第十四章整式的乘除与因式分解(2)

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人教版八年级上册数学作业课件第十四章整式的乘法与因式分解第2课时多项式与多项式相乘

3.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx－2，则 m 的值为（ C ） A.3 B .－3 C .1 D .－1 【变式题】本质相同：展开后找对应系数 (1)若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中，x2 的系数是－2，则 a 等于（ C ） A.－2 B.1 C.－4 D.以上都不对
(2)若关于 x 的两个多项式(x＋3)与(x＋m)的乘积是 x2＋nx－3，则 mn＝ 1 . 4.如图，长方形 ABCD 的面积为 x2＋5x＋6 (用含 x 的式子表示).
解得 x＝121.
(2)(x－4)(6x＋7)＞(3x－2)(2x＋5)＋2. 解：原不等式可化为 6x2－17x－28＞6x2＋11x－8，
即 28x＜－20，解得 x＜－57.
13.小明想把一长为 60 cm，宽为 40 cm 的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形(如图).
(1)若设小正方形的边长为 x cm，求图中阴影部分的面积；解：(1)(60－2x)(40－2x)＝(4x2－200x＋2400)(cm2). 答：阴影部分的面积为(4x2－200x＋2400)cm2.
(2)当 x＝5 时，求这个盒子的体积. (2)当 x＝5 时，4x2－200x＋2400＝1500(cm2)，这个盒子的体积为 1500×5＝7500(cm3). 答：当 x＝5 时，这个盒子的体积为 7500 cm3.
6.计算： (1)(2a＋b)(4a－b)；解：原式＝8a2－2ab＋4ab－b2＝8a2＋2ab－b2. (2)(x＋2)2；解：原式＝(x＋2)(x＋2)＝x2＋2x＋2x＋4＝x2＋4x ＋4. (3)(x＋1)(x2－x＋1). 解：原式＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1.

八年级上册第十四章-整式的乘除与因式分解知识梳理

八年级数学第十四章--整式的乘法与因式分解知识梳理知识点一、整式的乘法1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即（m,n 都是正整数）2、幂的乘方，底数不变，指数相乘；即（m,n 都是正整数）3、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘；即：（n 是正整数）4、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；例如：（2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；例如：（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；例如：知识点二、整式的除法5、同底数幂相除，底数不变，指数相减；即 6、规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1。

即 7、单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

例如： 8、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

例如：知识点三、乘法公式9、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；即10、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；（记()n m mn a a =m n m n a a a ++=()n n n ab a b =7252525)()(abc abc c c b a bc ac ==⋅⋅⋅=⋅+pcpb pa c b a p ++=++)(bqbp aq ap q p b q p a q p b a +++=+++=++)()()(）（)0(10≠=a a ),,0(n m n m a a a a n m n m >≠=÷-都是正整数，并且32322323234))()(312(312c a c b b a a ab c b a =÷÷÷=÷ba m bm m am m bm am +=÷+÷=÷+）（()()22ab a b a b +-=-忆口诀“首平方，尾平方，收尾二倍中间放”）即： 11、添括号规则：（1）如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；即： a+b+c=a+(b+c)（2）如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；即： a-b-c=a-(b+c)知识点四、因式分解12、把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解因式）。

第14章整式知识点

第十四章整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解2 第2课时运用完全平方公式因式分解

针对训练因式分解： (1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) (a2 + 4)2 - 16a2.
有公因式要先提公因式
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16)
＝-3a2(x - 4)2.
要检查每一个多项
(2) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2
式的因式，看能否继续分解
＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a)
＝(a + 2)2(a - 2)2.
例4 简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)²
= 1. (2) 原式 = (34 + 16)2
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4；是（3）4b2 + 4b - 1；不是
（2）1 + 4a²；不是（4）a2 + ab + b2；不是
（5）x2 + x + 0.25. 是
分析：（2）因为它只有两项. （3）4b²与 -1 的符号不统一. （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)²
首2
+ 尾2 (首±尾)2
±2×首×尾
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
对照 a²± 2ab + b²= (a ± b)²，填空： 1. x²+ 4x + 4 = ( x )²+ 2·(x )·( 2 ) + ( 2 )²= ( x + 2 )²； 2. m²- 6m + 9 = ( m )²- 2·(m)·( 3) + ( 3)²= (m - 3 )²； 3. a²+ 4ab + 4b²= ( a )²+ 2·( a ) ·( 2b ) + ( 2b)²= (a + 2b)².

人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典题(含答案解析)(2)

