三角函数线
三角函数线
三角函数线
三角函数线是正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线和余割线的总称（有时还包括正矢线、余矢线等，是三角函数的几何表示。
如图：
设任意角a的顶点在原点O（单位圆的圆心），始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，，垂足为点M；过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角a的终边（当a位于第一、第四象限时）或其反向延长线（当a位于第二、第三象限是）相交于点T，于是有sin a=y=MP，cos a=x=OM，tan a=y/x=PM/OM=AT/OA=AT.
我们规定与坐标轴同向时，方向为正方向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，他们统称三角函数线。
（1）三角函数线的意义是可以表示三角函数的值，其长度等于三角
函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负。
（2）因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段，所以作角的三角函数线时，一定要先做单位圆。
（3）有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线
P
T
O
M
A
S OPA SOPA S OAT 1 1 1 2 MP OA 1 AT OA 2 2 2 sin tan
4、比较sin11550与sin(-16540)的大小。
sin11550=sin750 sin(-16540)=sin1460
思考：
• 为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否 给线段OM、MP、AT规定一个适当的方向， 使它们的取值与点P的坐标一致？
当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、 M为终点，规定：
• 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正，且有 正值x； • 当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有 负值x。 • 这样，无论哪一种情况都有
75
P1 P2 M2 O M1
146
sin11550 >sin(-16540)
小结
• 1、 sin y MP
• 2、 • 3、
cos x OM
y tan AT x
• 4、有向线段：既有长度又有方向的线段
• 作业布置：课堂作业P10作业二
1、做出下列各角的三角函数线
• （1） 3
P T
O
M
A
2 • （2） 3
T
M
O
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
• 2、你能从单位圆中的三角函数线出发 得出三角函数的哪些性质吗?
y x
yx
O
3、已知 0， ，在单位圆中作出角 2
的正弦线、正切线，并证明： sin tan
• 当线段AT与y轴同向时，AT的方向为正，且有正 y • 值 ；
三角函数线证明不等式
三角函数线证明不等式
我们要证明的不等式是：对于任意实数x，有sin x ≤x ≤tan x。
第一步，根据三角函数线的基本性质，我们知道在单位圆上，正弦线、余弦线、正切线与x轴围成的面积分别等于1/2、1/4、1/4。
第二步，由于正弦线与x轴围成的面积大于余弦线与x轴围成的面积，所以对于任意实数x，有sin x > cos x。
第三步，由于正切线与x轴围成的面积等于正弦线与x轴围成的面积的一半，所以对于任意实数x，有tan x > sin x。
第四步，由于正弦线与x轴围成的面积小于正切线与x轴围成的面积，所以对于任意实数x，有sin x < tan x。
综上，我们证明了对于任意实数x，有sin x ≤x ≤tan x。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线
三角函数线教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.3.掌握正弦线、余弦线、正切线.教学重点：三角函数在各象限内的符号,掌握三角函数线教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数教学过程：一、基础梳理：（1）单位圆：半径等于_________的圆叫做单位圆.（2）有向线段：带有_____的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；根据上面规定，则OM=x, MP=y ,(3)三角函数线根据正弦、余弦、正切的定义，就有sin _____,cos _____,tan ____.11y y x x y MP AT y x r r x OM OAααα============这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线（4）三角函数在各象限内的符号规律：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正符号的记忆口诀：____________________________________________ 二、自测自评：1.已知角α的正弦线长度为单位长度，那么角α 终边（ ）（A ）在x 轴上 （B ）在y轴上 （C ）在直线y=x上 （D ）在直线y=-x 上2.如果42ππα〈〈，那么下列各式中正确的是（ ）（A ）cos tan sin ααα〈〈（B ）sin cos tan ααα〈〈 （C ）tan sin cos ααα〈〈（D ）cos sin tan ααα〈〈 正切、余切余弦、正割正弦、余割3.sin1_____sin3π(填大于或小于) 三、讲解范例：例1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π例2 若⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ，则角θ为第几象限角？例3 求函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan52. x 取什么值时,xx x tan cos sin +有意义? 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<05．已知θ是第三象限角且cos 02θ<，问2θ是第几象限角？。
高中数学必修四课件：三角函数线
∵S△AOP＝12OA·MP＝12sinα， S扇形AOP＝12α·r2＝12α， S△OAT＝12OA·AT＝12AT＝12tanα， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， ∴12sinα<12α<12tanα，即sinα<α<tanα. (2)∵MP＋OM>OP，又MP＝sinα，OM＝cosα，OP＝1，∴ sinα＋cosα>1.
