高考中的数列问题第1课时

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高考数学必修五第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点等差中项题点等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点等差中项题点等差中项及其应用解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案 6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的通项公式题点求通项公式解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

高考数学一轮复习第6章数列第1课时数列的基本概念课件理

∴an＝32＋·3nb－1
（n≥2），（n＝1）.
【答案】 (1)an＝4n－5 (2)当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠
－1 时，an＝32＋·3nb－1
（n≥2），（n＝1）.
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★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an； (4)写出an的完整表达式．
5．(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an＝
2
＋cos
nπ 3
(n∈N*)，又k∈N*，则( )
A．ak＝ak＋3 C．ak＝ak＋5
B．ak＝ak＋4 D．ak＝ak＋6
答案 D
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6．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是( )
a10－a9＝9. 累加得 a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
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授人以渔
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题型一归纳通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)1，0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
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【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各
项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝

2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.3 数列部分解答题 1 数列的求和问题

【拓展提升】分组转化法求和的常见类型
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用
分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an= cbnn，，nn为为偶奇数数，的数列,其中数列{bn}, {cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn=
(1
1 22
)
5. 64
【拓展提升】 1.用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
2.裂项相消法求数列和的步骤 (1)求通项:利用求通项的常见方法求出数列的通项公式. (2)巧裂项:对数列的通项公式准确裂项,表示为两项之差的形式.
(3)消项求和:把握消项的规律,求和时正负项相消,只剩下首尾若干项,准确求和.
1 2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
考向二错位相减法求和【例2】(2019·温州一模)设数列{an}的前n项和为Sn. 已知2Sn=3n+3①. 世纪金榜导学号 (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足anbn= log3an②,求{bn}的前n项和Tn.
式.
(2)求证:
Sn＞
1 2
4n 1 1 ②,n∈N*.
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
将点的坐标代入函数解析式,构造新数列求解.
②

【高中数学】第4章 4.1 数列的概念(第1课时)

4．1数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解数列的概念，能根据所给的一列数，归纳总结数列的通项公式．2．理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性.1.数学抽象；2．数学运算情境导学树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新的枝条．所以，一株树苗在一段间隔，例如一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发．此后，老枝与“休息”过一年的枝条同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”．这样，一株树苗各个年份的枝数，便构成了一个数列．你能写出这个数列的前10项吗？1．数列的概念及分类(1)定义数列按照确定的顺序排列的一列数项数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a n表示．其中第1项也叫做首项表示a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}(2)分类①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．②从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列． (3)数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．另一方面，对于函数y ＝f (x )，如果f (n )(n ∈N *)有意义，那么f (1)，f (2)，…，f (n )，…构成了一个数列{f (n )}．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(×) (2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．(×) (3){a n }与a n 的意义一样，都表示数列．(×) 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(n 2－1)，则a 6＝( ) A ．35 B ．－11 C ．－35D ．11A 解析：a 6＝(－1)6×(62－1)＝35.故选A ．1．下列各项表示数列的是( ) A ．a ，b ，c ，…，x ，y ，z B ．2 008,2 009,2 010，…，2 017C ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D ．a ＋b ，a －b ，ab ，λaB 解析：数列必须由数组成，A ，C ，D 中均不是数． 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝12(n －1)(n ＋1)，则a 5＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16B 解析：由题意，通项公式为a n ＝12(n －1)(n ＋1)，则a 5＝12×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B ．3．数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定A 解析：因为a n ＋1－a n ＝1>0，即a n ＋1>a n ，故{a n }是递增数列． 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的图象是( ) A ．一条直线B ．一条抛物线C ．一个圆D ．一群孤立的点D 解析：由于n ∈N ＋，所以a n ＝n 2的图象是一群孤立的点．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.3－4n15 解析：∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【例1】下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){1,3,5,7,9}；(2)4,3,2,1,0；(3)所有无理数；(4)1,2,3,4，…；(5)2,2,2,2,2.解：(1)是集合，不是数列；(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．数列及其分类的判定方法：(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．下列说法正确的是( ) A ．1,2,3,4，…，n 是无穷数列 B ．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 C ．同一个数在数列中不能重复出现 D ．数列{2n ＋1}的第6项是13D 解析：A 错误，数列1,2，…，n ，共n 项，是有穷数列． B 错误，数列是有次序的． C 错误，数列中的数可以重复出现． D 正确，当n ＝6时，2×6＋1＝13.【例2】写出下列数列{a n }的一个通项公式： (1)12，2，92，8，252，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)9,99,999,9 999，…；(4)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(5)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (6)4,0,4,0,4,0，….解：(1)先将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n＝n 22. (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为A n ＝2n －1.考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{a n }的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为A n ＝10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1.(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为A n ＝2n －1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为B n ＝(n ＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为C n ＝n ，综合得原数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n2n －1.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ·1n (n ＋1).(6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n 为奇数，0，n 为偶数.该数列也可改写为2＋2,2－2,2＋2,2－2,2＋2,2－2，…，因此其通项公式又可表示为a n ＝2＋2×(－1)n ＋1.【例3】已知数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 是奇数)，2n －2(n 是偶数)，写出这个数列的前3项，并判断该数列的单调性．解：因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 是奇数)，2n －2(n 是偶数)，所以a 1＝3×1＋1＝4，a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10. 因为a 1>a 2，a 3>a 2，所以数列{a n }不具有单调性．(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住分式中分子、分母的特征，相邻项的变化特征，拆项后的特征，各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳得出的结果不一定是可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．写出下列数列{a n }的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14，…；(2)3，3，15，21，…； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；(4)3,5,3,5，….