初三数学专题训练―开放型试题

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中考数学专题复习开放探究试题-人教版初中九年级全册数学试题

开放探究专题开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条件，结论或选择相关的求解途径．这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题．一、条件开放型条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条件，即不一定由结论唯一推出．解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求其合乎要求的一些条件．例1 （2015•某某）如图1，已知AB=BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需要加一个条件，你添加的条件是______,(只需写一个，不添加辅助线).解析：由已知AB=BC 及公共边BD=BD 可知，要使△ABD≌△CBD ，已经具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法SAS 或SSS 能使这两个三角形全等．所以可添∠ABD=∠CB D 或AD=CD ．评注：根据图形探究三角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等．例2 （2015•某某）已知，△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）．解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：①当△AEF∽△ABC 时（如图2-①），由点E 为AB 中点，得AF=AC （或点F 为AC 中点，EF ∥BC ，∠AEF=∠B 等）；若使△AFE∽△ABC （如图2-②），则应添加∠AFE=∠ABC 或∠AEF=∠ACB 等．图1E B C A EF A C F B ① ②图2评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用．跟踪训练：1．（2015•黔东南）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，连接BD.请添加一个适当的条件_______________，使得△ABD≌△CDB .（只需写一个）.第1题图第2题图 2．（2015•某某）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件_______________（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形.二、结论开放型结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维．在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进行探索、分析，寻找问题的结论．例3 （2015•某某）对于两个二次函数1y ，2y ，满足8322221++=+x x y y ．当m x =时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数2y 的解析式_________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．分析：已知当x=m 时，二次函数y 1的函数值为5，且二次函数y 2有最小值3，故抛物线2y 的顶点坐标为（m ，3），设出顶点式求出m 的确值即可．解：因为当m x =时，二次函数1y 的函数值为5，2y 的函数值为3，此时821=+y y ，D CBA所以当m x =时，03222=+x x ，即03222=+m m 得0=m 或3-=m ，又因为此时2y 有最小值，故抛物线2y 的顶点坐标为(m ，3)，用顶点式设出解析式为()322+-=m x a y ，随着a 取值的不同，2y 的解析式也不断变化，如当1=a 时，解析式为322+=x y 和()3322++=x y ．评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求出m 的值．例4 （2015•崇左）如图3，线段AB 是⊙O 的直径，点C在圆上，∠AOC ＝80°，点P 是线段AB 延长线上的一动点，连结PC ，则∠APC 的度数是________度（写出一个即可）．分析：根据三角形外角性质可知，∠APC 的度数大于零度，且小于∠APC度数，故只需求出∠ABC 度数，便可确定∠APC 的度数的X 围．解：因为圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 对的是同一条弧，所以∠ABC ＝12∠AOC ＝40°．根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，知∠APC ＜∠ABC ，即0°＜∠APC ＜40°，据此写一个度数即可．评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出∠ABC 的度数是解题关键．跟踪训练：3．（2015•某某）已知y 是x 的反比例函数，当x >0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．4.（2015•义乌）如果抛物线2y ax bx c =++过定点M （1，1），则称此抛物线为定点抛物线．小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式y=2x 2+3x ﹣4．请你写出一个不同于小敏的答案________． C· O A B P 图3第4题图 5．（2015•潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.三、综合开放性问题综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力．根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例5 如图4，点A 、B 、D 、E 都在圆上，弦AE 的延长线与弦BD的延长线相交于点C ．给出以下三个论断：①AB 是圆的直径；②点D是BC 中点；③AB=AC ．以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由①②推出③；由①③推出②；由②③推出①．然后分别根据图形，结合所学知识，分析三个组合的正确与否即可．解：正确的命题可以是由①②推出③，证明如下：连接AD ，因为AB 是圆的直径，所以AD ⊥BC.又因为点D 为BC 中点，所以AD 垂直平分BC.所以AB=AC ．（由①③推出②和由②③推出①也都是真命题，证明过程请自主完成）BA CDD E AB图4评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90°的圆周角与直径的关系是解答本题的关键．跟踪训练6．如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）A.0B.C.第6题图7.（2015•某某）先化简：2221()211x xx x x x+÷--+-，再从－2＜x＜3的X围内选取一个你喜欢的x值代入求值.四、存在性问题存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现．解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立．例5 （2015•某某，有改动）如图5，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．⑴求该抛物线的解析式；⑵在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．G 图5分析：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 即可求出抛物线的解析式，⑵设D （t ，322++-t t ），过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，设△BCD 的面积为S ，根据CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，即可求出S 与t 之间的函数关系式，从而求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值.解：⑴把A （﹣1，0）、B （3，0）两点代入y=﹣x 2+bx+c 中得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3.⑵存在，理由如下：设D （t ，322++-t t ）.过点D 作DH⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，由⑴易得点C 的坐标为（0，3），设直线BC 的解析式为b kx y +=，将B （3，0）和C （0，3）代入，得 ⎩⎨⎧=+=0b 3k 3b ，解得⎩⎨⎧==1-3b k ，所以直线BC 的解析式为3+-=x y ，则G 点坐标为（t ，3+-t ）.所以DG=G y -D y =322++-t t -（3+-t ）=t t 32+-，设△BCD 的面积为S ，且CDG BGD BCD S S S ∆∆∆+=，所以S=()()()t t t t t t 321332122+-+-+-=()t t t 3212+-，配方，得S=82723212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t . 所以当23t =时，面积有最大值为827，此时点D 坐标为（23，415）. 评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。

初中数学开放型试题含答案-

开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC上的点。

（1）如果，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。

分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：A D E FO F EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。

