多元函数的一阶偏导数练习1
多元函数的偏导数与极值问题
显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
2
1 x
yx
x
y
x
ln
y
dx
x x yx1dy
所以 z 3, 2 31是极大值。
最大最小值问题
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在 极值点或边界上取得。
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则 可判定函数在该驻点即取得最值。
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
2 yex2 y
2z x4ex2y y 2
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
xy
yx
若二元函数 z f x, y 的两个混合偏导 2 z , 2 z
xy yx
在区域 D 上连续，则它们必相等。
全微分的相关概念
如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。
x
S x 1 x 16 x2
2
令
Sx
1
2
16 x2
x2 16
1 z lnx 2y
解
zx
x
1 2y
zxx
x
1
2y2
2
zxy x 2 y2
一阶偏导数存在但不连续的连续例题
一阶偏导数存在但不连续的连续例题一、引言1.问题背景及意义在高等数学、工程数学、应用数学等课程中，偏导数的概念及其应用占据了重要地位。
偏导数是多元函数在某一点处的局部性质的描述，它可以反映函数在某一点处的变化情况。
然而，在实际问题中，函数的偏导数可能存在但不连续，这种现象具有一定的实际意义，因此研究一阶偏导数存在但不连续的连续例题具有重要的理论价值和实际应用背景。
2.研究对象与基本概念本文以一阶偏导数存在但不连续的连续函数为研究对象，探讨其在多元函数、泛函分析等领域的应用。
主要涉及的概念有一阶偏导数、连续函数、多元函数、泛函分析等。
二、一阶偏导数存在但不连续的连续例题分析1.例题1：一阶偏导数存在但不连续的函数已知函数f(x, y)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x, y) ≈ f(0, 0) + x^2f_x(0, 0) + y^2f_y(0, 0) + (x^3f_xx(0, 0) +x^2f_y(0, 0)y + y^3f_yy(0, 0))/2! + ...2.例题2：一阶偏导数存在但不连续的多元函数已知函数f(x1, x2)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x1, x2) ≈ f(0, 0) + x1^2f_x1(0, 0) + x2^2f_x2(0, 0) + (x1^3f_x1x1(0, 0) + x1^2f_x2(0, 0)x2 + x2^3f_x2x2(0, 0))/3! + ...3.例题3：一阶偏导数存在但不连续的泛函分析中的应用已知函数f(x, y)在区域D上连续，一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在区域D上的最小值。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
多元函数偏导数(第六讲)
第六讲 多元函数偏导数与最值问题一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v wx y z t t t ¶¶¶===¶¶¶有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f fu v w kf u v w u v w¶¶¶++=¶¶¶于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且0x j ¶¹¶，求du dx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：有复合关系，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ 由2(,,)0y x e z j =两边对x 求导，得xyzxyxuUn Re gi st er ed12320y dy dzx e dx dxj j j ¢¢¢++=g g ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢g于是123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程2222()0u u u ua x y x y¶¶¶¶-++=¶¶¶¶（1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v ve v e v e x x xa b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v v e v e x x x xa b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v vv e x xa b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u vv e y ya b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x y u v v v e y y ya b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x yea b +变得到222222(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x ya b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， 由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出22a aa b ì=-ïïíï=ïî，Un Re gi st er ed故原方程为 22220u ux y ¶¶-=¶¶．（2）令x y x =+，x y h =-，则v v v v v x x x x h x h x h ¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v v y y y x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x xx h x hx x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 222222v v v x x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 2222222v v v vy x x h h ¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u ux y¶¶-=¶¶中得到20vx h¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例4．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y l =++++-Un Re gi st er ed求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y l l lì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-， 求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =，则(0)13j =，(252pj =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2t p=就可以了，结论同上．Un Re gi st er ed。
多元函数微分学解题技巧
2.全微分形式不变性
z f (u, v ), u ( x, y), v ( x, y)有连续偏导数，
z z 则dz dx dy x y
z z dz du dv u v
3.隐函数求导法
2 2 ( x y ) ( 1 ) lim ( x y ) e 练习 求 ( x , y )( , )
=0
x2 y 1 xy
1 cos(xy) 1 ( 2) lim 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y 2
1 (3) lim (1 ) ( x , y )( , ) x
答案： 2a
x y 2 2 tan ( x y ), ( x,y) (0,0) 2 2 例11 设f ( x , y ) x y 0, ( x,y) (0,0) 证 明f ( x , y )在 点(0,0)处 可 微 , 并 求df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
多元函数微分学
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 三、方向导数和梯度 四、应用（极值、切线、切平面）
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）
1．重极限
0 y y0
lim f ( x, y) A ( x, y) ( x0 , y0 ) 是以“任意方式” x x
f x ( 0,0)不存在，f y ( 0,0) 0
例13. 设 z e z 则 x 例14
x
2 y 0 z x f ( x 2 y),且当 时,
.
