过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
椭圆中的直线过定点问题
在椭圆中，有时我们需要证明某条直线会经过一个特定的点。
这类问题通常涉及到直线的斜率、截距以及椭圆上的点。
解决这类问题的一般步骤如下：
1. 设定变量和参数：首先，我们需要设定一些变量和参数来表示椭圆上的点和直线的方程。
这通常包括椭圆的参数方程和直线的点斜式方程。
2. 建立恒等式：然后，我们需要利用椭圆的性质和直线的性质来建立一些恒等式。
这些恒等式通常涉及到椭圆的参数方程和直线的斜率、截距等。
3. 求解恒等式：通过求解这些恒等式，我们可以找到满足条件的直线方程，从而确定这条直线会经过的定点。
4. 验证结论：最后，我们需要验证所得的结论是否正确。
这通常涉及到将所得的定点坐标代入直线方程和椭圆方程进行验证。
通过以上步骤，我们可以解决椭圆中的直线过定点问题。
需要注意的是，这类问题通常比较复杂，需要仔细分析并运用椭圆的性质和直线的性质来求解。
函数过定点问题的求法
函数过定点问题的求法基本概念什么是定点呢?函数过定点的含义就是：不管参数取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数f(x)=ax+1经过定点（0，1），因为无论a取什么值，函数一定经过点（0，1），因此函数f（x）经过的定点就是（0，1）；定点的概念你清晰了吗？是否所有含参数的函数都经过定点？答案是否定的，为什么呢？在下面的讲解中我们会给出说明的哦；当然，你也可以自己先回答一下，最后根据我们讲解的内容，看看你自己回答的是否正确！答题技巧定点问题到底怎么解决呢？老师给了三个解题步骤，严格按照这三个解题步骤解题的话，你的定点问题相关的考点都是满分哦，切记：严格按照这三个步骤执行和求解哦，千万不要自己瞎写哦！含有参数的函数过是否有定点的解题技巧：1 找到函数中的参数2 确定函数中的参数的系数3 令函数的参数系数为0，如果有解，则该含有参数的函数一定过定点，将这个点的坐标求出来即可；如果没有解或者求出的解不在函数的定义域范围内，则这个含义参数的函数没有定点；函数定点5大注意事项1 不是所有的函数都有定点2 只有含有参数的函数，我们才会考核其是否过定点3 如果按照解题技巧求出的值不在函数的定义域内函数也没有定点4 如果按照解题方法没有求解出相关的变量的值，则该含参函数不过定点5 定点的纵坐标求解过程：一定先求出自变量的值，然后代入函数中进行相关的值的求解习题讲解例题1：判断函数：f(x)=kx+k是否经过定点并给出说明；解：函数f(x)=kx+k经过定点：（-1，0）因为f(-1)=-k+k=0；所以f(x)=kx+k一定经过点（-1，0）；例题2：f(x)=ax^2+bx+c是否过定点？参数为a，b，c，参数的系数分别为x^2,x和1；参数的系数为0，没有解，因此f(x)=ax^2+bx+c不过定点；例题3：g(x)=k^2 x+k+4,判断g(x)是否过定点（2010年高考真题变形）解：g(x)=k^2 x+k+4=(kx+1)k+4K的系数为(kx+1)，等于0，没有得到一个常数解，因此g(x)=k^2 x+k+4不过定点；例题4：h(x)=a^2 x+4a^2+3是否经过定点？（2009年高考真题变形）解：h(x)=a^2 x+4a^2+3=（x+4)a^2+3；当x=-4时，x+4=0，函数经过定点（-4，3）作业1..f(x)=ln(kx+k)是否过定点？2.f(x)=e^ax+7 是否经过定点？3.f(x)=e^ax+ln(ax) 是否经过定点?高考中怎么考核定点？高考中不会直接让求函数经过的定点，而是将数形结合和定点联系到一起进行考核，通常我们会将含参数的函数求出一个定点，然后画图的时候可以大致确定函数的图像，通过图像进一步求解相关的问题，后续课程我们会对此块内容进行补充，此处不再赘述！。
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。
第06讲 定点问题(解析几何)(原卷版)
第06讲 定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭． 定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ， 且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。
函数过定点问题的求法
函数过定点问题的求法函数过定点问题是数学中的一个重要问题，广泛应用于各个领域。
本文将详细介绍函数过定点问题的求解方法。
函数过定点问题是指在平面直角坐标系中，寻找函数图像上满足$f(x)=x$的点的问题。
其中，$f(x)$表示函数的表达式，$x$为自变量。
求解函数过定点问题的方法有多种，下面将逐一介绍。
一、图像法图像法是最直观的一种方法，通过绘制函数的图像，可以清楚地看出函数与$y=x$相交的点。
具体操作步骤如下：1. 根据给定的函数表达式$f(x)$，选择合适的自变量范围，在直角坐标系中绘制出函数的图像。
2. 绘制直线$y=x$，可以使用直尺或绘图软件辅助。
3. 在函数图像与直线$y=x$的交点处，即为函数过定点的解。
图像法的优点是直观易懂，适用于简单的函数。
但对于复杂函数来说，绘制图像可能会比较困难。
二、数值法数值法是一种近似求解函数过定点问题的方法，通过迭代计算，逐步逼近函数与$y=x$相交的点。
具体操作步骤如下：1. 首先，选择一个初始值$x_0$，可以根据函数的特点来选择。
2. 根据函数表达式$f(x)$，计算出$x_1=f(x_0)$。
3. 重复以上步骤，计算出$x_2=f(x_1)$，$x_3=f(x_2)$，依次类推，直到满足精度要求或达到迭代次数限制为止。
4. 最终得到的$x_n$即为函数过定点的近似解。
数值法的优点是适用于任意复杂的函数，但其精度受到迭代次数和初始值选择的影响。
为了提高精度，可以使用更高阶的数值算法，如牛顿法、二分法等。
三、解析法解析法是一种通过数学推导得到函数过定点解的方法，适用于特定类型的函数。
具体操作步骤如下：1. 根据函数表达式$f(x)$，将$f(x)=x$转化为等式$g(x)=0$的形式，其中$g(x)=f(x)-x$。
2. 根据等式$g(x)=0$，使用代数运算、方程求解等方法，求解出$g(x)$的根。
3. 根据求解得到的根，即可得到函数过定点的解。
解析几何—直线过定点问题
解析几何之图像过定点问题是我们高考20题常考类型之一。
主要方向是弄懂：如何确定直线所过的定点；同时掌握几种常考类型。
此类题目题干中定有条件需要转化，结合联立利用韦达定理，得到关于所设直线中涉及的斜率（k ）、截距（b/m ）的式子。
然后可用含k 的式子表示b （m ），只需留有一个变量即可。
以下是常见情况：例题精析①例1（2017·全国高考真题（理））已知椭圆C ：（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直2222=1x y a b3232线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此，解得. 故C 的方程为.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知，且，可得A ，B的坐标分别为（t ，），（t ，）.则，得，不符合题设. 从而可设l ：（）.将代入得由题设可知.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=.而2214x y +=3P 4P 3P 4P 222211134a b a b +>+222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩2214x y +=0t ≠2t<22-1222122k k t t+=-=-2t =y kx m =+1m ≠y kx m =+2214xy +=()222418440kx kmx m +++-=()22=16410k m ∆-+>2841km k -+224441m k -+12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+.由题设，故.即.解得. 当且仅当时，，欲使l ：，即， 所以l 过定点（2，）例题精析②例2. 已知抛物线2:4C y x =，点M (m , 0)在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线 C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若m =1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？()()12121221kx x m x x x x +-+=121k k +=-()()()12122110k x x m x x ++-+=()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++12m k +=-1m >-0∆>12m y x m +=-+()1122m y x ++=--1-【解析】：（I ）由题意得M （1，0），直线l 的方程为y =x ﹣1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；（II ）若存在这样的点M ，使得2211AMBM+为定值，直线l ：x =ky +m与抛物线方程联立，计算|AM |，|BM |，利用2211AMBM+恒为定值，可求点M 的坐标．答案:（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0).解析：（1）当m =1时，M (1，0)，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为y =x -1，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y x y x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=.(2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值，于是m =2，此时221114AMBM+=. ∴存在定点M (2, 0)，满足题意.例题精析③例3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B为椭圆的上顶点， 12BF F ∆， A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【解析】：（Ⅰ）由已知()122{{12c 4BF F b b c S ∆==⇒=== ∴2224a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()22222264163430340m k k m k m ∆=-+->+->，即()1222122834{ 43·.34mkx x km x x k +=-+-=+，又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122y yx x =---，∴()121212240y y x x x x +-++=， ∴()()22222234431640343434m k mmkk k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．解得： 12m k =-， 227k m =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
直线过定点问题
直线过定点问题解题技巧：证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类 问题解题一般有两种解法.法 1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为:(1)设出直线的方程 y = kx + b 或 x = my + t ;(2)通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到k 和b 、m 和t 的关系，或者解 出b ,t 的值;(3)根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为:(1)通过题于条件，求出直线上的两个点 A , B 的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB ，并求出它们的交点 P ，该点即为直线过的定点；(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P .注:上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.典型例题例 1、已知椭圆 C : 12222=+b y a x （a >b >0）的半焦距为c 离心率为21 ，左顶点 A 到直线x = ca 2的距离为6 ，点 P ,Q 是椭圆上的两个动点. （1）求椭圆C 的方程;（2）若直线 AP ⊥ AQ ，求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出 R 点的坐标例 2、已知一动圆经过点 M (2,0)，且在 y 轴上截得的弦长为4 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程;（2）过点 N (1,0) 任意作两条互相垂直的直线 l 1 ,l 2 ，分别交曲线C 于不同的两点A , B 和 D , E ，设线段 AB , DE 的中点分别为 P ,Q①求证:直线 PQ 过定点 R ，并求出定点 R 的坐标; ②求 ｜PQ ｜的最小值例 3、椭圆 C : 12222=+by a x （a >b >0）的上顶点为 B ，右焦点为 F ，点 B , F 都在直线3x + y - 3= 0 上.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）M , N 为椭圆C 上的两点，且直线 BM , BN 的斜率之积为 41. 证明:直线MN 过定点，并求定点坐标.专题练习1、设椭圆E : 12222=+by a x （a >b >0）的右焦点到直线 x - y + 22 = 0的距离为3，且过点 (-1,-26） . （1）求 E 的方程;（2）设椭圆 E 的左顶点是 A ，直线l : x - my - t = 0 与椭圆 E 交于不同的两点M , N (均不与 A 重合)，且以MN 为直径的圆过点 A .试判断直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由.2、抛物线C : y 2= 2 px ( p > 0) 上一点 M (1, y 0 )( y 0 > 0)满足｜MF ｜ = 2 ，其中 F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程 （2）设直线MA 和MB 分别与抛物线C 交于不同于M 点的 A , B 两点，若MA ⊥ MB ，证明:直线 AB 过定点，并求此定点的坐标 .3、已知直线的方程为 y = x + 2 ，点 P 是抛物线 y 2= 4x 上距离直线l 最近的点，点 A 是抛物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线l 交于点Q ，过点Q 与 x 轴平行的直线与抛物线交于点 B . （1）求P 点的坐标; （2）证明:直线 A B 恒过定点 ，并求这个定点坐标。