一、选择题1．下列运算正确的是（）A ．()23636a =B ．()()22356a a a a --=-+ C ．842x x x ÷=D ．326326x x x ⋅= B解析：B【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘方法则，多项式乘以多项式法则以及单项式乘以单项式法则逐一判断即可．【详解】解：A. ()23633a a =，故本选项不符合题意；B ．()()22356a a a a --=-+，正确，故本选项符合题意；C ．844x x x ÷=，故本选项不合题意；D ．325326x x x ⋅=，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，熟记相关的运算法则是解答本题的关键．2．下列分解因式正确的是（）A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）D解析：D【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．【详解】A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．下列运算正确是（）A ．b 5÷b 3＝b 2B ．（b 5）3＝b 8C ．b 3b 4＝b 12D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab A 解析：A【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可．A 、b 5÷b 3＝b 2，故这个选项正确；B 、（b 5）3＝b 15，故这个选项错误；C 、b 3•b 4＝b 7，故这个选项错误；D 、a （a ﹣2b ）＝a 2﹣2ab ，故这个选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．4．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- D解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．5．如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的x 的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……以此类推，第204次输出的结果是（）A ．1B ．2C ．4D ．5A解析：A根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解【详解】解：由数据运算程序得，如果开始输入的x 的值为10，那么：第1次输出的结果是5第2次输出的结果是16第3次输出的结果是8第4次输出的结果是4第5次输出的结果是2第6次输出的结果是1第7次输出的结果是4……综上可得，从第4次开始，每三个一循环由()2043367-÷= 可得第204次输出的结果与第6次输出的结果相等故选：A【点睛】本题实为代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律6．下列运算正确的是（）A ．3515x x x ⋅=B ．()3412x x -=C ．()32628y y = D ．623x x x ÷= C解析：C【分析】根据整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则进行计算并判断．【详解】A 、358⋅=x x x ，故该项错误；B 、()3412x x -=-，故该项错误； C 、()32628y y =，故该项正确； D 、624x x x ÷=，故该项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了整式的计算，熟记整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则是解题的关键．7．下列计算正确的是（）A ．a 3+a 3=a 6B ．a 3·a=a 4C ．a 3÷a 2=a 3D ．(2a 2)3 =6a 5B解析：B直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】A 、3332a a a +=，故此选项错误；B 、34·a a a =，故此选项正确；C 、32a a a ÷=，故此选项错误；D 、236(2)8a a =，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．若|a |=13，b|=7，且a +b>0，则a -b 的值是( )．A ．6或20B ．20 或-20C ．6或-6D ．-6或20A 解析：A【分析】先求出a b ，的值，根据条件+a b >0，确定=13a ，b=7±，分类代入-a b 求值即可．【详解】|a |=13，=13a ±，|b|=7，b=7±，∵+a b >0，∴=13a ，b=7±，当=13a ，b=7时，=1376a b --=，当=13a ，7b =-时，=13+720a b -=，则6a b -=或20．故选择：A ．【点睛】本题考查条件限定求值问题，会根据限定条件求出字母的值，掌握分类思想求代数式的值是解题关键．9．下列各式计算正确的是（）A ．5210a a a =B ．()428=a aC ．()236a b a b =D ．358a a a += B解析：B【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐一计算即可判断．【详解】解：A 、a 5•a 2＝a 7，此选项计算错误，故不符合题意；B 、（a 2）4＝a 8，此选项计算正确，符合题意；C 、（a 3b ）2＝a 6b 2，此选项计算错误，故不符合题意；D 、a 3与a 5不能合并，此选项计算错误，故不符合题意．【点睛】本题主要考查幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则．10．已知2|5213|(310)0x y x y +-+--=，则x y 的立方根为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2- B解析：B【分析】根据绝对值和平方式的非负性得到关于x 、y 的方程组，然后解方程组求得x 、y 值，代入求得x y 即可求解．【详解】解：由题意，得：521303100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩， ∴x y =（﹣1）3=﹣1，∴x y 的立方根为﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查解二元一次方程组、绝对值和平方式的非负性、代数式求值、立方根，正确列出方程组是解答的关键．二、填空题11．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5【分析】由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．【详解】解：∵220a b -+=，∴22a b -=-，∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．故答案是：5．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．12．若x 、y 为有理数，且22(2)0x y ++-=，则2021()xy的值为____．﹣1【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2y=2代入求值即可【详解】∵且∴x+2=0y-2=0∴x=-2y=2∴=-1故答案为：-1【点睛】此题考查代数式的求值计算正确掌握绝对值的非解析：﹣1【分析】根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2，y=2，代入求值即可．【详解】 ∵22(2)0x y ++-=，且220,(2)0x y +≥-≥，∴x+2=0，y-2=0，∴x=-2，y=2， ∴2021()x y=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查代数式的求值计算，正确掌握绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x=-2，y=2是解题的关键．13．若26x x m ++为完全平方式，则m =____．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的解析：9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ，则中间项为x 2倍，即可解得m 的值．【详解】解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，可写成(2x +，则中间项为x 2倍，故62x =∴m =9，故答案填：9．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．14．|1|0-=b ，则2020()a b +=_________．1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2b=1代入计算即可【详解】∵且∴a+2=0b-1=0∴a=-2b=1∴故答案为：1【点睛】此题考查代数式的求值正确掌握算术平方根的非负性及解析：1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1，代入计算即可．【详解】 ∵|1|0-=b 0,|1|0b -≥，∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴202020201()(21)a b +-+==，故答案为：1．【点睛】此题考查代数式的求值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1是解题的关键．15．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x xx x x -+++=-； …… （1）()432(1)1x x x x x -++++=___；（2）根据规律可得：()1(1)1n x x x --+++=_____（其中n 为正整数）；（3）计算：()5049482(31)333331-++++++；（1）；（2）；（3）【分析】(1)第二个括号里最高次数4根据观察可知结论中次数为4+1=5；(2)第二个括号里最高次数n-1根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；(3)用3代替等式中的x 次数根据解析：（1）51x -；（2）1n x -；（3）5131-.【分析】(1)第二个括号里最高次数4，根据观察可知结论中次数为4+1=5；(2) 第二个括号里最高次数n-1，根据观察可知结论中次数为n-1+1=n ；(3)用3代替等式中的x ，次数根据观察规律确定即可.【详解】（1）根据观察，发现结论是个二项式，且常数项为-1，另一项底数是x ，指数比第二个括号里多项式的最高次数多1，∵()4321x x x x ++++的最高次数是4，∴()432(1)1x x x x x -++++=51x -，故应该填51x -；（2）∵()11n x x -+++的最高次数是n-1， ∴()1(1)1n x x x --+++=1n x -，故应该填1n x -；（3）由（2）知：()1(1)11n n x xx x --+++=-，令3x =，51n =，得： ()504948251(31)33333131-++++++=-，故应该填5131-.【点睛】本题考查了整式变化中的规律探索，解答时，抓住变化中变化项，不变项，变化的位置，变化的规律是解题的关键. 16．关于x 的一次二项式mx ＋n 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据x0 1 1.5 2 mx ＋n －3 －1 01 若mx ＋n ＝17，线段AB 的长为x ，点C 在直线AB 上，且BC ＝12AB ，则直线AB 上所有线段的和是_____________．20或30【分析】把表格中的前两对值代入求出m 与n 的值即可求出x 的值然后把x 的值代入求解即可【详解】解：由表格得x ＝0时m 0＋n ＝－3∴n ＝－3；x ＝1时m 1＋(－3)＝－1∴m ＝2；∵mx ＋n 解析：20或30【分析】把表格中的前两对值代入求出m 与n 的值，即可求出x 的值，然后把x 的值代入求解即可．【详解】解：由表格得x ＝0时，m ⋅0＋n ＝－3，∴n ＝－3；x ＝1时，m ⋅1＋(－3)＝－1，∴m ＝2；∵mx ＋n ＝17，∴2x －3＝17，∴x ＝10，当点C 在线段AB 上时，∵BC ＝12AB ， ∴BC ＝12×10＝5， ∴AC ＋AB ＋BC ＝20；当点C 在点B 右侧时，∵BC ＝12AB ， ∴BC ＝12×10＝5， ∴AC ＋AB ＋BC ＝30．故答案为20或30．【点睛】此题考查了代数式求值和线段的和差计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．因式分解：316m m -=________．m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：=m （m2-16）=m （m+4）（m-4）故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解解析：m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：316m m -=m （m 2-16）=m （m+4）（m-4），故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析：624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】32(2)a b -=624a b ，故答案为：624a b ．