问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

例2、（2005年长沙）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。

中考系列复习――开放型试题及答案

初三数学专题训练――开放型试题班级：_________ 姓名：_________ 得分：_________一、填空题(1~7小题每小题4分，8~9小题每小题6分，共40分)1.(南昌市)两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______.2.(安徽省)已知x2－ax－24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是______(只需填一个).3.(甘肃省)已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1.点P的坐标是______(写出符合条件的一个点即可).4.(黑龙江省)某一次函数的图象经过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x的增大而减小.请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______.5.(北京东城区)有一个二次函数的图象三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4;乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：______6.(盐城市)在四边形ABCD中，若分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD.现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是______.(只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况).7.(浙江金华)如图1，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请根据图中所给出的已知条件(不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论：.图 1 图 2 图3已知：如图，在△ABE和△ACD 中，.求证：.9.(徐州)如图3，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0).(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换再将△OA3B3变成△OA4B4，则A4的坐标是______，B4的坐标是______.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是______，B n的坐标是______.二、选择题(每小题5分，共10分)10.(陕西省)如图4，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作不同位置的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这种三角形最多可以画出( )图4A.2个B.4个C.6个D.8个11.(1998年陕西省理科实验班招生试题)△ABC中，有一内角为36°，过顶点A的直线AD将△ABC分成两个等腰三角形.则满足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)△ABC的个数是( )A.2B.3C.4D.5三、解答题(12~17题每小题7分，18题8分，共50分)12.(常州市)阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；(2)根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；图5(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围.13.(黄冈市)在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图6).现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径).图614.(江苏省泰州市中考题)以给定的图形“ ，○○、△△”(两条平行线段、两个圆、两个三角形)为构件，构思独特且有意义的图形.举例：如图7是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗？请画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词.解说词：两盒电灯图715.(1)如图8，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1使△A1B1C2∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.(2)(吉林省)如图9，图10所示，正方形网格中约每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.①使三角形三边长分别为3、22、5(在图11中画一个即可).②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图12中画一个即可).图8 图9 图10 图11 图1216.(江西省)如图13，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.(1)求证：AF⊥CD；(2)在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个(不要求证明).图1317.A、B、C、D为四个景点，某剧组因为拍摄画面的需要欲确定摄像机P的位置以使得△P AB、△PCD、△P AD、△PBC同时成为等腰三角形，问这样的点P有几个？作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程).图1418.某公园计划做一个形状是如图15的圆形喷水池，后有人建议改为图16的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案后回答下列问题：(1)两种方案哪一种需要用的材料多？(2)若将图20中的三个小圆改为n个小圆，你又会得到什么样的结果？图15 图16专题训练3 开放型试题参考答案一、1. 2+1和2－1等 2.2等 3.(－2，3)等 4.y =－x +15.y =±(51x 2－58x －3) y =±(71x 2－78x +1) 6.①③或①④或②④ 7.∠A =∠ADO =∠CDB OA =CB =OD CD 2=CB ·CA △CDB ∽△CAD ……从以上结论中任选两个9.(1)(16，3)，(32，0) (2)(2n ，3)，(2n +1，0)二、10.B 11.D三、12.张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时25 km ，经过2h 到达学校.到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过5h 到家.(2)x 轴表示运动时间，单位是小时，y 轴表示运动的路程，单位是千米.A (2，50),B (7，0)(3)设AB 的解析式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧=+=+07502b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=7010b k ∴y =－10x +70(2≤x ≤7).13.可以设计如下四种方案：14.解说词：外星人15.(1)由题设知，AB ∶BC ∶CA =2∶2∶10=1∶2∶5=2∶22∶25=……故可在图中作A 1B 1，B 1C 1=2，C 1A 1=5，或A 1B 1=2，B 1C 1=22，C 1A 1=25或A 1B 1=5，B 1C 1=10，A 1C 1=5……，(2)本题由计算决定画图，画法较多，图略.16.(1)连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=A D.又∵F为CD中点，∴AF⊥CD.(2)①BE∥CD②AF⊥BE③△ACF≌△ADF④∠BCF=∠EDF.⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形.17.作法：略.这样的P点共有九个，其坐标分别为(0，0)，(0，3－1)，(0，－3+1)，(0，1+3)，(0，－1－3)，(3－1，0)，(－3+1，0)，(1+3，0)，(－1－3，0).18.题中要求比较两种方案中圆周长的大小，虽然没有给出几个圆直径的具体值，似乎难以比较，但是可以用几个不同字母表示其直径和周长，很容易推断它们相等的结论.当三个小圆改为n个小圆后只是小圆的个数和直径的大小发生变化，但n个小圆的直径之和不变.。

初三数学第二轮复习开放性综合题

参考答案：
练兵平台1．D．2．19．3．153．4．9：．3（k－2）：．5．120°：90°：72°：
6．(1)7+2l+23+25+39=23×5 (2)(a-l)+(a-2)+a+(a+2)+(a+16)=5a
(3)仍有这种规律：由(2)将十字框上、下、左、右平移：框住的五个数的和始终等于中间数的5倍
3．（扬州市）请选择一组你喜欢的a、b、c的值：使二次函数的图像同时满足下列条件:①开口向下；②当时：ｙ随ｘ的增大而减小：当时：ｙ随ｘ的增大而增大.这样的二次函数的解析式可以是____________________．
4．（广东）设四边形ABCD是边长为1的正方形：以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF：再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH：如此下去···。
n=时：顶点P第一次回到原来的起始位置.
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.
1）12次
（2）24次：12次
（3）当k是3的倍数时：n=4k：当k不是3的倍数时：n=12k.
点评：为了引导学生在实践中探求规律：本题给出了一种探求的方法——变直为曲：将绕正方形的边翻转的问题转化为在直线上翻转的问题：使问题简化：更便于发现规律。
1．（镇江）正方体的表面涂满了颜色：按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块：设其中仅有个面（1：2：3）涂有颜色的小立方块的个数为：则、、之间的关系为（）
（A）－＋＝1（B）＋－＝1
（C）＋－＝2（D）－＋＝2
2．（深圳）已知：：：：……：

初三数学中考复习专题十六开放型试题

中考复习专题十六开放型试题一、单项选择题（每题5分，共100分）1、如图，用围棋子按照一定的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是A、5nB、5n-1C、6n-1D、2n21答案：C解析：第一个图形中有5=6×1-1枚棋子，第二个图形中有11=6×2-1枚棋子，第三个图形中有17=6×3-1枚棋子，……所以第n个图形中有(6n-1)枚棋子，故选C。

