诱导公式五六
《诱导公式五、六》三角函数
常见题型与解题方法
题型三：证明题
• 通过运用诱导公式五、六来证明三 角函数的某些性质或等式。
• 证明题通常要求考生运用所学知识 ，证明某个三角函数的性质或等式 。这种题型需要考生具备扎实的三 角函数基础和较强的逻辑推理能力 。在解题时，考生需要首先明确题 目要求证明的内容，然后通过合理 的推导和运算，逐步接近目标。
与其他诱导公式的联系与区别
诱导公式二：诱导公式二是sin(π - α) = sinα和cos(π - α) = -cosα，与 诱导公式五不同，它描述的是角度与直角相差π时的正弦和余弦函数的关 系。
诱导公式三：诱导公式三是sin(π/2 + α) = cosα和cos(π/2 + α) = sinα，与诱导公式五形式相似，但操作的是加π/2而不是减π/2，因此具
诱导公式五和诱导公式六都是描述三角函数之间的转换关系，但具体形式和转换 方式有所不同。诱导公式五描述的是sinα和cosα的负角度关系，而诱导公式六描 述的是与直角相差π/2的角度关系。
与其他诱导公式的区别
除了诱导公式五和六，还有其他一些诱导公式如诱导公式一、二、三等，它们各 自描述了不同角度变换下三角函数的转换关系。每个诱导公式都有其特定的应用 场景和用途，需要在实际问题中灵活选择运用。
自测题与答案
• 自测题部分，可以根据上述的常见题型和难题，设计一些具有 代表性和挑战性的题目，供考生自我检测学习成果。答案部分 则应详细列出每道题的解题步骤和最终结果，以便考生核对和 查漏补缺。
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难题解析与思维拓展
01
难题一：复合角度求值
02
• 角度不是直接给出的，而是需要通过其他条件间接求出。
03
(完整版)诱导公式总结大全
e an dAl l t h i ng si nt he i r诱导公式1 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan αe an dAl l t 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan α ·cot α＝1 sin α ·csc α＝1 cos α ·sec α＝1 商的关系 sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc α cos α/sin α＝cot α＝csc α/sec α 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
常用的诱导公式有以下六组
常用的诱导公式有以下六组公式一α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等。
设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin (2kπ+α)=sinα（k∈Z）cos(2kπ+α)=cosα（k∈Z）tan (2kπ+α)=tanα（k∈Z）cot（α+2kπ）=cotα （k∈Z）sec(2kπ+α)=secα （k∈Z）csc(2kπ+α)=cscα （k∈Z）公式二π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
设α为任意角，弧度制下的角的表示：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sec（π+α）=－secα csc（π+α）=－cscα 角度制下的角的表示：sin（180°+α）=－sinα cos（180°+α）=－cosαtan（180°+α）=tanα cot（180°+α）=cotαsec（180°+α）=－secα csc（180°+α）=－cscα公式三任意角α与﹣α的三角函数值之间的关系sin(－α)＝﹣sin cos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanαcot(－α)＝=－cotαsec（－α）=secα csc (－α）=－cscα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系。
弧度制下的角的表示：sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotαsec（π－α）=－secα csc（π－α）=cscα角度制下的角的表示：sin（180°－α）=sinα cos（180°－α）=－cosαtan（180°－α）=－tanα cot（180°－α）=－cotαsec（180°－α）=－secα csc（180°－α）=cscα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系。
《三角函数诱导公式五、六》
第2课时 诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程.【知识导学】知识点 诱导公式五、六【新知拓展】(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( )(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．－45 B.35 C.45D ．－35(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.答案 (1)C (2)A (3)－cos α题型一 利用诱导公式五、六求值 例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α).[解] 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.金版点睛诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．[跟踪训练1] 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 综上，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝32或－32.题型二 化简三角函数式 例2 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos αsin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.金版点睛用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α(k ∈Z )和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．[跟踪训练2] (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos (2π＋α).答案 (1)912 (2)见解析解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， 所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型三 利用诱导公式证明三角恒等式 例3 求证：tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1.[证明] ∵左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边．∴原式成立．金版点睛三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练3] 求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.证明 ∵左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立．1．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a 2答案 C解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24 答案 A解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝－2 2.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 2解析 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以 原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.答案 －725解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，∴cos θ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，∴sin θ>0.即θ是第一或第二象限角．综上θ是第二象限角．2．在△ABC 中，下列四个关系中正确的有( ) ①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝sin C ； ③sin A ＋B 2＝sin C 2；④cos A ＋B 2＝sin C 2. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 C解析 因为△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故①正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故②错误；sin A ＋B 2＝sin π－C 2＝cos C2，故③错误；cos A ＋B 2＝cos π－C 2＝sin C2，故④正确．综上，①④正确．故选C.3．