用锐角三角函数解决问题(2)
九年级(下)数学教案：锐角三角函数的简单应用(全3课时)
主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。
问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。
解答锐角三角函数问题容易犯的错误
数学篇数苑纵横在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.一、对锐角三角函数概念理解不清锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值)，它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.例1在Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）.A.都扩大3倍B.都扩大4倍C.不能确定D.没有变化错解：A.错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.正解：D.点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.二、忽视运用锐角三角函数定义的前提解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.例2在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5.试证明sin A +sin B =75．错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ，则sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．错因分析：本题中没有说明∠C =90∘，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90∘后才能用定义解题．正解：设a =3k ，b =4k ，c =5k (k >0)，因为a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，所以△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.所以sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．例3在等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，BC =6.求sin B 、cos B 、tan B .错解:∵a =6，b =5，c =5，∴sin B =b c =55=1，cos B =a c =65，tan B =b a =56.错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.正解：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则解答锐角三角函数问题容易犯的错误江西高安夏宇23数学篇数苑纵横BD =3，∵AB =5，∴AD =AB 2-BD 2=4,∴sin B =AD AB =45，cos B =BD AB =35，tan B =AD BD =43.点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.三、考虑问题不全面导致漏解锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.例4在ΔABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B，则BC 边长为（）.A.7 B.17 C.8或17D.7或17错解：作AD ⊥BC 于点D ，如图2，∵cos ∠B 2，∴∠B =45°，∵AB =122，∴AD =BD =12，又∵AC =13，∴CD =5，∴BC =BD +CD =12+5=17，故选B.图2错因分析：错解认为高AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况:(1)高AD 在△ABC 内部；(2)高AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.正解：∵cos ∠B ，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵AB =122，∠B =45°，∴AD =BD =12，∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5，∴BC =BD -CD =12-5=7；当ΔABC 为锐角三角形时，如图2，BC =BD +CD =12+5=17，故选D ．例5Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是610，也就是35.错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值35；当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是82-62=2727，所以最小角的正弦值为=.综上可知，最小角的正弦值为35或.点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论；在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多种情况，避免出现解题错误.图1图324。
锐角三角函数《应用举例》第2课时示范公开课教学设计【人教版九年级数学下册】
第二十八章锐角三角函数28.2.2应用举例第2课时一、教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c2___；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=__90°___；(3) 边角之间的关系：sin A=__ac___，cos A=_bc____，tan A=_ab____.解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 °方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数) ？【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65°、南偏东34°方向的射线.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.解：如图 ，在Rt △APC 中， PC ＝P A ·cos(90°－65°) ＝80×cos25° ≈72.505在Rt △BPC 中，∠B =34°，sin PCB PB=()72505130n mile sin sin34PC .PB B ∴==≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里． 环节三应用新知 【典型例题】例1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝3∶2，顶宽是3m ，路基高是1.5m ，求路基的下底宽是多少？【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tan hi lα==的形式.坡度越大 坡角越大 坡面越陡解：如图，AD =3m ，作AE ⊥BC ， DF ⊥BC .集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.∵i=3∶2，AE=DF=1.5m.∴BE=CF=1m.∴BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】教师活动：通过Pk作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习1如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.答案：202；45°练习2如图，海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案：(方法1）解：如图，过A作AC⊥BD，交BD的延长线于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，由题意，得∠CAD=30°，∠CAB=60°，∠ABD=90°－60°= 30°，又∵∠BAD=∠CAB－∠CAD=60° －30°=30°，∴∠ABD=∠BAD，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.=⨯12∴渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．3=tan30360°= 30°=3x以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)
