高中数学优质课比赛课件：任意角
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《高一数学任意角》课件
周期性应用
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
周期性概念在解决三角函数问题中具有重要应用，例如通过周期性质 判断函数的奇偶性、单调性等。
象限角的性质
第一象限角
第二象限角
第一象限角是指终边落在第一象限的角， 这些角的范围是$0° < 角 < 90°$，其正弦 值、余弦值和正切值均为正。
第二象限角是指终边落在第二象限的角， 这些角的范围是$90° < 角 < 180°$，其正 弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
过的平面角。
角的度量单位是度（°），在国 际单位制中，角的度量单位是弧
度（rad）。
任意角的形成
任意角是由射线围绕其顶点旋转 形成的，旋转的角度可以是任意
的。
根据旋转的方向，角可以分为正 角和负角，正角是指逆时针旋转 形成的角，负角是指顺时针旋转
形成的角。
当射线绕顶点旋转一周后，与原 来的位置重合，此时形成的角称 为周角，周角的度数是360°或2π
正切函数的图像
正切函数的图像也是一个周期函 数，其图像在直角坐标系中呈现
直线形状。
三角函数值表的使用
01
三角函数值表的查询
三角函数值表是一种常用的工具，用于查询三角函数在不同角度下的值
。通过查询三角函数值表，可以方便地得到所需的角度和对应的三角函
数值。
02
三角函数值表的使用方法
在使用三角函数值表时，需要先确定所需查询的角度范围，然后查找相
正弦函数具有周期性、对 称性、单调性等性质，这 些性质在解决三角函数问 题中具有重要作用。
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周 期函数，其图像在直角坐 标系中呈现波浪形状。
余弦函数
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形 式，定义为直角三角形中锐角的
《任意角》公开课教学PPT课件高中数学件
教学方法是否得当，是否能够有效地传递知识给学生。
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
添加标题
添加标题
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知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
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知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
任意角优秀课件PPT
课程目标
掌握任意角的基本概 念和性质。
能够运用任意角解决 实际问题。
理解任意角在各个领 域的应用。
02
任意角的基本概念
角度的定义
角度是描述两条射线、线段或平面之间的夹角量度，通常用度（°）或弧度（rad） 来表示。
在几何学中，角度是两条射线、线段或平面在同一直线上相交时所形成的空间。
角度的大小反映了射线、线段或平面之间的相对位置关系。
学习解三角形
介绍解三角形的基本概念和方法，包括正弦定理、余弦定理等， 并探讨其在几何、物理等领域的应用。
THANKS
感谢观看
角度在工程中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
工程中的角度是描述结构和 设备运行的关键参数。
在工程中，角度是描述结构 和设备运行的关键参数。例 如，在桥梁和建筑设计中， 角度可以用来确定结构的稳 定性和安全性。在机械设计 中，角度可以用来确定设备 的运行状态和工作效率。
工程中的角度可以用于解决 实际问题。
角度的测量
01
角度的测量可以采用度 量法、几何法和三角法 等方法。
02
度量法是通过使用量角 器来直接测量角度的大 小。
03
几何法是通过利用三角 形、平行四边形等几何 图形的性质来计算角度 的大小。
04
三角法是通过三角函数 的性质来计算角度的大 小。
角度的表示方法
角度可以用度数和弧度数来表 示，其中度数范围是0°~360°， 弧度数范围是$-infty$到 $+infty$。
任意角优秀课件
• 引言 • 任意角的基本概念 • 任意角的三角函数 • 任意角的性质和定理 • 任意角的计算方法 • 任意角在生活中的应用 • 总结与展望
高中数学1.1.1任意角优秀课件
200°,－450°分别是第几象限的角？
2、以下命题正确的选项是
〔C
〕
A、终边相同的角一定相等
B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角
D、小于90°的角都是锐角
E、第一象限角一定小于90度
课堂练习
练习3：〔快速作答〕
〔1〕锐角是第几象限的角？ 〔2〕第一象限的角是否都是锐角？举例说明
〔3〕第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
1.我们是如何定义角这个平面图形的？
具有公共端点的两条射线所组成的图形----角的静态定义
2.学习过哪些不同范围的角？
锐角
直角
钝角
平角
周角
3.学习的角的范围？
0º<α≤360º 生活中很多实例会不在该范围。
看一看
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地 转动 一根辐条
3.在跳水运动中，
注意：
〔1〕K ∈ Z； 〔2〕α是一个具体的角； 〔3〕终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同.终边相同的角有无数多个， 它们相差360º的整数倍.