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ，对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ；对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C.5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32m 答案 B解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .二、填空题6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.答案 0解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________. 答案 35解析 ∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45>0， ∴85°＋α是第四象限角．∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.8．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C＝________.答案 π2解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.又cos A ＝－3cos(π－B )， ∴cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3， ∴C ＝π－π6－π3＝π2. 三、解答题9．求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (6π－α)tan (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝1. 证明 左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边． ∴原式成立． 10．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．解 cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α， 因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10.B 级：“四能”提升训练1．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值． 解 原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.2．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，但不适合①式，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
诱导公式五、六
第一章
1.3 1.3.2
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公式五和公式六可以概括为： π α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值，前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符 号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章
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第一章
1.3 1.3.2
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3π 1 1 (1)∵cos(α－ )＝－sinα＝ ，∴sinα＝－ ， 2 5 5 2 6 ∵α为第三象限角，∴cosα＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ 5 . (2)∵－1860° ＝－5×360° －60° ， 1 ∴f(－1860° )＝－cos(－5×360° －60° )＝－ . 2
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] f(α)＝
3π sin 2 －α sinα· cos－α· 3π cos 2 －α
cosα＋π
－cosα sinα· cosα· －sinα ＝ ＝－cosα. －cosα
存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
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[分析]
题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用
平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值 和其范围，进一步求出角．
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高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
三角函数诱导公式5和6
三角函数诱导公式5和6三角函数诱导公式是从基础三角函数公式推演出来的结论，下面列出五六两个三角函数诱导公式：一、三角函数诱导公式5：1. cos(α ± β) = cosα·cosβ ± sinα·sinβ2. sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ二、三角函数诱导公式6：1. tan(α ± β) = [tanα ± tanβ]/[1 ± tanα·tanβ]说明：上面的α、β是一些角度的值，其中，α和β可以是具有相同的正弦或余弦函数的锐角，也可以是具有相同的正切函数的钝角。
三角函数诱导公式5和6具有很大的实用价值，首先是可以简化计算，尤其是在求解复杂几何问题时，可以有效减少运算量。
其次，可以方便地得到复杂几何图形的最优解，在对三角形求解时，可以快速求得相应的最优解，因此在现代数学中，三角函数诱导公式5和6被广泛应用。
三角函数诱导公式5的用法：1. 使用三角函数诱导公式5可以简化计算，可以将一个复杂的表达式简化为两个简单的表达式，比如将一个三角函数表达式简单化。
2. 使用该公式可以方便地解决两个相邻角或直角相加减时所形成的三角函数问题，这能够减少计算量。
3. 该诱导公式可以有效地解决复杂的几何问题，如求解三角形的三角形必要条件的问题，利用诱导公式5可以求解出复杂的几何图形。
三角函数诱导公式6的用法：1. 使用该诱导公式可以快速地计算任意两个角度的正切值，从而求解出复杂的几何问题。
2. 可以求解诸如角度相减、相加、相乘和三等分角这类复杂的学科问题。
3. 可以快速求解复杂几何图形最优解，如求三角形最小内接圆圈半径的问题，利用该公式可以轻松解决。
综上所述，三角函数诱导公式5和6的作用由此可见，在现代数学中是非常重要的工具，可有效简化计算，提高效率。
诱导公式五六
感悟提升
易错辨析 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限． [错因分析] 由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
【例 3】
已知
sin f(α)＝
αc－os3π－coπs－2απs－inα－sinπ－－αα＋32π.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限的角，且 cos α－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－313π，求 f(α)的值． [思路探索] 本题充分利用诱导公式进行化简求值．
新知探究
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三 角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
【活学活用 3】 已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三 象限角，求sinco－sαπ2－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)的值． 解 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 由 α 是第三象限角，得 sin α＝－35，则 cos α＝－45，
2πsi－n ααc＋os32π32cπo－s ααc＋os32π6π－α＝－tan
α.
[思路探索] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行
化简推出右边．
证明 左边＝sintan2π－－απ2·－－αsi·ncoαs·2cπo－s － π2－αα
诱导公式五、六 课件
∴cos(π4－α)>0，
－sin2π4－α ＝
1－a2
，sin(
5π 4
＋α)＝
sin[π＋(π4＋α)]
＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4＋α)]
＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
诱导公式的使用 已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)．
[错解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(4π－α)]＝cos(4π－α)＝ 1－a2.