初一数学过定点问题
初一数学过定点问题一、直线过定点问题直线过定点问题一般涉及一次函数和反比例函数，需要利用斜率、截距或两点式方程来求解。
解决此类问题时，首先要明确所求直线方程的形式，然后根据题目条件列出方程组，解出未知数即可。
二、一次函数图象过定点问题对于一次函数y=kx+b，当其图象过定点时，可以将点的坐标代入方程中求出k和b的值，从而确定函数的解析式。
例如，一次函数y=x+1的图象经过点(2,3)，将x=2, y=3代入方程中，可以求出k=1, b=1。
三、二次函数图象过定点问题对于二次函数y=ax^2+bx+c，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出a、b、c的值。
例如，二次函数y=x^2+2x+3的图象经过点(1,4)，将x=1, y=4代入方程中，可以求出a=1, b=2, c=0。
四、反比例函数图象过定点问题对于反比例函数y=k/x，当其图象过定点时，同样可以将点的坐标代入方程中求出k的值。
例如，反比例函数y=2/x的图象经过点(2,1)，将x=2, y=1代入方程中，可以求出k=2。
五、三角形、四边形过定点问题三角形和四边形的问题通常涉及到角度、边长等几何量，需要利用几何定理和代数方法进行求解。
对于三角形，可以借助三角形相似性质进行推导；对于四边形，可以借助对角线性质进行求解。
在解决此类问题时，需要仔细分析图形和条件，选择合适的解题方法。
六、圆过定点问题圆过定点问题需要利用圆的方程和几何性质进行求解。
对于给定的圆方程和点坐标，可以将其代入圆的方程中求解未知数。
在解决此类问题时，需要明确圆心和半径的几何意义，并选择合适的解题方法。
七、综合类过定点问题综合类过定点问题通常涉及到多个知识点和解题方法，需要综合运用所学知识进行求解。
在解决此类问题时，需要仔细分析题目条件和要求，选择合适的解题方法。
二次函数-过定点问题
22.1.4(4.2)---过定点问题一．【知识要点】1.过定点问题二．【经典例题】1.（1）如果一个二次函数的图象经过（－1,-11）（2,8）（0,-8）三点，求出这个二次函数的解析式.（2）如果一个二次函数的顶点为(2,1)且经过点（0,3），求出这个二次函数的解析式.（3）已知二次函数的图象与x 轴交于A （—2,0）,B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,- 4）求二次函数解析式.2.如图,已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x=-1,且经过A （1,0），B （0，-3）两点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上,是否存在点M,使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小,如果存在求出点M 的坐标,如果不存在请说明理由.3．如图，已知A （0，2），B （1，0），C （2，1），若抛物线y=x 2+bx+1与△ABC 的边一定有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ≤0B ．b ≤﹣2C ．b ≥0D ．b ≥﹣2三．【题库】【A 】【B 】【C 】1.对于二次函数2(21)1(0)y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若a<0，函数在x>1时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点。
其中所有正确的结论是_____________ 。
（填写正确结论的序号）【D 】1．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x ＝，有下列结论：①abc ＞0；②a+b ＞0；③4a+2b+3c ＜0；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am 2+4bm ﹣b ≥0．其中正确结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个。
直线方程恒过定点问题怎么求
直线方程恒过定点问题怎么求问题描述在平面几何中，给定一个定点和一条直线，我们需要找到一个直线方程，使得这条直线在任意位置上都经过给定的定点。
这个问题被称为直线方程恒过定点问题。
本文将介绍如何求解这个问题。
解法一：点斜式直线方程首先我们需要知道点斜式直线方程的一般形式：y=kx+b。
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们需要找到一个直线，使得它始终经过点P(x0,y0)。
根据点斜式直线方程，我们需要求解符合该条件的k和b。
由于直线过点P(x0,y0)，代入直线方程可得：y0=kx0+b然后将这个方程稍作调整：$$ b = y_0 - kx_0 \\quad (1) $$将式(1)代入点斜式直线方程，我们就得到了直线方程的表达式：y=kx+(y0−kx0)这条直线方程恒过定点P(x0,y0)。
因此，我们可以得出结论：对于给定的点P(x0,y0)，直线方程恒过该点的一般形式为y=kx+(y0−kx0)。
解法二：一般式直线方程除了点斜式直线方程，我们还可以使用一般式直线方程来解决直线方程恒过定点问题。
一般式直线方程的一般形式为：Ax+By+C=0。
假设直线经过点P(x0,y0)，我们需要找到符合该条件的A、B和C。
设直线方程为Ax+By+C=0，将点P(x0,y0)代入方程可得：$$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \\quad (2) $$假设直线方程的一般法向量为$\\mathbf{n} = (A, B)$，则直线方程可以写成：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p} + C = 0 \\quad (3) $$其中，$\\mathbf{p} = (x, y)$。
将点P(x0,y0)代入方程(3)，可得：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p_0} + C = 0 \\quad (4) $$由于直线过点P(x0,y0)，则向量$\\mathbf{n}$与向量$\\mathbf{p_0}$垂直。
直线过定点问题
====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====直线过定点问题：（1）取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。
例1 求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。
解令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。
将（1，-1）点代入原方程得（m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0成立，所以该定点P为（1，-1）。
（2）由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。
例2已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。
证明由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k∴（k+1）x-k=（k-1）y+k（k+1）x-k-1=（k-1）y+k-1（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1）即因此当k≠1时，直线l的方程为直线的点斜式y-y0=k（x-x0）的当k=1时，原直线l的方程为x=1综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。
（3）方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
例3若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。
解由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0无论a，b为何值上式均成立，所以a，b的系数同时为0。
（4）直线系观点过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x ＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。
直线方程的恒过定点问题解析
直线方程的恒过定点问题解析引言直线方程是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线方程的恒过定点问题是研究直线方程在平面上是否恒过一个给定的点。
本文将对直线方程的恒过定点问题进行解析，包括问题的定义、解决方法和实际应用。
问题定义直线方程的恒过定点问题可以通过以下方式定义：给定一个平面上的直线，判断该直线是否经过一个给定的点。
如果直线恒过该点，则称直线方程满足恒过定点条件。
该问题在几何学中有着重要的应用，例如判定一个点是否在一条直线上。
解决方法直线方程的恒过定点问题可以通过以下两种方法解决：代数法和几何法。
代数法代数法是通过代数表达式来解决直线方程的恒过定点问题。
通过将直线方程表达式与给定点的坐标代入，可以判断直线方程是否满足恒过定点条件。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以将点P的坐标代入直线方程，得到等式y0=kx0+b。
如果等式成立，则表示直线方程满足恒过点P的条件。
几何法几何法是通过几何性质来解决直线方程的恒过定点问题。
根据直线的斜率和截距的定义，可以判断直线是否经过给定的点。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以求出直线的斜率k。
如果点P的坐标满足等式y0=kx0+b，则表示直线经过点P。
实际应用直线方程的恒过定点问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用示例：建筑设计在建筑设计中，经常需要判定某些结构是否恒过一个定点。
例如，要确定一条梁是否恒过某个支撑点，可以将梁的方程与支撑点的坐标代入，从而判断是否满足恒过定点条件。
导航系统在导航系统中，通常需要确定一条路径是否恒过起点和终点。
通过将路径的方程与起点和终点的坐标代入，可以判断路径是否满足恒过定点条件，从而提供准确的导航指引。
地理测量在地理测量中，常常需要确定一条直线是否经过某个标记点。
通过将直线的方程与标记点的坐标代入，可以判断直线是否满足恒过定点条件，从而实现精确的地理测量。
结论直线方程的恒过定点问题是数学中的一个重要问题，在几何学和代数学中有广泛的应用。
高考数学圆过定点问题专项练习讲解
高考数学圆过定点问题专项练习讲解一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点． （1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意得1,{32c a a c =−=1,{3c a =⇒=.椭圆的方程为：221.98x y +=（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,,，020,3y k x =−2012209y k k x ∴=−.在椭圆上，所以，2k ⋅，设，则，.，又2k ⋅.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为，12GH y y =−,所以，以GH 为直径的圆的方程为：.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点(17,0),(1,0).【分析】(1)根据题意，列出方程组1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，求解即可得出结果；(2)先记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，()3,0A −，()3,0B ，表示出12k k ，，根据M 在椭圆上，得到2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，进而可得1289k k =−，再设()19G y ，，()29H y ，可得1264y y =−，由GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−，得到以GH 为直径的圆的方程，进而可得出结果. 【详解】 （1）由题意得：1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩21,83c b a =⎧⇒⇒=⎨=⎩， 椭圆C 的方程为：221.98x y +=（2）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，() 3,0A −，()3,0B ，所以0103y k x =+，020,3y k x =− 2012209y k k x ∴=−. 因为M 在椭圆上，所以2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，1289k k =−， 设()19G y ，，()29H y ， ，则1112AM y k k ==，626BM y k k ==， 所以121272y y k k =，又1289k k =−.1212864729y y y y ∴=−⇒=−. 因为GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =−， 所以，以GH 为直径的圆的方程为：()()2221212924y y y y x y −+⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭. 令0y =，得()212964x y y −=−=， 所以117x x ==，将两点()()17,0,1,0代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点()()17,0,1,0. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的性质等，即可求解，属于常考题型.2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x＝M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）MN为直径的圆恒过定点和． 【分析】（1）根据ABF1求出a ＝2，即得解；（2）设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y．求出112)2y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，联立22142x y +=和PQ的方程为x ty =0PM PN →→⋅=即得解.【详解】 解：（1）由题得 ABF的面积(11()122S a c b a =+⋅==，解得a ＝2， 即椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）已知点A （－2，0），设直线PQ的方程为x ty =()()1122,,,P x y Q x y ． 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线AQ 的方程为22(2)2y y x x =++，将x =AP 、AQ 方程，可得112)2y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，222)2y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭． 设以MN 为直径的圆过定点P （m ，n ），则0PM PN →→⋅=，即212)PM m n n PN →→⎫⋅=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212)m n n =−+⎝⎭22)m n n ⎛⎫=−+()()2121212222)2)222))y y n y ty ty y m n ⎡⎤−+=+()2121212222)2)22))y y n ty y y y m n ⎡⎤−++=+联立椭圆22142x y+=和直线PQ 的方程为x ty =可得22(240ty y +−=，化简得()22220t y ++−=，即1222y y t −+=+，12222y y t −=+．代入上式化简得22)m n =+22)20m n =−++=，由此可知，若上式与t 无关，则0n =，又2)20,m PM P m N →→⋅=−== 因此MN为直径的圆恒过定点和． 【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++−=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.【答案】(1)22143x y += ;(2) 以MN为直径的圆经过定点(6±【分析】(1) 利用SM SN =,//RQ SN ,可以推出RQ QM =,根据42QS QR SM SR +==>=可知: 动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而可以写出Q 点的轨迹方程.(2)设00(,)P x y ,求出,M N 的坐标后,再求出MN 的中点坐标,然后求出以MN 为直径的圆的方程,令0y =可求得6x =±为定值,所以圆过定点.【详解】 (1)如图:因为SM SN =,//RQ SN , 所以RQ QM =,所以42QS QR QS QM SM SR +=+==>=,根据椭圆的定义知:动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆, 这里224,413a b ==−=,所以Q 点的轨迹方程为:22143x y +=.(2)由题可知(2,0),(2,0)A B −,设00(,)P x y , 所以002AP y k x =+,则直线AM l 的方程为:00(2)2y y x x =++, 令6x =,则0082y y x =+,所以008(6,)2y M x + , 因为002BP y k x =−,则直线BP l 的方程为:00(2)2y y x x =−−, 令6x =,则0042y y x =− ,所以004(6,)2y N x −, 所以MN 的中点坐标为00202(32)(6,)4y x x −−,此时圆的方程为: 222000022002(32)2(6)(6)[][]44y x y x x y x x −−−+−=−−, 令0y =,得2202032(6)4y x x −=−,又2200143x y +=,所以2(6)24x −= , 解得:6x =±故以MN为直径的圆经过定点(6±. 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求标准方程,圆过定点问题,属难题.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ， （l ）若121k k =− ①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标． （2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由． 【答案】（1）(1,0)P −，定点为(3±； （2）直线过定点(3,0)． 【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于1−，从而得到PQ 为直径，从而确定出点P 的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线PM 的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标． 试题解析：（1）121,k k PM MQ =−∴⊥，又因为P 在圆上，所以PQ 为直径，故(1,0)P −,法一：设1:(1)PM l y k x =+，令3x =得1'(3,4)P k ，2:(1)QM l y k x =−，令3x =得2'(3,2)Q k ，且PM QM l l ⊥，故12k k 1=−，12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k −−+−−=22121269(42)80x x y k k y k k ⇒−++−++=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±． 法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1vP u +， :(1)1QMv l y x u =−−，3x =，得2'(3,)1v Q u −，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v v x x y y u u −−+−−=+−222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒−++−++=+−−由221u v +=，令0y =，则26980x x −+−=，故3x =±(3±．（2）法一：解：设:(1)QM l y k x =−与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +−+−=，由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k −=+，22222212(,)11k M k k −−++，同理23223312(,)11k P k k −−++， 再利用222232222442,(,)44k k k k P k k −−=++． 222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k −+++==−−+−++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k −−∴=−++++222232k x k k −=+，∴直线过定点(3,0)．法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号．不妨设21k =，则:1QM l y x =−，与圆联立得(0,1)M −，32k =，则:2(1)QP l y x =−，与圆联立得34(,)55P −，此时1:13MP l x y =+， 同理由圆对称性，当(0,1)M 时，231,2k k =−=−，此时P 点坐标34(,)55，1:13MP l x y −=−， 若直线MP 过定点，则联立上述直线MP 的方程，求出交点(3,0)， 下面验证(3,0)是否为定点．设过(3,0)且与圆O 有交点的直线斜率为k ，则直线方程为(3)y k x =−，代入圆方程得：2222(1)6910k x k x k +−+−=两交点1122(,),(,)M x y P x y ．由韦达定理：，故2121223121212(3)(3)(1)(1)()1y y k x x k k x x x x x x −−==−−−++212121212[3()9]2()1k x x x x x x x x −++==−++， ∴MP 过定点(3,0)．考点：曲线过定点问题．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l：0x y +=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【分析】（1）根据相切得到b =2a =，得到椭圆方程.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634t y y t +=−+，122934y y t =−+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，得到答案. 【详解】（1）根据题意：b ==2b a ==，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22143x y +=.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到()2234690t y ty ++−=， 所以122634t y y t +=−+，122934y y t =−+， 所以()221212122412134t x x t y y t y y t −=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+，因为直线AB 的斜率112AB y k x =+，所以直线AB 的方程()1122y y x x =++， 所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，又因为()()()121212121236363699222436y y y y x x x x x x ⨯==−=−+++++，()()12121212212121212121866666223339ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==−+++++++， 所以圆的方程可化为()()244690x x y ty −−++−=，令0y =，则有()249x −=，所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P −时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）16π；（2）过定点，定点坐标是()032，和()0,32− 【解析】试题分析：由直线AP 方程6y x =+得()0,6M ，由2y x =−−得()0,2N −故所求面积为16π． （2）根据两直线互相垂直设出直线AP ，BP 的方程，写出以MN 为直径的圆的方程222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，令y=0得定点()032，和()0,32−． x试题解析：（1）解析：当()4,2P −时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =−−，所以()0,2N −，因此8MN =．所以以MN 为直径圆的面积是16π．（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+−=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛−k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−k k D 13,02．所以以MN 为直径的圆的方程为： 222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+k k k k y x ，展开后得()012132222=−−−+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−．解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D ．所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−+b a b a y x ，展开后得()022=++−+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒−=⇒−=⋅12126ab ba ()01222=−+−+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32−． 考点：直线与圆的综合应用．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）(). 【解析】 【分析】(1)由椭圆的定义可得2a =，根据椭圆的离心率求得c ,进而求的b .(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线方程与椭圆方程可得,A B 两点坐标的关系，根据,A B 两点坐标可将直线AM 与直线BM 分别表示出来，进而可求其与y 轴交于点,P Q ，以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立，带点求解即可.【详解】（1）由题意知24a =，则2a =．又2c a =，222a c b −=，可得1b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由()221,{1,4y k x x y =−+=得()2222148440k x k x k +−+−=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k−=+． 又点M 是椭圆C 的右顶点，∴点()2,0M ．由题意可知直线AM 的方程为()1122y y x x =−−，故点1120,2y P x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．