(e x e ( x 2 y ) 2( x 2 y ))
2011竞赛辅导-多元函数微分学
二、 偏导数
（一） 多元函数的一阶偏导数与全微分
7. 设f ( x, y) ( x y) xy , 求f x (1,1), f y (1,0).
f x (1,1) 1 2 ln 2, f y (1,0) 0.
x 练习： 设f ( x, y ) x ( y 1) arcsin , 求f x ( x,1). 答案： 1 y f ( x , y ) f ( x , y ) 8. 设 在 全 平 面 上 有 0, 0, 则在下列 x y （C ） . 条件中能保证 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 )的是
, 证明对任意正数 t有 20. 设f ( x, y )具有连续偏导
f (tx, ty ) t k f ( x, y )的充要条件是 f ( x, y )满足 欧拉方程
f f x y kf ( x , y ). x y
（三） 隐函数求导
•由一个方程所确定的隐函数 •由方程组所确定的隐函数
C . 1;
1 1 dx dy 2e 2
D. 2.
10.(江苏06竞赛) 已知由 x ze y z 可确定 z z( x, y ),
则dz(e,0) (
1 z
)
5,176 li 4.16
x 练习：设f ( x , y, z ) y , 求df (1,1,1).
lim
f ( x, y ) 1, 则f ( x , y )在(0,0)处（D） . 2 2 x y
A. 极限存在但不连续
B. 连续但偏导数不存在 D. 可微
C. 偏导存在但不可微
(0,0)处可微的一个充分条件 是( C ) 5. 函数f ( x, y)在点 （09数二）
第7章多元函数的微分学总复习剖析
x2 y2
x2 y2
总复习（第7章） 四、抽象复合函数的一阶偏导数
——填空、选择
2、设z f( x2 y2,e xy ),其中f 为可微函数，求zx ,zy .
解 设u x2 y2 ,v e xy , 则z f(u,v),
zx zu ux zv vx fu(u,v) 2x fv(u,v) ye xy
1. u xe y z2
解 du u dx u dy u dz
x
y
z
e y z2dx xe y z2dy 2 xze ydz.
2. z ln( x2 y2)
解 dz z dx z dy
x
y
( x2
y
2
) x
dx
( x2
y
2
) y
dy
x2 y2
x2 y2
2x
2 y
dx
dy
1. x 2 y z 2xyz 0.