2、下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成的，其中，第(1)个图形中以一共有一个平行四边形，第(2)个图形中一共有5个平行四边形，第(3)个图形中一共有11个平行四边形，……则第(6)个图形中平行四边形的个数为A、55个B、42个C、41个D、29个答案：C解析：可以根据图形，先数出小的平行四边形有11个，2个小平行四边形拼成的平行四边形有10个，由3个小平行四边形平行四边形有8个，由4个小平行四边形拼成的平行四边形有6个，由5个小平行四边形拼成的平行四边形有4个，由6个小平行四边形拼成的平行四边形有2个，所以总共有平行四边形有11+10+8+6+4+2=41(个)，故选C。

3、如图，正六边形ABCDEF,曲线1234567FK K K K K K K 叫做“正六边形的渐近线”，其中11223344556,,,,,FK K K K K K K K K K K 的圆心一次按点A 、B 、C 、D 、E 、F 循环，其弧长分别记为123,456,,,,l l l l l l 当AB=1时，2011l 等于A 、20112πB 、20113πC 、20114πD 、20116π 答案：B解析：根据图形，AB=1，1FK 的半径为1，其弧长为3π，12K K 的半径为2，其弧长为122263ππ⨯⨯=，2011l 对应的圆的半径为2011，2011120112201163l ππ=⨯⨯=，故选B 。

4、如图，依次连接第一个矩形各边中点得到菱形，再依次连接菱形各边中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为A 、1nB 、114n -C 、12nD 、21n 答案：B解析：根据中点四边形的面积是原四边形面积的一半，所以第一个菱形的面积是原矩形面积的一半，所以第二个矩形面积是第一个矩形的14，第二个菱形的面积是第二个矩形面积的12，同理第三个矩形的面积是第二个矩形面积的14，即第一个矩形面积的214，所以依次类推，第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的114n -，第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为114n -，故选B 。

中考数学专题训练第3课时开放探究题(含答案)

中考数学专题训练第3课时开放探究题(含答案)第3课时开放探究题开放探究题是一种新的题型,关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1.（郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维.它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

中考复习数学专题一开放探索问题检测(附答案)

中考复习数学专题一开放探索问题检测（附答案）〔30分钟 50分〕一、选择题(每题5分，共15分)1.(2021·莆田中考)等腰三角形的两条边长区分为3，6，那么它的周长为( )(A)15 (B)12(C)12或15 (D)不能确定2.如图，直线y=x+2与双曲线m 3y x -=在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为( )3.(2021·宁波中考)如图，用邻边长区分为a ，b(a ﹤b)的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的正面，小圆恰恰能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处资料疏忽不计)，那么a 与b 满足的关系式是( )(A)b 3a = (B)51b a 2+=(C)5b a 2=(D)b 2a =二、填空题(每题5分，共10分)4.x 2+x-1=0，那么代数式2x 3+4x 2+3的值为________________________.5.(2021·潜江中考)ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥CD 于点E ，AF ⊥CB 于点F.假定AE=3，AF=4，那么CE-CF=_______________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2021·黄冈中考)新星小学门口有不时线马路，为方便先生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为 4 米，为平安起见，规则车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角区分为∠FAE ＝15° 和∠FAD=30° .司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车能否契合上述平安规范(E,D,C,B 四点在平行于斑马线的同不时线上)?【探求创新】7.(13分)(2021·河北中考)如图1和图2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos ∠ABC=513. 探求如图1,AH ⊥BC 于点H,那么AH=________,AC=________,△ABC 的面积S △ABC =__________.拓展如图2,点D 在AC 上(可与点A,C 重合),区分过点A,C 作直线BD 的垂线,垂足为E,F,设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D 与点A 重合时,我们以为S △ABD =0)(1)用含x,m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ;(2)求(m+n)与x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x 值,有时只能确定独一的点D,指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A,B,C三点到这条直线的距离之和最小(不用写出进程),并写出这个最小值.答案解析1.【解析】选A.由题意可知：当6是腰时，三角形的周长是15；当3是腰时，3+3=6，不能组成三角形.2.【解析】选B.由题意可得m-3<0，故m<3；由直线y=x+2与双曲线m3yx-=在第二象限有两个交点，可得m3x2x-+=，即x2+2x-(m-3)=0，即Δ=4+4(m-3)>0，所以m>2.综上，可得2<m<3，应选B.3.【解析】选D.如图，设小圆半径为r，由题意得112r2(a)22π=⋅π，解得1 r a.4 =在Rt△O1O2H中，O1O2=13r a a24+=，O1H=12b，211O H a r a.24=-=又O1O22=O1H2+O2H2,所以222311(a)(b)(a)424=+，解得b2a.=应选D.4.【解析】把x2+x看成一个全体，得x2+x=1，所以2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3= 2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2+3=5.答案：55.【解析】(1)当E，F区分在线段CD和CB上时，如下图：设BC=x，DC=y，那么依据题意可得：x y14 4x3y+=⎧⎨=⎩，，解得x6y8=⎧⎨=⎩，，即BC=6，DC=8，依据勾股定理可知2222DE6333BF8443 =-==-=，，所以CE-CF= ()() 8336432 3. ---=+(2)当E，F区分在CD，CB的延伸线上时，如下图：同理可得CE-CF=2-3.答案：2323 +-或6.【解析】由题意得：∠FAE=15°，∠FAD=30°, ∴∠EAD=15°.∵FA∥BE, ∴∠AED=15°,即AD=DE=4米.在Rt△ADB中，∠ADB=∠FAD=30°,∴BD=AD·cos30°42=⨯=3.464米,DC=BD-BC=3.464-0.8=2.664米＞2米, ∴该车停车契合上述平安规范.7.【解析】探求12 15 84拓展(1)由三角形面积公式,得ABD CBD11S mx,S nx.22==(2)由(1)得CBDABD2S2Sm,n,x x==∴m+n=CBDABD2S2S168.x x x+=由于AC边上的高为ABC2S28456, 15155⨯==∴x的取值范围是565≤x≤14.∵(m+n)随x的增大而减小,∴当x=565时,(m+n)的最大值为15;当x=14时,(m+n)的最小值为12.(3)x的取值范围是x=565或13<x≤14.发现AC所在的直线,最小值为56 5.【高手支招】解压轴题时遇到困难的缘由及应对战略缘由：在解压轴题时遇到的困难能够来自多方面，如基础知识和基本技艺完善、解题阅历缺失或训练水平不够、自决计缺乏等，详细表现能够是〝不知从何处下手，不知向何方行进〞. 应对战略：在求解中考数学压轴题时，要注重一些数学思想方法的灵敏运用.数学思想方法是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解的〝对而全、全而美〞的重要前提.针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在学习中要狠抓基础知识的落实，由于基础知识是〝不变量〞，而所谓的考试〝热点〞只是与标题的方式有关.有效地解答中考压轴题的关键是要以不变应万变.加大综合题的训练力度，增强解题方法的训练，增强数学思想方法的浸透，注重〝基本形式〞的积聚与变化。