D. 1－m2
[答案] A
已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不 好，在sin[32π－(π4－α)]中，要把“4π－α”看成锐角来确定三角 函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组17个公式，公式较多，易 错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4，
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，
诱导公式五六课件
[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
Байду номын сангаас
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 . cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝32m. 故选 D.
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相 互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”， 是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角 α 可以是一个 单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
温馨 提 示
请 做：课时作业 44
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第五章
三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
[目标] 1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 五、六；2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值．
[重点] 诱导公式五、六的应用． [难点] 诱导公式的推导与证明．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
D．－ 1－a2
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )
22 A. 3
B．－2 3 2
1 C.3
D．－13
解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13.
诱导公式五、六
(1)因为(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝1－－79＝196， 又 sin α－cos α>0， 所以 sin α－cos α＝43. (2)cos2(π2＋α)－cos2 (－α) ＝sin2 α－cos2 α ＝(sin α＋cos α)(sin α－cos α) ＝ 32×43＝492.
cosπ2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，
cosπ2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，
所以原式＝co－s αco·ssinαα＋sin
α·（－sin －sin α
α）
＝－sin α＋sin α＝0.
本部分内容讲解结束
3．已知角 α 的终边在第二象限，且与单位圆交于点 P(a，35)， 求sin（π2＋2coαs）（＋32π2－sinα（）π2－α）的值．
解：因为角 α 的终边在第二象限且与单位)，
所以 a＝－45，所以 sin α＝35，cos α＝－45，
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
第五章 三角函数
考点
学习目标
诱导公式五、 掌握诱导公式五、六的推导过
六
程
诱导公式的应 能利用诱导公式解决简单的求
用
值、化简与证明问题
核心素养 逻辑推理 数学运算、 逻辑推理
问题导学 预习教材 P191－P193，并思考以下问题： 1.π2－α 的终边与 α 的终边有怎样的对称关系？ 2．诱导公式五、六的内容是什么？
1－cos2α＝－2
3
2 .
sin 95°＋cos 175°的值为________． 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0.
《诱导公式五、六》三角函数
诱导公式五、六的作用
诱导公式五、六是三角函数计算中的重要工具，它们可以帮 助我们将任意角度的正弦和余弦值转化为已知的角度。
在三角函数的应用中，例如在物理学、工程学、几何学等领 域，诱导公式五、六被广泛使用来解决各种问题。
02
诱导公式五、六在三角函 数中的应用
利用诱导公式五、六化简三角函数式
总结词
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
《诱导公式五、六》三角函 数
2023-11-06
目录
• 诱导公式五、六的介绍 • 诱导公式五、六在三角函数中的应用 • 诱导公式五、六在实际问题中的应用 • 诱导公式五、六的扩展知识
01
诱导公式五、六的介绍
诱导公式五、六的来源
诱导公式五、六是三角函数中重要的恒等式，它们来源于三角函数的周期性和对 称性。
如何记忆诱导公式五、六
总结规律：诱导公式五、六属于三角函数的诱导公式之 一，其记忆规律可总结为“奇变偶不变，符号看象限” 。其中“奇变偶不变”指对于形如$90^\circ + a$或 $270^\circ - a$的角，在诱导公式中可直接把角看作 锐角或钝角，也可以把角看作是$90^\circ$的整数倍 加上一个任意角，此时奇变偶不变；“符号看象限”指 在把角看作锐角或钝角时，需要记忆一些特殊角的三角 函数值，以便在计算时能够快速判断正负号。
三角函数的诱导公式五六
sin cos
16
题型三 利用诱导公式进行证明
[例 3]
求证: 2sin
3 2
π
cos
π 2
1
=
tan 9π 1 .
1
2 cos2
3 2
π
tan π 1
证明:因为左边=
2sin
3 2
π
sin
1
=
2
sin
π
π 2
sin
1
1 2sin2
1 2sin2
2
2
(C) 3 (D)- 3
2
2
解析:因为 sin(3π+α)=-sin α=- 1 ,所以 sin α= 1 .
2
2
所以 cos( 7π -α)=cos( 3π -α)=-cos( π -α)=-sin α=- 1 .
