圆锥的侧面展开图
圆柱和圆锥的侧面展开图
2010-9-5
5
新课
旋转一周， *矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的 叫做圆柱的母线． 轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线 段都叫做圆柱的母线． AD、 段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是 下底面的半径。 上、下底面的半径。 *圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线 圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线 段叫做圆柱的高， 段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与 高有什么数量关系？ 高有什么数量关系？ *圆柱上、下底面圆有什么位置关系？ 圆柱上、 圆柱上 下底面圆有什么位置关系？ * A、B是两底面的圆心，直线 是轴．哪位同学 是两底面的圆心， 是轴． 是两底面的圆心 直线AB是轴 能叙述圆柱的轴的这一条性质？ 能叙述圆柱的轴的这一条性质？ *哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关 哪位同学能按轴、 哪位同学能按轴 母线、 2010-9-5 圆柱的性质？ 圆柱的性质？
6
新课
现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开， 现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开， 展在一个平面上， 展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什 么图形？ 么图形？
矩形
这个圆柱展开图——矩 矩 这个圆柱展开图 形的两边分别是圆柱中 的什么线段？ 的什么线段？ 归纳圆柱的侧面积公式？ 归纳圆柱的侧面积公式？
S侧=底面圆周长×圆柱母 侧 底面圆周长 底面圆周长× 2010-9-5 线
7
例题
如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开， ［例1］ 如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩 已知AD=18CM AB=30CM。 AD=18CM， 形ABCD．已知AD=18CM，AB=30CM。求这个圆柱形木块 的表面积（精确到1C 1C㎡ 的表面积（精确到1C㎡）． 解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆 AD AB 柱母线，设圆柱的表面积为S，则 S=2S圆+S侧 所以S=2π（18/2）+2π*（18/2）*30 =162π+540π=2204（CM） 答：这个圆柱形木块的表面积约为 2204CM 2010-9-5
圆锥的侧面展开图-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
24.7.2 圆锥的侧面展开图
知识要点 1、圆锥侧面展开图的面积
（1）其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长l （2）侧面展开图扇形的弧长= l
底面周长 2 r
圆锥S扇的形 侧 12面lR积计算S侧公式12 2πr l πrl 圆锥的全面积计算公式
l
侧面 展开 图
or
C 2r
S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(其中l是圆锥的母线长，
∵ 2πr=5 2π
A
①
②
r 5 2. 2
B
OC
③
24.7.2 圆锥的侧面展开图 课堂小结 重要图形
重要结论
圆锥的高 S
l
母 线
A
h Or B
侧面 展开
l图
or
底面
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
24.7.2 圆锥的侧面展开图
也是圆锥侧面展开图扇形的半径)．
24.7.2 圆锥的侧面展开图
如图：
24.7.2 圆锥的侧面展开图
例1 如图,圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80 cm，母线 为 50 cm.在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽 的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
24.7.2 圆锥的侧面展开图
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图,设该扇形的
A．24 B．12 C．6 D．3
24.7.2 圆锥的侧面展开图
4.如图所示的扇形中，半径R =10，圆心角θ
=(114) 4这°个，圆用锥这的个底扇面形半围径成一r =个圆4锥的．侧面.
(2) 这个圆锥的高h= 2 21.
