数学建模之马尔可夫预测
5.7 马尔可夫预测
第7节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是对于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是对事件进行预测的基本方法，它是预测中常用的重要方法之一。
一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测法的应用，下面首先介绍几个基本概念。
(一) 状态、状态转移过程与马尔可夫过程(1) 状态。
在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
例如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；在天气变化预测中，有“晴天”、“阴天”、“雨天”等状态；……；等等。
(2) 状态转移过程。
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天”，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。
(3) 马尔可夫过程。
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
许多事件发展过程的状态转移是具有无后效性的，对于这样一些事件发展过程，就可以用马尔可夫过程来描述。
(二) 状态转移概率与状态转移概率矩阵118119（1）状态转移概率。
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔科夫预测
第 6 章马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。
它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。
6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。
二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。
具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。
6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。
如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。
设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。
如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。
设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。
系统只能在时刻t0,t1,t2,...改变它的状态。
为简便计，以下将X t n等简记为X n。
一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。
在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。
这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。
用数学语言来描述就是：马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。
数学建模——预测模型简介
数学建模——预测模型简介在数学建模中，常常会涉及⼀些预测类问题。
预测⽅法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到现在的灰⾊预测法、专家系统法和模糊数学法、甚⾄刚刚兴起的神经元⽹络法、优选组合法和⼩波分析法等200余种算法。
下⾯将简要介绍⼏类预测⽅法：微分⽅程模型、灰⾊预测模型、差分⽅程预测、马尔可夫预测、插值与拟合、神经元⽹络。
⼀、下⾯是这⼏种类型的使⽤场景对⽐：模型⽅法适⽤场景优点缺点微分⽅程模型因果预测模型，⼤多为物理、⼏何⽅⾯的典型问题，其基本规律随着时间的增长呈指数增长，根据变量个数确定微分⽅程模型。
适⽤于短、中、长期的预测，既能反映内部规律以及事物的内在关系，也嫩能够分析两个因素之间的相关关系，精度⾼便与改进。
由于反映的内部规律，⽅程建⽴与局部规律的独⽴性为假定基础，长期预测的偏差性较⼤。
灰⾊预测模型该模型不是使⽤原始数据，⽽是通过求累加、累减、均值中的两种或者全部⽅法⽣成的序列进⾏建模的⽅法。
不需要⼤量数据，⼀般四个数据即可，能够解决历史数据少、序列完整性及可靠性低的问题。
只适⽤于指数增长的中短期预测。
差分⽅程预测常根据统计数据选⽤最⼩⼆乘法拟合出差分⽅程的系数，其稳定性依赖于代数⽅程的求根。
差分⽅程代替微分⽅程描述，在⽅程中避免了导函数，可以⽤迭代的⽅式求解。
精度较低（⽤割线代替切线。
）马尔可夫预测某⼀系统在已知情况下，系统未来时刻的情况只与现在时刻有关，与历史数据⽆关的情况。
对过程的状态预测效果良好，可考虑⽤于⽣产现场危险状态的预测。
不适宜于中长期预测。
插值与拟合适⽤于物体轨迹图像的模型。
例如，导弹的运动轨迹测量的预测分析。
分为曲线拟合和曲⾯拟合，通过找到⼀个函数使得拟合原来的曲线，这个拟合程度可以⽤⼀个指标来进⾏判断。
神经元⽹络在控制与优化、预测与管理、模式识别与图像处理、通信等⽅⾯有⼗分⼴泛的应⽤。
多层前向BP⽹络适⽤于求解内部机制复杂的问题，有⼀定的推⼴、概括能⼒。
马儿可夫预测例题
马儿可夫预测例题《马尔可夫预测例题》随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫预测模型被广泛应用于各个领域。
马尔可夫预测模型是以数学统计为基础的模型，它基于过去的观测结果来预测未来的情况。
通过建立状态转移矩阵，我们可以根据当前状态的概率分布来预测下一个状态的概率分布，从而达到预测未来的目的。
以下是一个关于马尔可夫预测的例题：某小区的路口有一辆交通灯，该交通灯只有两种状态：红灯和绿灯。
统计数据显示，红灯状态持续的平均时间为3分钟，而绿灯状态持续的平均时间为2分钟。
根据这些数据，我们可以建立如下状态转移矩阵：状态 | 红灯 | 绿灯------------ | ------------ | -------------红灯 | 0.5 | 0.5绿灯 | 0.6 | 0.4假设初始状态为红灯，问小区交通灯状态在6分钟后是红灯的概率是多少？我们要计算的是在初始状态下穿越状态转移矩阵6次后，恢复到红灯状态的概率。
