气体分子热运动的统计规律

第十四章 气体分子热运动的统计规律（statistical law of thermal motion of gas molecular ） §14-1 平衡态 概率 统计平均值（equilibrium state ，probability ，statistical mean quantity ） 一、平衡态（equilibrium state ） 1、概念（concept ）宏观性质长时间不改变的状态 2、描述（describe ）（1）状态参量① 体积Ｖ：气体分子所能到达的空间（3m ） ② 压强Ｐ：单位面积上受到的压力 （） 单位面积的动量变化率 （）③ 温度Ｔ：气体的冷热程度 （Ｋ）ＶＰＴ间关系——物态方程RT MpV μ=（但只有两个是独立变量）（２）几何图形（Ｐ－Ｖ图）① 平衡态：点ａ（ｐ、v ） ② 准静态过程过程：物态随时间的变化, 多点集合——曲线准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态。

它在Ｐ－Ｖ图上为一曲线，如ａb 。

二、概率（probability ）1、 概念（concept ）事件出现的相对机会，即可能性 2、 表示（expression ）N （N 很大）次试验中，x 事件出现了i N 次则X 事件出现的概率P （X ）=NN i（离散事件） 如果事件连续分布，且f （x ）表示单位间隔中出现的概率， （亦称概率密度或分布函数）则出现在d x 间隔中的概率 p （x ）= f （x ）d x 3、 特性（specific property ） （1） 小于1 ， p （x ）≤1 （2） 归1 ， ∑p （x ）=1 ,1)(0=⎰∞dx x f4、 等概率假设（postulate of equal probability ）处于平衡态时，分子向各个方向运动概率相等三、平均值（mean quantity ）1、 概念（concept ）物理量的平均大小，表示量上加“一”，如x 2、 计算（computer ） （１） 离散情况 n n ii p x p x p x NN x x +++=∑= (2211)（２） 连续情况⎰=dx x xf x )(某变量的平均值＝该量与分布函数的乘积对变量积分§14—2 气体压强与温度的统计意义（statistical meaning of gas pressure and temperature ）一、气体的微观模型（microscopic model of gas ）1、 微观模型 （microscopic model ）（１） 分子可视为质点，同类分子的质量相同（２） 分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞 2、 验证（verification ）不能直接用实验而是根据其推论与宏观实际（气体宏观实验）一致性来检验二、压强（pressure ）1、 实质（substance ）大量分子对器壁的碰撞， 单位面积的动量变化率st p s F p ∆∆∆=∆=2、 公式（formula ）（1）如图，一个分子质量为m ，速率为i v 的分子与器壁s ∆碰后动量大小的变化（在x 方向上）ivix i i mv mv p 2cos 2-=-=∆θ (力学) (2)一群处于斜高为i v t ∆，底面为s ∆ 的柱体中速率基本为i v 的分子与s ∆碰后的动量变化① 柱体中速率基本为i v 的分子数(设分子数密度为i n ， θcos 'i tv s ni N ∆∆= ② 它们与 s ∆碰后动量的变化t s nimv p N P ix i i ∆∆-=∆=∆22''但据等概率假设，有一半的分子可能反向运动而不能与s ∆同时相碰，故动量变化应修正减半，即 t s nimv P ix i ∆∆-=∆2斜柱体中各种速率分子与s ∆相碰后引起总动量变化ts v nm t s v n n nm nnts v n m Pi P x ix i ix i ∆∆-=∆∆∑-=∆∆∑-=∆∑=∆222（统计）据等概率假设2222223x y x v v v v v =++=即 322vv x= （统计） 故气体动量的变化 t s vnmp ∆∆-=∆32气体受到器壁的作用：s v nm tp F ∆-=∆∆=3'2（4）根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力'F F -=压强公式 据定义st pp ∆∆∆=k n v m n v nm ε3221323122===式中 ，221v m k =ε 为单个分子的平均动能统计力学处理问题方法小结（１） 对单个粒子：用牛顿力学规律（２） 对大量粒子：用统计规律（求平均值） ３、统计意义（statistical meaning ）∵公式的推导应用了统计的概念及方法 ∴压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。

三、温度（temperature ）1、 公式（formula ）由物态方程为玻耳兹曼常量为分子数密度式中得加工整理AkA N Rk VNn n nkT T N R v n m VN NmRT V MRT p RT Mpv ========,32,,4εμμ故得2~23v kT x ε=2、 微观意义（microscopic meaning ）从温度公式可以看出，温度随分子运动速度增减面增减 温度是分子热运动剧烈程度的量度 3、 统计意义（statistical meaning ）从温度公式可以看出 K T ε~ （统计平均量）∴温度是个统计量，是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子，仅说单个分子或少数几个分子，有多高温度是没有意义的。

