华理2011线性代数期终考试卷

（10分）
(5)求出向量组的极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表
出。
（8分）
（6）已知n阶矩阵A满足矩阵方程A2-3A-2I=O，其中A给定，而I是单位
阵，证明A可逆且求A-1。
（8分）
(7) ①已知二次型通过正交变换成标准形，试确定其中及的值；
②对①中二次型，问在什末范围取值，使得成为正定二次型。
4）（9分）给定两组向量，；其中
，
，
，
，
（1） 试证及分别线性无关；
（2） 设，，若有
问是否可逆？若可逆，求出.
5）（9分）给出四个维向量组
（A）；
（B）；
（C）；
（D）.
设已知组（A）与（B）的秩均为3，而组(C)的秩为4，试问向量组（D）
的秩等于多少？为什么？
6）（9分）设二次曲面的方程
经正交变换 化成
且，则
(3)设三阶方阵A=[] ，B=[]其中均为三维列向量，且已知detA=3，
detB=4,则det(5A-2B)=
。
(4)已知齐次线性方程组
的解空间是二维的，则
,
(5)设=,则
2) 选择题（每小题3分，共15分）
（1） 设为阶矩阵，为维向量，则以下命题成立的是（ ）。 A) 若有解时，也有解，则必可逆 B) 若有解时，也有解，则必可逆 C) 的解必是的解 D) 的解与的解无任何联系
。
4）（3分×5＝15分）选择题
（1）阶矩阵有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。
（A）充分必要条件
（B）充分但不是必要的条件
（C）必要但不是充分的条件
（D）既非充分也不必要的条件
（2）阶矩阵、，下列各式中必成立的是（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
(3)设已知是线性方程组的两个解，则（ ）
（A）是的解
线性代数期终考试卷
1、 试卷一
1)填空题（每小题4分，共20分）
（1） 设A=,则ATA=
（2） 在分块矩阵A=中，已知、存在，则
（3） 设A=，B为三阶非零矩阵，满足AB=O，则r(B)=
（4） 若X=，则X=
（5） 三次代数方程=0的根是
2）选择题（每小题3分，共15分）
（1）设A=,B=
P1=，P2=，则必有（ ）
(2)若是矩阵，是矩阵，下列命题不成立的是（ ）。
A) 若则的第列（＝1，2，...,m）是以第列的元素为系数作的列向
量的线性组合。
B) 若则的第行（＝1，2，...,m）是以第行的元素为系数作的行向
量的线性组合。
C) 且，则的行向量组线性无关
D) 且，则的任意个行向量必线性相关
（3）设是的基础解系，则在下列向量组中也是基础解系的是（
五、试卷五
1）选择题 (1)设A=为分块矩阵，则AT = ( )
（3分）
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） （3
分）
（A）
(B)
(C)
(D)
(3)设A是阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方
程组，则下列结论正确的是（ ）
（3分）
（A） 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解
2)填空题
（1） 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的
余子式分别为5，3，－7，4，则D的值为
。
（3分）
（2） A=，则与A可交换的所有二阶方阵是
（3分）
（3） 设矩阵A=，B=其中均为四维列向量，且已知行列式则( )
（3分）
（4） 当值取 时，二次型是正定的。
（5） 已知一个二次多项式，使得则：
（3）设是正交阵，则
。
3）（10分）设为实数，计算下列阶行列式
4）（15分）讨论下列方程组
在、取何值时，无解，有唯一解，有无穷多解；并求出当方程有无穷多 解时的通解。
5）（8分）若已知相似，且 ，
试求中的元素之值。
6）（10分） 设，，试求矩阵，使得等式成立。
7）（10分） 已知是二次型的矩阵之特征向量，试求出化该二次型成标准型的正交变 换。
3）（每小题6分，共12分）
（1） 计算行列式D=
（2） 已知q1=,q2=，求q3，使Q=为正交阵。
4)(共10分)设=，=，=，=，=，问取何值时，可唯一地表示成，，，的
线性组合，（6分），并写出此表示式（4分）。
5)(共10分)给定矩阵A=，试求出A的特征值（4分），问x,y满足什么条
件时矩阵A可对角化（4分），为什么？（2分）
（10分）
4)证明题
（1） 设为矩阵且，证明。
（2） 已知A是n阶实对称阵，满足，试证。
）。
A) ,,
B)
C) ,,,,,
D) 与等价的向量组
(4)已知二次型是正定的，则的取值范围是（ ）。
（A） （B） (C) (D)
(5)若阶矩阵、、满足，则必有（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）若、、皆可逆，则
3）（9分） 设线性方程组
问、取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无限多组解，试写出无 限多组解的通解表达式。
求、的值及正交矩阵。
（）
7）（9分）设是一已知的阶矩阵，满足，试证可逆，并求出。
8）（6＋6＝12分）计算行列式 (1); (2)
9)(8分)已知是任一阶方阵，试证：若有维向量使 则向量组 必线性无关。
三、试卷三
1） 判定下列命题是否 正确，若正确在括号内填上“√”；若不正确， 在括号内填上“х”（每题3分，共12分）
（3分）
3)计2）求A=.
