x x --<时，3sin 42x π⎛⎫+<⎪⎝⎭. 5344224k x k k Z πππππ∴-<<++∈，∴2222k x k k Z ππππ-<<-∈，.当0k =时，22x ππ-<<-；当1k =时，302x π<<. ∴函数()f x 的单调递增区间为02π⎛⎫-⎪⎝⎭，与322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，与302π⎛⎫⎪⎝⎭，. （2）由（1）可知，函数()f x 在[]22x ππ∈-，有两个极小值，3022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 存在一个极大值()01f =，另外()()22122f e f e ππππ-==，. 对于函数()[]1226g x ax x ππ=+∈-，，. 假设存在满足题意的实数a . 当0a =时，()21116g x e π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，满足题意.当0a >时，()112266g x a a ππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，.由题意211261216a e a πππ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得2110122a e πππ<<-. 当0a <时，()112266g x a a ππ⎡⎤∈+-+⎢⎥⎣⎦，. 由题意211261216a e a πππ⎧-+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，解得2110212a e πππ-<<. 综上，实数a 的取值范围是221111212122a e eππππππ-<<-. 【点睛】本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221416x y +=，直线l 恒过定点()12M ，，倾斜角为α.（1）求曲线C 和直线l 的参数方程； （2）当3πα=时，若直线l 交椭圆于A B ，两点，求AM BM ⋅的值.【答案】（1）曲线C 的参数方程是2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数），直线l 的参数方程是1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）（2）327 【解析】（1）根据参数方程的求法即可求出，（2）求出直线l 的参数方程，代入到椭圆方程，参数的几何意义可得． 【详解】解：（1）曲线C 的参数方程是2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数），直线l 的参数方程是1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）.（2）当3πα=时，直线l的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数），将其代入椭圆方程：化简得(274804t t ++-=， 由题意知>0∆恒成立，12327t t =-.由参数的几何意义得12327AM BM t t ⋅=⋅=.【点睛】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．23．已知函数()21f x x x m m R +=++∈，.（1）若不等式()2f x x m ++≥对x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当1m >时，求不等式()2f x m -<的解集. 【答案】（1）12m ≤-或32m ≥（2）13133mm x x -+⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）不等式()||2f x x m ++…对x R ∀∈恒成立(|21||22|)2min x x m ⇔+++…． （2）不等式()2f x m -<，即|21|||2x x m m -+-<．分①当12x „时，1132m x -<„；②当12x m <<时，12x m <<；③当x m …时，313m m x +<„，即可．【详解】解：（1）2122x x m +++≥恒成立，即112x x m +++≥， 由几何意义可知，112m -≥，可得12m ≤-或32m ≥. （2）不等式为122x m x m -+-<，即212x x m m -+-<， ∵1m >，①12x ≤时，不等式为122x m x m -+-<，解得13m x ->，所以1132m x -<≤； ②当12x m <<时，不等式为212x m x m -+-<，恒成立，所以12x m <<；③当x m ≥时，不等式为212x x m m -+-<，解得313m x +<，所以313m m x +≤<； 综上所述，当1m >时，原不等式的解集为13133mm x x -+⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式、恒成立问题、不等式性质，属于中档题．。
四川省成都七中2020学年高三数学上学期12月月考试题 理 新人教A版
2020学年四川省成都七中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．（5分）（2020•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]考点：交集及其运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．解答：解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C点评：本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．2．（5分）（2020•资阳二模）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．分析：本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．解答：解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．点评：本题涉及到四个命题，真值表，充要条件，命题的否定，分析中逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一），先熟悉后生疏，提供解题策略；解答中分析的比较清晰．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．4．（5分）在等比数列{a n}中，S n为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q 为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S5﹣S4=a5得出a5、a6的关系，属中档题．5．（5分）（2020•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）（2020•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：据函数f（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．然后结合f（x）=g（x+1）﹣2x得g（1）=1．再分别令x=﹣1和x=1，从而得到g（0）+g（2）=，最后求出g（0）+g（1）+g（2）的值．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．8．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设 =， =， =t，然后用和表示出，再由 =+将 =、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设 ===t则 =﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t] +t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．9．（5分）（2020•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）命题P“方程有解”是命题Q“方程x2﹣2x+a=0无实根”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：计算题．分析：由指数和对数的关系可化简方程，分离a，由基本不等式可得a≥1，再由△＜0可得a＞1，由集合的包含关系可得答案．解答：解：方程可化为=a﹣2x，整理可得a=≥2=1，当且仅当，即x=﹣1时取等号，故可得a≥1；而方程x2﹣2x+a=0无实根可得△=（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，又因为集合{a|a≥1}真包含{a|a＞1}，所以P是Q的必要不充分条件故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式和一元二次方程根的情况，属基础题．11．