A
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图圆锥是一种几何体，它的侧面展开图可以通过以下步骤来绘制。
第一步，我们需要了解圆锥的基本结构。
圆锥有两个基本元素，即底面和侧面。
底面通常是一个圆形，而侧面是由一个点（称为顶点）和与之相连的直线段组成。
在绘制侧面展开图时，我们需要将这个直线段展开成一个矩形。
第二步，我们需要确定侧面展开图的尺寸和比例。
为了方便展示，我们可以假设圆锥的高度为h，底面半径为r。
在展开图中，我们可以选择一个合适的比例来绘制矩形，例如将矩形的高度设置为h，长度设置为2πr。
第三步，我们可以开始绘制侧面展开图。
首先，绘制一个长方形，将其高度设置为h，长度设置为2πr。
这个矩形代表圆锥的侧面展开后的形状。
第四步，我们需要在矩形的边界上标记出两个相邻的点，分别代表圆锥的底面圆的周长。
这两个点之间的距离应该等于2πr。
我们可以通过将底面圆的周长等分成若干等份来确定这两个点的位置。
第五步，将矩形的其中一条边沿着一条直线折叠，直到与另一条边重合。
这个折叠操作代表了圆锥的侧面展开的过程。
在折叠后，我们可以看到矩形的上、下两条边和底面圆的周长形成了一条螺旋线状的曲线。
这条曲线代表了圆锥的侧面展开后的形状。
第六步，将矩形的上、下两条边的切线与底面圆相交，标记出相交点。
这些点代表了圆锥侧面展开图上的特殊点，可以用来计算圆锥的体积和表面积。
第七步，连接相邻的特殊点，形成一条螺旋线状的曲线。
这条曲线代表了圆锥的侧面展开后的形状，可以帮助我们更好地理解圆锥的结构和性质。
以上就是绘制圆锥侧面展开图的基本步骤。
通过绘制侧面展开图，我们可以更好地理解圆锥的形状和结构，并且可以进行更深入的几何计算和分析。
无论是在学术研究还是实际应用中，绘制圆锥侧面展开图都有着重要的意义。
圆锥的侧面展开图课件青岛版九年级数学下册
导入
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
S侧 =prl S全 = S侧S 底 = prl p r2
(r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
导入
弧长与扇形面积计算 圆锥的侧面积计算
R l
l＝n1π8R0 S＝n3π6R02＝12lR
2πr l
r
S = prl
例3 如图7-38，将半径为1、圆心角为90°的扇形薄铁片
2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点 的连线叫做圆锥的母线
问题：圆锥的母线有几条？
3.连接顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高 .
R h
r
观察与思考
图中 R 是圆锥的母线 h 就是圆锥的高 r 是底面圆的半径
R h
r
观察与思考
圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间有什么关系？
R2 = h2 r2
例4 如图7-40，一顶帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆
柱形，已知圆柱的底面半径为、母线长，圆锥的高为1m. (1)制作一项这样的账篷(接缝不计)大约需要用多少帆布 (精确到0.1m²)? (2)帐篷的容积大约是多少(精确到01m³)?
例4 解： (1)圆柱底面周长l≈，
∴S圆柱侧 = lh≈15.07 1.6 = 24.11
解： (2) ∴V圆柱 = p r 2h 3.14 2.42 1.6 28.95.
V圆锥 =
1p
3
r2h
1 3
3.14
2.42
1
6.03.
∴V圆柱 V圆锥 28.95 6.03 35.0.
所以，帐篷的容积大约35.0m².
练习
1、若圆锥的底面半径r =4 cm，高线h =3 cm，则它的侧面展开 图中扇形的圆心角是 288 度.
27.3.2圆锥的侧面展开图华师版
P
l
O. r B
1.你能说出扇形的弧长公式吗？ 2.你能说出扇形的面积公式吗？
≈3.14×15×5 =235.5（cm 2 )
235.5×10000= 2355000 （cm 2 )
ha
r
答：至少需 235.5 平方米的材料.
填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角
（r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）a = 2，r = 1 则 =________ (2) h=3, r=4 则 =__________
三、圆锥侧面展开图
1.圆锥的侧面展开图是一个扇形
P
l h
A
O r
B
2πr
ha
r
2.圆锥的底面圆周长=侧面展开后扇形的弧长。
3.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
4.圆四锥、的rl侧圆面锥3积6的就0是侧弧面2长2.5积为圆和3锥6全0底面面的积2周88长 、
半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.
ha
（ 2 ）h=12cm, r=5cm
r
解：(1)
S侧＝
1×2πr×a＝πra
2
=12×20π=240π
S全=s侧+s底=240 π + πr2 =240 π+144 π=384 π(cm2)
(2) ∵a= h2 a2 =13
∴s侧= πra=65 π
∴S全=s侧+s底=65 π + πr2
沪科版九年级数学下册圆锥的侧面展开图
解：S=
1 2
×32×7=16×7=112(m2)
答：所需油毡的面积至少是112m2.
课堂小结
R A
n l
h
B Or C
公式一：S侧 rR
公式二：
S扇形
nR2 360
.
S全=S侧+S底 rR r 2
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
S扇形 360 ,60
nR r 360
n
l nR 360r
h
B
r
O
C
由圆锥的两个侧面积公式
推导出了n、R、r三个量之
间的关系式，即nR=360r.