2
2
2
2
3.若 sin(θ+ 3π )>0,cos( π -θ)>0,则角θ的终边位于(
=
2sin
π 2
sin
1
=
2sin cos 1
= sin cos 2 = sin cos ,
1 2sin2
sin2 cos2 2sin2 sin2 cos2 sin cos
右边=
tan
1 =
sin cos
1 =
sin
cos
.所以左边=右边.故原等式成立.
tan 1 sin 1 sin cos
=sin α·sin α=sin2α.
答案:sin2α
课堂探究·素养提升
题型一 利用诱导公式解决给角(或值)求值
[例 1] 已知 sin( π -α)= 1 ,求 cos( π +α)的值.
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(二)诱导公式五六教案
３ 三角函数的诱导公式（二）诱导公式五六一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,22ππαα-+与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。
教学目的：引导学生如何利用终边上点的坐标探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。
二、教学过程 １．理解,22ππαα-+与α的正弦、余弦、正切值的关系 ①2πα-与α终边的对称性；②观察终边与单位圆交点坐标关系； ③得出2πα-与α的关系式。
④πα+与α的关系式由推导得出。
④总结：2α±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
⑤推论：总结：2α±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
２．利用诱导公式一五六七八求值、化简例 已知33)6sin(=+απ，求)3cos(απ-的值。
33 例 11sin(2)cos()cos()29cos()sin(3)sin()sin()2ππαπααππαπαπαα-+-----+＝ ；1cos α 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．化简：sin(2)cos()55cos()sin()22παπαπαπα--=+-；１ ２．已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπ++--=x f ，求)331(πf 的值．21 ３．已知θθcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两根， （１）求)2(sin )2(cos 33θπθπ++-的值；22- （２）求θθπtan 1)tan(--的值．12+ ４．已知α是第三象限角，且)sin()tan()23tan()2cos()sin()(απαπαπαπαπα-------=f ， （１）化简)(αf ；αcos - （２）若51)23cos(=-πα，求)(αf 的值；552 （３）若︒-=1920α，求)(αf ．21 五、课后作业 同步练习１．在ABC ∆中，已知512cos =+B A ，则2cos C （ Ｃ ） Ａ．51- Ｂ．51 Ｃ．562Ｄ．5- ２．已知31)2sin(=+πα，)0,2(πα-∈，则αtan 等于（ Ａ ） Ａ．22- Ｂ．22 Ｃ．42-Ｄ．42３．若73)2sin(=+θπ，则=-)2(cos 2θπ 4940 ． ４．设a =+)78tan(πα，则1513sin()3cos()772022sin()cos()77ππααππαα++-=--+ 13++a a ． ５．已知552sin =α，求)25cos()25sin()tan(απαππα-+++的值．25± ６．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆对应三个内角的正弦值． （１）111A B C ∆是锐角三角形吗？是（２）试借助诱导公式证明222A B C ∆必有一个内角为钝角．（用反证法） ７．已知)2cos(|)2cos(|απαπ+=-，求角α的取值集合． },222|{Z k k k ∈+≤≤+ππαππα。
《诱导公式五、六》三角函数PPT
变?哪些函数名称改变了?
提示:公式一、二、三、四中函数名称没有改变,公式五、六中
函数名称改变了.
2.填空
π
诱导公式一~六可以概括为:α+k· (k∈Z)的三角函数值,等于α的
2
同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值,前面加上一个将α
探究学习
探究一
探究二
探究三
解:由已知得
思想方法
随堂演练
sin = 2sin ①,
3cos = 2cos ②,
由①2+②2,得 2cos2A=1,
2
∴cos A=±2 .
2
3
当 cos A= 2 时,cos B= 2 .
π
π
又 A,B 是三角形的内角,∴A=4,B=6.
7
∴C=π-(A+B)=12 π.
当
2
3
cos A=- 2 时,cos B=- 2 .
又 A,B 是三角形的内角,
3
5
∴A=4 π,B=6 π,A+B>π,不符合题意.
π
π
7
综上可知,A=4,B=6,C=12 π.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
反思感悟 在△ABC中,常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系,一般常见的互余关
π
3
2π π
-α; +α
3
4
π
π
6
3
3π
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第五章 5．3 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课堂互动探究
第五章 5．3 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型一 利用诱导公式化简求值
【典例 1】 (1)已知 cosπ2＋α＝－35，且 α 是第二象限角，
则 sinα－32π的结果是(
)
4 A.5
B．－45
C．±45
3 D.5
(2)化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－－ααscinos－π2－ π＋ααcosisn725π2π－＋αα ＝______. [思路导引] 利用诱导公式先化简再求值．
第五章 5．3 第2课时
[解] (1)cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－3π＋α ＝－cos6π－α·sinπ3＋α ＝－cos6π－α·sinπ2－6π－α ＝－cos6π－α·cos6π－α ＝－13×13＝－19.
