三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练
解答数列求和问题的三个途径
知识导航数列求和问题侧重于考查同学们的观察能力和运算能力.数列求和问题主要包括等比数列求和问题、等差数列求和问题以及非等差、等比数列求和问题.对于常规数列和非常规数列问题，我们需要分情况来对待，结合解题的需求选择与之相应的方法进行求解.笔者总结了三种常见的求数列和方法，以供大家参考.一、采用公式法公式法主要用于求常规的等差、等比数列的和.当遇到等差数列时，我们可以直接利用等差数列的前n项和公式S n =na 1+n ()n -1d2或者S n =n ()a 1+a n 2进行求解.对于等比数列，一般用等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïa 1()1-q n 1-q ()q ≠1,na 1()q =1,来求和.只要根据题意求得数列的首项、公差、公比或第n 项，便可以利用等差、等比数列的通项公式进行求解.例1.已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为-3，前3项的积为8.求数列{a n }的前n 项和S n .解：设等差数列{}a n 的公差为d ,d >0，∵等差数列{}a n 的前3项的和为-3，前3项的积为8，∴ìíî3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴ìíîa 1=2,d =-3,或a 1=-4,d =3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7，∴S n ＝n (-4+3n -7)2＝n (3n -11)2.解答本题，需先根据题意和等差数列的通项公式建立方程组，求得首项a 1和公差d ，然后根据等差数列的前n 项和公式求得结果.二、裂项相消裂项相消法是指将一个数列的各个项拆分成为两项的差，通过前后项相互抵消，求得数列的和的方法.对于形如()-1n 4n()2n -1()2n +1或1()n +1n +n n +1的前n 项和问题，我们一般采用裂项相消法来求解.例2.求数列221×3，423×5，625×7，⋯，()2n 2()2n -1×()2n +1的前n 项和.解：S n =221×3+423×5+625×7+⋯+()2n 2()2n -1×()2n +1=1+12æèöø1-13+1+12æèöø13-15+⋯+1+12(12n -1-)12n +1=n +12éëêùûúæèöø1-13+æèöø13-15+⋯+æèöø12n -1-12n +1=n +12æèöø1-12n +1=2n ()n +12n +1.观察这个数列可以发现，这个数列的分子是偶数的平方，而分母是两个相邻奇数的乘积，可将数列中的每一项裂为两项之差的形式，在求和时前后项相互抵消，便可快速得到结果.三、并项求和当遇到形如a n =()-1n∙f ()n 类型的数列求和问题时，可使用并项求和法来求解.并项求和法是将一个数列中具有相同特征的项组合在一起进行求和的方法.在运用并项求和法求和时，需先观察数列中各项的特征，将其合理分为几个常规的数列，然后运用等差、等比数列的前n 项求和公式进行求解.例3.求数列-1,4,-7,10,⋯，()-1n()3n -2的前n 项和.解：设数列的前n 项和为S n ，那么S n =-1+4-7+⋯+()-1n()3n -2.当n =2k ，k ∈Z 时，S n =()-1+4+()-7+10+⋯+{}-[]3()n -1-2+3n -2=3+3+⋯+3=32n .当n =2k +1，k ∈Z 时，S n =-1+()4-7+()10-13+⋯+()-1n()3n -2=-1-3-3-⋯-3=-1-32n .因此数列的前n 项和为S n =ìíîïï32n ，n 为偶数，-32n -1，n 为奇数.通过观察可发现数列的相邻两项之和是一个定值，于是运用并项求和法来解题.采用并项求和法解题的本质是将数列中某些有共同特征的项合在一起，从而使运算更加简便.解答数列求和问题的方法还有很多，如错位相减法、倒序求和法、分段求和法等.在解题时，我们需要根据数列的特点合理选择求和方法，尤其在遇到非等差、等比数列的求和问题时，要将数列的通项、各项进行合理转化，如通过裂项、合并等方式，来简化运算，以顺利求得数列的和.赵秀华36。
数列求和常用方法
数列求和常用方法数列求和是数学中的一个重要内容，它涉及到数学中的序列和级数的概念。
数列求和常用的方法有多种，包括公式求和法、递推公式法、夹逼定理法等，下面将为大家详细介绍这些方法。
一、公式求和法公式求和法是一种常用的数列求和方法，它适用于一些特殊的数列。
在应用这种方法求和时，首先需要找到数列的通项公式，然后利用该公式，通过变量的代入与简化运算，得到数列的和。
以等差数列为例，假设等差数列的首项为a1，公差为d，它的通项公式为an=a1+(n-1)d。
此时，可以根据等差数列和的公式Sn=n(a1+an)/2来求得等差数列的和。
例如，求等差数列1，4，7，10，13，16，……的前n项和。
根据等差数列的通项公式an=1+(n-1)3，可得：Sn=n(1+1+(n-1)3)/2=n(2+3n)/2=(3n²+2n)/2通过利用公式Sn=n(2+3n)/2，可以求得等差数列的和。
同样的方法，可以利用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)和等比数列和的公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，来求解等比数列的和。
二、递推公式法递推公式法是利用数列的递推关系求解数列的和，它适用于那些不能通过通项公式求和的数列。
递推公式法通常需要利用数列的递归关系和已知的初始项来定义一个逐项相加的函数，从而得到数列的和。
例如，求斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……的前n项和。
首先可以得到斐波那契数列的递归关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1然后可以利用这个递归关系，定义一个逐项相加的函数S(n)，表示斐波那契数列的前n项和。
初始条件为S(1)=1，S(2)=2那么根据递推公式可以得到S(n)=S(n-1)+f(n)，其中f(n)表示斐波那契数列的第n项。
通过递推公式法，可以求解斐波那契数列的和。
三、夹逼定理法夹逼定理法适用于求解一些无限项和的问题，它是通过将无限项和的部分项与一个已知的无限项和进行夹逼，从而求出无限项和的方法。
数列求和的几种常见方法
数列求和的几种常见方法数列求和是数学中一种常见的问题，主要目的是计算给定数列的所有项的和。
在数学中，有许多不同的方法可以解决这个问题。
下面将介绍几种常见的数列求和方法。
1.数学归纳法：数学归纳法是一种常见的求和方法。
它基于数学归纳法的思想，即从其中一条件的正确性推出下一个条件的正确性。
当我们想计算一个数列的和时，可以尝试使用归纳法进行推导。
首先，我们假设数列的和为S(n)，即前n个项的和。
然后，我们找到S(n+1)与S(n)的关系，例如通过观察求和式的规律。