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．19．已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__．2【分析】由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案【详解】解：故答案为：2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析：2【分析】由()()()214b c a b c a -=--可得：()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得：()220,b c a +-=从而得到：2,b c a +=于是可得答案．【详解】解： ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++，()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．20．若9m ＝4，27n ＝2，则32m ﹣3n ＝__．2【分析】根据指数的运算把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法再用幂的乘方的逆运算即可【详解】解：32m ﹣3n ＝32m÷33n ＝＝9m÷27n ＝4÷2＝2；故答案为：2【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂解析：2【分析】根据指数的运算，把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可．【详解】解：32m ﹣3n ，＝32m ÷33n ，＝23(3)(3)m n＝9m ÷27n ，＝4÷2，＝2；故答案为：2.【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键．三、解答题21．计算（1）（65x 2y －4xy 2）•13xy （2）[（x ＋3y ）•（x －3y ）－（x －y ）2]÷（－2y ）解析：（1）25x 3y 2－43x 2y 3；（2）5y －x 【分析】（1）按照多项式乘单项式的计算法则进行计算求解；（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）（65x 2y －4xy 2）•13xy ＝25x 3y 2－43x 2y 3 （2）[（x ＋3y ）•（x －3y ）－（x －y ）2]÷（－2y ）＝[x 2－9y 2－（x 2－2xy ＋y 2）］÷（－2y ）＝（x 2－9y 2－x 2+2xy-y 2）÷（－2y ）＝（－10y 2＋2xy ）÷（－2y ）＝5y －x【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(a +3)+1][(a +3)-1]=(a +4)(a +2)②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：a 2-2a -1=a 2-2a +1=(a -1)2-2∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值-2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：x 2+2x -3．（2）若M=2x 2-8x ，求M 的最小值．解析：（1）()(33)x x +-；（2）-8【分析】（1）应用配方法以及平方差公式，把x 2+2x -3因式分解即可．（2）应用配方法，把2x 2-8x 化成22(2)8x --，再根据偶次方的非负性质，求出M 的最小值是多少即可．【详解】解：（1）原式=22344x x +-+-=2214x x ++-=22(1)2x +-=()(33)x x +-（2）228x x -=22(4)x x -=2（2444x x -+-）=22(2)8x --因为2(2)x -0≥，所以当x =2时，M 有最小值为-8【点睛】此题主要考查了利用平方差公式和完全平方式进行因式分解，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．23．小王购买了一套一居室，他准备将房子的地面全部铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：（1）用含m ，n 的代数式表示地面的总面积S ；（2）已知 1.5n =，且客厅面积是卫生间面积的6倍与厨房面积的和，如果铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？解析：（1）S =6m +2n +18；（2）4500元．【分析】（1）根据总面积等于四个部分矩形的面积之和列式整理即可得解；（2）根据题意求出m 的值，把m ，n 的值代入计算即可．【详解】解：（1）S=2n+6m+3×4+2×3=6m+2n+18．（2）n=1.5时2n=3根据题意，得6m=8×3=24，m=4，∵铺1平方米地砖的平均费用为100元，∴铺地砖的总费用为：100（6m+2n+18）=100×（24+3+18）=4500．答：铺地砖的总费用4500元．【点睛】本题考查了列代数式，准确表示出各部分矩形的长和宽是解题的关键．24．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯②(2)(2)m n p m n p +--+解析：（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b +-=-；（4）①99.91；②22242m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：22a b -，故填：22a b -；（2）它的宽是a ﹣b ，长是a+b ，面积是()()a b a b +-，故填：()()a b a b +-；（3）根据题意得出：22()()a b a b a b +-=-，故填：22()()a b a b a b +-=-；（4）①解：原式(100.3)(100.3)=+⨯- 22100.3=-1000.09=-99.91=；②解：原式[2()][2()]m n p m n p =+-⋅--22(2)()m n p =--22242m n np p =-+-．【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 25．把一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示）．方法1：______________________________．方法2：______________________________．（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式()2m n +，()2m n -，mn 间的等量关系：________（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x ，y 满足6xy =，5x y -=，请求出x y +的值．解析：（1）方法1：()24m n mn +-，方法2：()2m n -；（2）()()224m n m n mn -=+-；（3）7x y += 【分析】（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m ﹣n ．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得：（2）大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积．（3）（x +y ）2正好表示大正方形的面积，（x ﹣y ）2正好表示阴影部分小正方形的面积，xy 正好表示一个小长方形的面积．根据（2）中的等式代入计算即可．【详解】解：（1）()24m n mn +-；()2m n -．（2）()()224m n m n mn -=+-．（3）∵()()224x y x x y y +=-+，5x y -=，6xy =，∴()2254649x y +=+⨯=， ∴7x y +=．【点睛】本题考查了完全平方式和整式的混合运算，主要考查学生的理解能力和计算能力． 26．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边，两个小正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：________________；方法二：________________；（直接把答案填写在答题卡的横线上）（2）观察图2，试写出()2a b +，2a ，2ab ，2b 这四个代数式之间的等量关系：________________．（直接把答案填写在答题卡的横线上）（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求22a b +的值．解析：（1）()2a b +；222a b ab ++；（2）()2222a b a b ab +=++；（3）40【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积即可；（2）写出四个代数式之间的等量关系即可；（3）由直角三角形的面积是6，得到ab ＝12，大正方形②的面积是（a +b ）2＝64，把（2）变形后，整体代入可直接求值；【详解】解：（1）方法一：()2a b +；方法二：222a b ab ++；故答案为：（a +b ）2；a 2+2ab +b 2；（2）()2222a b a b ab +=++；（3）∵162ab =，()264a b +=， ∴224ab =， ∴()222240a b a b ab +=+-=．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．化简：2(3)3(2)m n m m n +-+．解析：226m n +【分析】先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可．【详解】解：2(3)3(2)m n m m n +-+ 2229636m mn n m mn =++--226m n =+．【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式及单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则是解题的关键．28．阅读下列各式：222333444(),(),()a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅=回答下列三个问题： ①验证：100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭_________，100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭___________；②通过上述验证，归纳得出：()n a b ⋅=_________；()n a b c ⋅⋅=________；③请应用上述性质计算：201920182017(0.125)24-⨯⨯解析：①1,1；②n n a b ，n n n a b c ；③-132. 【分析】 ①把问题分别转化为1001和100100100122⨯处理即可； ②将猜到规律推广到n 次方和三个因数情形即可；③把2019(-0.125)和20182分别变形为20172(-0.125)(-0.125)⨯和20172⨯2就可逆用上述规律计算即可.【详解】①∵1001001212⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭=1， ∴100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1； ∵100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1001001001212⨯=， ∴100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1，故依次填1,1；②∵100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1，100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1， ∴100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭100100122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，由此可得：()n a b ⋅=n n a b ；()n a b c ⋅⋅=n n n a b c ；故依次填n n a b ，n n n a b c ；③ ∵2019(-0.125)=20172(-0.125)(-0.125)⨯，201822017=2⨯2，∴201920182017(0.125)24-⨯⨯=20172(-0.125)(-0.125)⨯20172⨯⨯2×20174=20172(-0.12524)(-0.125)2⨯⨯⨯⨯ =1-32. 【点睛】本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键.。

