计算力学4---加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题

4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。

采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：{}([][]{})e p e D D σβ∆=-∆ （4-7-1）式中{}[,,]{}[,,]T x y xy Tx y xy e σσστεεγ⎫∆=∆∆∆⎪⎬∆=∆∆∆⎪⎭（a ） 分别为应力增量分量和应变分量增量。

而弹性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=210001011][2μμμμE D e （b ） 塑性矩阵[][][][]Te e e T ef f D D D f f H D σσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫'+⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭（4-7-2） 这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件0s f σσ=-= （4-7-3）式中2221/2(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹塑性过渡区，取ba sa σσσσβ--= （d ） 上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。

板的应力偏量)(31)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 2222)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ（4-7-5）其中EH S S S S Q xyy x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有}{}{}{P e M M M ∆+∆=∆ （f ）式中T xy y x M M M M ],,[}{∆∆∆=∆ (g)弹性弯矩增量和挠度增量的关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆∂∂∂--=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆)()1()]()([)]()([222222222w y x D M w x w y D M w y w x D M exy ey exμμμ （4-7-6）式中，)1(1223μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。

板的静力平衡条件有：0)()(2)(22222=∆+∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂ey xy x q M yM y x M x （4-7-7） 将式（f ）代入，同时考虑到方程（4-7-6），则得薄板弹塑性弯曲的控制方程：]4444224[()2()()0e p D w w w q q x x y y ∂∂∂∆+∆+∆-∆+∆=∂∂∂∂ （4-7-8）其中e q ∆为对应于弹性变形的外载荷增量，而)()()(22222p y p xy p x pM yM y x M x q ∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂=∆ （4-7-9）称为塑性载荷项，它与当前的应力水平有关。

设有一正方形薄板，边长为a ，取无量纲量{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆=∆-∆=∆∆=∆====Eh V V Eh a q q h w w a h a h h a a x p n p n y x x x ,)1(,,,,222μγηξ （h ） 取板弯曲的挠度函数})]{([)]([)()(11111A A w N i M j jiij∆⊗Φ=Φ∆=∆∑∑+-=+-=ηϕξηϕξ （i ）式中，⊗为克罗内斯克（Kronecker ）乘积符号，而)]([)],([ηξΦΦ是由五次B 样条函数构成的基函数。

由于位移试函数既不满足控制方程（4-7-8），又不满足边界条件，因此采用加权残值法中的混合法。

将试函数（i ）代入控制方程（4-7-8）及有关的边界条件，同时取样条结点为配点坐标，得残值方程：}}{}{}]{[}{p q q A H R ∆+∆-∆= （j ）方差泛函}){}{}]{)([}{}{][}({}{}{}{p T p T T T T q q A H q q H A R R I ∆+∆-∆∆+∆-∆== （k ） 方差最小二乘极值条件0}{}{=∆∂∂A I （I ） 求得})({][])[]([}{1p T T q H H H A ∆=∆- （4-7-10）上式中}{p q ∆是由塑性变形所引起的内力修正项，它随着载荷的增加不断变化，因此只能用数值逼近法求解。

其基本思想是，对每一步载荷增量，}0{}{=∆p q ，则控制方程（4-7-8）变成：0)]()(2)([4422444=∆-∆∂∂+∆∂∂∂+∆∂∂e q w yw y x w x D （m ） 上式为完全弹性方程。

求解方程（m ），计算应力，应变及位移，并进行屈服判断，当)(ij f σ＜0时，板属于弹变形；当)(ij f σ≥0，板发生塑性变形。

对于应力超过屈服面的部分，求修正应力分量，进而求内力修正项}{p q ∆。

再将}{p q ∆当作外载荷代入方程（m ）中求解。

如此循环反复，直到}{p q ∆减小到允许范围，即可结束这一步加载。

下一步的载荷增量类似处理，直到所有载荷加完。

作为具体算例，四边固定理想弹塑性矩形薄板， 承受均布载荷q 作用，计算参数8.0.6,2.0,100.3,3.04=====⨯==M N m b a m h MPa E 取μ。