解：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看作是自然数数列的倒数，故该数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n.(2)数列可化为3，9，15，21，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数的通项公式为 A n ＝2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3(2n －1)＝6n －3.(3)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以该数列的通项公式的一种表示方法为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n 为奇数，5，n 为偶数.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋52＝4,4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n .【例4】在数列{a n }中，a n ＝n 2－8n . (1)画出{a n }的图象；(2)根据图象写出数列{a n }的增减性．解：(1)列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … a n－7－12－15－16－15－12－79…n ，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…. 图象如图所示．(2)数列{a n }在n ＝1,2,3,4时是递减的，在n ＝5,6,7，…时是递增的．【例5】数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列A 解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1中，a n ＝2n3n ＋1，a n ＋1－a n ＝2n ＋23n ＋4－2n 3n ＋1＝2(3n ＋1)(3n ＋4)＞0，所以a n ＜a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1是递增数列．1．画数列的图象的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n ，a n )描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n })，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 2．判断数列增减性的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n ＋1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法： ①若a n ＞0，则当a n ＋1a n ＞1时，数列{a n }是递增数列；当a n ＋1a n ＜1时，数列{a n }是递减数列；当a n ＋1a n ＝1时，数列{a n }是常数列． ②若a n ＜0，则当a n ＋1a n ＜1时，数列{a n }是递增数列；当a n ＋1a n＞1时，数列{a n }是递减数列；当a n ＋1a n＝1时，数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }是递减数列，则其通项公式可能是( ) A ．a n ＝2n B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝⎝⎛⎭⎫13nD ．a n ＝log 2nC 解析：由于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 是减函数，故数列a n＝⎝⎛⎭⎫13n是递减数列，选C ． B 解析：令n ＝4，a 4＝42－7×4＋6＝－6，故选B ．2．若通项公式为a n ＝n 2＋bn 的数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围是________． (－3，＋∞) 解析：由题意知a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2＋b (n ＋1)]－(n 2＋bn )＝2n ＋1＋b ＞0恒成立，即2n ＋1＋b ＞0，b ＞－2n －1恒成立，而n ∈N ＋时，－2n －1的最大值为－3(n ＝1时)，所以b ＞－3，即b 的取值范围为(－3，＋∞)．1．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6，则a 4＝( ) A ．2 B ．－6 C ．－2D ．1B 解析：令n ＝4，a 4＝42－7×4＋6＝－6，故选B ． 2．下列说法正确的是( )A ．数列1，－2，－3，－4，…是一个递减数列B ．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8}C ．{a n }和a n 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的A 解析：A 正确；数列－2,3,6,8 不能表示为集合{－2,3,6,8}，数列有次序，集合和元素顺序无关，故B 错误；{a n }表示数列的全部的项，而a n 表示数列的第n 项，不是同一个概念，故C 错误；数列的通项公式可以有多个，故D 错误．故选A ． 3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列A 解析：a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0， ∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A ．1．判断所给对象是否为一个数列，关键看它们是不是按照一定次序排列的数．2．数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，按单调性可分为递增数列、递减数列、常数列．3．已知数列的前几项，按“从特殊到一般”进行归纳．4．已知一个数列的通项公式，只需将项数n代入即可求出其中的任意一项．课时分层作业(一)数列的概念(第1课时)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1数列的概念1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式a n＝(－1)n＋1，也可以是a n＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B．2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是()A．按一定次序排列的一列数叫作数列B．若{a n}表示数列，则a n表示数列的第n项，a n＝f(n)表示数列的通项公式C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D．同一个数列的任意两项均不可能相同ABC解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．3．(5分)下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是代数式B 解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A 正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D 正确．故选B ．知识点2 数列的通项公式4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a 1＝(－1)n ＋1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)A 解析：将n ＝1代入四个选项，可知C 中a 1＝1，D 中，a 1＝1.排除C ，D ．当n ＝3时，代入B 项可得a 3＝－5，排除B ．故选A ． 5．(5分)数列{8n －1}的最小项等于( ) A ．－1 B ．7C ．8D ．不存在B 解析：数列{8n －1}的最小项为a 1＝8×1－1＝7.故选B ．6．(5分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋8(n ∈N *)，则数列的第4项为( )A ．110B ．16C ．14D ．13B 解析：由题意，根据数列{a n }的通项公式，得a 4＝442＋8＝16. 知识点3 数列的函数特性7．(5分)已知数列{a n }满足a 1>0，对一切n ∈N ＋，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定B 解析：因为a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1⎝⎛⎭⎫12n －1. 又a 1>0，则a n >0，所以a n ＋1a n ＝12<1，a n ＋1<a n ，故数列{a n }是递减数列．故选B ．8．(5分)若数列{a n }的通项公式a n ＝2nn ＋1，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．以上都不是A 解析：因为a n ＝2n n ＋1＝2(n ＋1)－2n ＋1＝2－2n ＋1，所以a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫2－2n ＋1－⎝⎛⎭⎫2－2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0.因此数列{a n }是递增数列．故选A ． 9．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝－n 2＋4n ＋21(n ∈N *)，这个数列最大的项是(B)A ．第1项B ．第2项C ．第3项D ．第4项能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．先递增后递减数列D ．常数列A 解析：由已知得a n ＋1－a n ＝3>0，故{a n }为递增数列．11．(5分)数列0，13，12，35，23，…的通项公式为( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝n －1nC ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝n －2n ＋2C 解析：原数列可变形为02，13，24，35，46，…， ∴a n ＝n －1n ＋1. 12．(5分)在数列{a n }中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第10项C ．是原数列的第11项D ．是原数列的第12项C 解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n 项在新数列中是第1＋4(n －1)＝4n －3项．由4n －3＝41，得n ＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C ．13．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C ．12，0，12，0D ．2,0,0A 解析：a 1＝1＋(－1)1＋12＝1＋12＝1； a 2＝1＋(－1)2＋12＝1－12＝0； a 3＝1＋(－1)3＋12＝1＋12＝1； a 4＝1＋(－1)4＋12＝1－12＝0.故选A ． 14.(5分)已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或a ＝－1.又a <0，∴a ＝－1.又a ＋m ＝2，∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.15.(5分)已知数列{a n }中，a n ＝n n －15.6(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为第________项．16 解析：因为a n ＝n n －15.6＝1＋15.6n －15.6.又n ∈N *，所以当n ＝16时，a n 最大. 16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．(1)a n ＝n 2＋12n －1； (2)a n ＝(－1)n －1·2n －13n. 解：(1)当n ＝1时，a 1＝12＋12×1－1＝2；当n ＝2时，a 2＝22＋12×2－1＝53；当n ＝3时，a 3＝32＋12×3－1＝2；当n ＝4时，a 4＝42＋12×4－1＝177；当n ＝5时，a 5＝52＋12×5－1＝269. (2)当n ＝1时，a 1＝(－1)1－1×2×1－13×1＝13；当n ＝2时，a 2＝(－1)2－1×2×2－13×2＝－12；当n ＝3时，a 3＝(－1)3－1×2×3－13×3＝59；当n ＝4时，a 4＝(－1)4－1×2×4－13×4＝－712；当n ＝5时，a 5＝(－1)5－1×2×5－13×5＝35.17.(13分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cn ＋dn －1，且a 2＝32，a 4＝32，求a n 和a 10.解：∵a 2＝32，a 4＝32，代入通项公式a n 中得⎩⎨⎧ 32＝2c ＋d 2，32＝4c ＋d 4，解得c ＝14，d ＝2， ∴a n ＝n 4＋2n ，∴a 10＝104＋210＝2710.。