第14章整式的乘除和因式分解-(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解整式的乘法(第2课时)

=3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2；
(2) 原式=x·x–xy–8xy+8y2 =x2–9xy+8y2；
结果中有同类项的要合并同类项.
计算时要注意符号问题.
探究新知 (3) (x+y)(x2–xy+y2).
(3) 原式=x·x2–x·xy+xy2+x2y–xy2+y·y2
=x3–x2y+xy2+x2y–xy2+y3
a
m
b
n
素养目标
2. 能够运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.
1. 理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.
探究新知
知识点
多项式乘多项式的法则
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
(1)将单项式分别乘以多项式的各项.
回
(2)再把所得的积相加.
顾
2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么?
解：原式＝a3–8b3–(a2–5ab)(a＋3b) ＝a3–8b3–a3–3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝–8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝–1,b＝1时, 原式＝–8＋2–15＝–21.
巩固练习
先化简,再求值.
(x–y)(x–2y) – (2x–3y)(x+2y),其
x=
–2,y=−
1 2
旧
知
(1)不能漏乘:即单项式要乘多项式的每一项.
(2)去括号时注意符号的变化.
探究新知
某地区在退耕还林期
间,有一块原长m米,宽为a米 b 的长方形林区,若长增加了n 米,宽增加了b米,请你计算 a 这块林区现在的面积.