直线BM 的方程为()2222y y x x =−−，故点2220,2y Q x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，()()22121200121222401222y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅+=−−−−恒成立．又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k−−−=−++=−+=+++， ()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫−⎡⎤=−−=−++=−+=− ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k −+∴+=+=−=−−+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点()．【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为0PN QN ⋅=恒成立问题求解.8．已知椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)，其短轴长是2√3，原点O 到过点A(a,0)和B(0,−b)两点的直线的距离为2√217. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P,Q 是定直线x =4上的两个动点，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，证明：以PQ 为直径的圆过定点，并求 定点的坐标. 【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）由题意得，运用点到直线的距离公式，解得a =2，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线和直线的方程，可得设，写出以PQ 为直径的圆的方程，令，即可求解求定点的坐标． 试题解析：（1）由，得再由，得a =2，椭圆的方程．（2） 由（1）知： 设直线斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为：，令得：于是以PQ 为直径的圆的方程为：即：令，得或圆过定点，考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中写出直线和直线的方程，得，写出以PQ 为直径的圆的方程是解答的关键．9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y −+=相外切，又与定直线1: 1l x =−相切. （1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点. 【答案】（1）22:8C y x =（2）证明见解析 【分析】（1）易知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线l 方程为：2x my =+，联立方程得到12128,16y y m y y +=⋅=−，EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：根据题意知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =−的距离相等， 所以M 的轨迹方程为：22:8C y x =.（2）显然直线l 不与x 轴重合，设直线l 方程为：2x my =+， 与2:8C y x =联立消x 得：28160y my −−=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,16y y m y y +=⋅=−， 直线OA 方程为：11y y x x =，所以112(2,)y E x ，即116(2,)E y ， 同理216(2,)F y ，所以以EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y −−+−−=，令0y =得：212256440x x y y −++=，即24120,26x x x x −−==−=或， 以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点1(2,0)G −和2(6,0)G .【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，且和直线12x =−相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q −的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点. （1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22y x =（2）见解析【分析】（1）由抛物线定义确定P 的轨迹方程，（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−=设存在定点()00,N x y ，由1NA NB K K ⋅=−，代入韦达定理整理得()2002440y n y −+−=，利用020240,40,y y −=⎧⎨−=⎩即可得002,2y x ==【详解】（1）设动圆圆心P 到直线12x =−的距离为d ，根据题意，d PF =∴动点P 形成的轨迹是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以直线12x =−为准线的抛物线，∴抛物线方程为22y x =.（2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n −−−= ()()2241624480,n n n n ∆=++=++>12122,48y y n y y n +==−−若设抛物线上存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ，设()00,N x y ，则2002y x =101022011010222NA y y y y K y y x x y y −−===−+−，同理可得202NBK y y =+ 102022NA NB K K y y y y ⋅=⋅++ ()21212004y y y y y y =+++ 20041482n ny y ==−−−++ ()2002440,y n y ∴−+−= 020240,40,y y −=⎧∴⎨−=⎩解得002,2,y x ==∴在曲线C 上存在定点()2,2N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N .【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题 11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B −． （1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213x y +=；（2）()()0,9,0,3−. 【分析】（1）根据题目椭圆过短轴端点，以及离心率3，可以求出椭圆方程为2213x y +=.（2）利用直线MA 的斜率以及直线MB 的斜率，3y =的方程，得出点P ,Q 的坐标， 那么就可以设出圆的方程()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭，再进行转化变形，就可以求出定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆短轴的两个端点为(0,1),(0,1)A B −，所以b =1，且椭圆的离心率为3，所以3c a =，并且222a b c −=，得出23a =，所以椭圆方程为2213x y +=. （2）设点M 00(,x y ),则001MA y k x −=,所以过原点与MA 平行的直线方程为：001y y x x −=, 令3y =,得0031x x y =−,003P ,31x y ⎛⎫⎪−⎝⎭; 001MB y k x +=, 所以直线MB 方程为：0011y y x x +=−, 令3y =,得0041x x y =+,004Q ,31x y ⎛⎫⎪+⎝⎭; 设过点P ,Q 的圆的方程为()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−+−−= ⎪⎪+−⎝⎭⎝⎭展开后得：220000002033446901x y x x y x x x y y y ++−−+−+=− 即：2220000220071269011x y x x x x y y y y −−++−+=−−;22002136270y x y y x x −+−−+= 令0x =,y =9或y =-3， 故定点为()()0,9,0,3−.【点睛】（1）求椭圆的方程就是利用题目的信息求解,,a b c ;（2）要注意过两点()()1122P ,,,x y Q x y 的圆的方程可以设为:()()()()12120x x x x y y y y −−+−−=，这样求解比较方便，特别要明确圆过定点就是与点M 的位置无关，00213y x x −中，令x=0，即可得解. 12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若12MP MN =，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）20x −=或20x −=；（2）过定点，(2,0) 【分析】（1）设出直线l 的方程2()x my m =+∈R ，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，利用0AP AQ ⋅=得()2220000042420x m y m x y x −−++−=，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩解方程组即可.【详解】（1）由题可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为2()x my m =+∈R ， 将2x my =+代入24y x =，消去x 可得2480ymy −−=，显然216320m ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y m +=，128y y =−，所以12||MN y y =−==因为||MN =，所以=m =，所以直线l 的方程为20x−=或20x −=.（2）因为12MP MN =，所以P 是线段MN 的中点， 设(),P P P x y ，则由（1）可得()2121242222P m y y x x x m +++===+，1222P y y y m +==，所以()222,2P m m +，又PQ y ⊥轴，垂足为Q ，所以(0,2)Q m ，设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，则()20022,2AP m x m y =+−−，()00,2AQ x m y =−−，所以0AP AQ ⋅=，即()()220002220x m x m y −+−+−=，化简可得()2220000042420x m y m x y x −−++−=①，令00220004204020x y x y x −=⎧⎪=⎨⎪+−=⎩，可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以当02x =，00y =时，对任意的m ∈R ，①式恒成立， 所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0). 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F −，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF的周长最大值为4. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点为)和().【分析】（1）NMF 的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；（2）分直线BC 斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率k ，再联立椭圆方程，求出,P Q 坐标，最后求出以PQ 为直径的圆的方程，方程里面含有k ，再令0y =即可.【详解】（1）设右焦点为1F，则1F M FM ===max (||||)44MN NF ∴+=+= 1||2x NF a NF =−11||||||22NF MN NF a MF a MN ∴+=−+<+即N 点为1MF 与椭圆的交点时，周长最大1MF =所以242,1a a c +=⇒==b ∴==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知()2,0A −，设()00,B x y ，则()00,C x y −− 当直线BC 斜率存在时，设其方程为y kx =联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234x k =+00:2)x y AB y x ∴===+令0x =，得y P ⎛⎫ ⎪ =∴⎝同理得Q ⎛⎫⎪⎝||PQ∴==设PQ中点为S，则30,2Sk ⎛⎫−⎪⎝⎭所以以PQ为直径的圆得方程为22232x yk⎛⎫++=⎪⎝⎭⎪⎝⎭即2222699344x y yk k k+++=+即22630x y yk++−=令0y=，得x=所以过点)和()，且为定点.当直线BC斜率不存在时，容易知道(0,B C此时(0,P Q所以以PQ)和()综上，此圆过定点)和()【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.14．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆上一动点，当12MF F∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且||4AB=．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过1F的直线与椭圆相交于点C，D（不与顶点重合），过右顶点B分别作直线BC，BD与直线4x=−相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−． 【分析】（1）由||4AB =可得a 的值，12MF F 的面积最大时，由椭圆的性质可得当和三角形内切圆的性质可列方程，再结合,,a b c 的关系，从而得出答案.