中考数学复习专题3：开放性问题(含详细参考答案)

中考数学复习专题三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。

专题：开放型。

分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。

2021年中考数学专项训练：开放型问题(含答案)

一、选择题二、填空题 14．（2020·北京）在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是（写出一个即可）． {答案}答案不唯一，∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC{解析}根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD ≌△ACD ，则可以填∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC 均可．16．（2020·北京）下图是某剧场第一排座位分布图甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 . {答案}答案不唯一，丙，丁，甲，乙．{解析}要使自己选的座位之和最小，丙先选择：1，2，3，4；丁选：5，7，9，11，13；甲选6，8；乙选10，12，14，所以顺序为丙，丁，甲，乙．三、解答题 20．（2020·温州）如图，在6×4的方格纸ABCD 中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A ,B ,C ,D 重合.(1)在图1中画格点线段EF ,GH 各一条,使点E ,F ,G ,H 分别落在边AB , BC ,CD ,DA 上，且EF ＝GH ,EF 不平行GH .(2)在图2中画格点线段MN ,PQ 各一条，使点M ,N ,P ,Q 分别落在边AB ,BC ,CD ,DA 上,且PQ.注:图1,图2在答题纸上.{解析}本题考查了勾股定理．{答案}解：⑴画法不唯一，如图1或图2等 ⑵画法不唯一，如图3或图4等A BCDEHDCBAGFG HFE图1图2D CBADCBAQP NM P QM N图3图4DCB A23．（2020·青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法. 探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果.(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果. 探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果. 探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果.归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1<a<n)个整数，这a个整数之和共有种不同的结果.问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额.拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，这a个整数之和共有种不同的结果.{答案}解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果.答案：7（4）从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从3到2n-1的连续整数，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（种）不同的结果.答案：2n-3探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，9，也就是从6到9的连续整数，其中最小是6，最大是9，所以共有4种不同的结果. 答案：4(2)从1，2，3，…，n(n 为整数，且n=3)这n 个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从6到3n-3的连续整数，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（种）不同的结果. 答案：3n-8探究三：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥5)这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果.从1，2，3，…，n(n 为整数，且n=3)这n 个整数中任取4个整数，所取的4个整数之和可以为10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是从10到4n-6的连续整数，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（种）不同的结果. 答案：4n-15归纳结论：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥3)这n 个整数中任取a(1<a<n)个整数，所取的a 个整数之和最小是1+2+3+…+a=2)1(+a a ，最大是n+n-1+n-2+…+n-（a-1)=2)1(--a a an ，所以共有不同的结果数为：2)1(--a a an ]12)1([-+-a a =22a a an --122++-a a =1222+++--aa a a an =12+-a an . 答案：12+-a an问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖券，共有不同优惠金额的种类为：1510052+-⨯=476（种）.答案：476拓展延伸：(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a 个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，则2041362=+-a a ，即0203362=+-a a ，∴a=7或29.答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个或29个整数，可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果.(2)从3，4，5，…，n+3(n 为整数，且n ≥2)这(n+1)个整数中任取a(1<a<n+1)个整数，所取的a 个整数之和最小是3+4+5+…+（3+a-1）=2)5(+a a ，最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=2)3)(4(6a a an ---+，所以共有不同的结果数为：2)3)(4(6a a an ---+]12)5([-+-a a =1252712622++-+--+aa a a an =25712722a a a a an +++--+=2122272+--+a a an =)6(72+--+a a an=672-+-+a a an =12++-a a an . 答案：12++-a a an24．（2020·随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a 2x +bx+1的对称轴为直线x=23，其图象与x 轴交于点A 和点B(4，0)，与y 轴交于点C.(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO 的度数；(2)动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 以每秒2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t(t>0)秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90°，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标；(3)在(2)的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△MDB 相似时，请直接写出点P 及其对应的点Q 的坐标.(每写出一组正确的结果得1分，至多得4分){解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点间的距离公式、相似三角形的性质．（1）首先利用抛物线y=a 2x +bx+1的对称轴x=23，与x 轴的交点B(4，0)，列方程组求出ab 的值，进而得到抛物线的解析式，然后利用解析式求出线段OA=OC=1，进而利用等腰直角三角形的性质得到∠CAO=45°.（2）过点N 作NE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ，通过证明△NEM ≌△MFD ，得到NE=MF ，EM=DF.然后由题意得：∠CAO=45°，AN=t 2，AM=3t ，，AE=NE=t ， EM=AM-AE=2t ，∴DF=2t ，MF=t ，OF=4t-1，∴D(4t-1，2t ），将点D 的坐标代入抛物线的解析式可得t t t 21)14(43)14(412=+-+--，进而求得：t=43，再代回计算可得点D 的坐标（2，23）. （3）由（2）知：C （0，1），M(45，0)，D （2，23），B （4，0），进而得到BD=25，DM=543，MB=411. 设P （a ，143412++-a a ），Q （0，b ），则CQ=|1-b|，PC=222)114341(-++-+a a a =222)4341(a a a +-+，PQ=222)14341(b a a a -++-+， ∵以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△MDB 相似，∴分以下几种情况进行求解：①如图所示，当点P 在y 轴左侧，点Q 在点C 上方时，利用△PCQ 与△BDM 相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，通过计算可知：符合要求的点P 和点Q 不存在；②如图所示，当点P 在y 轴左侧，点Q 在点C 下方时，利用△PCQ 与△BDM 相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P 和点Q 的坐标：)18590()91937(77---，，，Q P ；)992510()91937(88---，，，Q P ；③如图所示，当点P 在y 轴右侧，点Q 在点C 上方时，利用△PCQ 与△BDM 相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P 和点Q 的坐标：)6170()231(33，，，Q P ；)22370()231(44，，，Q P ；)2426170()1211711125(1111，，，Q P ；)36316130()1211711125(1212，，，Q P .④如图所示，当点P 在y 轴右侧，点Q 在点C 下方时，利用△PCQ 与△BDM 相似的所有可能情况，分别得到对应边成比例，进而求出点P 和点Q 的坐标：)6490()235(11--，，，Q P ；)22530()235(22--，，，Q P ； )182570()991325(55--，，，Q P ；)9911510()991325(66--，，，Q P ；)2423730()121391141(99-，，，Q P ；)36316870()121391141(1010-，，，Q P ；综上所述：符合要求的点P 和点Q 的坐标为：)6490()235(11--，，，Q P ；)22530()235(22--，，，Q P ；)6170()231(33，，，Q P ；)22370()231(44，，，Q P ；)182570()991325(55--，，，Q P ；)9911510()991325(66--，，，Q P ；)18590()91937(77---，，，Q P ；)992510()91937(88---，，，Q P ；)2423730()121391141(99-，，，Q P ；)36316870()121391141(1010-，，，Q P ；)2426170()1211711125(1111，，，Q P ；)36316130()1211711125(1212，，，Q P . {答案}解：(1)∵抛物线y=a 2x +bx+1的对称轴为直线x=23，其图象与x 轴交于点A 和点B(4，0)，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=-01416232b a a b ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=4341b a ，∴抛物线的解析式为143412++-=x x y .当y=0时，0143412=++-x x ，∴x=-1或4，∴A(-1,0)，∴OA=1. 当x=0时，y=1，∴C(0，1)，∴OC=1，∴OA=OC.又∵∠AOC=90°，∴∠CAO=45°. 答案：抛物线的解析式为143412++-=x x y ，……2分 ∠CAO=45°.…3分(2)由(1)知A(1，0)，过点N 作NE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ， ∵NM=DM ，∠DMN=90°，∴△NEM ≌△MFD ，∴NE=MF ，EM=DF. 由题意得：∠CAO=45°，AN=t 2，AM=3t ， ∴AE=NE=t ， EM=AM-AE=2t ，∴DF=2t ，MF=t ，OF=4t-1，∴D(4t-1，2t ）……5分∴t t t 21)14(43)14(412=+-+--，又t ＞0，故可解得：t=43，……7分经检验，当t=43时，点M ，N 均未到达终点，符合题意.此时D 点坐标为（2，23）.……8分(3)答案不唯一，从下面12组点中任意选择四组即可.)6490()235(11--，，，Q P ；)22530()235(22--，，，Q P ；)6170()231(33，，，Q P ；)22370()231(44，，，Q P ；)182570()991325(55--，，，Q P ；)9911510()991325(66--，，，Q P；)18590()91937(77---，，，Q P ；)992510()91937(88---，，，Q P ；)2423730()121391141(99-，，，Q P ；)36316870()121391141(1010-，，，Q P ；)2426170()1211711125(1111，，，Q P ；)36316130()1211711125(1212，，，Q P . ……12分说明：(1)问不需写解答过程，解析式写成y=41-(x+1)(x-4)也得分：(2)问用其他合理方法也可根据步骤给分，t 值未检验不扣分：(3)问为结论开放题型，共有12组正确答案，考生每写出一组正确的点P ，Q 的坐标给1分，至多得4分.。