2020-2021初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析(2)一、选择题1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A 、B 、C 、D 四地．如图，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东30°方向、在C 地北偏西45°方向．C 地在A 地北偏东75°方向．且BD=BC=30m ．从A 地到D 地的距离是（ ）A ．303mB ．205mC ．302mD ．156m【答案】D【解析】 分析：过点D 作DH 垂直于AC ，垂足为H ，求出∠DAC 的度数，判断出△BCD 是等边三角形，再利用三角函数求出AB 的长，从而得到AB +BC +CD 的长．详解：过点D 作DH 垂直于AC ，垂足为H ，由题意可知∠DAC =75°﹣30°=45°．∵△BCD 是等边三角形，∴∠DBC =60°，BD =BC =CD =30m ，∴DH =32×30=153，∴AD =2DH =156m ．故从A 地到D 地的距离是156m ．故选D ．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55m oB ．500cos55m oC ．500tan55m oD ．500cos55m o【答案】B【解析】【分析】根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可．【详解】在Rt △BDE 中，cosD=DE BD， ∴DE=BD •cosD=500cos55°．故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ）A ．1000sin α米B ．1000tan α米C ．1000tan α米D ．1000sin α米 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC ABα=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米，∴tan AC AB α=， ∴1000tan tan AC AB αα==米． 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45【答案】C【解析】【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=3222AE =， ．sin ∠AOD=3，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．73C ．724D ．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74， ∴tan ∠CBE=724CE CB =.故选C.考点：锐角三角函数.6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）A ．1B ．12C ．32D ．33【答案】C【解析】【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF 3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等7．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A ．3B ．23C ．32D ．233【答案】A【解析】连接OC ，∵OA=OC ，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC •tan30°=3，故选A9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，1sin 4B =，则线段AC 的长是（ ）．A ．2B ．4C ．32D ．6【答案】A【解析】【分析】 连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD ＝90︒，∠D ＝∠B ，则sinD ＝sinB ＝14，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．【详解】连结CD ，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90︒，∵∠D ＝∠B ，∴sinD＝sinB＝14，在Rt△ACD中，∵sinD＝ACAD＝14，∴AC＝14AD＝14×8＝2．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．cos60tan45+o o的值等于()A．32B2C3D．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式13122 =+=．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=22AC BC +=5cosA=AC AB =35故选：B ．【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )A ．asinα+asinβB ．acosα+acosβC ．atanα+atanβD ．tan tan a a αβ+ 【答案】C【解析】【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．13．如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（ ）．A ．1B ．22C 21D ．222【答案】D【解析】【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解：Q CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形，O Q 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=Q 四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．14．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．3，30) B．(30，3-50) C．330) D．(30，3)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC3∴BC=（3－50）海里，∴B（3－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．15．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是( )A．斜坡的坡度为1: 2B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5y=时，x的值，判定D．【详解】解：214212y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，11xy=⎧⎨=⎩，22772xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，72∶7=1∶2，∴A正确；小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；2142y x x=-21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．16．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622xx x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2， 在Rt △BEF 中，222313BE =+=，∴313cos 1313BF EBF BE ∠===． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.18．如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是( )A ．303 n mileB ．60 n mileC ．120 n mileD ．(30303)+n mile【答案】D【解析】【分析】 过点C 作CD ⊥AB ，则在Rt △ACD 中易得AD 的长，再在直角△BCD 中求出BD ，相加可得AB 的长．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CD AC ， ∴CD=AC •cos ∠3303=． 在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴3∴3答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．故选D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×12＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝3，PQ＝22PH HQ+＝39+＝23，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－3B．20－3C．10－3D．35【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．。
数学面试《用锐角三角函数解决问题(2)》试讲逐字稿
《用锐角三角函数解决问题（2）》试讲逐字稿上课，同学们好，请坐。
最近咱们一直在学习锐角三角函数相关的知识，今天这节课我们继续学习用锐角三角函数解决问题。
（板书课题）同学们先一起来回顾一下上节课用锐角三角函数解决问题的思路。
第一步是什么？要构造直角三角形。
第二步呢？应用说角三角函数解直角三角形。
那我们再来回顾一下锐角三角函数的定义。
正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边。
锐角三角函数反映的是直角三角形中边与角之间的关系。
看来同学们对之前的知识记得很牢固。
下面我们来看一道生活实际问题。
同学们请看大屏幕，图上展示的是什么？是游乐场里的大型摩天轮。
已知摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min，摩天轮的底部与地面相距0.3m。