数列的概念(第一课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

的哪些相关内容?
函数值
=
自变量
项
n
an =
序号
问题1:你能求出这个函数的解析式吗?
数列通项公式
如果数列的第n项与序号n之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.
探究新知

, , , , ⋯

项
序号
1 2 3 4

=

, , , , , … .
解析 (3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察:

, , , , , ⋯ .所以,它的一个通项公式为

=

.

(4)可看作＋,可看作＋,可看作＋,可看作＋,
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学习目标
核心素养
了解数列的概念
掌握数列的几种表示方法
能由数列的递推关系写出数列的通项公式
数学抽象
数学运算
数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
=
, 为偶数, ∈ ∗ .
法二: =
即 =
+ + − + −

−
+
.

=
+ − + −

方法归纳
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列, , , , …的一个通项公式为＝;

2022年高中数学第二章数列4等比数列第1课时练习含解析人教版必修

第1课时一、选择题1．等比数列{a n}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于( )A．1 B．2C．4D．8[答案]　B[解析]　∵a1＝4，a2＝8，∴公比q＝＝2.2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( ) A．3 B．4C．5 D．6[答案]　B[解析]　·()n－1＝，∴()n－1＝＝()3∴n＝4.3．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )A．64B．81C．128D．243[答案]　A[解析]　∵{a n}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( ) A．　B．C．D．2[答案]　B[解析]　设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝＝＝，故选B．5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝9[答案]　B[解析]　由条件知，∵，∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B．6．已知{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，a n>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )A．m>kB．m＝kC．m<kD．m与k的大小随q的值而变化[答案]　C[解析]　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵a n>0，q≠1)．二、填空题7．已知等比数列{a n}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项a n＝__________.[答案]　3·2n－3[解析]　∵，∴∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴a n＝a1q n－1＝3·2n－3.8．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是________．[答案]　－[解析]　∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.三、解答题9．若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．[解析]　∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列，∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．当a＝－4时满足题意，∴a＝－4.10．已知：数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{a n＋1}是等比数列．[证明]　由已知S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*)．当n≥2时，S n＝2S n－1＋n＋4.两式相减得S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)＋1，即a n＋1＝2a n＋1，从而a n＋1＋1＝2(a n＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a2＋a1＝2a1＋6.又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有a n＋1＋1＝2(a n＋1)，n∈N*.又∵a1＝5，a1＋1≠0.从而＝2，即数列{a n＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )A．　B．C．D．或[答案]　C[解析]　∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{a n}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.∴＝＝＝.2．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{b n}的连续三项，则数列{b n}的公比为( )A．B．4C．2D．[答案]　C[解析]　∵a1、a3、a7为等比数列{b n}中的连续三项，∴a＝a1·a7，设{a n}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2，故选C．3．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( ) A．16B．27C．36D．81[答案]　B[解析]　设公比为q，由题意，得，∴q2＝9，∵a n>0，∴q＝3.∴a1＝，∴a4＝a1q3＝，a5＝a1q4＝，∴a4＋a5＝＋＝＝27.4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log a x，log b x，log x( )cA．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列[答案]　C[解析]　＋＝log x a＋log x c＝log x(ac)＝log x b2＝2log x b＝∴，，成等差数列．二、填空题5．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．[答案]　648[解析]　设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.6．在等比数列{a n}中，a n>0，且a n＋2＝a n＋a n＋1，则数列的公比q＝________.[答案]　[解析]　∵a n＋2＝a n＋a n＋1，∴q2a n＝a n＋qa n.∵a n>0，∴q2－q－1＝0，q>0，解得q＝，或q＝(舍去)．三、解答题7．等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.[解析]　(1)设{a n}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{b n}的公差为d，则有解得从而b n＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{b n}的前n项和S n＝＝6n2－22n.8．在各项均为负数的数列{a n}中，已知2a n＝3a n＋1，且a2·a5＝，证明{a n}是等比数列，并求出通项公式．[证明]　∵2a n＝3a n＋1，∴＝，故数列{a n}是公比q＝的等比数列．又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，即a·()5＝()3.由于数列各项均为负数，则a1＝－.∴a n＝－×()n－1＝－()n－2.。

新教材高考数学第一课时等比数列的前n项和公式练习含解析选修2

第一课时等比数列的前n 项和公式课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等比数列的前n 项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友(称为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列问题如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？提示 1＋3＋9＋…＋320＝1－3211－3＝12(321－1).1.等比数列的前n 项和公式应用公式求和，首先要判断公比是否为1，再选择公式已知量首项、公比和项数首项、末项和公比2.当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n－1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 3.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法；(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，可以用这种方法.拓展深化[微判断]1.求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q.(×)提示当q ＝1时，S n ＝na 1.2.等比数列的前n 项和不可以为0.(×)提示可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.3.数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.(×)提示由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n.可以发现b ＝－1时，数列{a n }才为等比数列.4.求数列{n ·2n}的前n 项和可用错位相减法.(√) [微训练]1.在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A.2－128B.2－129C.2－1210D.2－1211解析易知公比q ＝12，则S 10＝1－12101－12＝2－129.答案 B2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则公比q ＝( ) A.1或－1 B.1 C.－1D.12解析由S 3＋S 6＝S 9得S 3＝S 9－S 6，即a 1＋a 2＋a 3＝a 7＋a 8＋a 9＝q 6(a 1＋a 2＋a 3)，则q 6＝1，q ＝±1. 答案 A [微思考]1.若等比数列{a n }的公比q 不为1，其前n 项和为S n ＝Aq n＋B ，则A 与B 有什么关系？提示 A ＝－B .2.等比数列{a n }的前n 项和公式中涉及a 1，a n ，n ，S n ，q 五个量，已知几个量方可以求其它量？提示三个.题型一等比数列前n 项和公式的直接应用【例1】求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081.规律方法求等比数列的前n 项和，要确定首项，公比或首项、末项、公比，应注意公比q ＝1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数.解 (1)法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－（－1）100]1－（－1）＝0.法二数列{(－1)n ＋2}为－1，1，－1，1，…，∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎨⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项. 题型二等比数列前n 项和公式的综合应用【例2】已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ② ∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1， ∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312. 【迁移1】设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . 解当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件.当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2，而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.规律方法等比数列前n 项和公式的运算(1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便. 【训练2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1＝2a n ，则S 5＝( )A.12B.20C.11D.21(2)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A.－2 B.2 C.－3D.3解析 (1)a n ＋2＋a n ＋1＝2a n 等价于a n q 2＋a n q ＝2a n . 因a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即(q ＋2)(q －1)＝0.因为q ≠1，所以q ＝－2，故S 5＝1×[1－（－2）5]1－（－2）＝11，故选C.(2)设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∵a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2. 答案 (1)C (2)B题型三等比数列前n 项和公式的函数特征应用【例3】数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－2.求{a n }的通项公式，并判断{a n }是否是等比数列. 解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 法一由于a 1＝1，a 2＝6，a 3＝18，显然a 1，a 2，a 3，不是等比数列，即{a n }不是等比数列.法二由等比数列{b n }的公比q ≠1时的前n 项和S n ＝A ·q n＋B 满足的条件为A ＝－B ，对比可知S n ＝3n－2，－2≠－1，故{a n }不是等比数列.规律方法已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n－1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列. 【训练3】若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.解析显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13×3n＋t ，∴t ＝－13.答案－13题型四利用错位相减法求数列的前n 项和【例4】求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0). 解当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nxn ＋1＝x （1－x n ）1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x （1－x n ）（1－x ）2－nx n ＋11－x. 综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，x ＝1，x （1－x n）（1－x ）2－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.规律方法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法. 【训练4】求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.解设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *).一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.3.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况. 二、素养训练1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为( ) A.15()510－1 B.14()510－1 C.14()59－1 D.14()511－1 解析 S 10＝1－5101－5＝14(510－1).答案 B2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A.2 B.4 C.152D.172解析由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.答案 C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________.解析 ∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.答案 624.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，前n 项和S n ＝126，则n ＝________. 解析 S n ＝2（1－2n）1－2＝126，即2n ＋1＝128，故n ＋1＝7，n ＝6.答案 65.在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝2（1－q 3）1－q＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.基础达标一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [（－1）n －1]2B.（－1）n ＋1＋12C.（－1）n＋12D.（－1）n－12解析 S n ＝（－1）[1－（－1）n]1－（－1）＝（－1）n－12.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84D.189解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22×21＝84. 答案 C3.等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( ) A.2n－1 B.4n－13C.1－（－4）n3D.1－（－2）n3解析由a 1a 2a 3＝1得a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n－13.答案 B4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( ) A.log 371B.692C.50D.55解析由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n，b n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为55.答案 D5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9（1－q 3）1－q ＝1－q61－q，解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C 二、填空题6.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析由题意设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 327.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ， ∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0. ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n . 又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2（1－3n）1－3＝3n－1.答案 3n －18.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝m ·4n －1＋t (其中m ，t 是常数)，则m t＝________. 解析法一 a 1＝S 1＝m ＋t ， a 2＝S 2－S 1＝3m ，a 3＝S 3－S 2＝12m ，则a 22＝a 1a 3，所以9m 2＝12m (m ＋t )，即m ＝－4t ，故m t ＝－4.法二 S n ＝m ·4n －1＋t ＝14m ·4n ＋t ，因为{a n }是等比数列，故14m ＝－t ，则m t＝－4. 答案－4三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解设数列{a n }的公比为q (q ≠0).由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －1）＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去.故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12(n ∈N *). 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列， ∴S n n＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立). ∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ·3n ＝(2n －1)·3n，∴数列{b n }的前n 项和 T n ＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ， ∴3T n ＝32＋3×33＋…＋(2n －3)×3n ＋(2n －1)×3n ＋1， ∴－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×9（3n －1－1）3－1－(2n －1)×3n ＋1，可得T n ＝3＋(n －1)×3n ＋1.能力提升11.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *).答案 2n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解 (1)因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，所以a n ＋1＝3S n ＋1，当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1.于是a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)⇒a n ＋1－a n ＝3a n ⇒a n ＋1＝4a n . 又当n ＝1时，a 2＝3S 1＋1⇒a 2＝3a 1＋1＝3t ＋1，所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，此时，数列{a n }是等比数列.(2)由(1)，可得a n ＝4n －1，a n ＋1＝4n ，所以b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝4n －1＋n ，那么T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n ) ＝(40＋41＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. 创新猜想13.(多选题)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列说法一定成立的是( )A.若a 3>0，则a 2 021>0B.若a 4>0，则a 2 020>0C.若a 3>0，则S 2 021>0D.若a 3>0，则S 2 021<0解析设数列{a n }的公比为q ，当a 3>0时，a 2 021＝a 3q 2 018>0，A 正确；当a 4>0时，a 2 020＝a 4·q 2 016>0，B 正确. 又当q ≠1时，S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q，当q <0时，1－q >0，1－q 2 021>0，∴S 2 021>0，当0<q <1时，1－q >0，1－q2 021>0，∴S 2 021>0，当q >1时，1－q <0，1－q 2 021<0，∴S 2 021>0. 当q ＝1时，S 2 021＝2 021a 1>0，故C 正确，D 不正确. 答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且公比q >1，若a 2＝2，S 3＝7.则数列{a n }的通项公式a n ＝________，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 ∵a 2＝2，S 3＝7，由S 3＝2q＋2＋2q ＝7，解得q ＝2或q ＝12，又∵q >1，∴q ＝2，故a 1＝1，所以a n ＝2n －1 ∴a 2n ＝4n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1（1－4n ）1－4＝4n －13. 答案 2n －1 4n－13。