根据状态转移矩阵，我们可以得到：P(T0为红灯状态) = 1P(T1为红灯状态) = P(T0为红灯状态) * P(T1为红灯状态 | T0为红灯状态) = 1 * 0.5 = 0.5P(T2为红灯状态) = P(T1为红灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为红灯状态) + P(T1为绿灯状态) * P(T2为红灯状态 | T1为绿灯状态) = 0.5 * 0.5 + 0.5 * 0.6 = 0.55P(T3为红灯状态) = P(T2为红灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为红灯状态) + P(T2为绿灯状态) * P(T3为红灯状态 | T2为绿灯状态) = 0.55 * 0.5 + 0.45 * 0.6 = 0.545P(T4为红灯状态) = P(T3为红灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为红灯状态) + P(T3为绿灯状态) * P(T4为红灯状态 | T3为绿灯状态) = 0.545 * 0.5 + 0.455 * 0.6 = 0.5425P(T5为红灯状态) = P(T4为红灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为红灯状态) + P(T4为绿灯状态) * P(T5为红灯状态 | T4为绿灯状态) = 0.5425 * 0.5 + 0.4575 * 0.6 = 0.542因此，在经过6分钟后，小区交通灯状态是红灯的概率约为0.542。
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
马尔可夫预测方法
( j 1,2,, n)
（3.7.7）
记行向量
(k ) [ 1 (k ), 2 (k ),, n (k )] ，则由（3.7.7）式可
(1) (0) P 1 (2) (1) P (0) P (k ) (k 1) P (0) P k
到下一时刻转移到其他状态的可能性。由状态Ei转为Ej的概
率记为P（Ei→Ej）
P( Ei E j ) P( E j / Ei ) P ij
状态转移概率矩阵：某一事件的发展过程有N个可能状态， E1,E2,…,EN。记为Pij状态Ei转为Ej的概率，则：
p11 p21 p ... pn1
1964
5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1
1965
6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2
1966
7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2
1967
8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3
0.0259
0.0617 0.0075
0.0006
0.0053 0.0039
0.0182
0.1141 0.0945
园地
水域 居民点
0
0 0
0
0 0
0
0 0
1
0 0
0
1 0
0
0 1
（4）预测结果 以82年各土地类型比例为初始状态，2010、2020、2030、2040、 2050年各类土地比例预测结果如下：
马尔可夫过程：
现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程 中，系统将来的状态只与前一时刻的状态有关，而与过 去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质 的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
09GIS-计-11-马尔可夫预测法
② 终极状态概率应满足的条件
P
0 i 1 (i 1,2,, n)
i 1
n
i
1
③ 在例1中，设终极状态的状态概率为
[ 1 , 2 , 3 ]
0.200 0 0.466 7 0.3333 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 0 . 538 5 0 . 153 8 0 . 307 7 0.363 6 0.454 5 0.1818
（正布分布假设）
2 2 n[(n 2 3n 3)S1 nS2 3S0 ] b2 [(n 2 n)S1 2nS2 6S0 ] 2 var(I ) E ( I ) 2 (n 1)(n 2)(n 3)S0
（随机分布假设）
b2 (n( xi xmean ) ) (( xi xmean ) 2 ) 2
状态转移概率矩阵（3.7.5）式代入递推公式式，
得2000—2010年可能出现的各种状态的概率。
（0，1，0）×
0.2000 0.5385 0.3636
2000 E2 0.1528 2002 E3 0.3077
0.4667 0.1538 0.4545
2001 E1 0.3024 E2 0.414 2003
第 4 章
空间统计分析
探索性空间统计分析
地统计分析方法
全局Moran指数I
I n wij xi x x j x
n n i 1 j 1 n
w x
i 1 j 1 ij i 1
n
n
i
x
2
w ( x
i 1 j i ij n
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法是一种基于马尔可夫链的概率模型，用于进行状态转移预测。
它被广泛应用于自然语言处理、机器翻译、语音识别等领域。
马尔可夫预测算法通过分析过去的状态序列来预测未来的状态。
本文将介绍马尔可夫预测算法的原理、应用以及优缺点。
一、原理1.马尔可夫链马尔可夫链是指一个随机过程，在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与其他历史状态无关。
每个状态的转移概率是固定的，可以表示为一个概率矩阵。
马尔可夫链可以用有向图表示，其中每个节点代表一个状态，每个边表示状态的转移概率。
（1）收集训练数据：根据需要预测的状态序列，收集过去的状态序列作为训练数据。
（2）计算转移概率矩阵：根据训练数据，统计相邻状态之间的转移次数，然后归一化得到转移概率矩阵。
（3）预测未来状态：根据转移概率矩阵，可以计算出目标状态的概率分布。