４、说明（explain ）（1）在很多物理公式中，k ，T 均以乘积形式同时出现，互不分离，故我们亦无必要将其拆开，由于k T 的量纲与能量相同，故也有人用能量单位来表示温度（2）P=n kT 由物态方程PV =RT Mμ导出，因此也有人将其符为物态方程① 随堂小议（discuss on the class ）关于温度的概念：下列说法中不正确的是（3）（１） 温度的高低反映了物体内部分子运动剧烈程度的不同； （２） 气体的温度是分子平均平动动能的是度；（３） 从微观上看，气体的温度表示气体每个分子的冷热程度； （４） 气体的温度是大量气体分子的集体形为，具有统计性§14—3 玻耳兹曼分布律 （Boltzmann distribution ）一、气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field ）1、 等温气压公式（isothermal-pressure formula ）（１） 公式（formula ）dpp +dzz +p 0z s ∆利用空气柱模型可得压力差 pgdz smgdp -=∆-= 利用p=nkt 可得密度)2(ln ln )1(ln 000000000--------==-------==-==→------===∆=--⎰⎰pp g RT p p mg kT z ep e p p kT mgz pp z p dz kTmgp dp kTmpnm sdz m p RTgzkt mgzzp μμ对应高度故积分得处压强故式（1）：等温气压公式 式（2）：等温高度公式 （２） 物理意义在温度不变情况下，大气压强随高温增加而接指数规律减少（Z ↑，P ↓）2、 气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field ）利用P=nkT 可得KTmgzen n -=0分子数密度n 随高z 的增加而接指数规律减少 二、玻耳兹曼他分布（Boltzmann distribution ）1、 公式（formula ）可以得出（推导过程不要求）KTE eIA n -=n ——分子数密度 A ——常量i E ——粒（分）子的能量 kTEi-——玻耳兹曼因子2、 物理意义（meaning of physics ）具有i E 能量的分子数密度n 随i E 的增加而按指数规律减少——微观粒子优先占领低能级。

3、 应用（application ）很广，如分离同位素，激光理论等§14-4 麦克斯韦速率分布律（Maxwell speed distribution ）一、麦克斯韦速率分布律（Maxwell speed distribution ）1、内容（content ）处于平衡态的气体，其分子处于某一速率附近（v ～dv v +） 的数目dN 与总分子数N 之比dv v f dv v e nKTm n N dN KTmv )()2(422232==-（其推导不作要求） 2、实质（substance ） 是一概率分布反映分子以速率v 出在dv 速率间隔内的分子占总分子数的比率，亦即出现概率。

3、特点（characteristic ）具有归一性，即⎰⎰==dv v f N dN)(1二、分布函数与分布曲线（distribution function and distribution curve ）4、 分布函数（distribution function ）（１） 概念N d vdNv e nKT m n v f KT mv ==-22232)2(4)( （2）实质概率密度5、 分布曲线（distribution curve ）（１） 概念反映分布函数f （v ）随v 而变化的曲线（２） 得来① 定量法制表—计算一连点成图v 1v 2v ……f(v) 1f 2f ……..② 定性法(f1） v = 0, f (v ) = 0,过O 点， 2） 初时 ↓⇒↑-↑↑22,kv evv 小陡3） 而后 ↓↓↑⇐-2kv v v 大 缓慢4） 拐点 p v v =（３） 几何意义曲线下方面积→概率曲线下方总面积=1 （归一化） （A ） 最概然速率① 概念：对应拐点的速率② 物理意义：分子以该速率出现概率最大③ 大小：μRTm kT v dvdfp 41.141.10===可得由（４） 影响分布曲线形状的因素：①m=c T ↑， p v ↑，右移，线矮平 ②T=c ， m ↑，p v ↓，左移，线陡峭（参见附图）三、应用（application ）——两种速率的计算1、平均速率（mean speed ） ⎰=====μRTm kT m KT dr v vf v 60.160.18......)( 利用积分公式⎰∞-=3212dx ex x 。

2、平均根速率（root-mean-square speed ）μRTm kT m kT V mkT drv f v v 73.173.133)(222===∴==⎰３、三种速率比较（１）大小41.1:60.1:73.1::2=p v v v（它们有公共因子mkT ） （2）用途分子按速率分布平均自由程分子运动能量动能分子——)(——)(——2p v v v 三、随堂练习（practice on the class ）1、 注意（take note ）（１） 理解f （v ）的物理意义，会用它来分析简单情况下的分子分布。