历年初三数学中考探索开放型测试题

中考数学探索开放型测试题1（大连）已知：如图1，给出下列6个论断，①AB是⊙O1的直径；②EC是⊙O1的切线；③AC是⊙O2的直径；④BC·EC=DE·BD；⑤DE∥BC；⑥DE·BC=2CE2。

⑴将6个论断中的3个作为题设,2个论断作为结论，写出一个真命题，并加以证明；⑵如果AB不是⊙O2直径(如图2)，你能否再从其余5 个论断中选取一个论断作为题设，一个论断作为结论，使其成为真命题(不要求证明)。

若能，请写出两个；若不能，请你再添加一个条件，写出两个真命题。

图12（泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴。

（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2 、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连结A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（-2 ，4）、B（-4 ，2），连结（1）中A2B2 ，试问在χ轴上是否存在点C ，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？或存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由。

解：3（广州）已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由．4（昆明）操作：如图8，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少5（南宁）将一张长方形的纸对折，如图5所示可得到一条折痕（图中虚线）．续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n 次，可以得到条折痕．6（南宁）一条信息可通过如图7的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到b 2点可由经a 1的站点送达，也可由经a 2的站点送达，共有两条途径传送．则信息由A 点到达山的不同途径共有（）．（A ）3条（B ）4条（C ）6条（D ）12条7（烟台）如图1，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CD 切⊙O 于点C ．AD ⊥CD ，垂足为D ．（1）求证：2AC ＝AB ·AD（2）若将直线CD 向上平移，交⊙O 于1C 、2C 两点，其它条件不变，可得到图2所示的图形，试探索A 1C 、A 2C 、AB 、AD 之间的关系，并说明理由．（3）把直线1C D 继续向上平移，使弦1C 2C 与直径AB 相交（交点不与A 、B 重合），其它条件不变．请你在图3中画出变化后的图形，标好相应字母，并试着写出与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．8（陕西）如图，在直角坐标系中，以点A （3，0）为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点．⑴ 求D 点的坐标；⑵ 若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式；⑶ 若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P 且∠OMN ＝30°，试判断直线MN 是否经过所求抛物线顶点？说明理由。