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解复习课》第1-2课时学习任务单(导学案)及作业设计

人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解复习课》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】1.巩固整式的乘法法则，并利用整式的乘法解决有关问题；2.通过整式的乘法运算，加深对知识的理解，建立比较清晰的知识体系. 【课前学习任务】1.复习整式乘法的法则，梳理本章的知识脉络；2.加强整式乘法的练习，体会与因式分解的联系与区别.【课上学习任务】学习任务一：正用幂的运算法则.例判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？学习任务二：逆用幂的运算法则.巩固练习计算：学习任务三：直接用整式的运算法则与公式.例若定义一种新运算，巩固练习：先化简再求值学习任务四：变形用整式的运算公式如图 1 是一个长为 4b、宽为 a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 2）.(1)观察图 2，请写出ab之间的数量关系；(2)应用：根据(1)中的结论，若求 x-y 的值.巩固练习：已知长方形 ABCD 的周长为 20，面积为 28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？【学习资源】1.收看网络课程：整式的乘法与因式分解全章复习（第一课时）；2.阅读课本第 123，124 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点.【作业设计】1.计算：2.求证：当 n 是整数时，两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.【参考答案】第二课时【学习目标】1.巩固因式分解的定义与方法，并利用因式分解解决有关问题；2.了解型式子因式分解的方法.【课前学习任务】1.梳理一下本章的知识脉络，复习因式分解的定义与方法；2.加强因式分解的练习，体会与整式乘法的联系与区别.【课上学习任务】学习任务一：巩固因式分解的定义与方法.例下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（）例分解因式：巩固练习：分解因式学习任务二：因式分解的应用.例：学习任务三：拓展：型式子因式分解的方法.引例分解因式：例分解因式：巩固练习：分解因式【学习资源】1.收看网络课程：整式的乘法与因式分解全章复习（第二课时）；2.阅读课本第 121，123，124 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知点.【作业设计】1.分解因式：2.已知求x-2y的值.【参考答案】。

第十四章整式的乘除与因式分解单元教材分析教学设计

第十四章整式的乘除与因式分解教学目标
（一）知识与技能
1.理解幂的乘方，积的乘方的运算性质。

2.理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算
3.会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．
4.完全平方公式的学习与探讨。

（二）过程与方法
1.体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．
2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力。

（3）情感态度与价值观
1.培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．
2.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．
重点难点
重点： 1.幂的乘方，积的乘方的运算．
2.单项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式的乘法法则的理解及应用
难点： 1.单项式乘法与整式乘法运算法则的推导与应用．
2.多项式与多项式的乘法法则的应用．教学进度
14.1 9课时
14.2 4课时
14.3 4课时。

第十四章整式乘法与因式分解单元教学精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第十四章整式乘法与因式分解单元教学第一篇：第十四章整式乘法与因式分解单元教学第十四章整式的乘法与因式分解单元教学计划14.3因式分解。

小结复习。

一、教学内容：14.1整式的乘法。

14.2乘法公式。

二、教学目标：知识与技能：1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。

2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。

3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运算运算律与乘法公式简化运算4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

过程与方法：1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生过程与方法〕初步推理归纳能力；2、通过揭示一些概念和法则之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的及主观能动培养.情感态度与价值观：1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；2、开展探究性活动，充分体现学生的自主、合作精神，激发学生乐于探索的热情。

三、教学重点：掌握整式的乘法公式。

四、教学难点：掌握因式分解的方法。

五、课时分配：教学时间约需 14 课时，具体分配如下：14.1整式的乘法6课时。

14.2乘法公式3课时。

14.3因式分解3课时。

小结复习2课时。

第二篇：因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法的关系【知识点】整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．即：多项式整式乘积【练习题】1.下列因式分解正确的是①②③④⑤2.下列因式分解正确的是①②③④⑤3.下列因式分解正确的是①②③④⑤4.下列因式分解正确的是①②③④⑤5.下列因式分解正确的是①②③④⑤6.下列因式分解正确的是①②③④⑤答案1.1；22.1；3；53.4；54.3；45.2；46.1；3；57.第三篇：整式的乘法与因式分解复习教案《整式的乘法与因式分解》复习（一）教案教学目标：知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识教学重点：记住公式及法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解教学方法与手段：讲练结合教学过程：一．本章知识梳理：幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法(3)幂的乘方(4)积的乘方整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式(3)多项式乘多项式(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式因式分解：(1)提公因式法(2)公式法二．合作探究：(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=三、当堂检测1．am=2，an=3则a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,则A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,则B=_________.2(ax+b)(x+2)=x-4，则ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，则a=a+，b＝5．已知11a2+2=3aa的值是.，则6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是（）A、x2+3x－1B、x2+2xC、x2－1D、x2－3x+1 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.1 8.一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）2A、x2-x+14 B、1+x2 C、x+xy+12D、x+2x-110．下列多项式中，含有因式(y+1)的多项式是（y 2 - 2 y + 1）A.22222(y+1)-(y-1)(y+1)-(y-1)(y+1)+2(y+1)+1B.C.D.三.课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享。

新人教版八上第14.15章知识要点

第十四章整式的乘除与因式分解一、幂的运算性质（正、逆用）：0()() ()1a 01m n m n m n m n mnmn nnnnn nnna a a a a a a aab a ba aa b ba a+--•=÷=====≠=①②③④⑤⑥（）⑦二、整式的乘法：（1）单项式乘以单项式：单×单＝(系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂) 。

（2）单项式乘以多项式：实质是利用乘法分配律进行运算。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、整式的除法（1）单项式除法单项式单×单＝(系数÷系数)(同底数幂÷同底数幂)(单独的幂) 。

（2）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加四、乘法公式：（正、逆用）（1）、平方差公式()()22a b a b a b +-=-（2）、完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±五、分解因式一提；二套；三查说明：①提是指提公因式，②套是指套乘法公式，③查是指检查分解是否彻底。

第十五章分式1.分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式。

①分式有意义的条件是分母不为零，②分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2.分式的基本性质：①、分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