小明从摩天轮的底部进入轿厢，开始观光后，2min时小明距离地面有多高？为了解决这个问题，我们可以先作图来帮助我们分析题干。
同学们可以在自己的练习本上画一画，并在图中找到并标记相应的已知条件。
老师刚刚巡视发现个别同学似乎对于2min后小明所在的位置有点困惑，我们一起在黑板上画一画。
既然摩天轮是圆形的，我们也用圆形来表示摩天轮，圆上最低点A表示摩天轮的底部、半径OA是竖直的，以上这些同学们都画出来了。
接下来我们想想，小明从底部点A开始，沿着圆形移动，经过2min后会到达圆上的哪个位置呢？这位同学举手了，似乎有想法，我们请他来回答。
好的，请坐。
他说，摩天轮旋转一周需要12min，那么旋转半周就是6min，也就是说3min会旋转四分之一周，同理可知，2min是12min的六分之一，小明在摩天轮的这个圆上会转过整个圆的六分之一。
嗯，他是根据时间的比值来计算移动位置，这个方法很巧妙，但前提得是速度一定才行。
大家认为摩天轮是匀速转动的吗？没错，为了保证每个游客在上面时不会忽快忽慢，摩天轮的确是匀速转动的。
同学们对生活中的这些现象总结的很到位。
我们已经知道了小明会在圆上转过六分之一的位置，那么是在点A的左侧还是右侧呢？嗯，这个问题其实对于我们解决题目并没有实质性的影响，因为在匀速运动过程中，时间一样的情况下，移动的距离是一样的，小明在左侧还是右侧的高度也就是一样的。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题（附答案）1．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，≈1.7）．3．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）4．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD 的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）5．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）6．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.2877．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）8．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）9．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°条幅底端F到地面的距离FE的长度．≈0.80，tan37°≈0.75）10．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．12．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）14．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]15．如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）16．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．17．如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）18．我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）19．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）参考答案1．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．2．解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的长约为10.2m．3．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．4．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．5．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．6．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．7．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．8．解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度约为28m．9．解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．10．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．11．解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BC sin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．12．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．13．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．14．解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．答：河宽EF的长约为53m．15．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．16．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．17．解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．18．解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．19．解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，∴AB＝，∵AB+AO+OM＝31.64cm，∴AO＝12cm，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，∴点B到桌面得距离为28.78cm．。
锐角三角函数的应用举例
03 锐角三角函数在物理问题 中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用 来描述物体在斜面上的重力分量、摩 擦力等，从而解决物体在斜面上的运 动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进 行矢量的合成与分解，例如求解两个 力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可 以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、 性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目 录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长 度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面 积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的 面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊 几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避 免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题 中应用举例
锐角三角函数帮你解决生活中的问题
锐角三角函数帮你解决生活中的问题锐角三角函数是学好三角学及本章内容的关键和基础. 锐角三角函数, 既是本章的重点，也是难点. 此内容又是数形结合的典范. 这涉及数学各个分支，又在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等诸领域都有应用. 因而，对本单元的学习必须引起足够的重视，特别是在日常生活中的应用更加广泛，下面举几例与同学们共赏一、车厢离地面多少米？问题1：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）【思路解析：】此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解．过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）． 所以，车厢的最高点A 离地面约为4米．点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．二、如何将角橱搬进房间？问题2：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家问题一图HG FDCB A具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．问题二图1问题二图2【思路解析：】如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH ，∵5.12<，∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间． 答案：设计方案草图如图所示．设计方案图设计方案说理图．点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．三、是否有进入危险区域的可能？问题3：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论．解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ， ∴030cot ⋅=CD AD ，60cot ⋅=CD BD ，∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD ， ∵310＞10．∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。