利用这个概率分布，可以进行下一步的状态预测。
二、应用1.自然语言处理在自然语言处理中，马尔可夫预测算法被用于语言模型的建立。
通过分析文本中的单词序列，可以计算出单词之间的转移概率。
然后利用这个概率模型，可以生成新的文本，实现文本自动生成的功能。
2.机器翻译在机器翻译中，马尔可夫预测算法被用于建立语言模型，用于计算源语言和目标语言之间的转移概率。
通过分析双语平行语料库中的句子对，可以得到句子中单词之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行句子的翻译。
3.语音识别在语音识别中，马尔可夫预测算法被用于建立音频信号的模型。
通过分析音频数据中的频谱特征，可以计算出特征之间的转移概率。
然后利用这个转移概率模型，可以进行音频信号的识别。
三、优缺点1.优点（1）简单易懂：马尔可夫预测算法的原理相对简单，易于理解和实现。
（2）适用范围广：马尔可夫预测算法可以应用于多个领域，例如自然语言处理、机器翻译和语音识别等。
2.缺点（1）数据需求大：马尔可夫预测算法需要大量的训练数据，才能准确计算状态之间的转移概率。
第五章马尔科夫预测法
3、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 n 种状态，其中每次只能处
于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身）， 即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei EN 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） 0 Pij 1 i , j 1, 2, （ 2）
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
由此可得
P(k ) P(k 1) P
例：预计未来两个季度药品市场销售情况。
季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
马尔柯夫预测
设P的固定概率向量为 U=(x,1-x)，
则由 UP=U， 得 U=(1/3,2/3)，为P的唯一的固定概率向 量。
8
一步转移概率与转移矩阵
系统由状态Ei经过一步转移到状态Ej的概率为pij，则下 述N阶矩阵称为一步转移矩阵：
p11 p12 p1N
P
P(1)
p21
p22
p2 N
pN
1
00..46 00..46 00.4 01.6 01.5 00.5
正规概率矩阵(m=1) 正规概率矩阵(m=2) 不是正规概率矩阵
7
正规概率矩阵的固定概率向量
对于正规概率矩阵P和概率向量U，如果UP=U成立， 则称U为P的固定概率向量。并且P只有一个固定概率 向量。
概
率矩
阵P
0 1/2
1 1/ 2
0.4 0.4
0.7 0.4
0.3 0.3
0.3 0.6
00..66
0.7 0.4
00..63
0.7 0.4
可以证明：
00..63 P2 00..5621
P(k) Pk
00..3498
状态转移概率的估算
一步转移概率是马尔柯夫方法应用的关键。
一般地，转移概率的理论分布是未知的，但当我们具有足
够样本资料时，可利用状态之间转移的频率来作为概率的
估计值。即：
Pij
mij mi
其中 mij 是样本资料中状态 Si 转移到 S j 的次数。
mi 为状态 Si 出现的次数
13
例2
已知某一产品在过去21个月销量如下表所示。其中每月销量 在150千件以上为畅销，在100千件与150千件之间为正常， 低于100千件为滞销。记三种销售状态分别为：
Matlab学习系列.马尔可夫预测
33. 马尔可夫预测马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。
因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。
换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。
（一）经典马尔可夫模型 一、几个概念状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率()(|)i j j i ij P E E P E E p →==状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状态，即1,,n E E ，则矩阵1111n n nn p p P p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。
状态转移矩阵满足：(i)01, ,1,,ij p i j n ≤≤=(ii)11nijj p==∑二、状态转移矩阵的计算即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。
下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。
计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
datas=xlsread('Agriculture.xlsx');E=datas(:,2)'; for i=1:3 for j=1:3f(i,j)=length(findstr([i j],E)); end endf %输出状态转移矩阵 fs=sum(f,2); for i=1:3p(i,:)=f(i,:)/fs(i); endp %输出状态转移概率矩阵 运行结果：f = 3 7 5 %3个E1到E1, 7个E1到E2, 5个E1到E37 2 4 4 5 2p = 0.2000 0.4667 0.3333 0.5385 0.1538 0.3077 0.3636 0.4545 0.1818三、状态概率用()j k π表示事件在第k 个时刻（时期）处于状态j E 的概率。
第五章 马尔科夫预测法
状态转移：是指事物从一种状态转移到另外 一种状态的可能性。记为Pij，表示事物从状 态i转移到状态j的概率。 马尔科夫预测的基本模型： Xk+1=Xk×P Xk:表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的 状态向量；P表示一步转移概率矩阵；Xk+1 表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的 状态向量.