（5分）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，x2＞2，则的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，则即，其对应的平面区域如下图阴影示：则表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率由题意可得A（﹣3，2）由图可知∈（﹣3，﹣）故选C点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合二次函数性质得到解答本题的关键．12．（5分）（2020•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2020，则n=（）A．1026 B．1027 C．1028 D．1029考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2020＜452，可得2020出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第37个数为2020，由前44行的数字数目，相加可得答案．解答：解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2020＜452，则2020出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=37个数为2020，前44行共有=990个数，则2020为第990+37=1027个数；故选B．点评：本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上.）13．（4分）一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，由此能求出这个凸多面体的体积．解答：解：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，∴，这个凸多面体的体积V===．故答案为：．点评：本题考查利用三视图求四棱锥的体积，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是利用三视图得到几何体．14．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．（4分）已知cos（）=，α∈（0，），则= ．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（0，）及cos（）可求sin（），进而利用诱导公式及二倍角正弦公式可求cos2=2sin （）cos（），而==cos（），代入所求式子即可求解解答：解：∵α∈（0，）∴α∈（0，）∴sin（），＞0∵cos（）=∴sin（）=∴cos2=2sin（）cos（）====cos（）=∴==故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是公式的灵活应用16．（4分）设函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为①②③④⑤．（将你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．解答：解：函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣（lnx+m），设F（x）=e x﹣（lnx+m），则F′（x）=e x﹣，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，e﹣（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e2＞ln2+m，则m＜e2﹣ln2．故正确；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e＞ln2+m，则m＜e﹣ln2；故正确；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；故答案为：①②③④⑤．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（12分）（2020•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x ﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA 中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，﹣2），由向量法能够求出二面角A﹣BE﹣D的正弦值．解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥BC，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．19．（12分）设m是常数，集合（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）化简函数的解析式为，m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，由于y=log3U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为，求得f（x）的最小值．（3）根据m∈M时，，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．解答：解：（1），当m∈M，即 m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，∵y=log3U是增函数，∴当U最小时f（x）最小．而，显然当x=2m时，U的最小值为，此时．（3）m∈M时，，当且仅当m﹣1=1时，即m=2时，等号成立，所以，即函数f（x）的最小值都不小于1．点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．20．（12分）（2020•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用递推公式a n+1=2S n把已知转化为a n+1与a n之间的关系，从而确定数列a n的通项；（II）由（I）可知数列a n从第二项开始的等比数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n•a n的求和应用乘“公比”错位相减．解答：解：（I）∵a n+1=2S n，，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{S n}是首项为1、公比为3的等比数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2•3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．21．（12分）（2020•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0（不考虑另一根）．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{a n}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n ﹣2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]∴a≥1当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）解：∵，∴=∴{}是常数数列∵，，∴∴=∴∴∴{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列∴a n﹣1=（﹣）•∴a n=1﹣；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则∴＜ln（+1）=ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）∴++…+＜[ln（32﹣2）﹣ln（31﹣2）]+[ln（33﹣2）﹣ln（32﹣2）]+…+ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）=ln（3n+1﹣2）∴点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
四川省成都七中2022-2023学年高三上学期入学考试理科数学试卷含答案
成都七中2023届高三上期入学考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 总分：150分选择题(每小題5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求,把答案涂在答 题卷上.) 1.已知集合M ={y|y = sin_r,eR} , = |x|x 2-x-2＜o|,则M (]N=()B. [-1,2)2. 设，•为虚数单位，若复数(l + i)(l + "i)是纯虚数，则实数。
=()3. (l-2x)4的展开式中含J 项的系数为()4.己知 A(->/5,O),B(>/I O ),C(O,3),则WBC 外接圆的方程为() A (x-l)2+y 2=2 B. (x-l)2+ y 2=4 C. x z +(y-\)2=2 D. x 2+(y_l)2 =45.己知一个半径为4的扇形圆心角为0(0＜。