练习
填空、根据下列条件求值 .
R
A
(1) R=2，r=1，则n =__1_8_0_°__.
B
n
h Or
l
C
(2) R=9，r=3，则n =__1_2_0_°_ . (3) n=90°，R=4，则r =__1__. (4) n=60°，r= 3，则R =__1_8__ .
第2课时 圆锥的侧 面展开图
沪科版 九年级下册
知识回顾
1.弧长计算公式
l nR 180
2.扇形面积计算公式
nR2 S
或S 1 lR
360
2
R
l
n° O
新课推进
生活中的圆锥
ah
圆锥的相关概念
（1）连结圆锥顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高. （2）连接圆锥顶点和底面圆周上 任意一点的线段叫做圆锥的母线. (母线有无数条,母线都是相等的)
ah r
（3）圆锥的底面半径、高、 母线长三者之间的关系:
a2 h2 r2
《圆锥的侧面展开图》教案设计
《圆锥的侧面展开图》教案设计第一章：圆锥的侧面展开图概念介绍1.1 圆锥的侧面展开图定义引导学生回顾圆锥的基本概念，理解圆锥的侧面展开图是将圆锥的侧面展开后形成的平面图形。
通过实物演示或图片展示，让学生直观地感受圆锥的侧面展开图的形成过程。
1.2 圆锥的侧面展开图的特点分析圆锥的侧面展开图的形状，引导学生发现它是一个扇形。
解释圆锥的侧面展开图与圆锥的底面之间的关系，让学生理解展开图的弧长等于圆锥底面的周长。
第二章：圆锥的侧面展开图的计算2.1 圆锥的侧面积计算引导学生利用圆锥的侧面展开图来计算圆锥的侧面积。
给出圆锥的侧面积计算公式：侧面积= π×r ×l，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。
2.2 圆锥的全面积计算引导学生理解圆锥的全面积包括底面积和侧面积。
给出圆锥的全面积计算公式：全面积= π×r ×(r + l)，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。
第三章：圆锥的侧面展开图的应用3.1 圆锥的侧面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的侧面积在实际问题中的应用，如制作圆锥形状的物体时计算材料用量等。
3.2 圆锥的全面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的全面积在实际问题中的应用，如计算圆锥形物体的表面积等。
第四章：圆锥的侧面展开图的绘制4.1 圆锥的侧面展开图的绘制方法引导学生学习如何将圆锥的侧面展开成一个扇形，并绘制出圆锥的侧面展开图。
通过步骤讲解和示范，让学生掌握绘制圆锥的侧面展开图的方法。
4.2 圆锥的侧面展开图的绘制技巧介绍一些绘制圆锥的侧面展开图的技巧，如如何准确地测量和标记圆锥的底面半径和母线长等。
第五章：圆锥的侧面展开图的综合练习5.1 圆锥的侧面展开图的计算练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的计算题目，让学生巩固圆锥的侧面积和全面积的计算方法。
5.2 圆锥的侧面展开图的应用练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的应用题目，让学生将所学知识应用到实际问题中。
圆锥的侧面展开图课件
旋转体制造
在建筑设计领域，圆锥的侧面展开图常被用于设计一些具有曲线形状的建筑元素，如穹顶、拱门等。通过将圆锥侧面展开，可以更好地理解其形状和尺寸，从而更好地进行建筑设计。
建筑设计
在建筑结构分析中，圆锥的侧面展开图可以用于分析建筑结构的受力情况。通过将建筑结构中的受力部分展开成平面图形，可以更直观地理解其受力情况，从而更好地进行结构设计和优化。
在实际应用中，圆锥的侧面展开图可用于建筑设计、机械制造等领域，例如在设计旋转机械或计算风力发电机的功率时，需要使用圆锥的侧面展开图来计算相关参数。
在艺术领域，圆锥的侧面展开图也常被用于创作雕塑、绘画等艺术作品，以表现立体感、空间感和流动感。
02
圆锥的侧面展开图的绘制方法
Chapter
确定圆锥的底面半径和高度
圆锥的侧面展开图具有连续性，即展开后的图形是一个连续的平面区域。
圆锥的侧面展开图在几何形状上与原圆锥侧面相同，但在平面上表现为一个二维图形。
圆锥的侧面展开图可以用于计算圆锥侧面积和表面积，以及用于解决一些几何问题。
在几何教学中，圆锥的侧面展开图常用于帮助学生理解圆锥的几何性质和侧面积的计算方法。