②、变号法则：改变分式里任意两个符号，分式的值的不变。

b a b a b a b a --=--=--=3.分式的通分和约分：关键先是分解因式。

4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

第十四章整式的乘除与因式分解教材分析 [发言版]

因式分解的概念
1、定义数域上的n次（n≥1）多项式都可以唯一地分解成该数域的不可约多项式的乘积，将数域上的多项式分解成这样的乘积的过程叫做因式分解。显然，因式分解是与数域有关的，在不同的数域上，多项式因式分解的结果可能是不同的。在中学，一般是在有理数域、实数域、复数域进行因式分解。
3、单项式与多项式相乘是通过化归到单项式与单项式的乘法来进行的
发展
4、多项式与多项式的乘法是单项式与多项式乘法的发展
思维链
在教学中注意体现逐级化归的思维链多项式与多项式乘法单项式与多项式乘法单项式与单项式的乘法同底数幂的乘法
14.2 乘法公式平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题
第十四章整式的乘除与因式分解阅读与思考
杜开龙
一、教什么——读教材
阅读教材文本整体感知——初读教材三看四读五厘清
一看目录
整式除法没有单独成节
1、同底数幂的除法； 2、（某些简单情形的）单项式除以单项式； 3、多项式除以单项式的整式除法问题对一般的整式除法问题不作系统的讨论。
二看每节安排
（三）根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容
本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系，且具有很强的逻辑关系。在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法要利用交换律和结合律转化为幂的运算。整式的除法则与乘法互为逆运算，乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题，因式分解是与整式的乘法方向相反的恒等变形。在涉及的这些内容中，幂的运算是基础，单项式的乘法是关键，学好一般整式乘法的知识是进一步学习本章其他知识的前提。本章根据知识之间的这种逻辑关系，把教学重点放在整式乘法的教学上，符合逻辑、循序渐进地安排了幂的运算性质、单项式与单项式相乘、多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘、乘法公式的教学内容。

人教版八年级数学上册作业课件第十四章整式的乘法与因式分解公式法第2课时完全平方公式

数学八年级上册人教版
第十四章整式的乘法与因式分解
14．3 因式分解
14．3.2 公式法第2课时完全平方公式
知识点1：完全平方式 1．下列二次三项式是完全平方式的是( B ) A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16 2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则k的值为( A ) A．64 B．48 C．32 D．16 3．多项式x2＋(k－3)x＋9是完全平方式，则k的值为_9_或__－__3_.
18．已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，b均为整数)，且a，b 满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，求a，b的值．
解：∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0，∴(a－b－2)2 ＝0，∴a－b－2＝0，即a－b＝2，又∵周长为20，∴a＋b＝10，∴a＝6，b＝4
16．在实数范围内分解因式： (1)x3－2x＝_x_(x_＋____2__)(_x_－____2__) ；
(2)x4－6x2＋9＝_(x_＋____3__)2_(_x_－___3__)_2．
17．分解因式： (1)4a3－12a2＋9a；解：a(2a－3)2 (2)(x＋y)2－4(x＋y－1)；解：(x＋y－2)2 (3)(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2；解：(a－b)4 (4)4a2－b2＋2b－1. 解：(2a＋b－1)(2a－b＋1)
19．阅读与思考：整式乘法与因式分解互为逆变形，由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋ q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋ (1＋2)x＋1×2. 解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2＋7x－18＝________； (2)利用因式分解法解方程：x2－6x＋8＝0； (3)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ________.