2019届人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题(含答案)

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O 重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN 分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____．①EF ＝2OE ；②S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤. 【课堂提升】1.如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足，则a 、b 平行．2.写出一个运算结果是a 6的算式．3.如图2－1－5，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB .E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

中考数学专题复习开放性问题测试题(含解析)

开放性问题一、填空题1. （2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠A HE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答题1．（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．3．（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且1OA＋1OB＝2OP，求b的值；(3)在 (2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．C 与直线l 只有一个公共点，,m 有且只有一组解． ················ 2分消去y ，得x 2－4x ＋m ＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根． ∴△＝0，即(－4)2－4m ＝0．∴m ＝4． ································ 4分 (2)如图，分别过点A ，P ，B 作y 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，E ，则△OAC ∽△OPD ，∴OP OA ＝PD AC．同理，OP OB ＝PD BE．∵1OA ＋1OB ＝2OP ，∴OP OA ＋OP OB ＝2． ∴PD AC ＋PD BE＝2． ∴1AC ＋1BE ＝2PD ，即AC BE AC BE + ＝2PD． ················ 5分解方程组,3y kx y x b=⎧⎨=-+⎩得x ＝3b k +，即PD ＝3b k +． ············· 6分由方程组2,34y kx y x x =⎧⎨=-+⎩消去y ，得x 2－(k ＋3)x ＋4＝0． ∵AC ，BE 是以上一元二次方程的两根，∴AC ＋BE ＝k ＋3，AC ·BE ＝4． ······················ 7分 ∴34k +＝23b k +．解得b ＝8． ······························· 8分 (3)不存在．理由如下： ························· 9分假设存在，则当S △APQ ＝S △BPQ 时有AP ＝PB ，于是PD －AC ＝PE －PD ，即AC ＋BE ＝2PD ．由(2)可知AC ＋BE ＝k ＋3，PD ＝83k +，答案图图15∴k＋3＝2×83k，即(k＋3)2＝16．解得k＝1(舍去k＝－7)．························11分当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．······················12分。

历年初三数学中考试题分类之开放型试题及答案

开放型试题例1．如图6，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点。

（1）如果，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。

知识点：考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

精析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

准确答案：解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF中考对该知识点的要求：开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

目标达成： 9－1－1.如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.9－1－2、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC上，BD ＝BE.（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）9－1－3、（2005年玉溪）如图19，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。

问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

图6ABCD E FOg FEDCBA例2、己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC P P ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ； ⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．知识点：考查了全等三角形、平行四边形的判定及性质以及平行线，分线段成比例或相似三角形的性质精析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。