建筑结构分析
包装设计
在包装设计中，圆锥的侧面展开图可以用于设计一些具有曲线形状的包装容器，如饮料瓶、洗发水瓶等。通过将圆锥侧面展开，可以更好地理解其形状和尺寸，从而更好地进行包装设计。
艺术创作
在艺术创作中，圆锥的侧面展开图可以用于创作一些具有曲线形状的艺术作品，如雕塑、绘画等。通过将圆锥侧面展开，可以更好地理解其形状和尺寸，从而更好地进行艺术创作。
,. which on,:xe%\xe guide on have!1 – the8\ans: the! speech! havemo揍
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图圆锥是一种立体图形，由一个圆形底面和一个顶点连接的直线组成。
在几何学中，我们经常使用侧面展开图来描述立体图形的形状和结构。
侧面展开图是将立体图形展开，使我们能够更好地理解其构造和组成。
首先，我们来看一下圆锥的基本特征。
圆锥的底面是一个圆形，用于提供稳定的支撑面。
圆锥的侧面是由从顶点连接到底面边缘的直线组成，这些直线被称为母线。
圆锥的顶点是连接底面和侧面的中心点。
为了绘制圆锥的侧面展开图，我们需要将圆锥展开成一个平面图形。
这可以通过将侧面按照一定顺序剪开，并展开到一个平面上来实现。
在展开的过程中，我们需要保持底面的圆形形状不变，并确保侧面的母线与底面保持相对位置不变。
展开后的侧面图是由一系列直线段构成的。
这些直线段代表了圆锥的侧面母线。
从顶点开始，我们可以看到侧面的直线段逐渐向底面延伸，并最终连接到底面边缘上。
展开后的侧面图呈现出一种锥形的形状，底面呈圆形，顶点在图形的中心位置。
圆锥的侧面展开图能够帮助我们更好地理解圆锥的结构和构造。
通过展开图，我们可以清晰地看到圆锥的母线如何连接到底面，并形成一个锥形的形状。
展开图还可以帮助我们计算圆锥的表面积和体积，以及分析其特性和功能。
在实际应用中，圆锥的侧面展开图被广泛应用于制作纸模、设计建筑物、制作工艺品等领域。
通过将圆锥展开成一个平面图形，我们可以更方便地制作和操作这些物品，并确保其形状和结构的准确性。
总结一下，圆锥的侧面展开图是将圆锥展开成一个平面图形以展示其构造和形状的方法。
通过展开图，我们可以更好地理解圆锥的特征和结构，并在应用中应用展开图进行设计和制作。
展开图提供了一种直观和清晰的方式来描述圆锥的形状和组成，对于学习和应用圆锥的几何学非常有帮助。
圆锥的侧面展开图
l h a r
1 2
la
1 2
2ra ra
S全=S侧+S底
ra r
2
夯实基础：
a 填空: 根据下列条件求值（其中r、h、 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）
3 （1） a = 2，r=1 则 h=_______
(2) h =3, r=4
5 则 a =_______ 6 则r=_______
h
r
a
1、若圆锥的底面半径r =4cm，高线h =3cm， 则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 288 度。 2.如图，若圆锥的侧面展开图 是半圆，那么这个展开图的圆 180 心角是___度； 圆锥底面半径 r与母线a的比 1:2 r ：a = ___ . S
结论：当圆锥底面半径 r与母线a的比为 1：2时，圆锥的侧面展开图为半圆。
知识回顾
一、圆的周长公式 二、圆的面积公式 三、弧长的计算公式
C=2πR
2 S=πRຫໍສະໝຸດ l2nR 180
1 RL弧 2
四、扇形面积计算公式
n R 360
S=
=-
请 你 欣 赏
圆锥的认识 1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的, 它的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的 连线叫做圆锥的母线
3.根据圆锥的下面条件，求它的侧 面积和全面积
（ 1 ）
（ 2 ）
r=12cm, a=20cm
h=12cm, r=5cm
图 23.3.6
填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的 圆心角 （r、h、a分别是圆锥的底面半径、 高线、母线长） （1）a = 2，r = 1 (2) h=3, r=4 则 =________ 则 =__________
圆锥的侧面展开图
1
h2 r
小结
本节课我们有什么收获?
