相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
相似原理与量纲分析
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
第四章 相似原理与量纲分析
Cu = CL
2 L 5/ 2 L
= Cu C A = C C L = C CL CL = = CL 时间比尺： C t = Cu CL
流量比尺： CQ
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
(Re ) p = (Re )m
Lpu p
一般原、模型中的流体性质相同 即
C值用公制和英制就具有不同的结果。
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
§4-6 量纲分析之一 ---- 雷立法
如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各 有关因素（变量）的数目
( y, x1 , x2 ⋯ xn )
α1 α2
并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示 即：
y = Kx1 x 2 ⋯ x n
−1 −3 α1 −1 −1 α2
α3
α1+α2
−3α1−α2 +α3
[T]
−α2
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
由量纲和谐原则得：
[M ]
0 = α1 + α 2
1 = −3α1 − α 2 + α 3
[L ]
[T ]
：
− 1 = −α 2
Vc = Kρ µd
−1 −1
α1 = −1 ⇒ α2 = 1 α 3 = −1
νp
=
Lm um
νm
ν p =νm
Lm = um L p
up
1 Cu = CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 = CL 流量比尺：CQ = Cu C A = C ⋅ CL
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
相似原理与量纲分析
一个物理现象往往包含许多影响因素，这些影响因 素并非彼此孤立，其间关系由描述该现象的微分方程 规定。各物理量的相似倍数之间必定存在特定的制约 关系——准数（相似准则）。 物理相似：影响物理现象的所有物理量场分别相似的总 和。 必须是同类现象才能相似； 受描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相似倍 数间有特定的制约关系——准数 ； 物理量的时间性和空间性——对应瞬间、对应空间点 。
17
前面三个问题的答案 （1）实验时测量各相似准数中包含的全 部物理量； （2）将实验结果整理成准数关联式； （3）实验结果可以推广应用到与模型相 似的系统。
设计模型实验时，为使实验设备与实际设备中的现象 相似，必须保证模型与原型现象的定解条件相似，且 同名的已定准数值相等。
18
1.3.6 三种传递过程的类比分析
第一章 流体力基础
——相似理论和量纲分析
西安建筑科技大学 粉体工程研究所
1
1.3.5 相似理论和量纲分析
• • • • • • 引言 物理相似的基本概念 量纲分析 相似准数 量纲分析优点 相似原理
2
引言
实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳， 解决科技问题往往离不开实验手段的配合。 流体力学中的实验主要有两种： a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造 的大型机械或水工结构上的流动情况； b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流 动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和 量纲分析。
du 1 2 ρ ρFb P μ u μ u d 3
能量传递
de q k 2 P T- u d de 2 ρ k T-P u μφ q d
质量传递
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
相似性原理和量纲分析
tp tm
lp lm
vp vm
t
v2 l
4
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
5
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
6
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的
24
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表
名称
长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λυ=1
λl λl-1 λl-3 λl
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
25
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
20
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
16
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
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4 相似原理与量纲分析4.0 本章主要内容导读通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。
实验方法通常包括直接实验法和模型研究法。
由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)，此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。
模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体实践方法则是量纲分析。
本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图4-1所示。
图4-1 第四章主要内容导读4.1 相似原理4.1.1相似的基本概念遵循同一物理方程的现象称为同类现象。
如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。
对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图4-2)：(1)几何相似。
几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。
要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小成比例，方向相同；(3)动力相似。
又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用；对应点上对应作用力成比例。
上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定二个流动相似的主导因素，运动相似则是几何相似和动力相似的表现。
相似的流动一定是同时满足几何相似、运动相似和动力相似的流动。
完全的几何相似一般并不容易达到。
例如，采用小尺寸模型模拟原型时，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多，否则无法按照原型的表面粗糙度成比例缩小而加工出模型的表面粗糙度；在研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比例缩小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；在研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方向的尺寸，受实验空间的限制必须对水平方向采用较大比例尺进行缩小，如果将同样的比例尺用于垂直方向，有可能产生太浅的流动，导致毛细作用影响明显，而且河床的斜率太小会使流动保持层流。
因此，研究河流流动时往往采用畸变模型——垂直方向的比例尺比水平方向大得多。
