浙江理工大学 概率论与数理统计 复习题 第2章

别为在对应点的跳跃值的大小. 共有四个间断点: 和,在的跳跃值为,即 ,同理 , 的分布律为
例3 设随机变量具有分布律
试确定常数. 解 由分布律的性质知
,解得, 再由 得
例4 一条自动生产线上产品的一级品率为,随机检查件,求至少有两件 一级品的概率.
解 设被检查的件产品中一级品的件数为,则~. 例5 有90台独立工作的同类型设备,每台设备出故障的概率都是0.01.
现有3人负责管理和维修这些设备,任何时刻,每人最多只能维修一台设 备.考虑以下两种管理方法:
(1) 每人各分管30台; (2) 3人共同负责管理90台. 比较上述两种管理方法,分析发生设备不能及时维修情况的概率大小. 解
(1) 设备分为3组,设第组设备发生故障的的台数为,则~,.第组设备不能 及时维修的概率为 再设为3个组中发生设备不能及时维修的组数,则~,从而设备不能及时 维修的概率为
实例 设随机变量具有密度函数
求的分布函数.
解
典型错误: 时, 原因: 只注意到的变化范围为，未注意到分布函数的定义是随机变 量在到取值的概率.避免这种错误的方法是利用密度函数计算分布函数 时,先画出密度函数的图形,再根据图形中的随机变量变化范围进行积分. 密度函数的性质 (1) . (2) . (3) . (4) 在的连续点上,有. 均匀分布 如果服从区间上的均匀分布,即具有概率密度
正确决策的概率均为,当半数以上成员作出正确决策时,系统作出
正确决策,问多大时,5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更
为可靠?
6. 某商店出售某种商品,根据历史记录分析,月销售量服从参数的泊松分
布.问在月初进货时要库存多少件该种商品,才能以0.999的概率满足顾客
的需求?
7. 设随机变量~,且,求.
,
且,求和的分布律.
3. 设随机变量具有分布律
-1 0 1 2 3
0.16
0.3
确定常数.
4. 设在时间t(min)内,通过某十字路口的汽车数服从参数与t成正比
的泊松分布.已知在1min内没有汽车通过的概率为0.2,求在2min内
有多于1辆汽车通过的概率.
5. 有一决策系统,其中每一成员作出决策互不影响,且每一成员作出
5、 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的Βιβλιοθήκη Baidu布 如果已知的分布律
则随机变量的分布律可以通过下表求得:
若的任意两个值都不相等,则上表即为的分布律;否则应把那些相同的分 别合并,同时把对应的概率相加,即可得到的分布律. 连续型随机变量函数的分布 如果已知的密度函数,则随机变量的密度函 数可以通过以下方法求得:
8. 设随机变量~,问当取何值时, 概率取到最大?
9. 设随机变量 的密度函数为
求: (1) 的分布函数; (2) ; (3) .
10. 设随机变量~,求的密度函数.
11. 设随机变量的密度函数为,求: (1) 确定常数; (2) ; (3) 的分布函数. 12. 设随机变量的密度函数为
且,求: (1) 常数A,B; (2) 的分布函数.
记~. 均匀分布的特点:在区间中长度相等的任意两个子区间上取值是等可能 的. 指数分布 如果随机变量具有密度函数
则称随机变量服从参数为的指数分布，其中为某一常数. 正态分布 如果随机变量的概率密度为
其中为常数,则称服从参数为的正态分布(或高斯分布),记为~. 一般正态分布与标准正态分布的关系 设~,则的分布函数可以表示为
和自然数集中的元素对应),则称为离散型随机变量. 离散型随机变量的分布律
分布律的性质 (1) ; (2) .