(2)设出直线CD 的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由C 点坐标得出BC 的方程进而得出点N 坐标，同理得出M 坐标，写出以MN 为直径的圆的方程，从而得出圆过定点. 【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，化简得12c a =① 又||24AB a ==，所以2a =，1c =，b ==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F −，(2,0)B ， 由题意，直线CD 的斜率不为0， 设直线CD 的方程为1x my =−，代入椭圆E 的方程22143x y +=，整理得22(34)690m y my +−−=． 设11(,)C x y ，()22,D x y ， 则12y y +=2634m m + ，122934y y m =−+，② 直线11:(2)3y BC y x my =−−．令4x =−，得1164,3y N my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，同理可得2264,3y M my ⎛⎫−− ⎪−⎝⎭，所以以MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，即22121212126636816033(3)(3)y y y y x x y y my my my my ⎛⎫++++++=⎪−−−−⎝⎭，③ 由②得：()()()121212121212186663333my y y y y y m my my my my −++==−−−−− ()1212212121236369(3)(3)39y y y y my my m y y m y y ==−−−−++代入③得圆的方程为228760x x y my +++−=．若圆过定点，则2870y x x =⎧⎨++=⎩ 解得10x y =−⎧⎨=⎩或70x y =−⎧⎨=⎩所以以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−． 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答本题的关键是先求出点N ，M 坐标，进一步得出MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，再由韦达定理化简方程，得出答案，属于中档题.15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =−，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）ST 为直径的圆过定点(1,0)±． 【分析】（1）由条件可得24()()(2)a c a c b +=−又因为12c a =，解方程组即可得椭圆的标准方程； （2）依题意求得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =−=，求得交点,S T ，从而求以ST 为直径的圆方程，进而判断是否过定点． 【详解】解：（1）由条件可得()()()242a c a c b +=− 所以2131a c eb ac e++===−−， 又12c a =， 所以22134a a −=，解得24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，()02x ≠±，所以2200143x y +=，①对椭圆22143x y +=求导得，22043x y y +'=，所以0034x k y =−切，所以切线方程为()000034x y y x x y −=−−， 将①代入上式，得切线方程00143x x y y+=， 分别联立2,2x x =−=，得000063632,,2,22x x S T y y ⎛⎫⎛⎫+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以以ST 为直径的圆，圆心为030,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径||2ST r =， 所以22222000200063639||4(22)1622x x x ST r y y y ⎛⎫−+==++−=+ ⎪⎝⎭，因为2200143x y +=，所以2200413y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以20222003613364164y r y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+=+，所以圆的方程为22200391x y y y ⎛⎫+−=+ ⎪⎝⎭， 令21x =，得220039y y y ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 得1x =±时，0y =，所以ST 为直径的圆是过定点(1,0)±． 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫− ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.【分析】（1）利用||OP =，123·4PF PF =列出方程可得1c =，再由离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程； （2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标. 【详解】(1)2OP =220074x y ∴+=， 又123·4PF PF =，00003(,)(,)4c x y c x y ∴−−−⋅−−=，即2220034x c y −+=，则可得1c =，又2e =，1a b ∴==， 故所求椭圆方程为2212x y +=；(2)设直线1:3l y kx =−，代入2212x y +=，有22416(21)039k x kx +−−=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k −+==++， 若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =−，22(,)MB x y m =−，21212121212·()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+−−=+−++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+−−−−+−+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+−+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k −++−=+， 由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立， 即22218(1)(9615)0m k m m −++−=对k ∈R 成立.221096150m m m ⎧−=∴⎨+−=⎩，解得1m =， ∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.。
高中数学：直线恒过定点的问题
高中数学：直线恒过定点的问题
直线恒过定点问题的多种解法。
求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
解法一：特殊引路法
分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。
证明：直线，取，
此时直线方程为。
①
取，此时方程为②
联立①②解得点P（3，1）。
将点P（3，1）代入直线方程。
故直线恒过定点P（3，1）。
解法二：换元法
分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线
的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
证明：，当时，。
令。
由此可得。
即原直线方程可化为。
由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
综上，直线恒过定点P（3，1）。
解法三：参数分离法
分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得
0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程
0，即P（，）在直线
上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
证明：。
令，=0，解方程组得
令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。
所以也满足。
进一步得点P（3，1）满足。
故直线恒过定点P（3，1）。
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直线恒过定点问题例题
直线恒过定点问题例题直线恒过定点问题是数学中常见的几何问题之一。
它通过给定点和直线的条件，探讨直线是否恒过这个点。
本文将通过例题来详细说明直线恒过定点问题的解决方法。
问题描述例题：已知点A(1,2)和B(3,4)，求直线y = mx + 1是否恒过点C(-1,0)。
解题步骤解决直线恒过定点问题可以按照以下步骤进行：1.求直线的方程；2.将点的坐标代入方程，判断是否满足。
步骤一：求直线的方程两点确定一条直线的方程，可以使用点斜式或两点式。
在本例中，我们选择使用点斜式。
点斜式的一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
通过已知点A(1,2)，我们可以计算斜率m。
根据点斜式的给定条件，我们可以得到直线方程为：y - 2 = m(x - 1)步骤二：将点的坐标代入方程我们需要将点C(-1,0)的坐标代入直线方程，判断是否满足。
将C的坐标代入方程，得到：0 - 2 = m(-1 - 1)化简得到：-2 = -2m整理后得到：m = 1因此，当直线方程为y = x + 1时，直线恒过点C(-1,0)。
结论根据上述计算和推导，我们得出结论：直线y = x + 1恒过点C(-1,0)。
总结直线恒过定点问题是数学中的基础几何问题之一。
通过已知点和直线的条件，我们可以求解直线是否恒过这个点。
解决这类问题可以遵循求直线方程和代入点的坐标两个步骤，通过计算和推导得出结论。
希望通过本文的例题分析，能够帮助读者更好地理解直线恒过定点问题的解决方法。
第20讲 圆过定点问题(解析版)
第20讲 圆过定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）由题意得1,{32c a a c =-=1,{3c a =⇒=.椭圆的方程为：221.98x y +=（Ⅰ）记直线、的斜率分别为、，设,,M A B 的坐标分别为00(,)M x y ,,，020,3y k x =-2012209y k k x ∴=-.在椭圆上，所以，2k ⋅，设，则，.，又2k ⋅.1212864729y y y y ∴=-⇒=-. 因为GH 的中点为，12GH y y =-,所以，以GH 为直径的圆的方程为：.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点(17,0),(1,0).【分析】(1)根据题意，列出方程组1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，求解即可得出结果；(2)先记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，() 3,0A -，()3,0B ，表示出12k k ，，根据M 在椭圆上，得到2200819x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而可得1289k k =-，再设()19G y ，，()29H y ，可得1264y y =-，由GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，12GH y y =-，得到以GH 为直径的圆的方程，进而可得出结果.【详解】（1）由题意得：1,32c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ 21,83c b a =⎧⇒⇒=⎨=⎩，椭圆C 的方程为：22 1.98x y += （2）记直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，设,,M A B 的坐标分别为()00,M x y ，()3,0A -，()3,0B ，所以0103y k x =+，020,3y k x =- 2012209y k k x ∴=-. 因为M 在椭圆上，所以2200198x y +=，所以2200819x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1289k k =-，设()19G y ，，()29H y ， ，则1112AM y k k ==，626BMy k k ==， 所以121272y y k k =，又1289k k =-. 1212864729y y y y ∴=-⇒=-.因为GH 的中点为12Q 9,2y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，12GH y y =-，所以，以GH 为直径的圆的方程为：()()2221212924y y y y x y -+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 令0y =，得()212964x y y -=-=，所以117x x ==， 将两点()()17,0,1,0代入检验恒成立.所以，以GH 为直径的圆恒过x 轴上的定点()()17,0,1,0.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的性质等，即可求解，属于常考题型.2．已知椭圆222:1(2x yC aa+=>的右焦点为F，A、B 分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝M、N．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y+=；（2）MN为直径的圆恒过定点0)和0)．【分析】（1）根据ABF1求出a＝2，即得解；（2）设直线PQ的方程为x ty=+()()1122,,,P x y Q x y．求出112)2yMx⎛⎫⎪⎪+⎝⎭，222)2yNx⎛⎫⎪⎪+⎝⎭，设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则0PM PN→→⋅=，联立22142x y+=和PQ的方程为x ty=+0PM PN→→⋅=即得解.