3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________． 答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
4．函数y＝ sinx＋ －cosx的定义域为________． 答案 {x|2π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}
π的终边为OP1，
4 5
π的终边为OP2，过P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2，
反向T2.则
sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2.
∵M1P1>M2P2，M1P1，M2P2与y轴正方向相同， ∴sin23π>sin45π.
思考题3 比较大小． ①sin15°与sin120°； ②cos40°与cos50°； ③tan105°与tan120°.
【答案】 ①< ②> ③<
例4 求下列函数的定义域． (1)y＝ 2cosx－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
【思路分析】 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束 条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
∠M1OP1＝6π，∠M1OP2＝56π， ∴满足sinα≥12的α的集合为 {α|2kπ＋6π≤α≤2kπ＋56π，k∈Z}．
例2 利用单位圆证明当α∈(0，π2)时，求证：
(1)sinα<α<tanα；
(2)sinα＋cosα>1.
三角函数线的作法
O
A(1,0)
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边 y
P(x , y)
P(x , y)
A
O
x
A
O
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边 y
T
P(x , y)
P(x , y)
O
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边 y
T
P(x , y)
P(x , y)
A
O
x
A
O
x
T
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
的终边 的终边 y
T
P(x , y)
P(x , y)
A
O
x
A
O
x
T
其大小恰为 y ？
y
x
AT = x
y T 的终边
P(x , y)
O
A(1,0)
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
想一想：
由于tan = y ，能否找到使x = 1的点？
x
过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使
其大小恰为 y ？
y
x
AT = x
即 tan= y =AT， AT是的正x 切线．
y T 的终边
过A(1,0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)
交于T点，AT为所求.
1.2.1.2三角函数线
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
对三角函数线的理解 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定 的有向线段的数值可以用来表示三角函数值． (2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时， 也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠 倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不 从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
(1)
(2)
1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
终边．
题型二 三角函数线的简单运用 π π 【例 2】 (2012· 聊城高一检测)如果4<α<2，那么下列不等式成 立的是( )． B．tan α<sin α<cos α D．cos α<tan α<sin α
π 2π ∴x∈2kπ＋3，2kπ＋ 3 (k∈Z)．(6 1－ (2)如图所示，∵ 1＋
分)
2cos x>0， 2cos x≥0，
2 2 ∴－ 2 ≤cos x< 2 ，(9 分)
π 3π 5π 7π ∴ x ∈ 2kπ＋4，2kπ＋ 4 ∪ 2kπ＋ 4 ，2kπ＋ 4 (k ∈ Z) ，即 π 3π kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)(12 4 4
三角函数线及其应用
三角函数的一种几何表示--三角函数线
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
人教高中数学必修四 1.2.1三角函数线 课件(共30张PPT)
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y
1
6
y
1
2
O 1x
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线
,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.
又
sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α
的
终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,
即
cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>
−
23.
由
cos
x≥−
1 2
,
四个象限的三角函数线
四个象限的三角函数线四个象限的三角函数线是数学中的重要概念，为各种复杂运算提供了可靠的理论框架，而且在日常生活中也有很多应用。
本文将从四个象限分别介绍三角函数线，让读者对三角函数线有更深刻的理解。
一、第一象限中的三角函数线第一象限也称为正象限，形成的三角函数线是正的，正的三角函数线是由“正角度”、“正比例常数”和“正比例因数”组成的，正角度即角度的绝对值小于180度。
正比例常数是对应于单位角的正y值的唯一定值，能够体现出上升或下降趋势。
正比例因数是和正比例常数一起确定每个角度上y值的定值，表明所给角度上y值是基于正比例常数进行改变的。