＜2力)，面积为2勿，若tan(8 + 0)= 3,则tan°=(C. (一1,1)A. -IB. 0C. ID.A. _24B. 24C. -16D. 16A.0 C. 2D-46.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之由德国数学家洛塔尔•考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s,如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果$是偶数，则将其除 以2,所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考 拉兹猜想的变换过程.若输入s 的值为5,则输出i 的值为() A.4 B. 5C.6D. 77-莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜 地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以 参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫髙窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫髙窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是( A.D.358. 设/,〃?,〃表示直线，戶表示平面，使“/丄。
[071103]成都七中20202020学年度高三年级考试理科综合试卷doc高中数学
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[071103]成都七中20202020学年度高三年级考试理科综合试卷doc 高中数学2007.11.3理科综合试卷本试卷分第一卷和第二卷两部分。
第一卷第1至5页，第二卷6至13页。
共300分，考试时刻150分钟。
本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目涂写在答题卡上。
考试终止，将答题卡交回。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
第一卷本卷共21小题，每题6分，共126分可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Cu 64 一、选择题〔此题包括13小题。
每题只有一个选项符合题意〕1.以下图是用集合的方法，表示各种概念之间的关系，其中与图示相符的是2．一个DNA 分子通过诱变，某位点上的一个正常碱基〔设为Q 〕变成了尿嘧啶，该DNA 连续复制两次，得到的4个子代DNA 分子相应位点上的碱基对分不为U-A 、A-T 、G-C 、C-G ，估量〝Q 〞可能是选项 1 2 3 4 A 细胞免疫 T 细胞 抗体 特异性免疫 B染色体DNA 基因 脱氧核苷酸 C 无性生殖 营养生殖 嫁接 组织培养 D氮循环共生固氮菌生物固氮A．胸腺嘧啶或尿嘧啶B．腺嘌呤或胞嘧啶C．胸腺嘧啶或腺嘌呤D．胞嘧啶或鸟嘌呤3．下面两图表示植物叶片横切的结构。
请据图分析判定，以下讲法中正确的选项是A．A、B两图中属于C4植物的为AB．二氧化碳被固定形成C4的过程在B图中②C．在较低CO2浓度条件下，具有相对较强光合作用的为A植物D．A图中3与B图中②在结构上的不同点是3中无叶绿体，而②中含无基粒的叶绿体4．处于正常细胞分裂后期的某个细胞内含有10个DNA分子。
以下不可能显现的情形是A．该细胞可能处于有丝分裂后期B．该细胞可能处于减数第一次分裂后期C．该细胞可能处于减数第二次分裂后期D．产生该细胞的生物体细胞中的染色体数目可能是5条或10条5．某学习小组发觉一种遗传病在一个家族中发病率专门高，通过对该家族中一对夫妇及其子女的调查，画出了遗传图谱〔见右图〕。
成都七中2023届高三上学期入学考理科数学卷及答案
18．（12 分）如图所示，在四棱锥 S ABCD 中， AD 平面SCD, BC 平面 SCD, AD CD 2 ，BC 1 ，又 SD 2, SDC 120 , F 为 SD 中点.
（1）证明： CF / / 平面 SAB ；
（2）求平面 SAD 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值.
4
下面证明当 a 2时， x 0 是函数 F x 的极小值点.
由（2）问可知当 x 时， F x ex cos x sin x 2 ，F x ex sin x cos x x 0 ，故
4
函数
F
x
在
4
,
上单调递增，
F0 0，
当 x 0 时， F x F0 0 ，当 x 0 时， F x F0 0 .
AQ 分别与 x 轴交于 M ， N 两点.若 M ， N 的横坐标之积是 2，证明：直线l 过定点.
21．（12 分）已知函数 f (x) ex ， g(x) sin x cos x .
（1）已知 f (x) ax 1恒成立，求 a 的值；
（2）证明：当 x 时， f x g(x) ；
2
cos
x
4
0
，所以，函数
x
在
4
,
0
上单调递减，故
x
f
0
0
；
②当 x 0 时，构造函数 t x x sin x ，可证得 x sin x ，由（1） ex x 1 ，
所以，当 x 0 时， x ex sin x cos x ex x 1 0 ，当且仅当 x 0 时，等号成立；
是：任意给定正整数 s ，如果 s 是奇数，则将其乘3 加1；如果 s 是偶数，则将其除
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成都七中高2020届高三上期入学考试题数学（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上．）
1. 已知集合{}1A x x =<，{}
20B x x x =-<，则（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆ C.{}1A B x x ⋂=< D. {}
0A B x x ⋃=>2. 已知a R ∈，i 为虚数单位，若a i i
+为实数，a 则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）
A. 15
B. 16
C. 18
D. 21
4. 函数()()
2x x f x x e e -=-的大致图象为(
)A.
B.
C.
D.
5. 5(2x +的展开式中，4x 的系数是（ ）
A. 40
B. 60
C. 80
D. 100 6. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ）
A. 16k ≥
B. 8k <
C. 16k <
D. 8
k ≥7. 已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，
满足23cos 2A +cos 2A =0，7,6a c ==，则b 等于（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 5
8. 曲线4y x =
与直线5y x =-围成的平面图形的面积为（ ） A.
152 B. 154C. 154ln 24- D. 158ln 22
-
三．解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足2n a n b -=，求证：数列{}n b 的前n 项和12
n T <．
18. 如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的
中点，点F 在线段BC 上,且14
BF BC =.沿EF 将BEF ∆裁掉，并将AED ∆, CFD ∆分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2．
(1)求证:EF ⊥平面MED ；
(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值．
19. 某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，
今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可
进行验收；④用样本的频率代替概率．
（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非
常满意该项目的概率；
（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占1
3，现从评
分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意
的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中
老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
20. 已知椭圆22
22:x y C a b
+=()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =，且123cos 5
F PF ∠=． (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围．
21. 已知函数23(),()2
x f x xe g x x x ==+-． （1）求证：2()15()022
f x
g x x x -+->对(0,)x ∈+∞恒成立； （2）若()()(0)3()2
f x F x x
g x x =>-+，若12120,2x x x x <<+≤，求证：12()()F x F x >．
22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ+=11:(0)2OM π
θθθ=<<与圆C 的交点为
O P 、，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的范围．。