计算力学4---加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题

4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题

薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：

{}([][]{})e p e D D σβ∆=-∆ （4-7-1）

式中

{}[,,]{}[,,]T x y xy T

x y xy e σσστεεγ⎫∆=∆∆∆⎪

⎬∆=∆∆∆⎪⎭

（a ） 分别为应力增量分量和应变分量增量。而弹性矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎣

⎡--=210

001011][2μμ

μ

μE D e （b ） 塑性矩阵

[][]

[][]T

e e e T e

f f D D D f f H D σσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫

⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫'+⎨⎬⎨⎬

∂∂⎩⎭⎩⎭

（4-7-2） 这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件

0s f σσ=-= （4-7-3）

式中

2221/2

(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）

式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹

塑性过渡区，取

b

a s

a σ

σσσβ--= （d ） 上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。板的应力偏量

)(3

1

)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）

将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 222

2)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ

（4-7-5）

其中

E

H S S S S Q xy

y x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）

分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有

}{}{}{P e M M M ∆+∆=∆ （f ）

式中

T xy y x M M M M ],,[}{∆∆∆=∆ (g)

弹性弯矩增量和挠度增量的关系

⎪

⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬⎫∆∂∂∂--=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆)()1()]()([)]()([2

222222

22w y x D M w x w y D M w y w x D M e

xy e

y e

x

μμμ （4-7-6）

式中，)1(122

3

μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。 板的静力平衡条件有：

0)()(2)(2

2222=∆+∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂e

y xy x q M y

M y x M x （4-7-7） 将式（f ）代入，同时考虑到方程（4-7-6），则得薄板弹塑性弯曲的控制方程：

]444

4224[()2()()

0e p D w w w q q x x y y ∂∂∂∆+∆+∆-∆+∆=∂∂∂∂ （4-7-8）

其中e q ∆为对应于弹性变形的外载荷增量，而

)()()(22222p y p xy p x p

M y

M y x M x q ∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂=∆ （4-7-9）

称为塑性载荷项，它与当前的应力水平有关。

设有一正方形薄板，边长为a ，取无量纲量

{}{}⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫∆=∆-∆=∆∆=∆====Eh V V Eh a q q h w w a h a h h a a x p n p n y x x x ,)1(,,,,2

2

2μγ

ηξ （h ） 取板弯曲的挠度函数

})]{([)]([)()(1111

1

A A w N i M j j

i

ij

∆⊗Φ=Φ∆=

∆∑∑+-=+-=ηϕξηϕ

ξ （i ）

式中，⊗为克罗内斯克（Kronecker ）乘积符号，而)]([)],([ηξΦΦ是由五次B 样条函数构成的基函数。

由于位移试函数既不满足控制方程（4-7-8），又不满足边界条件，因此采用加权残值法中的混合法。将试函数（i ）代入控制方程（4-7-8）及有关的边界条件，同时取样条结点为配点坐标，得残值方程：

}}{}{}]{[}{p q q A H R ∆+∆-∆= （j ）

方差泛函

}){}{}]{)([}{}{][}({}{}{}{p T p T T T T q q A H q q H A R R I ∆+∆-∆∆+∆-∆== （k ） 方差最小二乘极值条件

0}

{}

{=∆∂∂A I （I ） 求得

})({][])[]([}{1p T T q H H H A ∆=∆- （4-7-10）

上式中}{p q ∆是由塑性变形所引起的内力修正项，它随着载荷的增加不断变化，因此只能用数值逼近法求解。其基本思想是，对每一步载荷增量，}0{}{=∆p q ，则控制方程（4-7-8）变成：

0)]()(2)([44

22444=∆-∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂e q w y

w y x w x D （m ） 上式为完全弹性方程。求解方程（m ），计算应力，应变及位移，并进行屈服判断，当)(ij f σ＜0时，板属于弹变形；当)(ij f σ≥0，板发生塑性变形。对于应力超过屈服面的部分，求修正应力分量，进而求内力修正项}{p q ∆。再将}{p q ∆当作外载荷代入方程（m ）中求解。如此循环反复，直到}{p q ∆减小到允许范围，即可结束这一步加载。下一步的载荷增量类似处理，直到所有载荷加完。

作为具体算例，四边固定理想弹塑性矩形薄板， 承受均布载荷q 作用，计算参数8.0.6,2.0,100.3,3.04=====⨯==M N m b a m h MPa E 取μ。图4-7-1给出了板中点处的载荷挠度曲线及屈服域扩展顺序图。