中考数学练习试题及答案 (98)

中考数学练习试题及答案

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，D是AC的中点．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向点B运动．连结PD，以PD、CD为邻边作▱CDPM．设点P的运动时间为t（秒），△ABC与▱CDPM重叠部分的图形的面积为S．

（1）求AB的长．

（2）当点M落在BC上，求t的值．

（3）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（4）取PM的中点Q，当直线DQ将△ABC的面积分为3：4的两部分时，直接写出t 的值．

【分析】（1）利用勾股定理计算即可．

（2）当M落在BC上时，证明P A＝PB即可解决问题．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是平行四边形CDPM，作PH ⊥AC于H．如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形CDPN，分别求解即可．（4）分两种情形：如图4﹣1中，当直线DQ交AB于T时，连接BD，如图2中，当直线DQ交BC于T时，连接BD，设PM交BC于N．分别构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10．

（2）如图1中，

当M落在BC上时，∵PD∥BC，AD＝DC，

∴AP＝PB＝5，

∴t＝＝1．

（3）如图3﹣1中，当0＜t≤1时，重叠部分是平行四边形CDPM，作PH⊥AC于H．

∵sin A＝＝，

∴＝，

∴PH＝3t，

∴S＝CD•PH＝4×3t＝12t．

如图3﹣2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形CDPN，S＝（4+8﹣4t）•3t＝﹣6t2+18t．

综上所述，S＝．

（4）如图4﹣1中，当直线DQ交AB于T时，连接BD，

∵AD＝DC，

∴S△ABD＝S△DBC，

∵S△ATD：S四边形DTBC＝3：4，

∴S△ADT：S△BDT＝3：0.5＝6：1，

∵PQ∥AD，PQ＝QM＝CD＝AD，

∵＝＝，

∴P A＝PT＝AB＝，

∴t＝＝

如图2中，当直线DQ交BC于T时，连接BD，设PM交BC于N．

同法可得BT＝BC＝，

∵QN∥CD，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

综上所述，满足条件的t的值为或．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．