2023新教材高中数学第4章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念及简单表示课件新人教A版选择性必修

B．sinπ7，sin27π，sin37π，…
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1， 2， 3，…， 21
C A，B，C为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列， C是递增数列，故选C．
(2)已知下列数列： ①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020，2 021，2 022； ②1，12，14，…，2n1－1，…； ③1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； ④1,0，－1，…，sinn2π，…；
(2)212，414，618，8116，…； [解] 整数部分为自然数的2倍，分数部分的分子均为1，分母是2的正整数次幂，即2n．所以通项公式为an＝2n＋21n．
(3)4,44,444,4 444，…；
[解]
各项都乘
9 4
后变为9,99,999,9
999，…，再均加上1变为
10n．故该数列的通项公式可写为an＝49(10n－1)．
知识点 3 数列的通项公式如果数列{an}的第 n 项 an 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为 an＝f(n)．
2．根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式． (1)2,4,6,8，…； (2)2,4,8,16，…． [解] (1)an＝2n(n∈N*)．
2．已知数列1， 3， 5， 7，…， 2n－1，则3 5是它的( )
2．常见数列的通项公式 (1)数列－1,1，－1,1，…的一个通项公式是an＝(－1)n，数列1，－1,1，－1，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1或(－1)n－1． (2)数列1,2,3,4，…的一个通项公式是an＝n． (3)数列1,3,5,7，…的一个通项公式是an＝2n－1． (4)数列2,4,6,8，…的一个通项公式是an＝2n．

高考总复习一轮数学精品课件第6章数列第4节第1课时分组转化法、并项转化法和错位相减法

例 3(12 分)(2023·全国甲,理 17)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
突破口:已知 Sn 与 an 的关系,可利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)解答.
(2)求数列
+1
2
的前 n 项和 Tn.
+1
1 n
关键点:化简数列得通项公式 2 =n·(2) ,可看作一个等差数列与一个等比数
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第1课时
分组转化法、并项转化法和错位相减法
研考点
精准突破
考点一
分组转化法求和
例1(2024·辽宁锦州模拟)已知数列{an}和{bn}满足an+bn=2n-1,数列{an},{bn}
的前n项和分别记作An,Bn,且An-Bn=n.
(1)求An和Bn;
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,a1≠0,即2a1=a1q+a1q2,
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
n 项和,求 T2n.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
1 + 2 = 10,
1 = 2,
因为 a3=10,a5-2a2=6,所以
解得
= 4,
(1 + 4)-2(1 + ) = 6,
所以 an=2+4(n-1)=4n-2.

《数列》(第一课时)教学设计与反思

《数列》（第一课时）教学设计与反思高。

[方法简述]本节课是《数列》第一节，是一章的学习基础。

但由于是入门的第一节，概念多，知识点多，学生常感到琐碎。

教学中我主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法：首先创设情景，抓住知识的切入点，学生情感和思维的兴奋点；再通过探究性问题的设置来启发学生思考，使非本质特征被一一地剥离,让本质特征更好地被揭示在学生一步步的探索过程中,并在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法；继而通过层层深入的例题配置，巩固加深学生对知识的理解。

高二学生已经具有了一定的观察、归纳能力和一定的学习能力，因此本节课一问题为载体，以学生活动为主线，有意识的留给学生适度的思考空间，让学生在观察中分析，在类比中发现，在思索中概括，在探究中获取新知，帮助学生逐步形成积极探索、合作交流的学习方式。

[目标定位]学习是人对知识的内化过程，只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学规律，才能更有效的促进素质和能力的提高。

在教学中，通过学生的探索，形成并掌握数列的概念、表示法、分类；体会数列是一类特殊的函数，能用函数观点理解数列相关知识；理解数列的通项公式,会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式；在探究过程中，培养学生的观察、类比、归纳、概括能力，提高学生直觉思维能力；渗透从特殊到一般、类比与转化的数学思想；培养学生积极参与、大胆探索、敢于创新的思维品质以及合作意识。

通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心和热爱生活的情感。

[教学设计]一、创设情境，引入概念法1：上课伊始，老师借助多媒体讲述故事：有一个叫杰米的人，有一天他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍.杰米说：真的？你说话算术！合同生效了，第一天杰米支出1分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元，到了第十天，杰米共支出10元2角3分，收入100万元，到了第二十天，杰米共支出1048575元（1万多），收入200万元，杰米想要是合同定两个月，三个月该多好啊！可从第21天开始，情况发生了变化：第21天杰米支出1万多，收入10万元.到第28天，杰米支出134万多，收入10万元，结果杰米在31天得到310万元的同时，共付给韦伯2147483647分，也就是2019多万元，杰米破产了！为什么杰米会破产？很显然的原因：没有学好数学，尤其没有学好我们即将学习的在实际生活中有着广泛应用的这一章——《数列》法2：以草花扑克牌引发学生探讨兴趣，草花实际上就是三叶草，代表着祈求、希望、爱情，如果你能找到四叶草，相传你就找到了『幸福』。