【详解】解：（1）由题得ABF的面积(11()122S a c b a=+⋅=+=，解得a＝2，即椭圆C的标准方程为22142x y+=．（2）已知点A（－2，0），设直线PQ的方程为x ty=+()()1122,,,P x y Q x y．直线AP的方程为11(2)2yy xx，直线AQ的方程为22(2)2yy xx=++，将x=AP、AQ方程，可得112)2yMx⎛⎫⎪⎪+⎝⎭，222)2yNx⎛⎫⎪⎪+⎝⎭．设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则0PM PN→→⋅=，即212122)2))22y yPM m n nx xPN→→⎛⎫⎛⎫⋅=+--⎪⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭2121212122)2)2)2))2222y y y ym n nx x x x⎛⎫=+⋅-++⎪⎪++++⎝⎭22)m n n⎛⎫=-+2121212 222)2)222))y y n y ty ty y m n⎡⎤-+++=++()2121212222)2)22))y y n ty y y ym n⎡⎤-+++=+联立椭圆22142x y+=和直线PQ的方程为x ty=+可得22(240ty y+-=，化简得()22220t y++-=，即12y y+=，12222y yt-=+．代入上式化简得22)m n=++22)2m n=-++=，由此可知，若上式与t无关，则0n=，又2)20,mPM P mN→→⋅=-==因此MN为直径的圆恒过定点0)和0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数Rλ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x yλλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)if x y i=为关于,x y的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x yf x yf x y=⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++-=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.【答案】(1)22143x y += ;(2) 以MN 为直径的圆经过定点(6±【分析】(1) 利用SM SN =,//RQ SN ,可以推出RQ QM =,根据42QS QR SM SR +==>=可知: 动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆,进而可以写出Q 点的轨迹方程.(2)设00(,)P x y ,求出,M N 的坐标后,再求出MN 的中点坐标,然后求出以MN 为直径的圆的方程,令0y =可求得6x =±为定值,所以圆过定点.【详解】 (1)如图:因为SM SN =,//RQ SN , 所以RQ QM =,所以42QS QR QS QM SM SR +=+==>=,根据椭圆的定义知:动点Q 的轨迹是以,S R 为焦点,长轴长为4的椭圆, 这里224,413a b ==-=,所以Q 点的轨迹方程为:22143x y +=.(2)由题可知(2,0),(2,0)A B -,设00(,)P x y , 所以002AP y k x =+,则直线AM l 的方程为:00(2)2y y x x =++, 令6x =,则0082y y x =+, 所以008(6,)2y M x + , 因为002BP y k x =-,则直线BP l 的方程为:0(2)2y y x x =--, 令6x =,则0042y y x =- ,所以04(6,)2y N x -, 所以MN 的中点坐标为00202(32)(6,)4y x x --,此时圆的方程为: 222000022002(32)2(6)(6)[][]44y x y x x y x x ---+-=--, 令0y =,得2202032(6)4y x x -=-,又2200143x y +=,所以2(6)24x -= , 解得:6x =± 故以MN为直径的圆经过定点(6±. 【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求标准方程,圆过定点问题,属难题.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x ，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ， （l ）若121k k =- ①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标． （2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1）(1,0)P -，定点为(3±； （2）直线过定点(3,0)． 【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于1-，从而得到PQ 为直径，从而确定出点P 的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线PM 的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标． 试题解析：（1）121,k k PM MQ =-∴⊥，又因为P 在圆上，所以PQ 为直径，故(1,0)P -,法一：设1:(1)PM l y k x =+，令3x =得1'(3,4)P k ，2:(1)QM l y k x =-，令3x =得2'(3,2)Q k ，且PM QM l l ⊥，故12k k 1=-，12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k --+--=22121269(42)80x x y k k y k k ⇒-++-++=，令0y =，则26980x x -+-=，故3x =±(3±．法二：:(1)1PM u l y x v =++，3x =，得4'(3,)1vP u +， :(1)1QM v l y x u =--，3x =，得2'(3,)1vQ u -，故圆C 方程为：42(3)(3)()()011v v x x y y u u --+--=+-222242869()0111v v v x x y y u u u ⇒-++-++=+--由221u v +=，令0y =，则26980x x -+-=，故3x =±(3±．（2）法一：解：设:(1)QM l y k x =-与圆22:1O x y +=联立得：2222222(1)210k x k x k +-+-=，由韦达定理：22122221k x x k +=+，由11x =得：2222211k x k -=+，22222212(,)11k M k k --++，同理23223312(,)11k P k k --++， 再利用222232222442,(,)44k k k k P k k --=++． 222222222222222222424141241PMk k k k k k k k k k k -+++==--+-++，222222222212:()211PM k k k l y x k k k --∴=-++++222232k x k k -=+，∴直线过定点(3,0)．法二：可以先猜后证，2320k k =>，所以23,k k 同号．不妨设21k =，则:1QM l y x =-，与圆联立得(0,1)M -，32k =，则:2(1)QP l y x =-，与圆联立得34(,)55P -，此时1:13MP l x y =+， 同理由圆对称性，当(0,1)M 时，231,2k k =-=-，此时P 点坐标34(,)55，1:13MP l x y -=-， 若直线MP 过定点，则联立上述直线MP 的方程，求出交点(3,0)， 下面验证(3,0)是否为定点．设过(3,0)且与圆O 有交点的直线斜率为k ，则直线方程为(3)y k x =-，代入圆方程得：2222(1)6910k x k x k +-+-=两交点1122(,),(,)M x y P x y ．由韦达定理：，故2121223121212(3)(3)(1)(1)()1y y k x x k k x x x x x x --==---++212121212[3()9]2()1k x x x x x x x x -++==-++， ∴MP 过定点(3,0)．考点：曲线过定点问题．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l：0x y +=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【分析】（1）根据相切得到b =2a =，得到椭圆方程.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，圆的方程可化为()()244690x x y ty --++-=，得到答案. 【详解】（1）根据题意：b ==b a ==，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22143x y +=.（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到()2234690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-+，122934y y t =-+，所以()221212122412134t x x t y y t y y t -=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+，因为直线AB 的斜率112AB y k x =+，所以直线AB 的方程()1122y y x x =++， 所以点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，又因为()()()121212121236363699222436y y y y x x x x x x ⨯==-=-+++++，()()12121212212121212121866666223339ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()244690x x y ty --++-=，令0y =，则有()249x -=，所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）16π；（2）过定点，定点坐标是()032，和()0,32- 【解析】试题分析：由直线AP 方程6y x =+得()0,6M ，由2y x =--得()0,2N -故所求面积为16π． （2）根据两直线互相垂直设出直线AP ，BP 的方程，写出以MN 为直径的圆的方程222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，令y=0得定点()032，和()0,32-． 试题解析：（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2N -，因此8MN =．所以以MN 为直径圆的面积是16π．（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02．所以以MN 为直径的圆的方程为： 222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-． x解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D ．所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-． 考点：直线与圆的综合应用．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）(). 【解析】 【分析】(1)由椭圆的定义可得2a =，根据椭圆的离心率求得c ,进而求的b .(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线方程与椭圆方程可得,A B 两点坐标的关系，根据,A B 两点坐标可将直线AM 与直线BM 分别表示出来，进而可求其与y 轴交于点,P Q ，以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立，带点求解即可.【详解】（1）由题意知24a =，则2a =．又c a =，222a c b -=，可得1b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由()221,{1,4y k x x y =-+=得()2222148440k x k x k +-+-=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． 又点M 是椭圆C 的右顶点，∴点()2,0M ．由题意可知直线AM 的方程为()1122y y x x =--，故点1120,2y P x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 直线BM 的方程为()2222y y x x =--，故点2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立． 又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()()22121200121222401222y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅+=----恒成立．又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k---=-++=-+=+++， ()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫-⎡⎤=--=-++=-+=- ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -+∴+=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点()． 【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为0PN QN ⋅=恒成立问题求解.8．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)，其短轴长是2√3，原点O 到过点A(a,0)和B(0,−b)两点的直线的距离为2√217. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P,Q 是定直线x =4上的两个动点，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，证明：以PQ 为直径的圆过定点，并求定点的坐标. 【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）由题意得，运用点到直线的距离公式，解得a =2，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线和直线的方程，可得设，写出以PQ 为直径的圆的方程，令，即可求解求定点的坐标． 试题解析：（1）由，得再由，得a =2，椭圆的方程．（2） 由（1）知： 设直线斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为：，令得：于是以PQ 为直径的圆的方程为：即：令，得或圆过定点，考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中写出直线和直线的方程，得，写出以PQ 为直径的圆的方程是解答的关键．9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1: 1l x =-相切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.【答案】（1）22:8C y x =（2）证明见解析【分析】（1）易知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线l 方程为：2x my =+，联立方程得到12128,16y y m y y +=⋅=-，EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y --+--=，计算得到答案.【详解】 （1）如图所示：根据题意知M 到点1(2,0)C 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，所以M 的轨迹方程为：22:8C y x =.（2）显然直线l 不与x 轴重合，设直线l 方程为：2x my =+，与2:8C y x =联立消x 得：28160y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,16y y m y y +=⋅=-，直线OA 方程为：11y y x x =，所以112(2,)y E x ，即116(2,)E y ， 同理216(2,)F y ，所以以EF 为直径的圆方程为：121616(2)(2)()()0x x y y y y --+--=， 令0y =得：212256440x x y y -++=，即24120,26x x x x --==-=或， 以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点1(2,0)G -和2(6,0)G .10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，且和直线12x =-相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q -的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点.（1）求曲线C 的方程； （2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22y x =（2）见解析（1）由抛物线定义确定P 的轨迹方程，（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n ---=设存在定点()00,N x y ，由1NA NB K K ⋅=-，代入韦达定理整理得()2002440y n y -+-=，利用020240,40,y y -=⎧⎨-=⎩即可得002,2y x ==（1）设动圆圆心P 到直线12x =-的距离为d ，根据题意，d PF = ∴动点P 形成的轨迹是以1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，以直线12x =-为准线的抛物线，∴抛物线方程为22y x =. （2）根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线的方程为():24AB l x n y =++，代入抛物线方程，整理得22480,y ny n ---= ()()2241624480,n n n n ∆=++=++>12122,48y y n y y n +==--若设抛物线上存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ，设()00,N x y ，则2002y x =101022011010222NA y y y y K y y x x y y --===-+-，同理可得202NB K y y =+ 102022NA NB K K y y y y ⋅=⋅++ ()21212004y y y y y y =+++ 20041482n ny y ==---++ ()2002440,y n y ∴-+-= 020240,40,y y -=⎧∴⎨-=⎩解得002,2,y x ==∴在曲线C 上存在定点()2,2N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N .【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B -． （1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（1，可以求出椭圆方程为2213x y +=.（2）利用直线MA 的斜率以及直线MB 的斜率，3y =的方程，得出点P ,Q 的坐标， 那么就可以设出圆的方程()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，再进行转化变形，就可以求出定点的坐标.【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆短轴的两个端点为(0,1),(0,1)A B -，所以b =1，且椭圆的离心率为3，所以3c a =，并且222a b c -=，得出23a =，所以椭圆方程为2213x y +=.（2）设点M 00(,x y ),则001MA y k x -=,所以过原点与MA 平行的直线方程为：001y y x x -=, 令3y =,得0031x x y =-,003P ,31x y ⎛⎫⎪-⎝⎭;001MB y k x +=, 所以直线MB 方程为：0011y y x x +=-,令3y =,得0041x x y =+,004Q ,31x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭;设过点P ,Q 的圆的方程为()()00004333011x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭展开后得：220000002033446901x y x x y x x x y y y ++--+-+=- 即：2220000220071269011x y x x x x y y y y --++-+=--;22002136270y x y y x x -+--+= 令0x =,y =9或y =-3，故定点为()()0,9,0,3-.【点睛】（1）求椭圆的方程就是利用题目的信息求解,,a b c ; （2）要注意过两点()()1122P ,,,x y Q x y 的圆的方程可以设为:()()()()12120x x x x y y y y --+--=，这样求解比较方便，特别要明确圆过定点就是与点M 的位置无关，00213y x x -中，令x=0，即可得解.12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若12MP MN =，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）20x --=或20x +-=；（2）过定点，(2,0)【分析】（1）设出直线l 的方程2()x my m =+∈R ，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，()20022,2AP m x m y =+--，()00,2AQ x m y =--，利用0AP AQ ⋅=得()2220000042420x m y m x y x --++-=，令00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解方程组即可.【详解】（1）由题可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为2()x my m =+∈R ，将2x my =+代入24y x =，消去x 可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y m +=，128y y =-，所以12||MN y y =-==因为||MN =，所以=m =，所以直线l 的方程为20x--=或20x -=. （2）因为12MP MN =，所以P 是线段MN 的中点， 设(),P P P x y ，则由（1）可得()2121242222P m y y x x x m +++===+，1222P y y y m +==，所以()222,2P m m +，又PQ y ⊥轴，垂足为Q ，所以(0,2)Q m ，设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，则()20022,2AP m x m y =+--，()00,2AQ x m y =--，所以0AP AQ ⋅=，即()()220002220x m x m y -+-+-=，化简可得()2220000042420x m y m x y x --++-=①，令220004204020xyx y x-=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，可得02xy=⎧⎨=⎩，所以当02x=，00y=时，对任意的m∈R，①式恒成立，所以以PQ为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0).【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF的周长最大值为4. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，定点为)和().【分析】（1）NMF 的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；（2）分直线BC 斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率k ，再联立椭圆方程，求出,P Q 坐标，最后求出以PQ 为直径的圆的方程，方程里面含有k ，再令0y =即可. 【详解】（1）设右焦点为1F，则1F M FM ===max (||||)44MN NF ∴+=+= 1||2x NF a NF =-11||||||22NF MN NF a MF a MN ∴+=-+<+即N 点为1MF 与椭圆的交点时，周长最大1MF =所以242,1a a c +=+⇒==b ∴==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=（2）由（1）知()2,0A -，设()00,B x y ，则()00,C x y -- 当直线BC 斜率存在时，设其方程为y kx =联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234x k =+00:2)x y AB y x ∴===+令0x =，得y P ⎛⎫ ⎪ =∴⎝同理得Q ⎛⎫⎪⎝||PQ ∴== 设PQ 中点为S ，则30,2S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以以PQ 为直径的圆得方程为22232x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭即2222699344x y y k k k +++=+ 即22630x y y k++-=令0y =，得x =所以过点)和()，且为定点.当直线BC斜率不存在时，容易知道(0,B C此时(0,P Q所以以PQ)和()综上，此圆过定点)和()【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0-，()1,0-． 【分析】（1）由||4AB =可得a 的值，12MF F 的面积最大时，由椭圆的性质可得当和三角形内切圆的性质可列方程，再结合,,a b c 的关系，从而得出答案.(2)设出直线CD 的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由C 点坐标得出BC 的方程进而得出点N 坐标，同理得出M 坐标，写出以MN 为直径的圆的方程，从而得出圆过定点. 【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，化简得12c a =① 又||24AB a ==，所以2a =，1c =，b ==所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F -，(2,0)B ， 由题意，直线CD 的斜率不为0， 设直线CD 的方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程22143x y +=，整理得22(34)690m y my +--=．设11(,)C x y ，()22,D x y ， 则12y y +=2634m m + ，122934y y m =-+，② 直线11:(2)3y BC y x my =--．令4x =-，得1164,3y N my ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得2264,3y M my ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，所以以MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即22121212126636816033(3)(3)y y y y x x y y my my my my ⎛⎫++++++=⎪----⎝⎭，③ 由②得：()()()121212121212186663333my y y y y y m my my my my -++==----- ()1212212121236369(3)(3)39y y y y my my m y y m y y ==----++代入③得圆的方程为228760x x y my +++-=．