对于其它传输现象，还需要满足其它相似条件，例如热相似。
图4-2 几何相似、运动相似与动力相似为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。
以匀速运动为例，原型与模型之间必须首先满足τττC C l l C v v m p l m p v m p ===///公式中的C v 、C l 、C τ称为速度、位移和时间的相似常数。
根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足1==lv C C C C τ 公式中的C 称为相似指标。
上式也可以表示为 mm m l l l l v l v ττ= 因此，也可以根据综合数群v τ/l 判断原型与模型是否相似，这种用于判断原型与模型是否相似的综合数群称为相似准数(similarity parameters)。
动量传输中的常用相似准数(1)雷诺数(Renolds number)Re雷诺数表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动中粘性力的影响程度。
具体定义式和作用已在第三章进行过介绍。
(2)弗劳德数(Froude number)Fr弗劳德数表示惯性力和重力之比，可以表示为glv Fr = 弗劳德数反映了流体流动中重力的影响程度，是具有自由液面的液体流动时最重要的相似准数。
在某些流动情况下，流体的粘性力和重力、惯性力同样重要，此时需要同时考虑雷诺数和弗劳德数。
同时满足雷诺数和弗劳德数相等的唯一方法是在模型中采用粘度不同于原型流体的流体。
(3)欧拉数(Euler number)Eu欧拉数表示压力(压差力)和惯性力之比，可以表示为2v p Eu ρ= (4)斯特劳哈尔数(Strouhal number)Sr斯特劳哈尔数表示区域惯性力和对流惯性力之比，可以表示为vl Sr ω= 斯特劳哈尔数反映了流体运动随时间变化的情况，是研究非稳定流动和脉动流动时的重要相似准数。
(5)马赫数(Mach number)Ma马赫数表示弹性力和惯性力之比，反映了流动的压缩程度，适用于流体压缩程度很大时，已在第一章进行过介绍。
(6)韦伯数(Weber number)Wb韦伯数表示惯性力与表面张力之比，可以表示为σρl v Wb 2=韦伯数适用于研究气液、液液及液固交界面上有显著表面张力作用的情况。
(7)牛顿数(Newton number)Ne牛顿数表示外力与流体惯性力之比，可以表示为22l v F Ne ρ= 当外力为阻力F d 或者升力F L 时，牛顿数Ne 可以表示为L 22f 22C L v F N C L v F N L e d e ====ρρ 公式中的C f 为阻力系数，C L 为升力系数。
4.1.2相似三定律根据上一小节的介绍，用模型研究法进行实验研究必须保证模型与原型对应的物理现象彼此相似，相似三定律告诉我们如何判断原型与模型对应的物理现象是否相似以及彼此相似现象的性质。
4.1.2.1相似第一定律相似第一定律：彼此相似的现象必定具有数值相同的同名相似准数。
相似第一定律是现象相似的必要条件，它揭示了相似现象的基本性质——相似准数相等。
相似准数相等等同于相似指标等于一，因此也可以将相似第一定律表示为“彼此相似现象的相似指标等于一。
”4.1.2.2相似第二定律相似第二定律：凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等，这些现象必定相似。
相似第二定律反映了现象相似的三个充分必要条件——同类现象、定解条件相似、相似准数相等。
有些教材中将该定律中的“定解条件相似”描述成“单值条件相似”，即要求同时满足几何相似、物理相似和定解条件相似(初始条件相似、边界条件相似)。
4.1.2.3相似第三定律相似第三定律：描述某现象的各种量之间的关系式可以表示成相似准数之间的函数关系，即0),,,(21=n F πππ这种关系式称为准数方程。
相似第三定律反映了实验数据的处理方法——将物理量的关系表示为准数方程形式。
根据相似第三定律，任何定解问题的积分结果都可以表示成由这一定解问题所导出的相似准数之间的函数关系——准数方程，方程中的每个准数由有关物理量构成，所以准数方程实际上就是定解问题的解。
当需要用实验手段找出具体准数方程时，实验的变量不是一般的物理变量，而是由物理量构成的独立的无量纲相似准数，使实验变量的个数大大减少。
实际应用中，常将准数方程表示为如下形式m n i f m i i ，，已定已定已定未定,1),,,(21==ππππ对准数方程进一步处理的理论依据是白金汉π定理(见4.2.3)，因此有许多教材将白金汉π定理称为相似第二定律，而将上面的相似第二定律称为相似第三定律。
例4-1 模型车与原型车的相似一辆新型两厢车在25℃时的时速是80km/h ，工程师建立了一个1/5尺寸的模型车进行风洞测试，风洞中的温度为5℃，风洞的速度达到多少才能保证模型与原型的相似？例4-1图假设：(1)空气为不可压缩流体(待验证)；(2)风洞壁面离模型车足够远，对空气阻力无影响；(3)模型与原型几何相似；(4)风洞有一个移动带来模拟汽车下的地面(以达到流动中每一处特别是汽车下的地面处的动力学相似)。
解：该问题属于前面介绍的外部流动问题，相关物理量为空气阻力F d 、汽车速度v 、特征长度L 、空气密度ρ和粘度µ。
该问题可以表示为),,,(d μρL v f F =相应的准数方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===μρρvL f Re f L v F C )(22d f 显然，必须保证雷诺数Re 相等才能满足模型与原型的相似，因此有pp p p p p m m m m m m L v Re L v Re μρπμρπ=====,2,2 即4km/h 355kg/m 27.1kg/m 185.1s)kg/(m 1035.18s)kg/(m 104.17km/h 803366=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯⋅⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--m p m p p m p m L L v v ρρμμ 这个速度非常大(大约为100m/s)，一般的风洞在该速度下难以运行。
而且这样的高速度下，空气的不可压缩假设可能不能成立(Ma≈0.3)。
对该问题可以采取以下几种解决方法：(1)采用大的风洞(汽车制造商一般在非常大型的风洞中测试，对轿车采用3/8尺寸模型，对货车和公共汽车采用1/8尺寸模型)；(2)采用其它流体进行实验。
根据相似第二定律，即使采用不同的流体进行实验，只要相应的相似准数相等，原型与模型就可以保持彼此相似，因此汽车、飞行器可以在水洞中进行相似实验，而潜艇可以在风洞中进行相似实验。
对同样尺寸的模型，水洞所需速度远远低于风洞速度(对本问题，水洞所需速度约为11m/s)；(3)对风洞加压和/或调节温度(效果有限)；(4)在接近最大速度的几个速度下进行风洞实验，然后根据自模化外推到全尺寸雷诺数情况(见4.3节)。
4.2 量纲分析相似原理告诉我们相似准数是判断模型与原型是否相似的关键。
因此，如何获得所研究问题相关的相似准数是研究相似现象的必要步骤。
常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括相似转换法和积分类比法)和定律分析法。
本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。
4.2.1量纲与单位任何物理量都包括大小和种类两方面。
物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的种类则用量纲(dimension ，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。
量纲与单位有以下区别：量纲是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。
同一量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。
量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。
基本量纲是具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 、质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。
无量纲量有两种，一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。