新教材高考数学第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质练习含解析选修2

第一课时等差数列的前n 项和公式及相关性质课标要求素养要求1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等差数列的前n 项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.问题文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).1.等差数列的前n 项和公式求S n 的条件：已知n ，a 1，a n 或n ，a 1，d (1)等差数列的前n 项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2S n ＝na 1＋n （n －1）d2(2)两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n ＝na 1＋n （n －1）2d .2.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(4)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇≠0).(5)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1(a n ＋1是数列的中间项)，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1(S 奇≠0).拓展深化[微判断]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等.(×) 提示当a n ＝0时，S n ＝a n .2.等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于n 的二次函数.(×) 提示当公差d ＝0时，S n ＝na 1不是关于n 的二次函数.3.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.(√)[微训练]1.等差数列{a n }中a 1＝2，a 2＝3，则其前10项的和S 10＝________. 解析由a 1＝2，a 2＝3得d ＝1，故S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝10×2＋45＝65.答案 652.等差数列{a n }中，若a 1＝－1，S 25＝30，则公差d ＝________. 解析由S 25＝－25＋12×24×25×d ＝30，解得d ＝1160.答案11603.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是________. 解析等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案－1 [微思考]1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)，∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？提示由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )·n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .题型一等差数列前n 项和公式的基本运算【例1】在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 解 (1)法一由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×（10－1）2d ＝10×3＋10×92×4＝210.法二由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝（a 1＋a 10）＋4d ＝58，a 4＋a 9＝（a 1＋a 10）＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5×42＝210.(2)S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510.∴n ＝20.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练1】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2 018，S 6－2S 3＝18，则S 2 020＝( ) A.－2 018 B.2 018 C.2 019D.2 020(2)(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 1＋a 8＋a 15是定值，则下列各项中为定值的是( ) A.a 7 B.a 8 C.S 15D.S 16解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＝－2 018，S 6－2S 3＝18，∴6a 1＋6×52·d －6a 1－2×3×22·d ＝18，整理可得9d ＝18，解得d ＝2.则S 2 020＝2 020×(－2 018)＋2 020×2 0192×2＝2 020.故选D.(2)由a 1＋a 15＝2a 8，故a 1＋a 8＋a 15是定值可得a 8是定值，S 15＝12×15×(a 1＋a 15)＝15a 8，故S 15为定值，故选BC. 答案 (1)D (2)BC题型二等差数列前n 项和性质的应用【例2】 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值.解 (1)法一在等差数列中， ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30，70，S 3m －100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝12（a 1＋a 9）12（b 1＋b 9）＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 规律方法等差数列前n 项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用当公差d ≠0时S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S nn 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.【训练2】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A.36 B.18 C.72D.9(2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和S n ′，如果S n S n ′＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 11b 11的值是( ) A.74B.32C.43D.7871解析 (1)由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列知，S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×（－6＋18）2＝36.(2)由等差数列前n 项和的性质，得 a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝212（a 1＋a 21）212（b 1＋b 21）＝S 21S 21′＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案 (1)A (2)C题型三求数列{|a n |}的前n 项和【例3】若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n （n －1）2d ＝13n ＋n （n －1）2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×（13＋1）×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 规律方法已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点.第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1＞0，d ＜0(或a 1＜0，d ＞0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.【训练3】已知等差数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *). 由a n ≥0，解得n ≤512，则①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到{a n }的正负项的分界点. 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.4D.8解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A.1B.－1C.2D.12解析由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1.答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析因为 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，故2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，即2×4＝2＋S 12－6，得S 12＝12. 答案 125.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)由S n ＝n ·32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去). (2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171.基础达标一、选择题1.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( ) A.138 B.135 C.95D.23解析由a 2＋a 4＝2a 3＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝2a 4＝10得a 4＝5，故公差d ＝3，所以a 1＝－4，则S 10＝10×(－4)＋12×10×9×3＝95.答案 C2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析由S 2＝a 1＋a 2＝4及S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，得a 3＋a 4＝16，故(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ，即4d ＝12，d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A.160B.180C.200D.220解析由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78得a 19＝26，S 20＝12×20×(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×18＝180. 答案 B4.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n2·70＝210，∴n ＝6. 答案 B5.在公差不为零的等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019D.2 020解析因为公差不为零的等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k2，解得k ＝2 019.答案 C 二、填空题6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 137.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺.答案16298.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 5b 5＝________.解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92（a 1＋a 9）92（b 1＋b 9）＝S 9T 9＝1828＝914.答案914三、解答题9.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.10.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110.法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110. 能力提升11.已知等差数列{a n }的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________.解析因为n 为奇数，所以S 奇S 偶＝n ＋1n －1＝76，解得n ＝13，所以S 13＝13a 7＝377，所以a 7＝29.故中间项为29.答案 2912.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32（n －1）2＋2052（n －1）＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *).由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤3423.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中可能是S n 的图象的是( )解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)，则其对应函数为y ＝ax 2＋bx .当a ＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C ；当a ≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意.答案 ABC14.(多空题)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________，a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1). 与已知式相减，得a n ＝n 2＋3n －(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.又∵n ＝1时，a 1满足上式，∴a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *).∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n （8＋4n ＋4）2＝2n 2＋6n . 答案 4(n ＋1)2 2n 2＋6n。

新教材高中数学第四章数列：第1课时等差数列的前n项和学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：等差数列的前n 项和公式新课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．1.借助教材实例了解等差数列前n 项和公式的推导过程．(数学运算)2．借助教材掌握a 1，a n ，d ，n ，S n 的关系．(数学运算)3．掌握等差数列的前n 项和公式、性质及其应用．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模) 第1课时等差数列的前n 项和必备知识·自主学习导思1.什么是等差数列的前n 项和公式？2．怎样推导等差数列的前n 项和公式？1.等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式S n ＝1n n(a a )2+S n ＝1n(n 1)na d 2-＋在等差数列{a n }中，涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？提示：求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2；若已知首项、公差和项数，则选用公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.2．等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n.等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？提示：不一定，当公差d≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( × ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( × )(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( √ ) (4)在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝a n ＋1( × ) 提示：(1)不管公差是不是零，都可应用公式求和．(2)因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和．(3)等差数列的前n 项和是关于n 的缺常数项的二次函数，S n ＝n 2＋2n ＋1中有常数项，故不是等差数列．(4)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd.2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前10项和S 10＝( ) A ．－20 B ．－40 C ．－60 D ．－80【解析】选D.由等差数列前n 项和公式得，S 10＝10×1＋12 ×10×9×(－2)＝－80.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝( ) A.85B ．170C ．75D ．150【解析】选A.S 17＝12×17×(2＋8)＝85.4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________．【解析】S 8＝8×1＋12 ×8×7×d＝64，解得d ＝2.答案：2关键能力·合作学习类型一等差数列前n 项和的计算(数学运算)1．已知a 1＝32 ，d ＝－12 ，S n ＝－15，求n 和a 12.【解析】因为S n ＝n·32 ＋n （n －1）2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－15，整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去). 所以a 12＝32 ＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－4.2．已知a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d. 【解析】由S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n （1－512）2 ＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171. 3．已知a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.【解析】由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用．【补偿训练】1.(2021·青岛高二检测)等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 14＝－8，S 9＝－9，则S 18＝( )A ．－162B ．－1C ．3D ．－81 【解析】选D.设等差数列{}a n 的公差为d ，因为a 14＝－8，S 9＝－9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－89a 1＋36d ＝－9 ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－8，a 1＋4d ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝199，d ＝－79，所以S 18＝18a 1＋153d ＝－81.2．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于________．【解析】由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2，解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492 ×2＝2 500.答案：2 5003．(1)已知a 1＝56 ，a 15＝－32 ，S n ＝－5，求d 和n ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d.【解析】(1)因为a 15＝56 ＋(15－1)d ＝－32 ，所以d ＝－16 .又S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝－5，所以56 n ＋n （n －1）2 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16 ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍).(2)由已知，得S 8＝8（a 1＋a 8）2 ＝8（4＋a 8）2 ＝172，解得a 8＝39，又因为a 8＝4＋(8－1)d＝39，所以d ＝5.类型二等差数列前n 项和的性质(数学运算) 【典例】在等差数列{a n }中． (1)若a 4＝2，求S 7； (2)若S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)若S 10＝100，S 100＝10，求S 110.续表题后反思等差数列前n 项和具有“片段和”性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列，在解决单纯的前n 项和问题时有简化运算的功效．等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn(a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d. ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1 ；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.1．(2021·茂名高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15【解析】选A.设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14 ，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2 ＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92 ×1＝75.答案：753．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3 ，则a 5b 5 的值为__________．【解析】a 5b 5 ＝2a 52b 5 ＝9（a 1＋a 9）9（b 1＋b 9）＝S 9T 9 ＝7×9＋29＋3 ＝6512 . 答案：6512类型三等差数列前n 项和的应用(数学运算) 角度1 等差数列前n 项和的最值【典例】在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【解析】(1)由题意得11a 9d 18545a d 152⎧⎪⎨⨯⨯⎪⎩＋＝，＋＝－，解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12. (2)方法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝12 (3n 2－21n)＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －72 2 －1478 ，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18. 方法二：设S n 最小，则n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，，即3n 1203(n 1)120≤⎧⎨≥⎩－，＋－，解得3≤n≤4，又n∈N ＋，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.(变条件)把例题中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．【解析】S 5＝12 ×5×(a 1＋a 5)＝12 ×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n.设S n最大，则n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，，解得27≤n≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝d 2 n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)邻项变号法当a 1>0，d<0时，满足n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，的项数n 使S n取最大值；当a 1<0，d>0时，满足n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，的项数n 使S n 取最小值．角度2 等差数列前n 项和的实际应用【典例】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n 项和．【解析】设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由题知，20个月贷款还清．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋（60－19×0.5）2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).应用等差数列解决实际问题的一般思路1．(2021·平顶山高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【解析】选A.设等差数列的公差为d ，因为a 4＋a 6＝－6，所以2a 5＝－6，所以a 5＝－3.又因为a 1＝－11，所以－3＝－11＋4d ，所以d ＝2. 所以S n ＝－11n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取得最小值．2．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N *)年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_______．(盈利额＝总收入－总成本)【解析】设每年的运营成本为数列{a n }，依题意该数列为等差数列，且a 1＝3，d ＝2.所以n 年后总运营成本S n ＝n 2＋2n ，因此，年平均盈利额为：20n －（n 2＋2n ）－16n＝－n－16n ＋18≤－2n ×16n＋18＝10，当且仅当n ＝4时等号成立．答案：4【补偿训练】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值．【解析】由S 17＝S 9，得25×17＋17×（17－1）2 d ＝25×9＋9×（9－1）2 d ，解得d ＝－2，方法一：S n ＝25n ＋n （n －1）2 ×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：因为a 1＝25＞0，d ＝－2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2（n －1）≥0，a n ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，即1212 ≤n≤1312 .又n∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值169.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32 n 2＋n2B ．－32 n 2－n2C ．32 n 2＋n2D ．32 n 2－n 2【解析】选A.因为a n ＝2－3n ，所以a 1＝2－3＝－1，所以S n ＝n （－1＋2－3n ）2 ＝－32 n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．1511 【解析】选B.因为S 5＝5a 3＝25，所以a 3＝5.所以d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，所以a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．763C ．665D ．663【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为{a n }．因为a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7<100，所以n<15，所以符合题意的数共14个，故S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．【解析】数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A.答案：2A5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________．【解析】因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2 ＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4.经检验，m ＝4符合题意．答案：4。