解 令F( x, y,z) x 2 y z 2xyz
Fx 1 2 yz, Fy 2 2xz, Fz 1 2xy
z Fx
x
Fz
1 2yz 1 2xy
z Fy
y
Fz
2 2xz 1 2xy
总复习（第7章）
2. x2 z2 ln z ln y
2 xf ( x2 y2 ,e xy ) ye xy f ( x2 y2 ,e xy )
zy zu uy zv v y fu(u,v) (2 y) fv(u,v) xexy 2 yf ( x2 y2 ,e xy ) xe xy f ( x2 y2 ,e xy )
总复习（第7章）
144 p1 4 p2
总复习（第7章）
一阶偏导数存在但不连续的连续例题
一阶偏导数存在但不连续的连续例题（原创实用版）目录1.偏导数的概念和一阶偏导数的定义2.一阶偏导数存在但不连续的例子3.求解一阶偏导数存在但不连续的例题4.总结和拓展正文一阶偏导数存在但不连续的连续例题：在微积分中，偏导数是指多元函数在某一点的变化率。
一阶偏导数是指多元函数在某一点的第一个偏导数。
当一阶偏导数存在但不连续时，可以通过求解例题来加深理解。
一、偏导数的概念和一阶偏导数的定义偏导数是多元函数的导数的推广。
设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 处可偏导，则当自变量 x 变化时，函数在点 (x0,y0) 处的偏导数定义为：Dx(f)(x0,y0) = lim(f(x0+h,y0+k) - f(x0,y0))/h，当 h 趋于 0 其中，k 为任意实数。
如果此极限存在，则称函数 f(x,y) 在点(x0,y0) 处对 x 可偏导，记作 Dx(f)(x0,y0)。
同理，可以定义函数在点(x0,y0) 处对 y 的可偏导数 Dy(f)(x0,y0)。
二、一阶偏导数存在但不连续的例子我们可以通过一个具体的例子来理解一阶偏导数存在但不连续的情况。
假设函数 f(x,y) = |x| + |y|，在点 (0,0) 处，函数的偏导数存在，但不连续。
函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处的偏导数为：Dx(f)(0,0) = 0 + lim(y/h) = 0，当 h 趋于 0Dy(f)(0,0) = 1 + lim(x/h) = 1，当 h 趋于 0因此，函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处对 x 的偏导数为 0，对 y 的偏导数为 1。
三、求解一阶偏导数存在但不连续的例题现在，我们来看一道求解一阶偏导数存在但不连续的例题。
例题：设函数 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y，求在点 (1,1) 处的一阶偏导数。
解：首先，我们需要求函数的偏导数。
函数 f(x,y) 的偏导数为：Dx(f) = 2x + 2y - 2Dy(f) = 2x + 2y - 2将点 (1,1) 代入偏导数公式，得到：Dx(f)(1,1) = 2*1 + 2*1 - 2 = 2Dy(f)(1,1) = 2*1 + 2*1 - 2 = 2因此，在点 (1,1) 处，函数 f(x,y) 的一阶偏导数存在，且不连续。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
1 / 28习题8-11. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2) 221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3) )0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4) 22arccosyx z u +=。
221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y ≤+≠2. 求下列多元函数的极限:： (1) 22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln 2x y →→== (2) xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2 / 28(3) x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1limy y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xyy x y x )(lim 220+→→。
解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1) y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。
一阶偏导数
一阶偏导数微积分刚开始就是刷题，背定义。
然后我发现自己忘记的太快了，我都怀疑自己的人生了。
尤其是学了物理之后，发现微积分根本不懂。
上来就没打好基础。
所以希望自己能慢慢补上数学分析，线性代数，偏微分，实变。
感觉要转行了。
不过我下面的回顾还是避开了证明，毕竟我不感兴趣。
1、基础偏导数定义：\frac{\partial f}{\partialx}(x_{0},y_{0})=\lim_{\triangle x \rightarrow0}{\frac{f(x_{0}+\triangle x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\triangle x}} ,如果f在 (x_{0}，y_{0}) 点均可偏导，那么就称f在 (x_{0}，y_{0}) 点可偏导。
偏导数的几何意义：以 f_{x}(x_{0},y_{0}) 为例，偏导数就是在这一点，平行于x,z面的切线关于x轴的斜率。
方向导数：\frac{\partial f}{\partial v}=\lim_{t \rightarrow0+}{\frac{f(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tsin\alpha)-f(x_{0},y_{0})}{t}} ,也就是f在点 (x_{0},y_{0}) 处的沿着 v(cos\alpha,sin\alpha) 方向的方向导数。
在导数的定义中，导数存在的充要条件是导函数左右导函数存在并且相等。
而在方向导数中，函数在某一点关于x,y偏导数存在的充要条件是沿x(或y)正方向和负方向的偏导数存在，并且互为相反数。
2、多元函数的全微分对于 f(x,y) , 如果在其中的一个点 (x_{0},y_{0}) 满足存在与 \triangle x ,\triangle y 无关，只与 (x_{0},y_{0}) 有关而与 \triangle x和\triangle y 无关的的数A，B使得 :\triangle f=A\triangle x+B\triangley+o(\sqrt{\triangle x^{2}+\triangle y^{2}}) , 其中A\triangle x+B\triangle y 为其中的线性部分，也叫做f在(x_{0},y_{0}) 点的全微分。
多元函数微分习题-（1）