用锐角三角函数解决问题
详细描述
已知一边和该边所对应的角度，可以计算出另一边的长度。公式为：sin(角度) = 未知边长/已知边长。
用余弦函数测量
总结词
余弦函数可以用来计算角度，尤其是当我们知道两条边和它们之间的夹角时。
详细描述
已知两边和它们之间的夹角，可以计算出第三边的长度。公式为：cos(角度) = 已知边长1/已知边长2 。
详细描述
已知直角三角形的一个锐角的大小为A度，则其邻边与斜边的比值就是sin(A)。同时，也可以通过已知的邻边长 度和斜边长度，利用正弦函数计算出锐角的大小。
用余弦函数计算
总结词
余弦函数是直角三角形中一个锐角与斜边的 比值。
详细描述
已知直角三角形的一个锐角的大小为A度， 则其邻边与斜边的比值就是cos(A)。同样， 也可以通过已知的邻边长度和斜边长度，利 用余弦函数计算出锐角的大小。
用锐角三角函数解决 问题
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目录
• 锐角三角函数的定义 • 用锐角三角函数测量不可直接测量的物体 • 用锐角三角函数计算角度 • 用锐角三角函数解决实际问题 • 锐角三角函数的近似计算
01
锐角三角函数的定义
正弦函数
定义
正弦函数是直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值，记作 sin(α)。
隧道挖掘
在隧道挖掘中，需要确定挖掘方向和深度以确保隧道的 质量和安全性。锐角三角函数可以帮助计算隧道挖掘的 角度和长度，以实现精确的挖掘。
地理问题
地图绘制
地图绘制需要将地球表面上的点转换为平面坐标。锐 角三角函数可以用于计算不同地点之间的角度和距离 ，从而确定它们在地图上的位置。
地球自转
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC 中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2. （2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3. 仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠F AE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4. 如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DP A的值．参考答案：例1. 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
第28章锐角三角函数-《利用坡度解决问题》教案
3.提高学生的问题解决能力，设计更多具有实际情境的问题，让学生在实践中学会运用锐角三角函数；
4.加强学生表达能力的培养，鼓励他们在课堂上积极发言，提高沟通与分享的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调坡度的计算方法和锐角三角函数（正切函数）的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解坡度与角度之间的关系。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与坡度相关的实际问题，如自行车道的坡度设计、斜坡的稳定性分析等。
（3）在实际问题中，能够灵活运用锐角三角函数解决坡度问题。
举例解释：
a.坡度概念的理解：难点在于让学生理解坡度不仅仅是数学概念，而是与实际生活密切相关。教师可以通过展示图片、动画等，帮助学生形象地理解坡度在实际场景中的应用。
b.角度与坡度的关系：学生容易混淆角度与坡度的关系，教师需强调正切函数求解的是角度的正切值，而坡度是角度正切值的另一种表示形式。可通过具体实例，如30度角的正切值为1/√3，对应的坡度为1:√3。
在讲授正切函数的应用时，我发现有些学生在求解坡度时容易混淆角度与坡度的关系。针对这一情况，我通过具体案例和图示，强调了正切函数求解的是角度的正切值，而坡度是角度正切值的具体表现。此外，我还让学生们进行分组讨论，亲身体验如何将锐角三角函数应用于解决实际问题，从而加深对这一知识点的理解。
在实践活动环节，学生们分组讨论实际问题时表现得相当积极，但我也注意到有些小组在讨论过程中偏离了主题。为了引导学生们更好地聚焦问题，我及时介入并提出了具有针对性的问题，帮助他们回到正确的讨论方向。
b.正切函数的应用：强调正切函数在求解坡度中的关键作用，如已知斜面的垂直高度和水平宽度，可以通过计算正切值得到坡度。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。
5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。
tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。
锐角三角函数教案与反思
锐角三角函数教案与反思《锐角三角函数教案与反思》这是优秀的教案文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】1、知识技能：初步了解锐角三角函数的意义，初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2、数学思考：在体验探求锐角三角函数的定义的过程中，发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。
3、解决问题：从实际问题入手研究，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程，体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。
4、情感态度：在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。
学习重点：锐角正弦的定义学习难点：理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。
【教学对象】九年级学生【教学过程】活动一、创设情境，导入新课图片欣赏：意大利比萨斜塔。
问题：数学来源于生活，应用于生活，用数学视觉观察世界，用数学思维思考世界，若用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度，应该怎么做?师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。
设计意图：通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。
追问1：在上述问题中，可以抽象出什么几何图形?上述问题可以抽象出什么数学问题?师生活动：结合动画演示，引导学生得出：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”。
追问2：对直角三角形的三边关系，已经研究了什么?还可以研究什么?设计意图：从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。
活动二、探究发现，形成概念问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管?(1)解决问题，初步体验隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的直角三角形，追问1：你能用数学语言来表述这个实际问题吗?如何解决这个问题?师生活动：学生组织语言与同伴交流。
用锐角三角函数解决问题
利用正切定理求解问题
总结词
正切定理是指在三角形中，任意两边之比等于对应角的 正切之比。利用正切定理可以解决一些与角度和边长有 关的问题。
详细描述
在任意三角形ABC中，正切定理表示为$\frac{a}{tan A} = \frac{b}{tan B} = \frac{c}{tan C}$。利用这个定 理，我们可以推导出一些有用的结论，比如三角形的面 积公式为$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A$
03
用锐角三角函数解决实际问题
测量距离的问题
总结词
利用锐角三角函数，可以解决一些难以直接测量的距离问题 。
详细描述
通过构建直角三角形，利用已知的边长和角度，计算出需要 测量的距离。例如，在野外考察时，可以利用三角函数计算 出两点之间的距离。
测量高度的问题
总结词
锐角三角函数可以帮助我们解决高度测量问题。
04
特殊情况下锐角三角函数的运用
等边三角形中的三角函数
等边三角形三边：任意一边的长度与 高的比值等于正弦值
余弦定理：任意一边的长度与 邻边的长度之比等于余弦值
等腰三角形中的三角函数
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，顶角对着的边为底边 正弦定理：任意一边的长度与高的比值等于正弦值
回归实际问题
将求解出的未知数代回原表达式中， 得到实际问题的解。
对于多解的情况，需要根据实际问题的特 征进行分析和取舍。
将所得结果进行实际应用，验证所 得解是否符合实际问题要求。
THANK YOU.