(6分)
(3)已知三阶矩阵A可对角化且特征值为1，－1，2，设矩阵B=A3-5A2，
（10分）
试求：①矩阵B的特征值；②行列式及（I为三阶单位阵）.
(4)已知6，3，3是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量,是属于特征值
3的两个特征向量。
1 求A的属于特征值6的特征向量；②求矩阵A。
（1）设为三阶实对称阵，其特征值为1，2，3，则为正定。
（
）
（2）设，，，则{}为的一个基。
（）
（3）设为阶矩阵，为的个线性无关的解向量，则是的一个基础解
系。
（）
（4）若线性相关，线性无关，则一定不能由线性表
出。
（）
2） 填空题（每空3分，共15分）
（1）设，则＝
，＝
，（的转置伴随阵），＝
。
（2）设是两个正交的维（非零）列向量，则＝ （）。
有解的情况下求出其解。
6)(10分)试求三阶正交矩阵Q，使正交变换x=Qy能将二次型
化成标准型。
7)(10分)已知矩阵A=的特征方程有重根，试求出a的一切可能值，并 分别说明a取各可能值时A能否对角化的理由 。
8）（4分 +8分=12分）证明题： （1） 已知A是n阶幂零阵，既存在正整数k ，使Ak=O， 试证I-A 是可逆阵，其中I是n阶单位阵。 （2） 设A,B分别是及矩阵() ，已知AB=B以及r(B)=n ，试证 A=I。
6)(共14分)对线性代数方程组
（1） 若两两不等，问方程组是否有解（4分），为什么？（4分）
（2） 若, (b0)，且已知方程的两个解
,
试给出方程组的通解。（6分）
7）(共12分)已知二次型q=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)通过正交变化成标
准型
q=y12+2y22+5y32。
(A)AP1P2=B
(B)AP2P1=B
(C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
(2)设A是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k为常数k0,，则(kA)*=(
)
(A)kA* (B)k2A* (C)k3A* (D)A*
(3)若r(A)=r<n,则n元线性代数方程Ax=b ( )
（A） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有
8）（12分）已知阶矩阵、满足。 （1） 试证为可逆阵，其中为阶单位阵； （2） 试证必有； （3） 若，试求出。
9）（8分）设、是两个阶矩阵，且有个两两不相等的特征值，试证： （1）的每个特征向量必是的特征向量，（2）一定可对角化。
四、试卷四
1）（8分）已知向量是的特征向量，试求的值，其中 ，
2）（6分×3＝18分）计算题
（1） 求出9阶行列式的值： （2） 设矩阵满足，求矩阵。 （3） 已知向量
试求与都正交的全部向量。
，，，
3）（3分×5＝15分）填空题
（1）已知矩阵的列向量线性相关，则
。
（2）已知、均是三阶的非零阵，，，则
。
（3）若，，则
。
（4）已知，，是的一组基，则向量在这组基下的坐标是
。
（5）已知是三阶方阵，，则的行列式值为
（B） 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解
（C） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解
（D） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解
(4)都是n阶矩阵A的特征值，，且分别是对应于的特征向量，当
（ ）时， 必是A的特征向量。
（3分）
(A)且 (B) 且 (C) (D)中有且只有一个为零 (5)二次型=的秩是（ ） （３分） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
（B）是的解
（C）是的解
(D) 是的解
(4)若n阶矩阵A,B均可逆，AXB=C,则( )
（A）
（B）
(C)
(D)
(5)设是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是 ，且已知，