多元函数微分习题-（1）多元函数微分法及其应⽤同步测试（2009年4⽉）注:红⾊的题⽬超出范围,不做.测试1⼀、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=??? ?+，则=),(y x f 。
2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。
3、设xyze z y xf =),,(，则=zy x f 3 。
4、曲线==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线⽅程为。
⼆、选择题（4分×3=12分）1、设有⼆元函数=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。
A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；D 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各⼀阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既⾮必要也⾮充分条件。
3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。
A 、极⼩值点；B 、驻点但⾮极值点；C 、极⼤值点；D 、最⼤值点。
三、计算题（6分×5=30分）1、设=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各⼀阶偏导数。
2、设+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。
3、设),(y x f z =由⽅程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz 。
第八章 多元函数微分学习题解(1)
第8章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y=+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y xx y x==++ ★2. 已知函数(,,)wu vf u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xy x f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()zx y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)z y x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z =解：要使表达式有意义，必须0x -≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）arccosu=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）ln(1)z x y =--解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln 1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩ ∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10limyx y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：10ln 2limln 21yx y →→==★★（2）00limx y xy→→知识点：二重极限。
多元函数求偏导数例题
多元函数求偏导数例题偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量求导时的导数，也可以理解为在其中一个自变量变化时，其它自变量保持不变。
考虑一个多元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们来求解该函数在其中一点上的偏导数。
假设我们要求解该函数在点 (2, 3) 处关于 x 的偏导数。
首先，我们需要明确偏导数的定义。
在点(2,3)处关于x的偏导数可以使用如下定义：\[\frac{\partial f}{\partial x}(2, 3) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x, 3) - f(2, 3)}{\Delta x}\]我们可以先计算f(2,3)的值：f(2,3)=(2)^2+2(2)(3)+(3)^2=4+12+9=25现在我们来计算 f(2 + \Delta x, 3) 的值：f(2 + \Delta x, 3) = (2 + \Delta x)^2 + 2(2 + \Delta x)(3) + (3)^2 = 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 + 12 + 6\Delta x + 9 = 25 + 10\Delta x + (\Delta x)^2将上述两个结果代入偏导数的定义，得到：\[\frac{\partial f}{\partial x}(2, 3) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{25 + 10\Delta x + (\Delta x)^2 - 25}{\Delta x}\]化简上式，得到：\[\frac{\partial f}{\partial x}(2, 3) = \lim_{\Delta x \to 0}10 + \Delta x = 10\]因此，该多元函数在点(2,3)处关于x的偏导数为10。
类似地，我们可以求解该多元函数在点(2,3)处关于y的偏导数。
0809习题课(第8章多元函数微分法及其应用)
练习 解答或提示
六、求螺旋线 x = a cosθ , y = a sinθ , z = bθ 在点(a ,0,0) t 曲 t t
处的切线与法平面方程 .
t x′ = −asinθ , y′ = acosθ , t
(a,0,0) →θ = 0, T t
(a,0,0)
z′ = b,
= (0, a, b),
练习 解答或提示
∂z ∂ z 五、设 x = e cos v , y = e sin v , z = uv ,求 , . ∂ x , ∂y Qzx = vux + uvx , z y = vuy + uv y ,
u u
1 = eu cos v ⋅ ux − eu sinv ⋅ vx 0 = eu sinv ⋅ ux + eu cos v ⋅ vx
∂z ∂ z 五、设 x = e cos v , y = e sin v , z = uv ,求 , . ∂ x , ∂y
u u
六、求螺旋线 x = a cosθ , y = a sinθ , z = bθ 在点(a ,0,0) 处的切线与法平面方程 . 七、求曲面 x + y + z = 1在点 1,2,−2)处切平面方程. ( 八、求函数z = f ( x, y) = x2 − xy + y2的极值.