01
02
正弦函数性质
定义域：[-π/2, π/2] 或 [0, π]
应用锐角三角函数解实际问题
应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。
本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。
首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。
其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。
设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。
首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。
然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。
此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。
假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。
首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。
最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。
假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。
这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。
锐角三角函数第二课时教案
锐角三角函数第二课时教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正弦、余弦和正切的概念，能够根据直角三角形的边长求锐角的正弦、余弦和正切值。
（2）掌握锐角三角函数之间的关系，能够运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过对锐角三角函数的学习，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
（2）在探究三角函数的过程中，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过实际问题的解决，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）在合作学习中，培养学生的团队合作精神和交流能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）锐角正弦、余弦和正切的概念及计算。
（2）锐角三角函数之间的关系。
2、教学难点（1）理解锐角三角函数的概念。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、复习导入（1）回顾上节课所学的直角三角形的相关知识，如直角三角形的边、角关系。
（2）提问：在直角三角形中，如果已知一个锐角和一条边，能否求出其他的边和角？2、新课讲授（1）引入正弦概念在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，对边为 a，斜边为 c。
则∠A 的正弦值为：sin A ＝ a ／ c 。
通过实例，让学生理解正弦的概念。
例如，给出一个直角三角形，已知一个锐角和斜边的长度，求对边的长度。
（2）引入余弦概念同样在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 的邻边为 b，斜边为c。
则∠A 的余弦值为：cos A ＝ b ／ c 。
通过具体例子，让学生掌握余弦的计算方法。
（3）引入正切概念在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 的对边为 a，邻边为 b。
则∠A 的正切值为：tan A ＝ a ／ b 。
举例说明正切的应用。
（4）锐角三角函数之间的关系引导学生发现：sin² A ＋ cos² A ＝ 1 ，tan A ＝ sin A ／ cos A 。
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途
锐角三角函数在日常生活中有哪些用途锐角三角函数在日常生活中的用途那可真是不少！咱们先来说说建筑方面。
就拿盖房子来说吧，建筑工人师傅们在搭建脚手架的时候，可就得用到锐角三角函数的知识。
我之前亲眼见过一个建筑工人师傅，他站在地上，拿着测量工具，眼睛专注地盯着上面的架子，嘴里还念念有词。
我好奇凑过去一听，原来他在计算架子与地面形成的角度，用的就是锐角三角函数。
他跟我说，如果角度算不对，这脚手架搭得不稳当，那可就危险啦！再说说装修的时候，要安装一个斜着的窗户。
这时候就得算出窗户与墙面的夹角，才能保证窗户安装得既美观又实用。
工人师傅们会拿着尺子和量角器，在那比划来比划去，其实就是在运用锐角三角函数的原理呢。
还有测量山的高度。
有一次我去爬山，碰到一群搞测量的人。
他们站在山脚下，拿着各种仪器。
其中一个人拿着望远镜看向山顶，另外几个人在本子上记录着数据。
我好奇地问他们在干啥，他们说在测量这座山的高度。
原来他们是通过测量山脚下到山顶的角度，还有他们与山之间的距离，利用锐角三角函数来算出山的高度。
这可真神奇，我当时就在想，这小小的锐角三角函数居然有这么大的本事！在航海中，锐角三角函数也起着重要作用。
船长要确定船只的位置和航向，就得依靠对角度的测量和计算。
比如说，通过测量灯塔与船只的夹角，结合已知的距离，就能准确判断出船只的位置，避免触礁或者迷路。
在日常生活里，如果你想在墙上挂一幅画，要挂得正又好看，也得用到锐角三角函数。
你得先测量画框与墙面的角度，还有画框的长度和高度，这样才能确定钉子应该钉在哪个位置，画才能挂得稳稳当当，不会歪歪斜斜的。
还有啊，比如你想在院子里搭一个滑梯给小朋友玩。
滑梯的坡度太陡，小朋友滑下来速度太快不安全；坡度太缓，又滑得不痛快。
这时候就得通过锐角三角函数来计算出最合适的角度，让小朋友既能玩得开心又能保证安全。
甚至在拍照的时候，有时候为了拍出特别的效果，摄影师也会考虑角度的问题。
通过计算拍摄角度和距离，来达到想要的构图和视觉效果。
【素材3】锐角三角函数之间的关系及其应用
锐角三角函数之间的关系及其应用锐角三角函数在初中阶段只学习三种：正弦、余弦和正切。
同一个锐角的三角函数，它们之间存在着一些关系，并且每一个关系还可以以其他不同的形式出现和使用。
一、利用上述关系求锐角三角函数值 例题1、设α为锐角，已知53sin =α，求αcos 和αtan 的值。
分析：本道题目既可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用它们之间的关系求解。
解：∵α为锐角，∴1cos sin 22=+αα∴54)53(1sin1cos 22=-=-=αα，435453cos sin tan ===ααα。