高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2

若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，所以有2log2an－2－log2an＝－2n，即an－a1n ＝－2n，所以an2 ＋2nan－1＝0，解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数列．答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．

【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第1课时)

4.3 等比数列4.3.1 等比数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解等比数列及等比中项的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．(重点)3．掌握等比数列的判断与证明方法．(难点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学庄子云：一尺之棰，日取其半，万世不竭．意为：长短一尺的东西，今天取走一半，明天在剩余的一半中再取走一半，以后每天都在剩下的取一半出来，这样永远也取不完.1．等比数列、等比中项的概念等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(显然q ≠0)等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．此时，G 2＝ab(1)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1. (2)第n 项与第m 项的关系为a n ＝a m q n －m ，变形得q n －m ＝a n a m.(3)由a n ＝a 1q ·q n 可知，当q >0且q ≠1时，等比数列{a n }的第n 项a n 是指数函数f (x )＝a 1q ·q x(x∈R )当x ＝n 时的函数值，即a n ＝f (n )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等比数列中不存在数值为0的项．(√) (2)常数列a ，a ，a ，a ，…一定是等比数列．(×)(3)若数列{a n }的通项公式是a n ＝cq n (c ，q ∈R ，c ≠0，q ≠0)，则{a n }一定是等比数列．(√) (4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．(√) (5)任何两个实数都有等比中项．(×)1．下列数列为等比数列的是( ) A ．m ，m 2，m 3，m 4，… B ．22,42,62,82，…C ．q －1，(q －1)2，(q －1)3，(q －1)4，…D ．1a ，1a 2，1a 3，1a4，…D 解析：当m ＝0，q ＝1时，A ，C 均不是等比数列；6242≠4222，所以B 不是等比数列．2．方程x 2－5x ＋4＝0的两根的等比中项是( ) A ．52B ．±2C ．±5D ．2B 解析：设方程的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系，得x 1x 2＝4，∴两根的等比中项为±x 1x 2＝±2.3．已知等比数列{a n }的首项a 1＝98，公比q ＝23，a n ＝13，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B 解析：由a 1q n －1＝a n 得98×⎝⎛⎭⎫23n －1＝13，解得n ＝4.4．在等比数列{a n }中，已知a 5＋a 1＝34，a 5－a 1＝30，则a 3＝( ) A ．8 B ．－8 C ．±8D ．16A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 1＝34，a 5－a 1＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝32.∴q 4＝16，∴q 2＝4.∴a 3＝a 1q 2＝8.5．若b 既是a 和c 的等差中项，又是a 和c 的等比中项，则数列a ，b ，c 的公比为________． 1 解析：由条件可知2b ＝a ＋c ，且b 2＝ac ， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝ac ，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c ＝b ，∴a ，b ，c 的公比为1.【例1】判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出其公比． (1)1，13，16，19，112，…；(2)10,10,10,10,10，…； (3)23，⎝⎛⎭⎫232，⎝⎛⎭⎫233，⎝⎛⎭⎫234，…； (4)1,0,1,0,1,0，…； (5)1，－4,16，－64,256，…. 解：(1)不是等比数列． (2)是等比数列，公比为1. (3)是等比数列，公比为23.(4)不是等比数列． (5)是等比数列，公比为－4. 【例2】在等比数列{a n }中， (1)若a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . 解：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝4，a 5＝a 1q 4＝－12， ∴q ＝－12，a 1＝－8，∴a n ＝a 1q n －1＝－8×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－2)4－n . (2)∵a 3＋a 6＝(a 2＋a 5)q ，即9＝18q ，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18得a 1＝32，由a n ＝a 1q n －1＝1知n ＝6.(1)由于等比数列的每一项(除末项)都可能作分母，故每一项都不为0，因此q 也不能是0. (2)对于公比q ，要注意它是从第2项起每一项与它前一项的比，次序不能颠倒．(3)每一项与它的前一项的比都是同一个常数，强调的是“同一个”，即若常数不同，则此数列不是等比数列．(4)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比是同一个常数，此数列不是等比数列．在等比数列{a n }中，已知a 3＝9，a 6＝243，求a 9.解：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝9，①a 6＝a 1q 5＝243，② ∴②①得q 3＝27， ∴a 9＝a 6q 3＝243×27＝6 561.【例3】(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，求实数x 的值； (2)已知等比数列{a n }，a 2a 3a 4＝64，a 3＋a 6＝36，求a 2和a 6的等比中项．解：(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，所以x (3x ＋3)＝(2x ＋2)2，解得x ＝－1或x ＝－4.又因为当x ＝－1时，2x ＋2＝3x ＋3＝0不合题意，所以实数x 的值为－4.(2)因为{a n }是等比数列，所以a 3是a 2和a 4的等比中项，即a 23＝a 2a 4，所以a 33＝64，解得a 3＝4，从而a 6＝32.设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，a 1q 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝2. 设a 2和a 6的等比中项为G ，则G 2＝a 2a 6＝64，所以G ＝±8.等比中项的理解(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(2)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab (a ，b 均不为0)”，可以用它来判断或证明三个数成等比数列．应注意“a ，G ，b 成等比数列”与“G ＝ab ”是不等价的．(3)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，且它们互为相反数；当a ，b 异号时，a ，b 没有等比中项．若数列－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则实数b 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．±3D ．不能确定A 解析：∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，∴－1，a ，b 成等比数列，a ，b ，c 成等比数列，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝－b ，b 2＝ac ，c 2＝－9b . ∴b 4＝a 2c 2＝(－1)×(－9)b 2.∴b 2＝9. 又a 2＝－b >0，∴b <0，∴b ＝－3.探究题1 已知a ，b ，c 是等比数列，求证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列．证明：因为a ，b ，c 是等比数列，所以b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零．又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2， (ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．所以a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2是等比数列．探究题2 如果数列{a n }的前n 项和S n 满足对任意n ∈N *，都有S n ＝32a n －3.求证：{a n }是等比数列．证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.当n ≥2时，S n ＝32a n －3，则S n －1＝32a n －1－3，即a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1，∴12a n ＝32a n －1，即a na n －1＝3. ∴数列{a n }是首项为6，公比为3的等比数列．探究题3 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列．证明：∵S n ＋1n ＋1＝S n ＋a n ＋1n ＋1＝S n ＋n ＋2n Sn n ＋1＝2n ＋2n S n n ＋1＝2×S nn ，∴S n ＋1n ＋1S n n＝2.又S 11＝a 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，以2为公比的等比数列．探究题4 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，由上式易知a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2.∴{a n ＋1}是等比数列．(2)解：由(1)可知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×2n －1，即a n ＝2n －1.探究题5 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋a ，试判断{a n }是否是等比数列．解：a n ＝S n －S n －1＝2n＋a －2n －1－a ＝2n －1(n ≥2)．当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2n2n －1＝2.当n ＝1时，a n ＋1a n ＝a 2a 1＝22＋a.故当a ＝－1时，数列{a n }成等比数列，其首项为1，公比为2；当a ≠－1时，数列{a n }不是等比数列．判定一个数列{a n }是等比数列的方法： (1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为0)或a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为0)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg (S n ＋1)＝n (n ＝1,2，…)，试说明数列{a n }是等比数列．解：由已知可得S n ＝10n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n －1)－(10n －1－1) ＝9×10n －1，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝9×10n －1. 而当n ≥2时，a n a n －1＝9×10n －19×10n －2＝10，∴数列{a n }是等比数列．1．已知{a n }是等比数列，a 1＝4，公比q ＝12，则a 5＝( )A ．14B ．15C ．12D ．