离散数学课件资料

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二、与命题相关的几个概念
1、简单命题(或原子命题)： 命题为简单的陈述句，不能分解成更简单的句子。
一般用小写的英文字母p, q, r, …表示。
2、命题常项(或命题常元)： 由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项 或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。
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三、命题公式的类型
从以上定义可以看出以下几点：
1、可满足式至少存在一组成真赋值。 2、重言式一定是可满足式，反之不真。 3、真值表可以用来判断公式的类型： （1）若真值表最后一列全为1，则公式为重言式； （2）若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式； （3）若真值表最后一列至少有一个1，则公式为
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离散数学，是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数 学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主 要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个 元素，因此充分描述了计算机科学离散性的特 点。
离散数学是随着计算机科学的发展而逐步 建立的， 它形成于七十年代初，是一门新兴的 工具性学科。
三、联结词（续）
5、等价联结词“ ”，读作“等价”。 复合命题“ p 当且仅当 q ”称作 p 与 q 的等价式，记 作“ p q ”。 p q 为真当且仅当 p 与 q 真值相同。
在命题“2是素数当且仅当4也是素数”中，设 p 表示“2是素数”，q 表示“4是素数”，则 p q
表示“2是素数当且仅当4是素数”,由于p、q的真值
分别为1、0，所以p q的真值为0。
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真值表
利用以上5种联结词，可将复合命题符号化，进 而正确分析出复合命题的真值。基本真值表如下：
p q p
00 1 01 1 10 0 11 0
pq 0 0 0 1
pq
0 1 1 1
pq
1 1 0 1
pq
1 0 0 1
表1.1
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可满足式。
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§1.3 等值演算
一、等值演算的概念
等值公式：设A, B为两命题公式，若等价式A B 是重言式，称A与B等值。记作:A B
等值关系是自反的、对称的和传递的，因而为 等价关系。用真值表可以验证公式等值。
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三、联结词（续）
2、合取联结词“ ”，读作“合取”。 复合命题“ p并且q ”称作p 与q 的合取式，记“ p q ”。 p q 为真当且仅当p 与q 同时为真。
在命题“2是偶素数”中，设 p 表示“2是素数”， q 表示“2是偶数”，则 p q 表示“2是偶素数”。因为 p和q 的真值均为1， 所以 p q 的真值为1 。
(10) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。
设p：我上街，q：我去书店看看，r：我很累， r是（pq） 的充分条件则符号化为r (p q)
该命题也可叙述为“如果我不累并且我上街，则我就去书店看 看。”，因此（10）也可符号化为( r p ) q
(11)王一乐是计算机系的学生, 他生于1968年或1969 年, 他是三好学生。
真值分析如下：
p q pq p(pq)
00 1
0
01 1
0
10 0
0
11 1
1
(p ( p q )) q 1 1 1 1
表1.3
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二、命题公式的解释或赋值（真值表）
(3) ( p q ) q
真值分析如下：
p q pq (pq)
00 1
0
01 1
0
10 0
1
设p：王一乐是计算机系的学生，q：他生于1968年，r：他生于 1969年，s：他是三好学生，则符号化为：p (q r) s
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§1.2 命题公式及其赋值
一、命题公式的概念
合式公式： (1) 单个命题常项或变项p, q, …, 0, 1是合式公式； (2) 若A是合式公式，则 A也是合式公式； (3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)是合式公式;
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数理逻辑
逻辑学:研究思维(或推理)的形式结构和规 律的学科。利用数学方法研究思维(或推理)的形式 结构和规律的学科，称作数理逻辑。
数理逻辑的基本内容：命题逻辑(演算)、 谓词逻辑。它们对电子元件设计和性质分析， 对逻辑程序设计语言的研制具有十分重要的意 义。
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(2)按从低到高的顺序列出命题公式的各个运算层次。 (3)对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到
最后计算出命题公式的值。 命题运算的优先级顺序：(1)先括号 (2) (3) , (4) (5) (6) 从左至右
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二、命题公式的解释或赋值（真值表）
例4：求下列命题的真值表 (1) ( p) q (2) ( p ( p q )) q (3) ( p q ) q
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二、与命题相关的几个概念（续）
3、命题变项(或命题变元)： 真值可以变化的简单陈述句，但它不是命题,也可
以用p,q,r等表示。
如例1中的陈述句(6) (5x + 1 > 11)。 4、复合命题：
由简单命题用联结词联结而成的命题。 命题逻辑主要就是研究复合命题。
5、命题的符号化： 用符号来表示命题。
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0
表1.4
(pq) q 0 0 0 0
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三、命题公式的类型
1、重言式(或永命真题式公)：式A在各种赋值下取 值恒为真，则A为重言式。
2、矛盾式(或永命假题式公)：式A在各种赋值下取 值恒为假，则A为矛盾式。
3、可满足命式题：公式A至少存在一组赋值是成真 赋值，则A为可满足式。
在命题“如果2是素数，3也是素数”中，设 p 表 示“2是素数”，q 表示“3是素数”，则 p q 表示 “如果2是素数，则3也是素数”。
联结词“只要 p 就 q ”，“ p 仅当 q ”，“只有q才p ” 等，都表示q是p的必要条件,因此都可符号化为 p q 。
