流体力学第五章习题

P125 第五章习题

5-1 流速为o u =10m/s 沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于（0，5），试求（1）点涡的强度；（2）点（0，5）的流速；（3）通过驻点（0，-5）的流线方程。

均匀流与位于原点的点涡叠加后的速度势为ϕ。

ϕ=0v θcos r ⋅θπ

20

Γ- 其中0Γ为沿顺时针方向点涡涡在极坐标下：

θθϕ

cos 0cos 00v v r

v r =-=∂∂= r v r v πθθϕ

θ2sin 100Γ--=∂∂⋅=

驻点为（0，5），则5,2

3

==r πθ

（1）0)2

3

cos(0==πv v r

05

2)23

sin(00=⨯Γ--=ππθv v π100=Γ⇒ π1000=v 即点涡强强

度π1000=Γ

（2）点（0，5）的流速 5,2

==

r π

θ代入θv v r ,

)

/(20101002100sin 0

cos 000s m v r v v v v r -=--=--==⋅=π

π

ππθθθ s m u v /20,0==⇒即 负号表示θ以逆时针方向为正

（3）通过驻点（0，5）的流线方程

均匀流与位于原点点涡叠加后的流函数ψ r r v ln 2sin 0

0πθψΓ+

⋅⋅= 将（0，5）对应5,2

3

==r πθ代入上ψ式得：

5ln 50505ln 501-510+-=⋅+⨯⨯=）（驻点ψ

即

55

ln 5055ln 5ln 505

ln 5050ln 500=++=+-++-=+⋅r

y r y r y ψ

5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为s m /203

1=θ，点汇位于（2，0）点，其流量为s m /403

2=θ，已知流体密度为3

/8.1m kg =ρ，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0，1）和（1，1）的流速和压力。

解：平面势流点源和点汇构成的速度势为：

2

222212

22221222221)(2)(2)(2)(2)(ln 2)(ln 2y x x y m y x x y m v y x x x x m y x x x x m u y x x m

y x x m B A B B A A B A +-⋅

-+-⋅=

+--⋅-+--⋅=+--+-=

ππππππϕ 因：2,1,/40,/203

22311=-=====B A x x s m m s m m θθ

则 2

22

22

222)2(220)1(10)2(2

20)1(110

y x x y x y v y x x y x x u +--⋅-++⋅=+--⋅

-+++⋅

=

ππππ

(1)则点（0，1）的速度为：

(2) )/(1

522021101)20(1201)10(110)/(13

522021101)20(20201)10(1010

2

2222

222s m v s m u π

πππππππππ=⋅-⋅=+-⋅-++⋅==⋅+⋅=+--⋅-+++⋅

=

因为全流场中任意一点满足伯努力方程的拉格朗日形式（p72,）即

c z P

v =++ρ

22 则（0，0），（0，1），（1，1）都满足上式，因0)0,0(=P )/(20

0)20(20200)10(1010

22)0,0()0,0(s m u v πππ=+--⋅-+++⋅

=

=

A （源） B

（汇）

则

1

2

)1()13

(

2

2

)

1,0(2

2)1,0()

1,0(2)

1,0()0,0()

0,0(2)

0,0(++

+⇒++

=

++

ρ

π

π

ρ

ρ

P z P v

z P v

)/(17.192

)1,0(m N P =⇒

（2） （1，1）点 流速与压力

)/(8212051101)21(1201)11(110)/(14

212052101)21(21201)11(1110

2

222)

1,1(2

222)1,1(s m v s m u π

πππππ

ππππ-=⋅-⋅=+-⋅-++⋅==-⋅-⋅=+--⋅-+++⋅

=

因：

)/(97.10170

12

260

4001

2)8()14(2

)20

(22

2)1,1()

1,1(2

)

1,1(22

)

1,1(2

22

)

1,1()

1,1(2)1,1()0,0()

0,0(2)0,0(m N P P P P z P v z P v =⇒=

-=

--++

+=++

=

++

ρ

π

ρ

π

πρ

π

π

π

ρρ

5-3直径为2m 的圆柱体在水下深度为H=10m 以平移速度0u 运动，试求（1）A 、B 、C 、D 四点的绝对压力 （2）若圆柱体运动的同时还受到本身轴线以角速度60r/min 转动，试决定驻点的位置以及B 、D 两点的速度和压力。 此时若水深增至100m ，求产生空泡时的速度（注：

温度为c

15时，水的饱和蒸汽压力为3

10332.2⨯N/2

m 。）

等效于： 均匀流+偶极

偶极强度：2

02a v M ⋅=π

ππ202,/10,12000=⋅⋅=⇒===a v M s m u v m a

u x