13A 解析： ∵等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，∴a 5＝a 1×q 4＝4×⎝⎛⎭⎫124＝14，故选A ． 2．设a n ＝(－1)n (n ∈N *)，则数列{a n }是( ) A ．等比数列 B ．等差数列 C ．递增数列D ．递减数列A 解析：由已知数列a n ＝(－1)n (n ∈N *)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{a n }不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD ．又当n ≥2，n ∈N *时，a na n －1＝(－1)n (－1)n －1＝－1为常数，故数列{a n }是等比数列．故选A ． 3．若各项均为正数的等比数列{a n }满足a 3＝3a 1＋2a 2，则公比q ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析：因为a 3＝3a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .又a 1≠0，所以q 2－2q －3＝0.又q >0，解得q ＝3.故选C ．4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，则“a 2＝4”是“a 3＝16”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析：∵在等比数列{a n }中，a 1＝1，若a 2＝4，则公比q ＝a 2a 1＝41＝4，则a 3＝a 2q ＝4×4＝16.若a 3＝16，则a 3＝1×q 2＝16，解得q ＝±4. 当q ＝－4时，a 2＝a 1q ＝－4，此时a 2＝4不成立，即“a 2＝4”是“a 3＝16”的充分不必要条件．故选A ． 5．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16.求{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的公比为q .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.1．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n－1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．2．判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法．课时分层作业(七) 等比数列的概念(第1课时)(60分钟 120分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 等比数列的概念与通项公式1．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝32，q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－12C ．－1D ．12C 解析：a 6＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1.故选C ． 2．(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＝16，q ＝2，则n 为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：根据a n ＝a 1q n －1，得16＝2×2n －1，解得n ＝4. 3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是( ) A ．q,2q,4q,6q B ．q ，q 2，q 3，q 4 C ．q,2q,4q,8q D ．1q ，1q 2，1q 3，1q4D 解析：A 项不符合等比数列定义；B ，C 两项中q 不等于0时是等比数列，q ＝0时不是等比数列；D 项符合等比数列的定义，公比是1q.4．(5分)在等比数列{a n }中，a 2 021＝－8a 2 018，则公比q 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．12B 解析：∵a 2 021a 2 018＝q 3＝－8，∴q ＝－2.5．(5分)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36D ．81 B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，∴a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴a 4＋a 3a 1＋a 2＝a 3(1＋q )a 1(1＋q )＝q 2＝9.∴q ＝±3. ∵a n >0，∴q ＝3. ∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 知识点2 等比中项及应用6．(5分)若a ，b ，c 成等差数列，则⎝⎛⎭⎫13a ，⎝⎛⎭⎫13b ，⎝⎛⎭⎫13c一定( ) A ．成等差数列 B ．成等比数列C ．既成等差数列也成等比数列D ．既不成等差数列也不成等比数列B 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13b 2＝⎝⎛⎭⎫13a ·⎝⎛⎭⎫13c 成立． ∴这三个数成等比数列．7．(5分)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝9，则a 3＝( ) A ．±3 B ．3 C ．±5D ．5B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 23＝a 1·a 5＝9，∴a 3＝±3. ∵a 3＝a 1·q 2>0，∴a 3＝3.8.(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是________．±4 解析：因为a 6是a 4与a 8的等比中项，a 6＝a 1q 6－1＝4，所以a 4与a 8的等比中项是±4. 知识点3 等比数列的判断9．(5分)(多选)已知数列{a n }是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( ) A ．{|a n |} B ．{a n －a n ＋1}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a nD ．{ka n }AC 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵|a n ||a n －1|＝|q |，∴{|a n |}是等比数列；当{a n }为常数列时，a n －a n ＋1＝0，∴{a n －a n ＋1}不是等比数列；∵a 1a n a 1a n －1＝a n －1a n ＝1q， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 1a n 是等比数列；当k ＝0时，ka n ＝0，∴{ka n }不是等比数列．故只有AC 一定是等比数列．10．(5分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1C ．3×2n －3D ．3×2n －1C 解析：∵S n ＝2a n －3，∴a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－(2a n －1－3)＝2a n －2a n －1.∴a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝2. ∴{a n }是等比数列，首项为3，公比为2.∴a n ＝3×2n －1.∴S n ＝3×2n －3.11.(5分)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且对任意正整数n 都有2a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________.3×⎝⎛⎭⎫12n －1 解析：∵2a n ＋1－a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴{a n }是等比数列，且公比q ＝12. ∴a n ＝a 1·q n －1＝3×⎝⎛⎭⎫12n －1.12.(5分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2 解析：∵S n ＝2a n ＋1， ∴a 1＝2a 2，∴a 2＝12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，即a n ＋1a n ＝32. ∵a 2a 1＝12≠32，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2.能力提升练能力考点拓展提升13.(5分)2＋3和2－3的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2C 解析：根据等比中项的定义有G ＝±(2＋3)×(2－3)＝±1.14．(5分)由首项a 1＝1，公比q ＝2确定的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，序号n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 D 解析：∵a n ＝a 1·q n －1＝2n －1＝64，∴n ＝7.15．(5分)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( ) A ．－12B ．－2C ．2D ．12D 解析：∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12. 16．(5分)若a ，b ，c 成等差数列，而a ＋1，b ，c 和a ，b ，c ＋2都分别成等比数列，则b 的值为( )A ．16B ．15C ．14D ．12 D 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .∵a ＋1，b ，c 与a ，b ，c ＋2都分别成等比数列，∴b 2＝(a ＋1)·c ，b 2＝a ·(c ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，b 2＝(a ＋1)c ，b 2＝a (c ＋2)，解得b ＝12.17.(5分)已知等比数列{a n }，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.3×2n －3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3＝3，a 10＝384，∴q 7＝a 10a 3＝128. ∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝3×2n －3.18.(5分)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于________．±1 解析：∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即a 5＝2a 1－a 3，∴4q 4＝8－4q 2.∴q 4＋q 2－2＝0.∴q 2＝1或q 2＝－2(舍)．∴q ＝±1.19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．4 解析：设插入的三个数为a ，b ，c ，则有b 2＝1×16＝16.又∵b 与1同号，∴b ＝4.20.(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，求a 7.解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＋a 3a 1＋a 2＝a 2(1＋q )a 1(1＋q )＝q ＝2， ∴a 1＋2a 1＝3a 1＝3，∴a 1＝1.∴a 7＝a 1q 6＝64.21.(10分)已知数列{a n }满足S n ＝4a n －1(n ∈N *)，求证：数列{a n }是等比数列，并求出其通项公式．证明：依题意，得当n ≥2时，S n －1＝4a n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝(4a n －1)－(4a n －1－1)，即3a n ＝4a n －1，所以a n a n －1＝43，故数列{a n }是公比为43的等比数列．因为S 1＝4a 1－1，即a 1＝4a 1－1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式是a n ＝13×⎝⎛⎭⎫43n －1. 22.(10分)已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 3＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1. 当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12. 故a n ＝2n－1或a n ＝23－n .。