随机过程中有一类具有无后效性性质即当随机过程在某一时刻t0所处的状态已知的条件下过程在时刻tt0时所处的状态只和t0时刻有关而与t0以前的状态无关则称这种随机过程为马尔科夫过程
第5章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫预测法的基本原理 一、马尔科夫预测法概述 马尔科夫（A.A.Markov）俄国的数学家。 1874年，马尔科夫考入了神往已久的彼得堡大学数 学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校 任教，毕业论文《以连分数解微分方程》获得当年 系里的金质奖。两年后他完成了《关于双正定二次 型》的硕士论文，并正式给学生开课。又过了两年， 他开始考虑博士论文，后以《关于连分数的某些应 用》于1884年通过正式答辩。
（3）任一概率向量与稳态概率矩阵的乘积为 固定概率向量。
第二节 马尔科夫法在经济预测中的应用
一、马尔科夫预测法的假设 （1）转移矩阵必须逐期保持不变，即不随时 间的变化而变化。 （2）预测期间状态的个数必须保持不变。 （3）状态的转移仅受前一期的影响。
二、应用举例 例1、为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌 洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购 买倾向的调查。在本月购买A、B、C品牌的 顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们下月购买倾向，调查结果用矩阵表 示：
作业：已知某种商品的销售状态划分为畅销和 滞销，分别用1和2表示，要求：计算状态转 移概率矩阵。
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
3.2 马尔可夫预测模型
pij1 p j1 j2 p jk j
。n步转移概率矩阵 P( n ) 与一步转移概率矩阵P的关
系为 P( n ) Pn 。
定义3.2.2 马尔可夫链 X T {X n , n 0,1,2,} ，初始时刻
取各状态的概率 P{ X 0 i} pi , i I .称为 X T 的初始概
其中状态空间为 I ={0,1,2,} ,若对任意的正整数
ti ti 1 ( i 0,1, 2,，k 1 ) k，任意 ti T ，
及任意非负整数 i0 , i1 , , ik 1 ，
有 P{X t
k 1
ik 1 | X t0 i0 , X t1 i1 ,, X tk ik } P{ X tk 1 ik 1 | X tk ik }
条件概率称为在时刻n系统从状态i经过k步转移到状态j的k步转移概率记为一般地转移概率不仅与状态i和j有关而且与时刻n有关当与n无关时表明马尔可nknpxjxikijnknpnpxjxiijikijpnkijpn夫链具有平稳的转移概率此时称马尔可夫链为时间齐次的马尔可夫链并把记为
数学模型
安徽大学数学科学学院 周礼刚 lg_zhou@
3.2 马尔可夫预测模型
马尔可夫（Markov）链模型是1906年由俄国
数学家Markov对其研究而命名的，后来
Kolmogorrov、Feller、Doob等数学家对其进行了
进一步的研究与发展。马尔可夫链的定义如下：
T {0,1, 2,} 定义3.2.1 设有随机过程 X T { X T , t T }，
i 0
，满足条件 ( j) 0
的惟一解，即该有限状态空间的马尔可夫链平稳分布 存在且惟一。
马尔可夫预测
1. 马尔可夫矩阵一般式
（十）均匀马尔可夫链
若
P(k) ij
Pij
k 1,2,
则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。
用下式表示：
Pij
P(E j
/ Ei )
P
A(j k )
/
A( k 1) i
（十一）预测模型
前提：必须是均匀马尔可夫链。
S (0) ：初始状态；
S (k 1) ：经（K+1）次转移后的状态；
机变量,称为随机过程。 定义：在给定的概率空间( ,F,P)及实数集
T,其中 为样本空间,F为分布函数,P为概率, 对于
每一个 t T , 有定义在( ,F,P)上的随机变量
(t, w), w
与之对应,则称为 (t, w);t T 随机过程,一
般简化为 (t) 。
特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测；
2. 局限性：只适合于马尔可夫过程；
3. 简便性：有率、选 择服务点、设备更新等的预测。
（六）马尔可夫链
定义：设随机过程 (t)只能取可列个值 r1, r2 ,rn ,, 把 (t) rn 称为在时刻 t 系统处于状态 En (n 1,2,)
我厂牌子
0.8
0.2
别厂牌子
0.3
0.7
问:从经济效益的角度决定要否做这个广告?
