气体分子热运动的统计规律

第十四章 气体分子热运动的统计规律

（statistical law of thermal motion of gas molecular ） §14-1 平衡态 概率 统计平均值

（equilibrium state ，probability ，statistical mean quantity ） 一、平衡态（equilibrium state ） 1、概念（concept ）

宏观性质长时间不改变的状态 2、描述（describe ）

（1）状态参量

① 体积Ｖ：气体分子所能到达的空间（3

m ） ② 压强Ｐ：单位面积上受到的压力 （

） 单位面积的动量变化率 （

）

③ 温度Ｔ：气体的冷热程度 （Ｋ）

ＶＰＴ间关系——物态方程

RT M

pV μ

=

（但只有两个是独立变量）

（２）几何图形（Ｐ－Ｖ图）

① 平衡态：点ａ（ｐ、v ） ② 准静态过程

过程：物态随时间的变化, 多点集合——曲线

准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态。 它在Ｐ－Ｖ图上为一曲线，如ａb 。 二、概率（probability ）

1、 概念（concept ）

事件出现的相对机会，即可能性 2、 表示（expression ）

N （N 很大）次试验中，x 事件出现了i N 次则X 事件出现的概率

P （X ）=

N

N i

（离散事件） 如果事件连续分布，且f （x ）表示单位间隔中出现的概率， （亦称概率密度或分布函数）则出现在d x 间隔中的概率 p （x ）= f （x ）d x 3、 特性（specific property ） （1） 小于1 ， p （x ）≤1 （2） 归1 ， ∑p （x ）=1 ,

1)(0

=⎰

∞

dx x f

4、 等概率假设（postulate of equal probability ）处于平衡态时，分子向各个方向运动概

率相等

三、平均值（mean quantity ）

1、 概念（concept ）

物理量的平均大小，表示量上加“一”，如x 2、 计算（computer ） （１） 离散情况 n n i

i p x p x p x N

N x x +++=∑=

(2211)

（２） 连续情况

⎰

=dx x xf x )(

某变量的平均值＝该量与分布函数的乘积对变量积分

§14—2 气体压强与温度的统计意义

（statistical meaning of gas pressure and temperature ）

一、气体的微观模型（microscopic model of gas ）

1、 微观模型 （microscopic model ）

（１） 分子可视为质点，同类分子的质量相同

（２） 分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞 2、 验证（verification ）

不能直接用实验

而是根据其推论与宏观实际（气体宏观实验）一致性来检验

二、压强（pressure ）

1、 实质（substance ）

大量分子对器壁的碰撞， 单位面积的动量变化率

s

t p s F p ∆∆∆=∆=

2、 公式（formula ）

（1）如图，一个分子质量为m ，速率为i v 的分子

与器壁s ∆碰后动量大小的变化（在x 方向上）

i

v

ix i i mv mv p 2cos 2-=-=∆θ (力学) (2)一群处于斜高为i v t ∆，底面为

s ∆ 的柱体中速率基本为i v 的分子与s ∆碰后的动量变化

① 柱体中速率基本为i v 的分子数(设分子数密度为i n ， θcos 'i tv s ni N ∆∆= ② 它们与 s ∆碰后动量的变化

t s nimv p N P ix i i ∆∆-=∆=∆2

2''

但据等概率假设，有一半的分子可能反向

运动而不能与s ∆同时相碰，故动量变化应修正减半，即 t s nimv P ix i ∆∆-=∆2

斜柱体中各种速率分子与s ∆相碰后引起总动量变化

t

s v nm t s v n n nm n

n

t

s v n m Pi P x ix i ix i ∆∆-=∆∆∑-=∆∆∑-=∆∑=∆2

2

2

（统计）

据等概率假设

2

22222

3x y x v v v v v =++=

即 3

2

2

v

v x

= （统计） 故气体动量的变化 t s v

nm

p ∆∆-=∆3

2

气体受到器壁的作用：

s v nm t

p F ∆-=∆∆=

3'2

（4）根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力'F F -=

压强公式 据定义

s

t p

p ∆∆∆=

k n v m n v nm ε3

2

21323122===

式中 ，2

2

1v m k =ε 为单个分子的平均动能

统计力学处理问题方法小结

（１） 对单个粒子：用牛顿力学规律

（２） 对大量粒子：用统计规律（求平均值） ３、统计意义（statistical meaning ）

∵公式的推导应用了统计的概念及方法 ∴压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。

三、温度（temperature ）

1、 公式（formula ）

由物态方程

为玻耳兹曼常量为分子数密度式中得

加工整理A

k

A N R

k V

N

n n nkT T N R v n m VN NmRT V MRT p RT M

pv =

======

=,3

2

,,4εμμ

故得