图4-7-1给出了板中点处的载荷挠度曲线及屈服域扩展顺序图。

最小二乘配点法分析圆形弹性地基板的弹塑性弯曲问题用最小二乘配点法，对任意分布载荷作用下弹性地基上圆板的弹塑性弯曲问题进行了分析。

方法简便可行，具有良好的精度。

已知文克勒（Winkler ）地基上圆形薄板的静力平衡微分方程为：22222111()2[()]()()(,)0r r rM M M M kw r q r r r r r rθθθθθθ∂∂∂∂∂++-+-=∂∂∂∂∂（4-8-1）圆板的Misses 屈服条件为22223s r r rστσσσσθθθ=++- （4-8-2）相应于Misses 屈服条件下的Levy-Missis 弹塑性本构关系为(2)(2)6p r r r pr pr r r d d d d d d d d d θθθθθθθεελσσεελσσγγλτ⎫==-⎪==-⎬⎪==⎭（4-8-3） 这里忽略了弹性变形。

为了求得应力分量，反解上式，并应用几何方程：22222111r r ww w z z rr r r w r z r r θθεεθθ⎫⎛⎫∂∂∂=-=-+⎪ ⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎬∂∂⎛⎫⎪=- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎭（a ）则得2222222222(2)112()()()33(2)22()()()331()66r r r r r d d z dw dw dw d d r r r r d d z dw dw dw d d r r r r d z dw d d r r θθθθθεεσλλθεεσλλθγτλλθ⎫⎡⎤+∂∂∂==-++⎪⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎡⎤+∂∂∂⎪==-++⎬⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎡∂∂⎤⎛⎫⎪==- ⎪⎢⎥∂∂⎪⎝⎭⎣⎦⎭(4-8-4)将上式代入屈服方程（4-8-2），解得比例系数：sz d σψλ3=(4-8-5)式中2/1222222222222)(1)(1)()()(141)(1)(1⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=dw r dw r r dw r dw r dw r r dw r dw r r θθθψ （b ）对各应力分量沿板厚度积分，得塑性弯矩及塑性扭矩：2222222222112()()()22()()()1()r r M dw dw dw r r r r M dw dw dw r r r r M dw r r θθθθθ⎫⎡⎤∂∂∂=-++⎪⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎡⎤∂∂∂⎪=++⎬⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎪⎪⎡∂∂⎤⎛⎫⎪=- ⎪⎢⎥∂∂⎪⎝⎭⎣⎦⎭ （c ）式中2/1222)3(θθθr r r s M M M M M M ++-= （d ）将式（c ）代入力的平衡方程（4-8-1），可得用挠度增量表示板塑性区域的控制微分方程：2222222222222221112()()()1112()122()()()()(,)0ni i dw dw dw r r r r r dw r r r r M dw dw dw r r r r r r k dw dw q r θθθθθθ=⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂++⎥⎪∂∂∂∂⎭⎦⎡⎤⎛⎫⎛∂∂∂∂⎫++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂⎫-++⎥⎪⎪∂∂∂∂⎭⎭⎦++-=∑ （4-8-6） 式中，dw 为相应于当前载荷的挠度，∑=ni i dw 1为前几个载荷增量所产生的挠度之和。

在任意轴对称分布载荷作用下，式（4-8-6）蜕化为如下形式：222222112()()12()()()()0ni i dw dw r rr r M dw dw r r r r r k dw dw q r =⎡⎤⎛⎫∂∂∂+⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂++⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎦++-=∑ （4-8-7） 对于板上弹性变形区域的控制方程，用增量表示为22(,)0dw kdw dq r θ∇∇+-= （4-8-8）设文克勒尔地基上有一周边简支圆板，半径为α，板上表面作用均布载荷q 。

取板的挠度增量试函数为：∑=+-+=ni i B A a r X C dw 1221)( （4-8-9）式中，X 1为克雷洛夫函数，A ，B 均为任意系数，由圆板简支边界条件确定：2334411112()(1)ni i ni i A C i X i X B C X μμ==⎫=-⎪+⎪⎬⎪=-⎪⎭∑∑ （e ） 其中1133441cos()(),sin()()21[sin()()cos()()]4X ia ch ia X ia sh ia X ia ch ia ia sh ia ⎫==⎪⎪⎬⎪=-⎪⎭（f ） 将式（4-8-9）代入式（4-8-8），得弹性区残值方程：()43223123412220334411[148/4/4/2()()](1)ne i i R C i X i X r i X r iX r r r i X i X X dq μμ==--+-+-+-++∑（4-8-10）式中X 1，X 2，X 3，X 4均为克雷洛夫函数。