2023中考数学开放探究型压轴大题(最新模拟50道)学生版

2023中考数学开放探究型压轴大题一、解答题1.(2023春·陕西延安·九年级专题练习)如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当α=0°时，AE BD =______；②当α=180°时，AE BD=______．(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决△CDE 绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长______．2.(2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试)点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点(不与点B重合)，在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF=90°，过点F作FG⊥BC 交BC的延长线于点G，连接DF交CG于点H．(1)发现如图1，若AB=AD，CE=CF，猜想线段DH与HF的数量关系是(2)探究如图2，若AB=nAD，CF=nCE，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展在(2)的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD=3，AB=4，请直接写出线段EF的值3.(2023·河北·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是10，A，B为⊙O外两点，AB= 22．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦(点A′，B′分别为点A，B 的对应点)，线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．(1)如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；(2)若点A(0，7)，B(2，5)，线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为；(3)如图2，若A，B是直线y=-x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．4.(2023春·全国·八年级期中)如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．(1)如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；(2)在(1)的条件下，请求出此时a的值：(3)当a=8时，①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．5.(2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习)已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？；(直接写出结果)(2)如图2，点D在射线CB上(点C的右边)移动时，证明∠BCE+∠BAC=180°．(3)点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．6.(2023·山东济南·统考一模)如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上(AG<AD).(1)如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α(0°<α<90°)，DG和BF的数量关系是，位置关系是；(2)如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；(3)如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=22，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α(0°<α<360°)，点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由.7.(2023春·全国·八年级期中)如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF=BD，∠EDF=60°．(1)证明：EF=DF；(2)如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG=EC+ EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，证明：CG=CM．(3)如图3，在(2)的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD=4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．8.(2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校联考阶段练习)已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF的长；(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ 的面积．9.(2023·福建三明·校考一模)在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积(用含有x，y的式子表示)．10.(2023·湖北省直辖县级单位·校联考一模)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.将∠AOB绕点O沿逆时针方向旋转α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分别交AB，BC于点E，F，连接EF交OB于点G．(1)求证：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋转过程中，探究线段AC，EF，OG的数量关系，并说明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求线段OG，BF的长度．11.(2023·江苏盐城·统考一模)【问题思考】如图1，点E是正方形ABCD内的一点，过点E的直线AQ，以DE为边向右侧作正方形DEFG，连接GC，直线GC与直线AQ交于点P，则线段AE与GC之间的关系为．【问题类比】如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P 到边AD的最大距离为(直接写出结果)．12.(2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中)(1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为B ，点C的对应点为C ，连接BB ，如图所示则∠AB B=．(2)如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△BP A，求∠BPC的度数和PP 的长；(3)如图3，将(2)题中“在等边△ABC内有一点P”改为“在等腰直角三角形ABC内有一点P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度数．13.(2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习)如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，将△EDC绕着点C旋转．(1)如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线(E在AC延长线上)时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，求BF的长；(2)如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过点D作DF⊥AE于点G，交BE于点F，请写出EF与BF的数量关系并证明．(3)如图4，在(2)的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．14.(2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，点M为线段AD上一点(不与A，D重合)，在线段BD上取点N，使DM=DN，连接AN，CM．(1)观察猜想：线段AN与CM的数量关系是，AN与CM的位置关系是；(2)类比探究：将△DMN绕点D旋转到如图2所示的位置，请写出AN与CM的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；(3)问题解决：已知AD=32，DM=3，将△DMN绕点D旋转，当以A、D、M、N四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出BN的长．15.(2023·河南商丘·校考一模)综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为，判断依据为；(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．16.(2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．点D是BC边上任意一点(不与B，C重合)，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，点F为AD中点，连接CF，EF．(1)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明．(2)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由．(3)如图(1)中的△BDE绕点B旋转到如图(2)所示位置，得到△BD E ，使得点A在直线D E 上，连接CE ，点F 为AD 中点，AD 与BC交于点G，其他条件不变．求证：AE -D E =2CF ．17.(2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点A关于直线BE的对称点为点F，连接AF，CF．设∠ABE=α，(1)试用含α的代数式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足为G，点G在AF的延长线上，连接DG，试判断DG与CF的位置关系，并加以证明；(3)把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求sinα的值．18.(2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A B (A 和B 分别是A和B的对应点)，若线段AB 和A B 均在图形G的内部(包括边界)，则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．(1)如图，点C1,0．，D3,0①已知图形G1：半径为3的⊙O；G2：以O为中心且边长为6的正方形；G3：以线段OD为边的等边三角形．在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是．②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T t,0的旋垂闭图，求t的取值范围；(2)已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q2+a,2-a，使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．19.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B1，0两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．，C0，3(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．20.(2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习)如图，直线y=-2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上．分别过点O，B 作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC．(1)求点A，B，C的坐标．(2)当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF．(3)CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式．21.(2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习)如图，平面直角坐标系中，已知A(-2，0)，B(4，0)，点C是在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为9．(1)点C的坐标为；(2)P是第四象限内一点且横坐标为m，tan∠PBA=32．①连接AP，交线段BC于点D．根据题意画出示意图并求PDDA的值(用含m的代数式表示)；②连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22.(2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测)如图，矩形AOBC的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是5，4，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E处，AD的延长线与x 轴相交于点F(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，若P是AF上一动点，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，设AP=t，FN=s，求s与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由23.(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过A0,1．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个，B4,-1动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和5PD+PE的最大值；(3)将抛物线y关于直线x=3作对称后得新抛物线y ，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．24.(2023·吉林长春·统考一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，点D从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB方向运动，到点B停止．当点D与A、B两点不重合时，作DP⊥AC交AC于点P，作DQ⊥BC交BC于点Q．E为射线CA上一点，且∠CQE=∠BAC．设点D 的运动时间为t(秒)．(1)AB的长为．(2)求CQ的长．(用含有t的代数式表示)(3)线段QE将矩形PDQC分成两部分图形的面积比为1:3时，求t的值．(4)当t为某个值时，沿PD将以D、E、Q、A为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的t值．25.(2023·广东云浮·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA=6cm，OB=8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/s的速度在BO上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是ts．(1)请直接写出BM，BN的长度；(2)当t为何值时，△MNB与△OBC相似；(3)记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．26.(2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习)如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE =25，求DPCP的值；(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．27.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面积为30，点D为AC的中点，动点P由点A以每秒5个单位的速度向点B运动，连接PD，以PD、DC为邻边作▱PDCQ，设▱PDCQ与△ABC的重叠部分面积为S，设点P的运动时间为t t>0．