高职高等数学 第七章 常微分方程 第二节

2、求特解
dy xy ； （2） y y 3 x ； （3） y tan y y 1 ； dx
x 4
dy x ,y dx y
0
小结：★可分离变量的微分方程 ★一阶线性微分方程 作业:P140B 组 1（1） ， （3） ；2（1） ；4
沈
阳
工
程
学
院
由公式(8)，原方程的通解为
ye
e
1 C1 x x 3 2 Q( x)dx C C x 1 x 3 2 2
x0 x0
即
2
y Cx
2
1 3 x 2
例 5 求方程 (1 x ) dy (1 2 xy x )dx 满足初始条件 y x 0 1 的一个特解。 解：原方程可化为

P ( x ) dx
工
d ( x) ； y1 e
P ( x ) dx
P ( x )dx
程
x dx
1
学
院
(9)
(8)
e
x
x0 x0
1 2 2x P ( x ) dx 2 1 d ( x) x dx Q ( x )e 1 x x 2 2
称为一阶线性齐次微分方程。相应的 Q ( x ) 0 时，方程(5)称为一阶线性非齐次微分微分方 程。
边积分可得其通解为
P ( x ) dx y Ce
其中 C 是任意常数。 注意
P ( x ) dx 在 y Ce 中， P ( x ) dx 仅表示 P ( x ) 的一个原函数。在以后所给出的微
沈
阳
工
1
程
学
(4)
院
，且过点 (1,0) ，求该曲线 4
y tan ，依题意可得 ， x 4
y x y y 1 x
y u ，即 y xu ，此时 y u xu ，将其代入上式得 x
此方程为一阶齐次方程。可作变换
u xu
1 u ，即 1 u
若 G ( y )
dy
1 , F ( x) M ( x) ，则可得方程(1)的通解 N ( y)
G ( y ) F ( x) C
或化为显形式为
y G 1 F ( x) C
2
(若 G ( y ) 有反函数)。
例 1 求方程 y ln x y ln x 的通解。 解：原方程可化为
P ( x ) dx 第三步：计算积分 y e ；
第四步：计算积分 Q ( x)e
第五步：由公式(9)写出原微分方程的通解。 例 4 求微分方程
沈
计算积分
dy y x 2 的通解。 dx x 1 2 解：因为 P ( x ) ， Q ( x) x 。 x
阳
P ( x ) dx
且由跳伞队员离开飞机时的速度为零得 (0) 0 ，所以此问题化为求解下面的初值问题：
v t o 0 代入可得 C
沈
方程
阳
工
程
P ( x ) dx
k
与 Q ( x )e
学

k
院
d ( x) 中的
P ( x ) dx
d mg kv ， dt
dv k vg dt m v t 0 0
分离变量得
两边积分得
沈
阳
工
dy 2 xdx y 1 x2 dy 2 xdx y 1 x2
2
ln xdx
程
4 的特解。
学
院
(3)
(1 x 2 )dy 2 xydx