数列(第一课时)教案

数列（第一课时）南通市海安县实验中学王美霞一、教学目标1．了解数列的概念及其表示方法，理解数列通项公式的有关概念；2．给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的通项公式；3．给出问题情境，引导学生经历观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，进行反思、交流，并培养学生观察分析、探索归纳的能力．二、学情分析学生已经在必修1中学过数集和函数三、教学重点与难点• 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．• 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系四、教学方法与教学手段教学方法：探究发现式教学法；教学手段：多媒体辅助教学。

五、教学过程环节一：情境引入（引导学生看必修5课本的封面）大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生长模式到葵花种子、鹦鹉螺壳花纹的排列……它们各有其消长的方式和特点，如：情境1：兔子的繁殖数目和树木生长的规律惊人地相似 1,1,2,3,5,8，…；情境2：古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；情境3：中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数；情境4：小朋友荡秋千摆动产生数列-1,1，-1,1，…。

【教师活动】：上述例子有何共同特点？【学生活动】：思考、讨论以上问题，通过学生讨论观察，发现：1．上述问题情境中都有一系列数；2．这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒。

由此引出课题（板书课题）3．辨析：（分清数集和数列的区别）① 将数列 38,51,32,28,16,16改成16,16,28,32,51,38 请问：是不是同一数列？ ②{}1,2,3,4A =与{}4,3,2,1B =是同一集合吗？③ 38,51,32,28,16,16能放到一个集合里吗？李宇春、张靓颖、黄雅莉、lady gaga 排队能成为数列吗？为什么？通过讨论，得到这些情境的共同特点是都有一组按照一定的次序排列的数。

35第六章数列高考专题突破3 第1课时等差、等比数列与数列求和

多维探究
பைடு நூலகம்题型三数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和例 3 (2018·吉大附中模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝2a11＋a12，a3＋a4＝32a13＋a14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
123456
(2)若bn＝anlog1 an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最
2
小值.
解 ∵bn＝an log1an＝2n·log1 2n＝－n·2n，
∴Sn＝b1＋b2＋…2 ＋bn＝－(21×2＋2×22＋…＋n·2n)，
①
则2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1)，
解设{an}的公比为q.
a11＋q＝2，由题设可得
a11＋q＋q2＝－6. 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列. 解由(1)可得 Sn＝a111－－qqn＝－23＋(－1)n2n3＋1. 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－3 2n＋2 ＝2－23＋－1n2n3＋1＝2Sn，
思维升华
根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键.
跟踪训练2 (1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一
项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的
公积.已知数列{an}是等积数列且a1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为_0_或__8_. 解析当公积为0时，数列a1＝2，a2＝0，a3＝60，a4＝a5＝…＝a21＝0满足题意；当公积不为0时，应该有a1＝a3＝a5＝…＝a21＝2，且a2＝a4＝a6＝…＝a20，由题意可得，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝62－2×11＝40，则 a2＝a4＝a6＝…＝a20＝4100＝4，此时数列的公积为2×4＝8.

数列的概念(第一课时)课件高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
叫做递减数列。
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列是特殊的函数
新知讲解
（1）按照数列定义判断，1,3,5,7是一个数列，7,5,3,1也是一个
数列，这两个数列是不是同一个数列？为什么？
（2)1,1,1,1,1，…是不是一个数列？为什么？
常数列
问题5 请同学们结合数列的定义，回答上面的问题；
实例一：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 165
162
158
153
, , , , , , , , ,
145
, , , , , , ,
138
128
120
问题1 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？

、

、− 、 ...，数列的通项公式吗？

= −

通项公式为数列的函数解析式 , 根据通项公式可以写出数列各项
例题讲解
例1 根据下列数列{ }的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们
的图象.
+
；

(1) =
(2) =
−
.

(1)当通项公式中的n=1，2，3，4，5
从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
问题2 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第天月亮可见部分的数为，那么s1=5，s2=10，…，s15=240。
所以，不能交换位置，并且具有确定的顺序。
是连续变化的,
而数列是自变量为离散的

高中数学第四章数列4-1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法新人教版选择性必修第二册

(1)写出此数列的第4项和第6项;
(2)-49是不是该数列的一项?如果是,是哪一项?68是不是该
数列的一项呢?
解:(1)a4=3×42-28×4=-64,
a6=3×62-28×6=-60.

(2)令 3n -28n=-49,解得 n=7 或 n=(舍去),故-49 是该数列的第

2
项;令 3n -28n=68,解得 n=-2 或 n= ,均不合题意,故 68 不是该

(3)-1 ,3 ,-5 ,7 ,-9 ,…;

(4)2,- , ,- , ,-,…;
(5)1,2,1,2,1,2,….
解:(1)观察发现各项分别加上1后,数列变为2,4,8,16,32,…,新
数列的通项公式为2n,故原数列的通项公式为an=2n-1.

故20是该数列的第10项.
2.(变条件,变结论)若将例题中的“an=3n2-28n”变为
“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性.
解:∵an=n2+2n-5,
∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)
=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5
=2n+3.
类别
含义
递增数列
从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列

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2021年新高考数学总复习第六章《数列》
高考专题突破三高考中的数列问题
等差、等比数列与数列求和
题型一等差数列、等比数列的交汇
例1 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．
解 (1)设{a n }的公比为q .
由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)可得
S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝－23＋(－1)n 2n ＋
13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23
＝2⎣⎡⎦⎤－23
＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
思维升华等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．
跟踪训练1 (2019·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比．
解 (1)设数列{a n }的公差为d .
由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，
d ≠0，
整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2， ∴S 4＝16，S 6＝36，
又S 4S n ＝S 26，∴n 2＝36216
＝81， ∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝94
. 题型二数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和
例2 (2018·吉大附中模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2
，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则a n ＝a 1q n －
1，且a n >0，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3
＝32⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 21q ＝2，a 21q 5＝32，又∵a 1>0，q >0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1.
(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －
1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1
＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2. 命题点2 错位相减法求和。