若圆过定点，则2870y x x =⎧⎨++=⎩ 解得10x y =-⎧⎨=⎩或7x y =-⎧⎨=⎩ 所以以MN 为直径的圆恒过两定点()7,0-，()1,0-．【点睛】 关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答本题的关键是先求出点N ，M 坐标，进一步得出MN 为直径的圆的方程为121266(4)(4)033y y x x y y my my ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，再由韦达定理化简方程，得出答案，属于中档题.15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅． （1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =-，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）ST 为直径的圆过定点(1,0)±． 【分析】（1）由条件可得24()()(2)a c a c b +=-又因为12c a =，解方程组即可得椭圆的标准方程； （2）依题意求得切线方程00143x x y y+=，分别联立2,2x x =-=，求得交点,S T ，从而求以ST 为直径的圆方程，进而判断是否过定点．【详解】解：（1）由条件可得()()()242a c a c b +=- 所以2131a c eb ac e++===--， 又12c a =， 所以22134a a -=，解得24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，()02x ≠±，所以2200143x y +=，①对椭圆22143x y +=求导得，22043x y y +'=，所以0034x k y =-切，所以切线方程为()000034x y y x x y -=--，将①代入上式，得切线方程00143x x y y+=， 分别联立2,2x x =-=，得000063632,,2,22x x S T y y ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以以ST 为直径的圆，圆心为030,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径||2ST r =， 所以22222000200063639||4(22)1622x x x ST r y y y ⎛⎫-+==++-=+ ⎪⎝⎭，因为2200143x y +=，所以2200413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以20222003613364164y r y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+，所以圆的方程为22200391x y y y ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 令21x =，得220039y y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1x =±时，0y =，所以ST 为直径的圆是过定点(1,0)±． 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在()0,1M ，理由见解析.【分析】（1）利用||OP =，123·4PF PF =列出方程可得1c =，再由离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程； （2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标.【详解】(1)2OP =，220074x y ∴+=，又123·4PF PF =，00003(,)(,)4c x y c x y ∴---⋅--=，即2220034x c y -+=，则可得1c =，又2e =，1a b ∴==， 故所求椭圆方程为2212x y +=；(2)设直线1:3l y kx =-，代入2212x y +=，有22416(21)039k x kx +--=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k -+==++， 若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)MA x y m =-，22(,)MB x y m =-，21212121212·()()()MAMB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+-+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+，由题意知，对任意实数k 都有·0MA MB =恒成立， 即22218(1)(9615)0m k m m -++-=对k ∈R 成立.221096150m m m ⎧-=∴⎨+-=⎩，解得1m =， ∴在y 轴上存在定点()0,1M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.。
过定点问题的解题思路
过定点问题的解题思路
过定点问题在数学中是一个常见的问题，通常涉及到函数、方程或不等式等。
解决这类问题的关键是找出与定点有关的条件或关系，然后利用这些条件或关系求解。
解题思路如下：
1. 确定定点：首先需要明确题目中给出的定点坐标，这是解题的基础。
2. 分析条件：根据题目要求，分析给出的条件或关系，找出与定点有关的条件或关系。
3. 转化问题：将问题转化为数学表达式或方程，以便于求解。
4. 求解方程：根据数学知识和计算方法，求解方程或不等式，得出结果。
5. 检验结果：最后需要检验结果的正确性，确保满足题目的要求。
例如，若直线$l$过点$(2,3)$，且与直线$x - 2y + 1 = 0$垂直，求直线
$l$的方程。
首先，确定定点$(2,3)$。
然后，分析条件，直线$l$与直线$x - 2y + 1 = 0$垂直，根据垂直的条件，两直线的斜率之积为-1。
接着，将问题转化为数学表达式，设直线$l$的方程为$y - 3 = k(x - 2)$，即$kx - y - 2k + 3 = 0$。
根据垂直的条件，有$k \times \frac{1}{2} = -1$，解得$k = -2$。
最后，代入$k=-2$，得到直线$l$的方程为$2x + y - 7 = 0$。
高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题
3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下 当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.
直线方程中的过定点问题
直线方程中的过定点问题直线方程中常需要求直线所过的定点，因此有必要好好地归纳总结一下。
现结合实例总结如下：1.利用点斜式方程或斜截式方程得到定点坐标例1. 已知直线方程130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点_____________.分析：所给直线方程接近点斜式方程，可将方程化为点斜式方程一试。
解析：130kx y k -+-=可化为()13y k x -=-，故直线过定点()3,1。
故答案为()3,1。
点评：本解法是利用点斜式方程得到定点坐标。
变式练习1：直线210mx y m -++=必过（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限分析：直线的方程含有一个参数，可以看一下是否过一定点。
解析：因为210mx y m -++=可化为()12y m x -=+，所以直线过定点()2,1-。
因为()2,1-在第二象限，所以直线210mx y m -++=必过第二象限。
故答案为B.点评：本解法也是利用点斜式方程得到定点坐标。
2.利用过两直线交点的直线系方程得到定点坐标方程()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=表示过1l ：1110Ax B y C ++=与 2l ：2220A x B y C ++=交点的直线系方程。
例2.求证：不论m 为何实数，直线()():1215l m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定点的坐标。
分析：将直线方程化为过交点的直线系方程形式，解方程组求出交点（定点）坐标。
解：()()1215m x m y m -+-=-可化为()5210x y m x y --+++-=，解方程组50210x y x y --+=⎧⎨+-=⎩得94x y =⎧⎨=-⎩，故定点坐标为()9,4-。
点评：本解法是利用过两直线交点的直线系方程求出定点坐标。
变式练习2：直线()()()1120a x a y a a ++--=为常数恒过定点（ ）A. ()22，B. ()2，1C. ()1，1D. ()1，2分析：可以利用过过两直线交点的直线系方程求出定点坐标。
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(1) y kx 1过定点为（，） 利用y kx b过定点（ 0，b)求得 （2）k ( x - 1） y 2 0过定点为(, ) 利用点斜式y y0 k ( x x0）求得
（3）不论m为何值，直线：（ m - 1) x (2m 1 ）y m 5过一定点，求此定点
【解析】因为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象 限,所以 即
0 a 1, 1 0, 答案:(0,1),(1 b ∞,0)
0 a 1, b 0.
应用一、 过定点问题
1、函数 y loga ( x 2) 1(a 0且a 1) (3,1) 必过点_____
A. 0 a 1, 且 b 0 C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
o x
y
0 a 1, 1 b 1 0,
【变式训练】1.(2015·安庆模拟)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(其中 a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )
是减函数,且其图象可视为是由函数
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示, 由图象可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公 共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 答案:[-1,1]
【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象 经过第二、三、四象限,则一定有……( C ).
当x1≠x2时，
AB方程
4 k AB , y1 y2
4 y y1 (x x1 ) 2 y2 (y1+y2)y-y1 -yy y 11 2=4x-4x 1
(y1+y2)y=4x-16,即(y1+y2)y=4(x-4)经过(4,0)， 当x1=x2时，x1=x2=4,即直线AB方程为x=4过点(4，0). 答案：(4，0)
图像过定点问题
由于函数 y ＝ a x ( a ＞ 0, 且 a≠ 1) 恒经过定点 (0,1), 因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必 经过哪个定点？ ( 3 , 3 )
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
典例1】(1)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2= 4x上的两个动点,O是坐标原点, 则直线AB过定点 .
【
【解析】(1)因为
OAOB 0, y12 4x1 , y 2 2 4x 2 ,
所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16，
a
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是
.
【解题提示】(1)分a>1及0<a<1两种情况讨论函数y=ax- 1 的单调性, 再结合选择支求解. (2)作出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象,数形结合求解.
a
【规范解答】(1)选D.当a>1时,y=ax0<1<1,排除A,B.
为增函数,且在y轴上的截距为
1 a
<0,故选D.
1 时,y=ax- 为减函数,且在y轴上的截距为1当0<a<1 a 1 a 1 a
【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 方法一:当0<a<1时,函数y=ax-
1 y=ax的图象向下平移 个单位长度得到的 ,结合各选项知选D. a 1 方法二:因为函数y=axa- (a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选D. 1 a
练1：函数y loga ( x x 5) 3(a 0且a 1) (3,3)和(-2,3) 的图像恒过定点
2
考点2
对数函数的图象及应用
【典例2】(1)(2014·山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.
其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 C.0<a<1,c>1
2.图像过定点问题
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a 则b1 =____.
x b
2 恒过定点(1,3)
考点2
指数函数的图象及应用
【典例2】(1)(2015·惠州模拟)函数y=ax- 1 (a>0,且a≠1)的图象 可能是( )
【解析】选A.由已知并结合图象可知0<a<1,b<-1.对于函数g(x)=ax+b, 它一定是单调递减的,排除C,D.且当x=0时g(0)=a0+b=1+b<0,即图象与 y轴交点在负半轴上,排除B,选A.
2.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a,b 的取值范围分别是 .
（4）不论a为何值，直线（ a 1) x
(2a 1) y 6 0必过定点，求此定点
（5）直线l：（m 2) x (2m 1 ）y 7m 8 证明：直线l恒过定点
1．已知直线(m＋2)x－(2m－1)y－ 3(m－4)＝0，不论m怎样变化，直 线恒过定点( ) A．(－5(21)，－5(18)) B．(－5(21)，5(18)) C．(5(21)，－5(18)) D．(5(21)， 5(18))