2022年八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解测试卷2新版新人教版

第14章整式的乘法与因式分解一、选择题1．下列运算正确的是（）A．x3•x2=x6B．3a2+2a2=5a2C．a（a﹣1）=a2﹣1 D．（a3）4=a7 2．计算：2x3•x2等于（）A．2 B．x5C．2x5D．2x63．下列运算，结果正确的是（）A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n24．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．2a（3a﹣1）=6a3﹣1 C．（3a2）2=6a4D．2a+3a=5a 5．下列运算正确的是（）A．3x2+4x2=7x4B．2x3•3x3=6x3C．x6÷x3=x2D．（x2）4=x86．下列运算正确的是（）A．（﹣2x2）3=﹣6x6B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2C．x2•x3=x5D．x2+x3=x5 7．下列计算正确的是（）A．3a•2a=5a B．3a•2a=5a2C．3a•2a=6a D．3a•2a=6a28．下面的计算一定正确的是（）A．b3+b3=2b6B．（﹣3pq）2=﹣9p2q2C．5y3•3y5=15y8D．b9÷b3=b3 9．下列运算正确的是（）A．a4+a2=a6B．5a﹣3a=2 C．2a3•3a2=6a6D．（﹣2a）﹣2=10．下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y211．下列计算正确的是（）A．a4+a2=a6B．2a•4a=8a C．a5÷a2=a3D．（a2）3=a512．下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．3ab﹣ab=2ab C．a（a2﹣a）=a2 D．13．计算2x（3x2+1），正确的结果是（）A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x14．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．215．下列运算正确的是（）A．x2+x2=x4B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（﹣a2）3=﹣a6D．3a2•2a3=6a616．下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（ab）2=a2b2C．a4+a2=a6D．a2+a2=a417．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．6618．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．619．下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣420．下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+121．下列运算正确的是（）A．5a2+3a2=8a4B．a3•a4=a12C．（a+2b）2=a2+4b2D．﹣=﹣422．若2x3﹣ax2﹣5x+5=（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4二、填空题23．计算：3a•2a2= ．24．计算：a2•5a=．25．计算：3a•a2+a3= ．26．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．27．计算：a（a+1）= ．28．计算：（2x+1）（x﹣3）= ．29．如图，矩形ABCD的面积为（用含x的代数式表示）．30．计算（x﹣1）（x+2）的结果是．参考答案与试题解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A．x3•x2=x6B．3a2+2a2=5a2C．a（a﹣1）=a2﹣1 D．（a3）4=a7【考点】多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、x3•x2=x5，故本选项错误；B、3a2+2a2=5a2，故本选项正确；C、a（a﹣1）=a2﹣a，故本选项错误；D、（a3）4=a12，故本选项错误；故选B．【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则是解题的关键，是一道基础题．2．计算：2x3•x2等于（）A．2 B．x5C．2x5D．2x6【考点】单项式乘单项式．【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可．【解答】解：2x3•x2=2x5．故选C．【点评】此题考查了单项式乘单项式，用到的知识点是单项式的乘法法则，是一道基础题，计算时要注意指数的变化．3．下列运算，结果正确的是（）A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式．【分析】依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式，合并同类项法则即可判断．【解答】解：A、m6÷m3=m3，选项错误；B、3mn2•m2n=3m3n3，选项正确；C、（m+n）2=m2+2mn+n2，选项错误；D、2mn+3mn=5mn，选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．2a（3a﹣1）=6a3﹣1 C．（3a2）2=6a4D．2a+3a=5a【考点】单项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a3•a2=a5，本选项错误；B、2a（3a﹣1）=6a2﹣2a，本选项错误；C、（3a2）2=9a4，本选项错误；D、2a+3a=5a，本选项正确，故选：D【点评】此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列运算正确的是（）A．3x2+4x2=7x4B．2x3•3x3=6x3C．x6÷x3=x2D．（x2）4=x8【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的定义解答．【解答】解：A、∵3x2+4x2=7x2≠7x4，故本选项错误；B、∵2x3•3x3=2×3x3+3≠6x3，故本选项错误；C、∵x6和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、∵（x2）4=x2×4=x8，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．下列运算正确的是（）A．（﹣2x2）3=﹣6x6B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2C．x2•x3=x5D．x2+x3=x5【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式不能合并，错误．【解答】解：A、原式=﹣8x6，故A错误；B、原式=9a2﹣6ab+b2，故B错误；C、原式=x5，故C正确；D、原式不能合并，故D错误，故选：C【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．下列计算正确的是（）A．3a•2a=5a B．3a•2a=5a2C．3a•2a=6a D．3a•2a=6a2【考点】单项式乘单项式．【专题】计算题．【分析】利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；【解答】解：3a•2a=6a2，故选：D．【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．下面的计算一定正确的是（）A．b3+b3=2b6B．（﹣3pq）2=﹣9p2q2C．5y3•3y5=15y8D．b9÷b3=b3【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【分析】根据合并同类项的法则判断A；根据积的乘方的性质判断B；根据单项式乘单项式的法则判断C；根据同底数幂的除法判断D．【解答】解：A、b3+b3=2b3，故本选项错误；B、（﹣3pq）2=9p2q2，故本选项错误；C、5y3•3y5=15y8，故本选项正确；D、b9÷b3=b6，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键．9．下列运算正确的是（）A．a4+a2=a6B．5a﹣3a=2 C．2a3•3a2=6a6D．（﹣2a）﹣2=【考点】单项式乘单项式；合并同类项；负整数指数幂．【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、负整数指数幂的运算法则，分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、a4+a2不能合并，故本选项错误；B、5a﹣3a=2a，故本选项错误；C、2a3•3a2=6a5，故本选项错误；D、（﹣2a）﹣2=故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了单项式乘单项式、合并同类项、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则，注意指数的变化情况．10．下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．11．下列计算正确的是（）A．a4+a2=a6B．2a•4a=8a C．a5÷a2=a3D．（a2）3=a5【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则求出即可．【解答】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；B、2a•4a=8a2，C、a5÷a2=a3，正确；D、（a2）3=a6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．12．下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．3ab﹣ab=2ab C．a（a2﹣a）=a2 D．【考点】单项式乘多项式；立方根；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘多项式，立方根的法则进行解答．【解答】解：A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；B、3ab﹣ab=2ab，正确；C、应为a（a2﹣a）=a3﹣a2，故本选项错误；D、应为=2，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘多项式，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．13．计算2x（3x2+1），正确的结果是（）A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x【考点】单项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=6x3+2x，故选：C．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【考点】多项式乘多项式．【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．15．下列运算正确的是（）A．x2+x2=x4B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（﹣a2）3=﹣a6D．3a2•2a3=6a6【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【分析】根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算即可．【解答】解：A、x2+x2=2x2，错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；C、（﹣a2）3=﹣a6，正确；D、3a2•2a3=6a5，错误；故选C．【点评】此题考查同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．16．下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（ab）2=a2b2C．a4+a2=a6D．a2+a2=a4【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=a2+b2+2ab，错误；B、原式=a2b2，正确；C、原式不能合并，错误；D、原式=2a2，错误，故选B．【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．17．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66【考点】完全平方公式．【专题】规律型．【分析】归纳总结得到展开式中第三项系数即可．【解答】解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．18．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．19．下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣2）=a2﹣4【考点】完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；平方差公式．【分析】根据合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，进行解答．【解答】解：A、4a﹣a=3a，故本选项错误；B、应为2（2a﹣b）=4a﹣2b，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，正确．故选：D．【点评】本题考查合并同类项，去括号与添括号的法则，完全平方公式公式，平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．20．下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．【解答】解：A、a2+a2=2a2，错误；B、a2•a3=a5，错误；C、（﹣a2）2=a4，正确；D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；故选C．【点评】此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．21．下列运算正确的是（）A．5a2+3a2=8a4B．a3•a4=a12C．（a+2b）2=a2+4b2D．﹣=﹣4【考点】完全平方公式；立方根；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．【解答】解：A、5a2+3a2=8a2，错误；B、a3•a4=a7，错误；C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误；D、，正确；故选D．【点评】此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算．22．若2x3﹣ax2﹣5x+5=（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【考点】多项式乘多项式．【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出a，b的值，代入即可．【解答】解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5=（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，∴2x3﹣ax2﹣5x+5=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，∴﹣a=a﹣2b，ab+1=5，b+3=5，解得b=2，a=2，∴a+b=2+2=4．故选D．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加．二、填空题23．计算：3a•2a2= 6a3．【考点】单项式乘单项式．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：3a•2a2=3×2a•a2=6a3．故答案为：6a3．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．24．计算：a2•5a=5a3．【考点】单项式乘单项式．【专题】计算题．【分析】利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=5a3．故答案为：5a3．【点评】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．计算：3a•a2+a3= 4a3．【考点】单项式乘单项式；合并同类项．【分析】首先计算单项式的乘法，然后合并同类项即可求解．【解答】解：原式=3a3+a3=4a3，故答案是：4a3．【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法，理解单项式的乘法法则是关键．26．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．【考点】完全平方公式；规律型：数字的变化类．【专题】压轴题；规律型．【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．【解答】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6【点评】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．27．计算：a（a+1）= a2+a ．【考点】单项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=a2+a．故答案为：a2+a【点评】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．计算：（2x+1）（x﹣3）= 2x2﹣5x﹣3 ．【考点】多项式乘多项式．【专题】因式分解．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：原式=2x2﹣6x+x﹣3=2x2﹣5x﹣3．故答案是：2x2﹣5x﹣3．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．29．如图，矩形ABCD的面积为x2+5x+6 （用含x的代数式表示）．【考点】多项式乘多项式．【专题】计算题．【分析】表示出矩形的长与宽，得出面积即可．【解答】解：根据题意得：（x+3）（x+2）=x2+5x+6，故答案为：x2+5x+6．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．计算（x﹣1）（x+2）的结果是x2+x﹣2 ．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：（x﹣1）（x+2）=x2+2x﹣x﹣2=x2+x﹣2．故答案为：x2+x﹣2．【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．。

人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解2 幂的乘方

解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729. (2) ∵ 2x＋5y－3＝0， ∴ 2x＋5y＝3. ∴ 4x ·32y＝(22)x ·(25)y＝22x ·25y＝22x＋5y＝23＝8.
例4 比较 3500，4400，5300 的大小. 解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是 100 的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则. 解：3500 = (35)100 = 243100，4400 = (44)100 = 256100，
(2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10
= －a2 ·a2 ·a6＋a10
= －a10＋a10 = 0.
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，即合并同类项．
幂的乘方法则的逆用
例3 已知 10m＝3，10n＝2，求下列各式的值： (1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n.
幂的乘方
互动探究问题1 请分别求出下列两个正方形的面积：
10
S正＝边长×边长＝边长2
S小＝10×10 ＝102
103
S大＝103×103 ＝ (103)2
＝＝
103+3 ＝ 106
问题2 请根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空，观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想.
(32)3 = _3_2_ ×_3_2_ ×_3_2_ = 3（ 2 ）+（2 ）+（2 ） = 3（ 2 ）×（ 3 ） = 3（ 6 ）.
(3) [(－a)3]5；
(2) (xm)2； (4)－(x2)m.