二、第二象限中的三角函数线第二象限是“负象限”，其形成的三角函数线是负的，所有的三角函数线的结构都是一样的，由“负角度”、“负比例常数”和“负比例因数”组成。
负角度即角度的绝对值大于180度；负比例常数是对应于单位角的负值y，体现出负趋势；负比例因数是和负比例常数一起决定每个角度上y值的定值，表明每个角度上y值是基于负比例常数进行改变的。
三、第三象限中的三角函数线第三象限也是“负象限”，所形成的三个象限的三角函数线是负的。
由于y的值已变为负，所以其结构是由“负角度”、正比例常数和“正比例因数”组成。
所以，正比例常数已改变其性质，用来表达下降趋势。
而正比例因数是和正比例常数一起确定每个角度上y值的定值，也可以体现出每个角度上y值是基于正比例常数的变换。
四、第四象限中的三角函数线第四象限也是“正象限”，由于y的值改变，所以其结构是由“正角度”、负比例常数和“负比例因数”组成的，正角度表示角度的绝对值小于180度；负比例常数是对应于单位角的负值y，表示上升性质；负比例因数是和负比例常数一起确定每个角度上y值的定值。
总之，四个象限中的三角函数线各不相同，由变换而产生，而每个象限都有自己各自定义的结构式，如正角度、正比例常数、负角度、正比例因数、负比例常数和负比例因数。
也就是说，只有识别出每个结构的独特性，读者才能深入理解三角函数线，进而使用它们在日常生活中，去做出正确的决策。
三角函数线
1 单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段：有大小和方向的线段。
3，正弦线作法：
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线，当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且y有正值；当线段MP与y 轴反向时，MP的方向为负向，且y有负值。
同理可得余弦线等其它线。
正弦线的方向以上为正，且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P，
余弦线的方向以右为正，且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M，
4. 正切线作法：
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从（1，0）指向角终边所在直线，
且正切线永远在y轴右边，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。
角终边落在1、3象限正切线为正，2、4象限时正切线为负，
常用的三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作X轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写时要带上方向符号。
五、三角函数线的应用。
三角函数中线定理公式
三角函数中线定理公式一、正弦定理正弦定理描述了一个三角形中，每条边的长度与对应角的正弦值之间的关系。
设一个三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们对应的边长分别为a、b、c，以及对应的角度分别为α、β、γ，则正弦定理可以表达为：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理可以简化为以下形式：sinα/a = sinβ/b = sinγ/c正弦定理可以用来计算未知角度或边长的具体数值，只要知道其他已知量即可。
例如，已知一个三角形的两个角和边长，可以利用正弦定理求解第三个角或边长。
二、余弦定理余弦定理描述了一个三角形中，每条边的长度与对应角的余弦值之间的关系。
设一个三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们对应的边长分别为a、b、c，以及对应的角度分别为α、β、γ，则余弦定理可以表达为：a² = b² + c² - 2bc cos αb² = a² + c² - 2ac cos βc² = a² + b² - 2ab cos γ余弦定理可以用来计算未知角度或边长的具体数值，只要知道其他已知量即可。
例如，已知一个三角形的两个角和边长，可以利用余弦定理求解第三个角或边长。
三、正切定理正切定理描述了一个三角形中，每条边的长度与对应角的正切值之间的关系。
设一个三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们对应的边长分别为a、b、c，以及对应的角度分别为α、β、γ，则正切定理可以表达为：tan α = a/btan β = b/atan γ = a/b正切定理可以用来计算未知角度或边长的具体数值，只要知道其他已知量即可。
例如，已知一个三角形的两个角和边长，可以利用正切定理求解第三个角或边长。
综上所述，三角函数中的线定理是非常重要的概念，帮助我们研究和理解三角形的性质和关系。
通过正弦定理、余弦定理和正切定理，我们可以计算未知角度或边长的具体数值，解决各类三角形的相关问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业：
1 P17 2,3
练习
3 cos 2
拓展：三角函数的面积法定义
2002年，由中科院院士张 景中提出。他把边长为1， 夹角为 的菱形的面积定 义为 sin ，由此研 究正弦的性质，到处理余 弦，用面积的方法证明大 量几何问题，把三角学和 几何学打成一片。
小结：
1.有向线段的定义
2. 三角函数线 3. 三角函数线的应用
T/
例2：用三角函数线证明：
(1) sin cos 1
2 2
( 2) | sin | | cos | 1
你还能得到类似的其它结果吗？
例3. 已知α∈(0， )，试证明 2
sinα<α<tanα .
y N O P T x M A
α
例题4
1 己 知sin , 求 角的 集 合 2
α的终边 P
M
y α
三角 函 数 线 yα
的终边
P O y
T
T
x
A(1,0) T
α
O
M A(1,0)
x
sin MP
y
x
A(1,0)
cos OM
tan AT
M A(1,0)
M
α
O
α O
P
α的终边
x P
T
α终边
应用举例:
例1.如图,α、β的终边分别与单位圆交于 点P、Q,过A(1,0)作切线AT交OP于T,交OQ的 反向延长线于T/,P、Q在x轴上的射影为M、N 指出α、β的三角函数线。 y P T Q β α NO M A x
任意角的三角函数的单位圆定义：
sin y cos x y t an
y Ｐ(x,y)
x
x
o
问题:你能否用几何中的 方法表示三角函数？
y
三 角 函 数 线
O
P
α
T
α的终边
x
M A(1,0)
有向线段MP 称为角的正弦线，即 sin MP 有向线段OM称为角的余弦线，即 cos OM 有向线段AT称为角的正切线，即tan AT