(1)tan A=(2)求点Q落在BC上时t的值．(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式．(4)若点A关于PD所在直线的对称点为A ，当点A 落在△ABC一边上的高上时，直接写出t的值．28.(2023·山西晋中·统考一模)问题情境：在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH．初步探究：(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．29.(2023·江苏无锡·校联考一模)抛物线y=ax2+bx+3过点A-1，0，顶点为C．，点B3，0(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的最大值．30.(2022春·上海徐汇·九年级统考期中)已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，连接PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，连接BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当AD=DP时，求DEEB；(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长．31.(2022·广东东莞·一模)如图，△ADE 由ΔABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．(1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：EP PF =PC CF．32.(2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习)(1)问题发现：如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BD,CE．①线段BD,CE之间的数量关系为；②∠BEC的度数为．(2)拓展探究：如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B,D,E在同一直线上，连接BD,CE，求BDCE的值及∠BEC的度数．(3)解决问题：如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，AD=3BD，求DFCF的值．33.(2023春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习)如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE相交于点F．小明和小军想要探究线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系．(1)问题探究：他们先将问题特殊化如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1)，当点D，F不重合时，(1)中的结论是否成立．若成立请证明，若不成立请写出正确结论并说明理由．(3)问题拓展：如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF 之间的数量关系．34.(2023·河南洛阳·统考一模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF，把纸片展平；(如图1)操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边DC上点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O．连接OA，OB，OP．根据以上操作，直接写出图2中与OP相等的两条线段和．(2)探究发现把图2中的纸片展平，得到图3，小亮通过观察发现无论点P在线段DC上任何位置，线段OE和线段OF始终相等，请你直接用第一问发现的结论帮小亮写出完整的证明过程．(3)拓展应用已知正方形纸片ABCD的边长为6cm，在以上的探究过程中，当点O到AB距离是73cm时，请直接写出PC的长．35.(2023春·江苏南京·八年级校考期中)如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，GH折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段∶S▱ABCD=．，；S矩形AEFG(2)▱ABCD纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．(3)如图③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．36.(2023·吉林长春·校联考一模)如图，BD是▱ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm．动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD-DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动，过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连结PQ；以PQ与QM为边作▱PQMN，设点P的运动时间为t s t>0，▱PQMN 与▱ABCD重叠部分图形的面积为S cm2．(1)AP=cm(用含t的代数式表示)．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)当点Q在线段DC上运动时，t为何值时，S有最大值？最大值是多少？(4)连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值．37.(2023·江苏淮安·统考一模)【基础模型】：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的长．【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF⎳AC，AC=2EF，∠BAD，AE=2，DF=5，请直接写出菱形ABCD的边长．∠EDF=1238.(2023·广东深圳·统考一模)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α，连接BE，过点B作BF⊥直线DE，垂足为点F，连接CF．(1)如图1，当α=30°时，△BEF的形状为，DECF的值为；(2)当90°<α<180°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为，若不存在，请说明理由．39.(2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷(探花卷))(1)【问题初探】如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点，延长BA至点F，使AF=CE，连接DE，DF．求证：△DCE≌△DAF．(2)【问题再探】如图2，E，M分别是正方形ABCD的边BC，AB上一点，分别过点M，E作MP⊥CD于点P，EQ⊥AD于点Q，线段QE，MP相交于点N．连接DM，DE，ME，PQ，若∠MDE= 45o．①求证：AM+CE=ME．②探究△NME和△NPQ的面积关系，并说明理由．(3)【问题延伸】如图3，在正方形ABCD中，E，M分别是射线CB，BA上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断△NME和△NPQ的面积关系是否仍成立．40.(2023·湖南·校联考一模)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是；A.平行四边形；B.矩形；C.正方形；D.菱形(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接EH，求△CEH的周长；③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．41.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D为边AB的中点．动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BA运动到终点A．连结CP，作点D关于CP的对称点D ，连结PD ，设点P的运动时间为t秒．(1)点C、D之间的距离为．(2)用含t的代数式表示PD 的长．(3)当PD ⊥AB时，求△BCP的面积．(4)当点D 在△ABC内部时，直接写出t的取值范围．42.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)模型建立：(1)如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；∠BAD，射(2)类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且∠EAF=12线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．①求证：FA2=FC⋅FM；②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长．43.(2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习)如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分线，交半圆O于点D．(保留作图痕迹，不写做法)(2)如图2，在(1)的条件下，过点D作半圆的切线，交BC的延长线于点F，作DE⊥AB于点E，连接BD．①求证：△BED≌△BFD．②若AB=8，BC=2CF，请直接写出DE的长．44.(2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习)四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点．(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=°；(2)如图2，若点E是BC边上一点(不与B，C重合)，∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由；(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．45.(2023·湖北武汉·校联考一模)问题提出：如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD=30°，若AD=1，连接BD，求BD的长．(1)问题探究：请你在图(1)中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．(用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由)(2)根据(1)中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；(3)问题拓展：如图(2)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，若AD=7，BD=27，CD=4，求BC的长．46.(2023春·河北保定·九年级统考阶段练习)如图1，已知直线l 1：y =x +3，点B 0,b 在直线l 1上．y =mx +n 是过定点P 1,0 的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察m 与n 的关系．记y =mx +n 过点B 时的直线为l 2．(1)求b 的值及l 2的解析式；(2)探究m 与n 的数量关系；当y =mx +n 与y 轴的交点为0,1 时，记此时的直线为l 3，l 3与l 1的交点记为A ，求AB 的长；(3)当y =mx +n 与直线l 1的交点为整点(横、纵坐标均为整数)，且m 的值也为整数时，称y =mx +n 为“美好直线”．①在如图2所示的视窗下(-2.5≤x ≤2.5，-2.5≤y ≤2.5)，求y =mx +n 为“美好直线”时m 的值；②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点O 始终在视窗中心．现将图2中坐标系的单位长度变为原来的1k，使得在视窗内能看到所有“美好直线”与直线y =x +3的交点，求k 的最小整数值．47.(2023·山东济南·统考一模)(1)①如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，则BD与CE的数量关系为；②如图2，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则sin∠DAC=；(2)如图3，在(1)②的条件下，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF．当AE=32时，求CF的长度；(3)如图4，矩形ABCD中，若AB=23，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE中点为G，CF中点为H，若GH=13，直接写出DE的长．48.(2023·浙江温州·统考一模)如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．(1)若AE=EG，求证：△ABE≌△GBE．(2)若AB=2，tan∠EBF=12．①求DE的长．②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．(3)连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED=EG，求CGEF的值．49.(2023春·山东济南·九年级校考阶段练习)小明同学和小红同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°．问题的产生：两位同学先按照图1摆放，点D，E在AB、AC上，发现BD和CE在数量和位置关系分别满足BD= CE，BD⊥CE．问题的探究：(1)将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD，CE，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，并说明理由．问题的延伸：继续将△ADE绕点A逆时针旋转，如图3，点D、E都在△ABC的外部，连接BD，CE，CD，EB，BD和CE相交于点H．(2)若BD=19，求四边形BCDE的面积．(3)若AB=3，AD=2，设CD2=x，EB2=y，直接写出y和x的函数关系式．50.(2023·湖南长沙·校联考模拟预测)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B(点A，B可以重合)，在图形W2上存在两点M，N(点M，N可以重合)使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．(1)如图1，点C(3,0),D(0,-1),E(0,1)，点P在线段CE上运动(点P可以与点C，E重合)，连接OP,DP．①线段DP的最小值为，最大值为；线段OP的取值范围是；②点O与线段DE(填“是”或“否”)满足限距关系；(2)在(1)的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围；。

九年级数学中考第二轮专题复习-第五讲开放型问题试题

中考数学中的开放型问题制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

开放探究性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探究性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比拟、概括、推理、判断等探究活动来确定所需求的结论或者条件或者方法，这类题主要考察学生分析问题和解决问题的才能和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比拟高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

给出问题的结论，让解题者分析探究使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。

它要求解题者擅长从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] △ABC内接于⊙O，⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2，即422==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上〔即O 为AB 的中点〕时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求〔如以下图所示〕。

[评注]：此题是一个简单的几何条件探究题，它打破了过去“假设——求证〞的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜测、推理、判断等探究活动的要求。