四.典型例题
例1：在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
-950012’+3600 +3600 +3600 -590012’ -230012’ 129048’
而角的终边是一条射线，故应分别求出终边在一、三象限的角，再
求其并集.
【解析】在0°到360°的范围内， 终边在函数y=x的图象上的角有 两个，即45°和225°.
因此，所有与45°角终边相 同的角构成集合:
y y=x
0x
S1={β|β=45°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·180°,k∈Z},
高中数学精品课件：任意角三角函数
段 AT 为正切线
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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练出高分
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答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
任意角完整公开课PPT课件
表示为arctan(x)，其定义域为 全体实数，值域为全体实数。
反三角函数的性质
反三角函数的性质
反三角函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性、周 期性等。这些性质对于理解和应用反三角函数非常重要。
奇偶性
反三角函数具有奇偶性，即对于任意x，有arcsin(-x)=arcsin(x)（对于arcsin(x)）或arccos(-x)=π-arccos(x)（ 对于arccos(x)）。
反三角函数的应用
• 反三角函数的应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有 广泛的应用。例如，在解决几何问题时，可以使用反三角函数 来找到角度；在信号处理中，可以使用反三角函数来处理周期 信号；在物理学中，可以使用反三角函数来描述振动和波动等 现象。
THANKS
感谢观看
解决三角形问题
通过三角恒等式可以求出三角 形各边的长度、各角的大小等
。
求三角函数值
利用三角恒等式可以求出任意 角的正弦、余弦、正切值。
证明恒等式
通过三角恒等式可以证明一些 重要的恒等式，如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1等。
解决实际问题
在物理、工程等领域中，可以 利用三角恒等式解决一些实际 问题，如：测量、振动分析等
积化和差与和差化积公式的扩展
推广到多角公式
将积化和差与和差化积公式推广到多 角公式，可以进一步研究多角之间的 三角函数关系。
与其他公式结合应用
结合其他三角函数公式，如倍角公式 、半角公式等，可以更深入地研究三 角函数的性质和变换。
06
任意角的反三角函数
反三角函数的定义
反三角函数的定义
反正弦函数
和差化积公式的推导
利用三角函数的差角公式，通过代数 运算推导出和差化积公式。
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2. 象限角的概念 定义：若将角顶点与原点重合，角的 始边与x轴的非负半轴重合，那么角 的终边(端点除外)在第几象限，我们 就说这个角是第几象限角．
例题讲解
例1．图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
y
y
45°
x
o
x
o 60°
30°
⑴
⑵
例题讲解
例2．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
⑴30°； ⑵150°；⑶210°；
⑷330°；⑸405°；⑹510°.
探究: 教材P.4
终边相同的角的表示
所有与角终边相同的角，连同 在内，可构成一个集合S＝{| =+k·360 °, k∈Z }，即任一与角终 边相同的角，都可以表示成角与整数
个周角的和．
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任意角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
③ 角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角. 正、负角动画演示
零角：射线没有任何旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角.
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简写成“ ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果 是零角，则 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角．
把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元
素β写出来:
(1)45°；
(2)-30°；
(3)1303°18′； (4)-225°.
课堂小结
1. 角的定义； 2. 角的分类：正角、零角、负角． 3. 象限角； 4. 终边相同的角的表示法．
课后作业
1. 教材P.6练习第1-5题； 2. 教材P.10习题1.1第1、2、3题.
任意角
问题引入
想一想
假如你的手表慢了5分钟，你是如何将它校准的？ 假如你的手表快了1.25小时,你如何将它校准呢? 当时间校准后,分针旋转了多少度?
讲授新课
1.角的有关概念 ① 角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形.
②角的名称：
B 终边
O 顶点
始边 A
例5．写出终边在直线y=x上的角 的集合S，并把S中适合不等式
－360°≤ ＜720°的元素写出
来．
小试牛刀
1.在0°到360°的范围内，找出与下列各角 终边相同的角. （1）54°18′； （2）395°8′； （3）-1190°30′；（4）1563°.
2.写出与下列各角终边相同的角的集合,并
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑷ 角＋k·720 °与角终边相同，但 不能表示与角终边相同的所有角．
例题讲解
例3．在0°到360°范围内，找出与 下列各角终边相等的角，并判断它 们是第几象限角．
⑴ －80°；
⑵ 580 °；
⑶ －950°12'．
例题讲解
例4．写出终边在y轴上的角的集合 (用0°到360°的角表示).
例题讲解