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若指定的一组真值使命题公式A的真值为1，则 称这组赋值为A的成真赋值；若使A的真值为0，则 称这组赋值为A的成假赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，
称为A的真值表。
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二、命题公式的解释或赋值（真值表）
构造真值表的步骤：
(1)找出命题公式中所有命题变项：p1 , p2 , …, pn , 列出所有可能的赋值(2n个)。
设p:天下雨,q:我骑自行车上班, 逐 个p是联q结的起必来要，条组件则 成一复合命题的符
(4) 如符果号化下为雨q，我就p不骑自行车号上化班形。式。
设p:天下雨,q:我骑自行车上班,则符号化为p q
(5) 我去书店看看，除非我很累。
设p:我很累,q:我去书店看看,则符号化为 p q
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三、联结词
先看一个例子：
例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。
(1) 3不是偶数。
(非)
(2) 2是偶素数。
(且)
(3) 2或4是素数。
(或)
(4) 如果2是素数，3也是素数。 (如果…,则…)
(5) 2是素数当且仅当4也是素数。 (当且仅当)
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(9) 选能小直王接或用小“ 李 ”中联的结一，人但当两个副命班题长不。能同时
设p:选为小真王时当副例班外长，，因q此:选,命小李题当可副符班号长化,则为符p号 化q ，为(p q) ( p q) 其中p:小王在宿舍，q:小王在图书馆
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例3 将下列命题符号化（续）
(4) 只有有限次地应用(1) ～ (3)组成的符号串才是 合式公式。 合式公式即称为命题公式。
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二、命题公式的解释或赋值
一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的， 只有用指定的命题常项代替后真值才唯一确定。
设A为一命题公式，p1, p2, … , pn为出现在A中的 所有的命题变项。给p1, p2, … , pn指定一组真值，称 为对A的一个赋值或解释。
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例3 将下列命题符号化
(1) 李平不是不聪明，而是不用解功题。步骤:
设p:李平聪明，q:李平用功,则符(1号) 化分为析出(各简p)单 q
(2) 李文和李武是兄弟。
命题，并符号化；
设p:李文和李武是兄弟，则符号(2化) 为使p用合适的联
(3) 只有不下雨，我才骑自行车结上词班，。把简单命题
命题真值：判断为正确的命题称其命题真值为真(1) ； 判断为错误的命题称其命题真值为假(0) ； 命题是具有唯一真值的陈述句。
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例1 判断下列句子中哪些是命题。
(1) 4是素数。
(是)
(2) 2 + 3 = 5。
(是)
(3) 雪是黑色的。
(是)
(4) 3能被2整除。
(是)
注意：“或”的二义性。如命题：派小王或小李中 的一人去开会，应符号化为( p q ) ( p q ), 这类“或”表达的是排斥或。
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三、联结词（续）
4、蕴涵联结词“ ”，读作“蕴涵”。 复合命题“ 如果 p，则 q ”称作p 与q 的蕴涵式，记作 “ p q ”。其中 p 称为蕴涵式的前件， q 称为蕴涵 式的后件。 p q 为假当且仅当 p 为真且 q 为假。
(5) 2050年元旦是晴天。
(是)
(6) 5x + 1 > 11。
(否)
(7) 这朵花真美丽呀！
(否)
(8) 明天下午开会吗？
(否)
(9) 我正在说假话。
(否)
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解题思想：判断一个句子是否为命题，首先看它 是否为陈述句，其次看它的真值是否唯一。
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参考教材：
1、《离散数学》、《离散数学 理论.分析.题解》
左孝凌、李为鑑、刘永才，上海科学技术文献出版社
2、《离散数学》（修订版）
耿素云、屈婉玲，高等教育出版社
3、《离散数学》（第三版）
耿素云、屈婉玲、张立wk.baidu.com，清华大学出版社
4、《离散数学及其应用》（原书第5版）
（美）Kenneth H.Rosen著，袁崇义、屈婉玲、王悍贫、 刘田 译， 机械工业署版社
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三、联结词（续）
常见的基本联结词： 1、否定联结词“ ”，读作“非”。 复合命题“非p ”称作p 的否定式，记作“ p ”。 p 为真当且仅当p 为假。
在命题“3不是偶数”中，设p 表示“3是偶数”，
则
p 表示“3不是偶数”。显然，p 真值为0， p 真
值
为1 。 2020/11/15
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二、命题公式的解释或赋值（真值表）
(1) ( p) q
真值分析如下：
p q ( p) q ( p) q
00 0
1
0
01 0
0
0
10 1
1
1
11 1
0
0
表1.2
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二、命题公式的解释或赋值（真值表）
(2) (p ( p q )) q
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第一章 命题逻辑
§1.1 命题符号化与联结词 §1.2 命题公式及其赋值 §1.3 等值演算 §1.4 联结词的完备集 §1.5 对偶与范式 §1.6 推理理论
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§1.1 命题符号化及联结词
一、命题的概念
命题：能判断真假的陈述句。这种判断只有两种 可能，一种是正确的判断，一种是错误的 判断。
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例3 将下列命题符号化（续）
(6) 2 + 2 4，当且仅当3不是奇数。
设p:2 + 2 = 4，q:3是奇数, 则符号化为 p q
(7)小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设p:小王是游泳冠军，q:小王是百米赛跑冠军,符号化为p q
(8) 小王现在在宿舍或在图书馆。
设p:小王在宿舍，q:小王在图书馆,符号化为p q 这里的“或”本来是排斥或，排斥或一般不
联结词“既…又…”，“不但…而且…”，“虽然…但 是…”等，都可符号化为 。
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三、联结词（续）
3、析取联结词“ ”，读作“析取”。 复合命题“ p或q ”称作 p与q 的析取式，记作“p q ”。 p q 为真当且仅当 p 与 q 中至少一个为真。
在命题“2或4是素数”中，设 p 表示“2是素数”， q 表示“4是素数”，则 p q 表示“2或4是素数”。