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
0-1分布、独立试验和二项分布 如果随机试验的结果只有两种可能:事件A发生或者不发生,则可以 用0-1分布随机变量来描述:
解 每台分机要外线的概率,台分机所需外线数服从二项分布所求概 率为 (1),计算较复杂,可以利用泊松分布逼近:,则 (2)泊松分布的分布律有一个从小到大,再从大到小的过程.设为泊松分 布的最可能台数,则它满足
即 解得 从而,即同时需要外线的分机数最有可能是2台或3台. 例7 设连续型随机变量的分布函数为
(1) 求常数； (2) 求的密度函数； (3) 用两种方法计算. 解 （1）由连续型随机变量分布函数的连续性知 ，从而.再由得 ,再由知 (2) (3) 方法一:
方法二: 例8 设随机变量~,求方程有实根的概率. 解 ,所求概率为 例9设某书店收银台顾客排队等待服务的时间(以分记)服从指数分布,密度 函数为 分别利用的密度函数和分布函数计算. 解法一 利用的密度函数求解： 解法二 先求出的分布函数
第一步,利用分布函数的定义求出的分布函数 , 再把用表示;
第二步,利用密度函数性质求出. 四、 解题方法与题例
例1 设随机变量具有分布律
求和. 解法一 解法二 先求出的分布函数,再利用分布函数求概率. 比较两种不同方法可知直接利用分布律计算概率要简单一些. 例2 设随机变量的分布函数为
求的分布律. 解 分布函数的间断点即为取值概率大于零的点,且取这些值的概率分
例12 设随机变量~,求随机变量的密度函数. 解 ,当时 从而密度函数
24. 设随机变量的密度函数为 求的密度函数. 解 五、练习
1. 从一个装有4个红球和2个白球的口袋中不放回地任取5个球,以表
示取出的红球个数.
(1) 求的分布律;(2) 求的分布函数; (3) 求.
2. 设随机变量的分布函数为
第2章 随机变量及其分布
一、 知识网络图 二、 内容与要求 1、内容 随机变量概念、分布函数概念与性质、分布律性质、密度函数性质、随 机变量函数的分布。 2、要求 （1）理解随机变量及其分布函数的概念和性质。 （2）理解离散型随机变量及其分布律的概念，掌握0-1分布、二项分 布、泊松分布及其应用。 （3）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态 分布、指数分布及其应用。 （4）会利用随机变量的分布律或概率密度函数求分布函数。 （5）会利用分布函数计算随机变量落在某一区间中的概率。 （6）会利用的分布求随机变量的分布。 【重点】 (1) 分布函数的概念 (2) 离散型随机变量分布律与分布函数 (3) 连续型随机变量密度函数与分布函数的关系 【难点】 (1) 二项分布的判断 (2) 随机变量函数的分布 三、 概念、定理的理解与典型错误分析 1、 随机变量
例10 某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数的正态分布,规定长度在 范围内为合格品.求该机器生产的螺栓的合格率.
解 设螺栓长度为,则～，所求概率为 例11 设离散型随机变量具有分布律
(1) 求的分布律. (2) 求的分布律. 解 (1) 时的取值范围为
, 的分布律为
(2) 时,的取值范围为
的分布律为
13. 设随机变量的绝对值不大于1, ,,在事件出现的条件下, 在内的任一子 区间上的取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求的分布函数. 14.设离散型随机变量具有分布律,求随机变量的分布律.
15. 设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故 障工作时间都服从参数为的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常 工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间的概率分布. 16. 设随机变量~,求: (1) 的密度函数; (2) 的密度函数.
(3) 3人共同管理90台.设为90台设备中同时出故障的设备台数,则~, 利用迫松逼近, ,设备不能及时维修的概率为
由于,知3人共同管理90台设备的方法较好. 例6 一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线假设每台分机需要
外线的概率都为0.01,求 (1) 每台分机需要外线时能及时得到满足的概率; (2) 同时需要外线的分机的最可能台数.
， 次伯努利试验中事件发生的次数
泊松分布
如果随机变量所有可能取值为,而取各个值的概率为
,
(2.6)
其中为常数,则称服从参数为的泊松分布,记~.
4、 连续型随机变量
如果随机变量的分布函数可以表示成为某一非负可积函数的积分
,
则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称密度函数或密度.
注意到连续型随机变量的分布函数在上连续.
设随机试验的样本空间,如果对任意的基本事件,有一个实数与之对应, 就称为随机变量. 2、 分布函数
分布函数的定义
分布函数性质 (1) 关于单调不减,即当时,; (2) . ; (3) ; (4) 关于右连续,即对任意,都有. 3、 离散型随机变量 如果随机变量所有可能取的值只有有限个或可列无限多个(即可以
次相互独立的重复试验称为伯努利试验, 重伯努利试验中事件A发生的 次数服从二项分布~,其中为每次试验中事件A发生的概率.二项分布的分 布律为
二项分布可以表示为个相互独立的0-1分布随机变量之和.由于伯 努利试验是次相互独立的重复试验,每次试验只有两个可能结果,即事件 发生或者不发生,如果令
, 则每一个都服从0-1分布,且有相同的分布律