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第五章 5．3 第2课时
第五章 5．3 第2课时
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[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________.
[解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
第五章 5．3 第2课时
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2．化简：csoinsπα－－απ·sinα－π2cos2π＋α. [解] 原式＝cos[－sinπα－α]·sin－π2－α(－sinα) ＝cossiπn－α α·－sinπ2－α(－sinα) ＝－sicnoαsα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.
5
6 .
第五章 5．3 第2课时
(3)f－331π＝－cos－313π ＝－cos－6×2π＋53π＝－cos53π ＝－cos3π＝－12.
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第五章 5．3 第2课时
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课堂归纳小结
1．诱导公式五、六反映的是角2π±α 与 α 的三角函数值之间
的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
[证明]
左边＝tan2πs－inαα＋co3s2π32πc－osαα＋co3s2π6π－α
＝tan－－αco－sαssiinnααcosα
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα＝右边，
所以原等式成立．
第五章 5．3 第2课时
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三角式恒等证明的原则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右 边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常 用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要 熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
(2) 已 知
cosα
＝
－
4 5
，
且
α
为第三象限角．求
f(α) ＝
tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
第五章 5．3 第2课时
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[思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；求解；(2)利用诱导 公式化简求值．
所在的象
限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定
原函数值的符号.
第五章 5．3 第2课时
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请做：随堂巩固验收
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[答案] D
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5．已知 f(α)＝ sinπ－coαsc2πo－s2απs－inα－coπs－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 为第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
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(1)整体代换，寻找角之间的关系：对于一些给值(式)求值问 题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互 余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．
①常见的互余关系有：π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4 －α 等．
②常见的互补关系有：π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等．
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第
五
三角函数
章
第五章 三角函数
5．3
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诱导公式
第五章 5．3 第2课时
第 2 课时
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诱导公式五、六
第五章 5．3 第2课时
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课前自主预习
第五章 5．3 第2课时
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1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、六的推导过程． 2．运用公式五、六进行有关计算与证明． 3．掌握六组诱导公式并能灵活运用．
(2)原式＝－csoinsαα··s－inαc·o[s－αs·isninπα－·coαs]3s2πin－2πα＋ α ＝s－inαsi·n－α·csoinsαα＝tanα
[答案] (1)B (2)tanα
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用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
第五章 5．3 第2课时
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(2)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行 的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化 弦，以保证三角函数名最少．
(3)对于 π±α 和2π±α 这两组诱导公式，切记运用前一组公式不 变名，而运用后一组公式必须变名．
第五章 5．3 第2课时
第五章 5．3 第2课时
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＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边， 所以原等式成立.
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题型三 诱导公式的综合应用
【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的 值．
第五章 5．3 第2课时
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1．在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关 系？
[答案] ∵A＋B＋C＝π， ∴A2＝2π－B＋2 C， ∴sinA2＝sin2π－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C
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[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1.
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[证明] 右边＝－2sin321π－－2θs·in－2θsinθ－1 ＝2sinπ＋1－π2－2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1 ＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
2．诱导公式一～六可归纳为
π k·2±α
的形式，可概括为“奇
变偶不变，符号看象限”
第五章 5．3 第2课时
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(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.
(2)“奇”、“偶”是对诱导公式
π k·2±α
中的整数
k
来讲的．
(3)“象限”指
π k·2±α
中，将
α
看成锐角时，k·π2±α
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2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角 α 可以是任意角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cosα.( )
(3)sin32π－α＝cosα.(
)
(4)若 α＋β＝90°，则 sinα＝cosβ.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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[解] (1)f(α)＝ssiinnαα[c－ossαin－πs＋inαα]
＝cosαsi－nαsinα＝－cosα
(2)∵cosα－32π＝－sinα＝15，∴sinα＝－15， 又∵α 为第三象限角，
∴cosα＝－
1－sin2α＝－2
5
6，∴f(α)＝2
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[针对训练]
4．已知 cos(75°＋α)＝13，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值
是( )
1
2
A.3
B.3
C．－13
D．－23
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[解析] sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋ cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋ α)＝－23.故选 D.
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(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角， 所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35. 所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα ＝－－3545×－35＝－290.
第五章 5．3 第2课时
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题型二 利用诱导公式证明三角恒等式
【典例 2】 [思路导引]