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图， 学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识 圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底 面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆 锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径， 这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟 练、准确。
S侧 = rl
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
s全 = s侧 s底 = rl r2
做一做
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这
个圆锥的侧面积为_2_4_0___c_m__2，全面积为_3_8_4___c_m2
1.圆锥的底面半径为40cm.母线长为90cm, 求它的全面积.
S全=5200 cm2
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个 圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
nR 2
S扇形 = 360
S 扇形
= 1 lR 2
A
l
BO
C
扇形半径R=母线长
扇形的弧长=底面周长 2r
S
A
Or
B
请推导出圆锥的侧面积公式.
S侧
=
1 2
CR
S侧
=
1 2
2r
l.
l r
S 侧 =πrl (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面 积).
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全 面积(或表面积).
s全 = s侧 s底 = rl r2
思考题：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，
一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到 过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最 短路线是多少？
圆柱和圆锥的侧面展开图
例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S例 圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题八例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ． ∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的345ABC 345ABCD长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题十例矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解 （1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答 至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.典型例题二例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题五例 已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2． （2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2． 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题九例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ， 又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ．∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(． 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ），∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题六例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题一例 矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题七例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ）， ∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2） 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题四例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积． 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题五例 （1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度. 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.典型例题十一例 已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题八例 已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°． （1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3． 圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）． 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题六例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是345ABC 345ABCD半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ， 由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S典型例题十例 已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题十二例 一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解 （1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答 至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.典型例题十二例 圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题三例 （1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（ ）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） （A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.填空题1．用边长分别为π8和π6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 . 2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为 . 3．已知矩形ABCD ，一边AB=30㎝，另一边AD =9㎝，以直线AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 2cm （结果用π表示）.4．已知一矩形的长为AB =6，宽AD =4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，得到的立体图形的表面积为 .5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为 .6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的 倍，母线是高的 倍.7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S ，则底面积是________8. 矩形ABCD 的边cm 4=AB ，cm 2=AD ，以直线AD 为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_______2cm9. 底面直径是0cm 1，高是cm 12的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形的面积是______2cm10. 一个圆锥形零件的高为0cm 1，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为______cm ，母线长为______cm ，侧面积为______2cm ，表面积为_____2cm 11. 若一圆锥的侧面积为415π，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________. 12．若一个圆锥的母线长是5cm ，底面半径是3cm ，则它的侧面展开图的面积是 2cm . 13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 . 