八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)

=(x2+2xy+y2 -2yx-y2-8x)÷x =(x2-8x)÷x =x-8
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式

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第十四章整式的乘除与因式分解（2）考试范围：第十四章整式的乘除与因式分解；考试时间：100分钟；命题人：QQ2403336035注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（1--6题2分，7--16题3分，共计42分）1．已知3,5=-=+m n n m ，则22m n -等于（）A ．5B ．15C ．25D ．92．下列各式计算正确的是（） A ．x x x x x x 4128)132(4232---=-+- B ．3322))((y x y x y x +=++C ．2161)14)(14(x x x -=---D ．22242)2(y xy x y x +-=-3．把（－2）2014＋（－2）2015分解因式的结果是（）.A.22015B.－2 2015C.－2 2014D.220144．如（x ＋m ）与（x ＋3）的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）． A ．－3 B ．3 C ．0 D ．15．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（） A ．4 B ．5 C ．16 D ．256．已知3181=a ，4127=b ，619=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．a ＜b ＜cD ．b ＞c ＞a7．如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +⋅-2，那么a ＋b 的值为（）（A ）－2 （B ）－1（C ）1 （D ）28．设2251M a a =-+，237N a =+，其中a 为实数，则M 与N 的大小关系是（） A ．N M >B ．N M ≥C ．N M ≤D ．不能确定．9．如果多项式x 2＋mx ＋16是一个二项式的完全平方式，那么m 的值为 A ．4 B ．8 C ．－8 D ．±810．式子2014-a 2+2ab-b 2的最大值是（）A ．2012B ．2013C ．2014D ．201511．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（） A ．m+3 B ．m+6 C．2m+3 D ．2m+612 13．选择题：在公式s=ab 中，若a 增大10%，b 减少10%，则 S （） A 、增大10% B 、减少1% C 、增大0.5% D 、不变14．不论a 为何实数，代数式245a a -+的值一定是（）A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定15．如下图，左图是一个长为2a ，宽为2b （a>b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按右图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A ．2abB ．（a+b ）2C ．（a －b ）2D ．a 2－b 216．在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+62+63+64+65+66+67+68+69① 然后在①式的两边都乘以6，得： 6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S ﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014的值？你的答案是（）A B C D ．a 2014﹣1第II 卷（共计78分）二、填空题（每题3分，共计12分）17．分解因式：4x—9=_____________________ ． 18 19．对于实数a ，b ，c ，d ，，×（-2）-0×2=-2，=27时，则x= ．20．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为______________________．三、解答题（共6题66分）21．（1）计算:①xy xy y x 2)26(23÷+- ②2（a －3）（a ＋2）－（4＋a ）（4－a ）． ③2014 2－2015×2013（2）分解因式：①9a 2（x －y ）＋4b 2（y －x ）； ②-3x 2+6xy-3y 222x ＞1）求（1 （223．（1）若m x =4，m y =3，求m x+3y的值（2）、先化简，再求值：已知，其中x=﹣2，y=﹣0.5．24．已知：a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且222222222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．25．如图，长为50cm ，宽为x cm 的大长方形被分割为8小块，除阴影A 、B 外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为a cm ．（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 cm （用含a 的代数式表示）；（2）求图中两块阴影A 、B 的周长和（可以用x 的代数式表示）；（3）分别用含x ，a 的代数式表示阴影A 、B 的面积，并求a 为何值时两块阴影部分的面积相等．26．(1)已知(a-b)2=15，(a+b)2=7，计算ab 的值；(2)阅读理解：已知210a a +-=，求3223a a ++的值．解：3223a a ++3223a a a a a =+-+++22(1)14a a a a a =+-++-+ 004=++ 4=请你参照以上方法解答下面问题：如果2310a a a +++=，试求代数式2345678a a a a a a a a +++++++的值参考答案1．B 【解析】试题分析：根据题意把22m n -应用平方差公式22()()a b a b a b +-=-进行式因分解得（n+m ）（n-m ），因此把3,5=-=+m n n m 整体代入即可求解（n+m ）（n-m ）=5×3=15. 故选B考点：因式分解，整体代入法 2．C 【解析】试题分析：因为2324(231)8124x x x x x x -+-=--+，所以A 错误；因为223223()()x y x y x x y xy y ++=+++，所以B 错误；因为2161)14)(14(x x x -=---，所以C 正确；因为222(2)44x y x xy y -=-+，所以D 错误；故选：C. 考点：整式的乘法. 3．C 【解析】试题分析：根据题意知2014215（－2）＋（－2）(2)(2).(2=-+--=-. 考点：幂的乘方 4．A 【解析】试题分析：由题意知（x+m ）（x+3）=22x mx 3x 3m x (m 3)x 3m +++=+++，由于不含有x 项，因此m+3=0，即m=-3. 故选A考点：多项式乘以多项式 5．C ．【解析】试题分析：∵251244522+++-x y xy x =2224441225x xy y x x -++++ =22(2)4( 1.5)16x y x -+++，∴当2(2)x y -，24( 1.5)x +时，原式最小，∴多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为16，故选C ．考点：1．完全平方公式；2．非负数的性质．【解析】试题分析：3181=a =431124(3)3=，4127=b =341123(3)3=，619=c =261122(3)3=， ∵a>0，b>0，c>0，且124＞123＞122，∴a ＞b ＞c ．故选A ．考点：幂的乘方与积的乘方． 7．B 【解析】试题分析：∵2(2)()(2)2x x b x b x b -+=+--，二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +⋅-2，∴221a b b =-⎧⎨-=-⎩，解得：B.考点：因式分解的意义.8．C ．【解析】试题分析：可设2251y a a =-+，237y a =+，则在关于a ，y 的直角坐标系中，可知图象如下，∴M 可以等于N ， ∴N M ≤．故选C ．考点：二次函数的性质．【解析】试题分析：∵（x±4）2=x 2±8x+16，所以m=±2×4=±8．故选D ．考点：完全平方式． 10．C ．【解析】试题分析：2014-a 2+2ab-b 2=2014-（a 2-2ab+b 2）=2014-（a-b ）2，∵（a-b ）2≥0，∴原式的最大值为：2014．故选C ．考点：1.因式分解-运用公式法；2.偶次方． 11．C ．【解析】试题分析：依题意得剩余部分为（m+3）2﹣m 2=（m+3+m ）（m+3﹣m ）=3（2m+3）=6m+9，而拼成的矩形一边长为3，．故选C ．考点：平方差公式的几何背景． 12．A【答案】B【解析】解：在公式s=ab 中， S=a×(1+10%)×b×(1-10%) =1.1a×0.9b =0.99ab即ab-0.99ab =0.01ab =1%ab故本题选择B 14．A ．【解析】试题分析：设y=a 2-4a+5，即y=（a-2）2+1，∵（a-2）2≥0，∴（a-2）2+1≥1，即245a a -+≥1，∴不论a 为何值，代数式245a a -+值大于等于1．根据以上的解答，故答案选A ．考点：二次函数的最值． 15．C 【解析】试题分析：由题意得四块形状和大小都一样的小长方形的长是a ，宽是b ，拼成的正方形的边长是a+b ，所以中间空的部分的面积=（a+b ）2 -4 ab= a 2－2ab+b 2=（a －b ）2.故选：C. 考点：完全平方公式. 16．B ．【解析】试题分析：设S=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，① 则aS=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2015，②， ②﹣①得：（a ﹣1）S=a 2015﹣1，∴故选B ．试题解析：考点：1.同底数幂的乘法；2.有理数的乘方． 17．（2x-3）（2x-3）【解析】试题分析：根据题意应用平方差公式22()()a b a b a b +-=-进行因式分解得24x 9-=（2x+3）（2x-3）．考点：因式分解 18．14 【解析】考点：1.完全平方公式；2.分式的值.19．22．【解析】试题分析：得：(1)(1)(2)(3)27x x x x +--+-=，化简得：221(6)270x x x -----=，去括号得：2216270x x x --++-=，合并得：220x -=，解得：22x =．故答案为：22．考点：1．整式的混合运算；2．解一元一次方程；3．新定义．20．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．【解析】试题分析：左边阴影的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为b 的正方形面积，即a 2﹣b 2，右边平行四边形底边为a+b ，高为a ﹣b ，即面积=（a+b ）（a ﹣b ），两面积相等所以等式成立．即：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故答案是a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．考点：平方差公式的几何背景．21．（1）①-3x 2y+1 ② 3a 2-2a-28③ 1（2）①（x-y ）（3a+2b ）（3a-2b ）②-3（x-y ）2【解析】试题分析：（1）①按照多项式除以单项式的除法法则计算便可；②先去括号，然后合并同类项即可；③将2015×2013改写成（2014+1）×（2014-1 ）然后用平方差公式；（2）①先提公因式（x-y ），然后用平方差公式分解因式；②先提公因式-3，然后用完全平方公式分解因式．试题解析：①xy xy y x 2)26(23÷+-=32 6222x y xy xy xy -÷+÷=-3x 2y+1；②2（a －3）（a ＋2）－（4＋a ）（4－a ）=222222212(16)2212163228a a a a a a a a ----=---+=--．③ 2014 2－2015×2013=2014 2－（2014+1）×（2014-1 ）= 2014 2－（2014 2-1 ）=2014 2－2014 2+1 =1；（2）①9a 2（x －y ）＋4b 2（y －x ）= （x －y ）（9a 2-4b 2）=（x-y ）（3a+2b ）（3a-2b ）；②-3x 2+6xy-3y 2=-3（x 2-2xy+y 2）=-3（x-y ）2．考点：1．整式的乘除；2．平方差公式；3．因式分解．22．（1）23；（2【解析】试题分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简即可求出所求式子的值．2=x 2，，2，∵x ＞1考点：完全平方公式． 23．（1） 108 （2）化简结果=20xy-32;求值结果=-12 【解析】试题分析：（1）逆用同底数幂的乘法运算x 3y x 3y x 3m m m m (m )y +=⋅=⋅；（2）先化简整式，然后将x=﹣2，y=﹣0.5代入计算即可.试题解析：（1）x 3y x 3y x 3m m m m (m )y +=⋅=⋅=4×27=108.（2）当x=﹣2，y=﹣0.5时，原式=-12.考点：1. 同底数幂的乘法；2.整式的化简求值. 24．等边三角形．证明见试题解析．【解析】试题分析：由222222222a b c ab ac bc ++=++分组因式分解，利用非负数的性质得到三边关系，从而判定三角形形状．试题解析：△ABC 是等边三角形．证明如下：∵222222222a b c ab ac bc ++=++，∴2222222220a b c ab ac bc ++---=，即2222222220a ab b a ac c b bc c -++-++-+=， ∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∴0a b -=，0a c -=，0b c -=，得a b =，a c =，b c =，即a b c ==，所以△ABC 是等边三角形．考点：因式分解的应用．25．(1) 50-3a ；（2）4x ；（3）()()5033A S a x a =-⨯-， ()3503B S a x a =-+；【解析】试题分析：（1）由图形知：每个小长方形较长一边长为：（50-3a ）cm; (2) 由图形知：A 的长＋B 的宽=x ，A 的宽＋B 的长=x ，可求周长和.(3)分别用含有x 、a 的代数式表示A 、B 的长和宽，从而可求阴影A 、B 的面积，列方程可求a 的值.试题解析：(1) 50-3a ；（2）由图形知：A 的长＋B 的宽=x ，A 的宽＋B 的长=x 所以周长和=4x ；（3）()()5033A S a x a =-⨯-， ()3503B S a x a =-+()()()50333503a x a a x a -⨯-=-+考点：1.列代数式；2.解一元一次方程. 26．(1)-2; (2)0. 【解析】试题分析：（1）把(a-b)2=15，(a+b)2=7，分别展开，相减，即可求出ab 的值；（2）将原式进行分组，提取公因式，代入求值即可求解.试题解析：（1）(a+b)2 -(a-b)2=4ab=7-15=-8， ∴ab=-2.（2）∵2310a a a +++=，∴原式=2345678a a a a a a a a +++++++（）（）23523=11a a a a a a a a +++++++（）（）5=000a a ⋅+⋅= .考点：1.完全平方公式；（2）代数式求值. 27．(1)()2m n -; (2)()()m n m n --或者()24m n m n +-；(3)(4)()222()472029a b a b ab -=+-=-=.【解析】试题分析：(1)由大正方形面积减去四个小长方形面积可得；（2）法一：由大正方形面积减去四个小长方形面积可得，法二，由小正方形的边长平方可得；(3)由完全平方差公式与完全平方和公式可得三者关系；(4)将上题中结论变形为()22()4a b a b ab -=+-，可求. (1)()2m n -;(2)()()m n m n --或者()24m n mn +-;(4)()222()472029a b a b ab -=+-=-=. 考点：1.整式乘法；2.完全平方公式.。