计算积分可得 或
ln y ln 1 x 2 C1
ln y ln 1 x 2 ln C 2 (此处 C2 为大于零的任意常数)
e
P ( x ) dx
互为倒数，可使计算更为简便。
例 6 一跳伞队员质量为 m，降落时空气的阻力与伞下降的速度成正比，设跳伞队员离开飞机 时的速度为零。求伞下降的速度关于时间 t 的函数。 解：设跳伞队员离开飞机 t 秒时，其速度为 (t ) ，则该时刻所受阻力 f k (t ) ， 此时受重力为 P mg 。由牛顿第二定律可： (t ) 满足微分方程 m
t d k mg v g 为一阶线性非齐次微分方程，其通解为 v Ce m ，将条件 dt m k
mg ，故所求函数为 k
t mg v (1 e m ) k
由此我们可分析出：队员离开飞机后，开始阶段是在加速运动，经过一段时间后逐渐趋
近于匀速运动。
练习：1、求通解 (1)
以上我们利用“常数变易法”解出了一阶线性非齐次微分方程的通解，在具体解题中 并不要求仅用此方法来求解一阶线性非齐次微分方程的通解。方程(5)的通解可化为
P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx Q( x)dx y Ce e e
P ( x ) dx 此 式 中 等 号 右 端 第 一 项 y1 Ce 是一阶线性齐次微分方程的通解，而第二项
1 x
dx arctan x
y C (1 x 2 ) (1 x 2 ) arctan x 。
将初始条件 y x 0 1 代入上式可得 C 1 。所以，所求特解为
y (1 x 2 )(1 arctan x)
在利用公式 (9) 解一阶线性微分方程时，注意到 e
P ( x ) dx C ( x)e Q( x)
即 两边积分得
C ( x) e
C ( x) e
P ( x ) dx
Q ( x)
P ( x ) dx
Q(x)dx C
P ( x ) dx 将其代入 y C ( x)e 便得方程(5)的通解为
P ( x ) dx P ( x ) dx Q ( x)dx C ye e
因此，原方程的通解是 y C (1 x ) (C 为任意常数)
2
将条件 y
x 1
4 代入上式得 C＝2。满足初始条件故原方程 y x 1 4 的特解是
y 2(1 x 2 )
在例 2 中，两边积分时出现了表达式 ln y ( x) C1 ，为去对数可令 C1 ln C 2 (C 2 0) ， 此时有 y C 2 e
dy 1 u 2 dx x(1 u )
这是以 u 为未知函数得可分离变量方程，分离变量可得
1 u 1 du dx 2 x (1 u )
两边积分可得其通解为
1 arctan u ln(1 u 2 ) ln x C 2
回代 u
y 可得原方城的通解为 x 2 arctan y ln( x 2 y 2 ) C x
沈
一般地，我们把形如
阳
工
程
学
院
dy f ( x, y ) dx
dy M ( x) N ( y ) dx
(1)
M 1 ( x) N1 ( y )dx M 2 ( x) N 2 ( y )dy 0
(2)
dy M ( x)dx N ( y)
★两边积分
N ( y ) M ( x)dx
将初始条件 y
x 1
0 代入上式可求出 C＝0，因此所求曲线方程为
2 arctan y ln( x 2 y 2 ) 0 x
二、一阶线性微分方程
形如
y P( x) y Q( x)
的方程叫做一阶线性微分方程，其中 P ( x ), Q ( x ) 为已知函数。 当 Q ( x ) 0 时，方程(5)即为
dy (1 y 2 ) ln x ，它是可分离变量方程。 dx
分离变量得
dy ln xdx 1 y 2
两边积分得
1 y
dy
计算积分可得原方程的通解为
arctan y x ln x x C ，即 y tan( x ln x x C )
x 1
例 2 求方程 dy x ( 2 ydx xdy ) 满足初始条件 y 解：将方程 dy x ( 2 ydx xdy ) 变形为
第七章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
(Differential Equation)
(Differential Equation of First Order)
教学目的：1.熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 2.一阶线性微分方程的公式求法 3.能利用微分方程解决简单的实际问题 教学内容：1.可分离变量的微分方程 2.一阶线性微分方程 教学重点：1.可分离变量的微分方程的解法 2.一阶线性微分方程的公式求法 教学难点：一阶线性微分方程的公式求法 教 具：多媒体课件
沈
不难看出，一阶线性齐次微分方程是可分离变量方程，分离变量得
阳
工
y P( x) y 0
程
学
院
(5)
(6)
dy P( x)dx ，两 y
(7)

分方程的通解公式中积分表达式均如此，不再说明。 为了求方程(5)的通解，我们采用微分方程中常用的“常数变易法” ，即将(7)式中的常
P ( x ) dx 数 C 用函数 C ( x ) 代替，并设 y C ( x)e 是方程(5)的解，代入方程(5)可整理得
dy y f ( ) 的方程若不是可分离变量方程，则可通 dx x
y u 化为可分离变量的微分方程。一般地，我们把方程 x dy y f( ) dx x
叫做一阶齐次微分方程。 在方程(4)中作变换