例题2、设α为锐角，已知43tan =α，求αsin 和αcos 的值。
分析：本道题目应用的公式较多，使用过程中一定要准确。
解：∵43tan =α， ∴43cos sin =αα， ∴ααcos 43sin =。
又∵1cos sin 22=+αα，∴1cos )cos 43(22=+αα，∵α为锐角， ∴54cos =α，∴535443cos 43sin =⨯==αα。
二、利用上述关系求代数式的值例题1、已知α为锐角，已知2tan =α，求ααααsin 5cos 4cos sin 3-+的值。
分析：可以充分利用AAA cos sin tan =这个关系进行计算。
代数式可以有两种变形形式：一是把代数式两边都除以αcos ，变形为ααtan 541tan 3-+；二是根据公式2cos sin =αα，所以ααcos 2sin =，然后代入进行约分即可。
解：第一种方法：分子和分母两边都除以αcos ，得ααααααααααααααααααααtan 541tan 3cos sin 5cos cos 4cos cos cos sin 3cos sin 5cos 4cos cos sin 3sin 5cos 4cos sin 3-+=-+=-+=-+ ∵2tan =α，∴原式=67254123tan 541tan 3-=⨯-+⨯=-+αα。
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课题：锐角三角函数的简单应用（2）——方位角
主备：林金强 课型：新授 编号：90706
班级 姓名
备课组长签名【教学过程】： 教学目标：使学生掌握三角函数的简单应用——对方位角的认识。
例题讲解：
例1. 如图，在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 测得B 地的走向是南偏东52°，现A 、B 公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是( )
A 、北偏西52°
B 、南偏东52°
C 、西偏北52°
D 、北偏西52°
例2. 海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．
例3.一船以每小时20海里的速度沿正东方向航行。
上午8某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午9时行到C 正北方向，此时它与灯塔的距离是多少海里？(
例4.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B
例5 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气 旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220
千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米， 风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东300方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四
级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有
多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【当堂训练】：
1.如图，A 市东偏北60°方向有一旅游景点M ，在A 市东偏北30•°的公路上向前行800米到C 处，测得M 位于C 的北偏西15°，则景点M 到公路AC•的距离MN 为________米（结果保留根号）．
2.如图王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）
A ．350m
B ．100 m
C ．150m
D ．3100m
3.如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东30゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，则敌舰与两炮台的距离分别为_______米（结果保留根号）．
4.如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？
学生笔记栏
【课后作业】： 姓名：
1.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼。
甲船以每小时215千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。
甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇。
（1）甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
2．如图,小岛A 在港口P 的南偏西45°方向，距离港口8l 海里处．甲船从A 出发，沿AP 方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东6O °方向，以l8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，
(1)出发后几小时两船与港口P 的距离相等?
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?
3.海船以30海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离.（画出图形后计算）
东
4.公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？
5．如图，MN 表示南京至武汉的一段高速公路设计路线图，•在点M 测得点N 在它的南偏东30°的方向，测得另一点A 在它的南偏东60°的方向；•取MN 上另一点B ，在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向，以点A 为圆心，500m •为半径的圆形区域为某居民区，已知MB =400m ，通过计算回答：如果不改变方向，•高速公路是否会穿过居民区？
【中考链接】：
如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切。
将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为25cm ，设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA ＝a ，且sin a ＝
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． (1)求点M 离地面AC 的高度BM ；
(2)设人站立点C 与点A 的水平距离AC 等于55 cm ，求铁环钩MF 的长度．
N。