14．已知圆柱底面半径为π2，高为10，则圆柱侧面积是 .参考答案:1．;916ππ和 2．π60； 3．π702； 4．ππ3242或； 5．38π；6．1，2.7.4S8. π16 9. 等腰 60 10. cm 10，cm 210，2cm 2100π 2cm )12(100π+11. ︒150. 12．π1513．6cm 14．40.选择题1．在矩形ABCD 中，CA AB ≠，分别以直线AB ，AC 为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（） A ．底面积相等，侧面积也相等 B ．底面积不等，侧面积相等 C ．底面积相等，侧面积不相等 D ．底面积不等，侧面积也不等2．如图，已知圆锥的高为cm 4，底面半径为cm 3，则圆锥侧面展开图的面积为（）A ．2cm 9πB ．2cm 15πC ．2cm 24πD ．2cm 30π3．一个圆锥的高为cm 310，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（） A ．2cm 002π B ．2cm 003π C ．2cm 004πD ．2cm 603π4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，a BC =，b AC = )(b a >，分别以AC ，BC 所在的直线为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为1S ，2S ，则1S 和2S 的大小关系为（） A ．21S S >B ．21S S =C ．21S S <D ．以上情况都有可能5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（ ）（A ）1 （B ）π （C ）π4 （D ）46．在△ABC 中，,90,4,3ο=∠==A AC AB 把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ；把Rt △ABC 绕直线AB 一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则=21:S S （ ）（A ）3:2 （B ）4:3 （C ）9:4 （D ）56:397．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）（A ）12.5厘米 （B ）25厘米 （C ）50厘米 （D ）75厘米8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）（A ）60° （B ）90° （C ）120° （D ）180°9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（ ）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π16 （D ）810．一张矩形纸片，两边长分别为2cm 和4cm ，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一定是（ ）（A ）2cm 24π或2cm 48π （B ）2cm 32π或2cm 20π （C ）2cm 24π或2cm 32π （D ）2cm 20π或2cm 48π参考答案：1．B 2. B 3. B 4. A 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．D. 9．A 10．A.解答题1．已知圆柱的底面半径为2cm ，圆柱的高为3cm ．求它的侧面积． 2．已知圆柱的底面直径为4cm ，圆柱的高为5cm ．求它的全面积． 3．已知圆拄的高为4cm ，侧面积为40πcm 2．求它的全面积．4．已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，以AB 为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆柱的全面积；再以BC 为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．5．已知圆锥的母线长为6cm ；底面半径为2cm ．求它侧面展开图的圆心角的度数． 6．已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积． 7．已知圆锥的高为6cm ，底面半径为8cm ．求这个圆锥的侧面积． 8．在如图所示的矩形ABCD 中，cm 2=AB ，cm 3=BC ，MN 是它的一条对称轴。
圆锥的侧面展开图
例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高
为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结
果保留2个有效数字）
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心 角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r; r=4
(2)求这个圆锥的高. 2 21
A
r
C
B
O
1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm, 求它的全面积.
S全=5200 cm2
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个 圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
A
BO
C
圆锥的侧面展开图是扇形
A
l
BO
C
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长2r
S
A
Or
B
做一做
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这
个圆锥的母长为_1_0_c_m___
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0___c_m__2，全面积为_3_8_4___c_m2
C. 28cm2
B.30cm2 D. 15cm2
例2.蒙古包可以近似地看成由圆锥
和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建
20个底面积为16πm2,高为4.5 m，外 围高1.5 m的蒙古包,至少需要多少
m2的毛毡?
解:如图是一个蒙古包的示意图 依题意,下部圆柱的底面积16πm2,高为1.5m;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东实验中学 张兴华
回顾
l
n RO
A
n
BLeabharlann ROn Rl 180
S扇形
n R2
360
对比扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形 1 lR
2
回顾
1.已知扇形的半径为4，其圆心角为90°，则这个扇形
的弧长= 2 .
2.已知扇形的半径为2，其面积为 2 ,则这个扇形的
圆心角= 180 °
A
BO
C
2. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如 图，是一个蒙古包的示意图，现在想用毛毡搭建1个 底面半径为2m，高为3.5m，外围高为2m的蒙古包，
至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留π)
r
r
3. 已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为4cm， 若一只甲虫从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧 面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多 少？
行的最短距离为
cm
A
2. 高
3. 侧面积
4. 全面积;表面积 B O
C
1.圆锥的侧面展开图是扇形 2.母线的长=其侧面展开图扇形的半径 3.底面周长=侧面展开图扇形的弧长
2
为什么要展开圆锥的侧面?
1. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0__c_m_2，全面积为_3_8_4__c_m_ 2
S
C
B.
A
A
O
3
如何还原圆锥的侧面展开图?
R
A
n
l
B Or C
n R
l 180
S扇形
n R2
360
l 2 r
1. 用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆
锥的侧面,这个圆锥的底面半径是 4 .
3
2. 有一直径为2的圆形纸片，要从中剪出一个最大的 圆心角是90°的扇形ACB. （1）在剩下的三块余料中能否从第①块余料中剪出一 个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？ （2）当⊙O的半径R为任意值时, (1)中的结论是否仍然 成立?
圆锥的侧面展开图
新课 目标
1 圆锥的侧面展开图是什么图形? 2 为什么要展开圆锥的侧面? 3 如何还原圆锥的侧面展开图?
1
圆锥的侧面展开图是什么图形?
圆锥的相关定义:
A
1. 母线
2. 高
3. 侧面积
4. 全面积;表面积 B
O
C
如何描述圆锥? 圆锥的侧面展开图是什么图形?
圆锥的相关定义:
1. 母线
①
小结
课后习题
1. 圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥 侧面展开图所对应扇形圆心角的度数?
2. 如图, 是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开
口圆的直径EF长为10cm．母线OE(OF)长为10cm．在
母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，
且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处
沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