高中数学易错易混易忘知识点总结

高中数学易错、易混、易忘知识点总结

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设

{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A ∩B = B ，求实数a 组成的集合.

综上满足条件的a 组成的集合为110,

,35⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

。 【练1】已知集合

{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，

则实数a 的取值范围是 。答案：1a =或1a ≤-。

【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例2、已知

()

22

214

y x ++=, 求22x y +的取值范围. 答案：x 2

+y 2

的取值范围是[1,

3

28]

【练2】若动点（x, y ）在曲线

22

214x y b

+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（ ） （A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（B ）()()2

402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩

（C ）244b +（D ）2b 答案：A

【易错点3】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例5、 判断函数

()2lg 1()22

x f x x -=

--的奇偶性。

解析：由函数的定义域为

()()1,00,1-定义域关于原点对称，在定义域下()()2lg 1x f x x

-=

-易证

()()f x f x -=-即函数为奇函数。

【练5】判断下列函数的奇偶性：

①

()2244f x x x =-+-②()()

111x f x x x

+=--③

()1sin cos 1sin cos x x f x x x

++=

+-

答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数

【易错点4】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例7、试判断函数

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>的单调性并给出证明。

解析：由于

()()f x f x -=-即函数()f x 为奇函数，因此只需判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性即可。设

120x x >>

，

()()()

12121212

ax x b f x f x x x x x --=- 由于

120

x x -> 故当

12,,b x x a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x 在,b a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

上增函数，同理可证

函数

()f x 在0,b a ⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝

⎭为减函数，在,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数。综上所述：函数()f x 在,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和,b

a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上分别为增函数，在0,

b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝

⎭和,0b a ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭上分别为减函数. 【练7】（1） （潍坊市统考题）

()()10x

f x ax a ax

-=+

>（1）用单调性的定义判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性。

（2）设()f x 在01x <≤的最小值为()g a ，求()y g a =的解析式。 答案：（1）函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数在10,a ⎛⎫

⎪⎝⎭为减函数。（2）()()()12101a a

y g a a a ⎧-≥⎪==⎨⎪<<⎩

【易错点5】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 【练8】函数2y x bx c =++()()0,x ∈+∞是是单调函数的充要条件是（）

A 、0b

≥ B 、0b ≤ C 、0b > D 、0b <

答案：A

【易错点6】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

a

1

)2+(b+

b

1)2的最小值。

错解 :(a+a

1)2+(b+

b

1)2=a 2+b 2+

2

1a +

2

1b +4≥2ab+

ab

2+4≥4

ab

ab 1∙

+4=8∴(a+

a

1)2+(b+

b

1)2的最小

值是8

【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=

2

1,

第二次等号成立的条件ab=

ab

1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式= a 2+b 2+

21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +2

1b )+4=[(a+b)2

-2ab]+ [(a 1+b 1)2-ab 2]+4

=(1-2ab)(1+221b a )+4由ab≤(2b a +)2=41 得：1-2ab≥1-21=21,且221b a ≥16，1+221

b

a ≥17∴原

式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)∴(a+a 1)2+(b+b 1)2的最小值是2

25。

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三

相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。

【易错点7】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 【练10】设0a >，且1a ≠试求函数y = log a (4 + 3x – x 2 )的的单调区间。

答案：当0

1a <<，函数在31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增当1a >函数在31,2⎛

⎤- ⎥⎝

⎦上单调

递增在

3,42⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

上单调递减。 【易错点8】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性． 【练11】不等式x >ax ＋32

的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。

答案：1

,368

a

b ==（提示令换元x t =原不等式变为关于t 的一元二次不等式的解集为()2,b ）

【易错点9】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例12、数列

{}n a 前n 项和n s 且111

1,3n n a a s +==。

（1）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。 答案：该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n n n a n -=⎧⎪

=⎨⎛⎫

≥⎪ ⎪⎝⎭

⎩。

【知识点归类点拔】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()

1112n n n s n a s s n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。但注意只有在当1a 适合()12n n n a s s n -=-≥时两者才可以合并否则要写分段函数

的形式。

【练12】已知数列

{}n a 满足a 1

= 1, a n

= a 1

+ 2a 2

+ 3a 3

+ … + (n – 1)a

n – 1 (n ≥ 2),则数列

{}n a 的通项

为 。

答案：（将条件右端视为数列{}n na 的前n-1项和利用公式法解答即可）()

()11!22

n n a n n =⎧⎪

=⎨≥⎪⎩