( ∴在点 0,0)处: AC − B2 = 3 > 0, 且A = 2 > 0,
∴函数有极小值 f (0,0) = 0.
所确定的函数 , 求 du. ∂z ∂z ′ ux = f1 + f2 ⋅ , uy = f2 ⋅ , 令F( x, y, z) = z − x − yϕ(z), ′ ′ ∂y ∂x Fy Fx 1 ∂z ∂z ϕ(z) , , =− = =− = Fz 1 − yϕ′(z) ∂y Fz 1 − yϕ′(z) ∂x
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
多元函数微分学习题(1)
多元函数微分学习题答案基本要求：二元函数的定义域及图示，二元函数的极限，二元函数的间断点，连续函数的基本性质，偏导数求法，高阶偏导数，全微分及全增量，多元函数求导法则，空间曲线的切线与法平面方程，空间曲面的切平面和法线方程，梯度计算，多元函数的极值的判定，简单的条件极值。
填空题1、函数z=ln(x-y-1)的定义域为 .2、函数22ln(4)z x y=--+的定义域是 .3、极限0sinlim x a yxy y→→=，21lim(243)xyx xy x y→→+-+=，xy→→= .4、函数f(x,y)=ln(x2+y2)的间断点为 .5、1(,)f x yx y=-在处间断.6、设z=xy，则关于x的偏导数为，关于y的偏导数为。
7、函数z=x2y-xy2在点(1,2)处的全微分.函数z=y sin xy的全微分dz=8、函数f(x,y,z)=xyz在点(1,1,2)处的梯度grad f(x,y)= .9、函数z=x2y-xy的驻点为，它不是极值点.函数u=x2+y2+z2的极小值为 .10、曲面z=x3+y3-3xy在点(0,-1,-1)处的切平面方程为 .选择题1、下列说法正确的是（）（A）有界区域都是闭区域（B）开区域一定是无界区域（C）闭区域一定有界（D）邻域是闭区域2、下列说法正确的是（）（A）连续函数一定有最值（B）有界区域上的连续函数一定有最值（C）闭区域上连续函数一定有最值（D）连续函数一定有极大值和极小值3、对于二元函数f(x,y),下列说法正确的是（）（A）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点连续（B）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点可微（C）函数在某点处关于x的偏导数连续，则函数在该点可微（D）函数在某点处可微，则函数在该点关于x,y的偏导数均存在4、设函数f(x,y)在点(x,y)处间断，则（）（A）函数f(x,y)在点(x,y)处一定没有定义（B）函数f(x,y)在点(x,y)处极限一定不存在（C）函数f(x,y)在点(x,y)处可能有定义，也可能有极限（D）函数f(x,y)在点(x,y)处一定有定义和极限，但该点函数值不等于该点极限值5、0sinlim xyxy x→→（）（A）等于0（B）等于1 （C）不存在（D）等于∞6、下列说法不正确的是（ ）（A ）函数沿着梯度方向增加最快 （B ）函数沿着梯度相反方向减少最快（C ）函数沿着与梯度垂直方向增加最快 （D ）函数沿着与梯度垂直方向变化率为07、对于二元函数f (x ,y )，下列说法正确的是（ ）（A ）使偏导数都等于0的点（驻点）一定是极值点 （B ）极值点一定是驻点（C ）具有偏导数的函数，其极值点必为驻点 （D ）偏导数不存在的点是极值点 解答题1、试判断函数22(,)xy f x y x y=+在（0,0）处的极限是否存在？ 2、设z =x y ，求它的两个偏导数z x ，z y .3、设f (x ,y )= x 2y -3xy 3，求f xx ，f xy ，f yy .4、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(2,2)处的全微分.5、求函数z =e xy 的全微分.6、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(1,2)处的梯度.7、求函数z =x 2y -xy -x 的极值.8、函数z =x 3+y 3-3xy 的极值.。