《实数》培优材料

七年级数学培优讲义（2）

一、实数：

（一）【内容解析】

（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；

要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；

②符号概念：若，那么；③逆向理解：若x是a的平方根，那么。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；

②在算术平方根中，其结果是非负数，即≥0；

③计算中的性质1：（a≥0）；

④计算中的性质2：；

⑤在立方根中，（符号法则）

⑥计算中的性质3：；

（3）实数的分类：

（二分法）（三分法）

（二）【典例分析】

1、利用概念解题：

例1. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。

练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。

2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术平方根。

例2、解方程（x+1）2=36.

练习：（1）（2）

2、利用性质解题：

例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．

变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是；

②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为。

例2．若y=＋＋1，求（x＋y）x的值

例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴⑵⑶⑷

例4．已知与互为相反数，求的值.

练习：1.若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。

2.若（x－3）2＋=0，求x＋y的平方根；

3.已知求的值.

4.当x满足下列条件时，求x的范围。

① =x－2 ② = ③=x

5.若，则的值是

3、利用取值范围解题：

例1. 已知有理数a满足，求的值。

3、利用估算比较大小、计算：

估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例1．比较与的大小

说明：比较大小的常用方法还有：

①差值比较法：

如：比较1－与1－的大小。

解∵（1－）－（1－）=－＞0 ，∴1－＞1－。

②商值比较法（适用于两个正数）

如：比较与的大小。

解：∵÷=-1＜1 ∴＜

③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a ，b ，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当＞时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。（以后介绍）

④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

如：当0

解：（特殊值法）取=，则：=，=2。∵＜＜2，∴＜＜。

例2．若的小数部分是a ，的小数部分是b ，求a+b 的值。

例3.计算：①(-)②

练习：1.估计＋1的值是（ ）

（A ）在2和3之间（B ）在3和4之间（C ）在4和5之间（D ）在5和6之间

2．比较大小：①1；②32.1（填“>”、“<”）

4、利用数形结合解题：

例1 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a +b |+的结果是（）

A 、2b

B 、2a

C 、－2a

D 、－2b 例2 如图，数轴上表示1、的对应点为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（）

A 、－1

B 、1－

C 、2－

D 、－2

a 0 b

（三）【常见错误诊断】

1、混淆平方根和算术平方根：

①由-3是9的平方根得：=-3。②由81的平方根是±9得=±9

③是5的平方根的相反数

2、混淆文字表示和符号表示：

①的算术平方根是4；②的立方根是4

3、概念理解不透彻：

（1）平方根、算术平方根的概念不清：

①是6的平方根；②6的平方根是；③与互为相反数；

④a的算术平方根是

（2）无理数的概念不清：

①开方开不尽的数是无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理

数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；

填空：在-1.414，，π， 3.，2+，3.212212221…，，，0.303003.这些数中，无理数的个数有个；

4、计算错误：

①=；②③④若x2=16，则x==4.

5、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）

①若代数式有意义，则的取值范围是

②若代数式有意义，则的取值范围是

6、公式用错：

①；②=3.14-π；②若c满足，则c=-3

（四）【巩固练习】

1．

B. 8

C.

D.2

2．如果，那么y 的值是（）

A. 0.0625

B. —0.5

C. 0.5 D .±0.5

3．下列说法中正确的是（）

A.的平方根是±3

B.1的立方根是±1

C.=±1

D.是5的平方根的相反数

4．若，则实数a在数轴上的对应点一定在（）

A．原点左侧B．原点右侧C．原点或原点左侧D．原点或原点右侧

5．若=3.136，则=（）

A、0.03136

B、0.3136

C、±0.03136

D、±0.3136

6．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（）

A．B．

C．D．

7．下列说法正确的是（）

A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0

C . 7 2的平方根是7 D. 负数有一个平方根

8．若-3，则的取值范围是( ).

A. ＞3

B. ≥3

C. ＜3

D. ≤3

9．若a、b为实数，且满足│a－2│+=0，则b－a的值为（）

A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对

10. 在，3.1415926，，，，这6个数中，无理数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是。

12．若和都是5的立方根，则=.

13．观察下列各式：，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则＝.

14．由下列等式：，，……所揭示的规律，可得出一般的结论是（用字母n表示，n是正整数且n>1）。15．比较下列实数的大小：①12 ②0.5；

16．一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的倍。

17．计算：

①②

18．已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是的整数部分，求

的平方根。