定义：设随机过程(t) ,如果在已知时间t系统
处于状态x的条件下,在时刻 ( >t)系统所处
状态和时刻t以前所处的状态无关,则称 (t)为 马尔可夫过程。 从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t 时刻以前无关。
（五）马尔可夫预测法
数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。
该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论.它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。
三大特点： （1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。
也就是说,事物第n 期的状态,只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关，而与第n-1期以前的状态无关. （2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
（3)过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示. 1.模型的应用, ①水文预测, ②气象预测, ③地震预测,④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。
2.步骤①确定系统状态有的系统状态很确定。
如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。
但很多预测中,状态需要人为确定。
如:根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。
这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。
在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。
②计算初始概率()0i S用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为()()011,2,ii i nii M S F i n M=≈==∑③计算一步转移概率矩阵令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：111212122212n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦④计算K 步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移,则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
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马尔可夫预测
马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。
该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。
它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。
三大特点： （1）无后效性
一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。
也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。
（2）遍历性
不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
（3）过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。
1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测，
④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。
2.步骤
①确定系统状态
有的系统状态很确定。
如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。
但很多预测中，状态需要人为确定。
如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。
这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。
在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。
②计算初始概率()0i S
用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑
③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：
1112121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
④计算K 步转移概率矩阵
若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
K 步转移概率矩阵为：
1112121
2221
2
()k
n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⑤预测及分析
根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即：
()
()11121021
2221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
例题：
设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。
为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。
为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。
市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。
年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。
再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。
调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。
计算各型产品保留和转购变动率。
模型的建立： ①计算初始概率
用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为
()()0
1
1,2,
i
i i n
i
i M S F i n M
=≈=
=∑ （1）
②计算各类产品保留和转购变动率
用1,2,3，分别表示A,B,C 三种产品类型，令由(1,2,3)i E i =型产品转移到
(1,2,3)j E j =型产品的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：
11
12121
2221
2
n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2） ③预测与分析
根据产品市场占有率的初始资料（1）和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。
即：
()
()11121021
2221
2
K
n K n n n nn p p p p p p S S p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3） 模型的求解
①计算初始概率
用概率向量0S 表示各类产品市场占有的初始状态，由（1）得
0(0.40.30.3)S = 。
②计算各类产品保留和转购变动率 由（2）计算得一步转移概率矩阵为
0.60.20.20.50.30.20.50.20.3P ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
③预测与分析
由（3）计算得到产品市场占有率的预测如下
()
0.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3K
K S ⎡⎤
⎢⎥= ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
令k=1得后续第l 年各型产品币场占有率预测为
()
10.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.540.230.22)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为54%。
令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
2
20.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.5540.2230.223)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为55.4%。
令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为
()
3
30.60.20.2(0.40.30.3)0.50.30.2(0.55540.22230.2223)0.50.20.3S ⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥
⎢⎥ ⎣⎦
其中A 型产品市场占有率为55.54%。
这说明,某企业生产的A 型洗涤剂今后三年的市场占有率为54%、55.4%、55.54%,比目前40%的市场占有率有不同程度的增长,市场容量日益增加。
而其他企业的B 型和C 型产品在今后三年内均为23%、22.3%、22.23%,比目前市场占有率30%都低,市场容量逐渐下降。
对比结果,A 型产品在市场竞争中处于优势。
以上仅仅根据三年的预测资料来说明的。
今后怎样?如果市场顾客购买各型产品的流动倾向长期如此下去,各型产品市场占有率将稳定在一定水平。
这时马尔可夫预测式中的K 趋向∞,各型产品市场占有率将是
()0.60.20.2lim(0.40.30.3)0.50.30.2(0.50.250.25)0.50.20.3k
k k k S →∞
→∞
⎡⎤
⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦
它表明A 型产品可长期占有一半市场,而B 、C 型产品可稳占1/4市场。