最后，我们使用归纳法证明S(n+1)与S(n)的关系成立，并找到S(n)的表达式。
2.公式求和法：一些数列具有明确的求和公式，通过使用这些公式，可以直接计算数列的和。
例如，等差数列的求和公式为S(n) = n(a1 + an) / 2，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
类似地，等比数列的求和公式为S(n) = a1(1 - r^n) / (1-r)，其中a1为首项，r为公比。
利用这些公式，我们可以快速计算出数列的和。
3.差分法：差分法是另一种常见的数列求和方法。
它通过求取数列的差分数列来简化求和问题。
差分数列是指将数列中每个相邻的项相减得到的新数列。
通过计算差分数列的和，我们可以得到原始数列的和。
差分法的思路是将原本的复杂数列转化为更加简单的等差或等比数列。
4.数列分解法：数列分解法是一种将复杂的数列拆分为更简单的数列的方法。
通过拆分数列，我们能够找到更简单的求和规律，从而快速计算出数列的和。
数列分解法常用于特殊数列的求和，例如和差数列、间隔数列等。
5.递推法：递推法是通过逐步迭代计算数列的每一项来求和的方法。
我们首先计算出数列的前几个项，然后利用递推关系计算出下一个项，并将其加入到已有的和中。
通过不断迭代，我们可以逐步计算出所有项的和。
递推法常用于递推数列或递归数列的求和。
除了以上提到的求和方法，还有一些其他的方法，如等差数列的部分和、等比数列的部分和、级数求和、积分求和等。
高中数学 考前归纳总结 数列求和的常用方法
一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和 公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数 列1{}na 的前n 项和n S 。
解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。
练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。
二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅） 三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公 式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-． 即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72） 四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。
高考数列求和解题方法大全
高考数列求和解题方法大全Final revision by standardization team on December 10, 2020.高考数列求和解题方法大全数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n例1． 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32=x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例2． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积当时1=x ，()()[]22121127531n n n n S n =-+=-+++++=当时1≠x设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法数列是数学中的重要概念，求和是数列中常见的问题之一、在数学中，求和通常用符号Σ来表示，它的形式为Σan，表示从n=1到n=N的所有项an的和。
下面将介绍数列求和的几种方法。
一、等差数列求和等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项的差值都是固定的。
等差数列的求和可以通过以下几种方法进行计算：1. 直接求和法：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
可以直接将等差数列的每一项相加即可求得总和Sn。
例如，等差数列1, 3, 5, 7, 9的和可以直接计算为S5 = 1 + 3 + 5 +7 + 9 = 252. 利用等差数列的性质：等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn= n/2 * (a1 + an)来计算，其中a1为首项，an为前n项的最后一项。
例如，等差数列1, 3, 5, 7, 9的和可以计算为S5 = 5/2 * (1 + 9) = 25、这种方法适用于已知首项和公差的等差数列。
3.利用公式：等差数列的和也可以通过公式Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)来计算，其中a1为首项，d为公差。
这个公式可以通过展开Sn的表达式得到。
同样以等差数列1,3,5,7,9为例，可以计算为S5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=25、这种方法适用于已知首项和项数的等差数列。
二、等比数列求和等比数列是一种每一项与前一项的比值都是固定的数列形式。
等比数列的求和可以通过以下几种方法进行计算：1. 直接求和法：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以直接将等比数列的每一项相加即可求得总和Sn。
例如，等比数列2, 4, 8, 16的和可以直接计算为S4 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30。
2.利用等比数列的性质：等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中a1为首项，r为公比。
数列求和常用方法(含答案)
数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
高中数列求和
一般数列求和应从通项入手，然后通过对其变形转换，形成遇特殊数列(等比或等差)或具有某种方法使用特点的形式，在选择适合的求和方法。
下面给大家带来了高中数学数列求和方法，希望对您们有帮助。
1.公式法(适用于等比和等差数列)这是非常常规的方法，只要先判断出数列是否为等比和等差数列就可以套公式进行计算了。
一般来说这也不算难题2.裂项相消(适用于分时形式的通项公式)我们可以把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后进行累加，之后我们就可以消除中间的许多项。
3.错位相减法(适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比和等差等比相乘的数列)这个方法不推荐大家死背公式，建议大家可以做几道运用此方法的题去熟悉它，这个公式原理是将公式乘以一个数之后将它与原式(求和式子)相减，形成一个用规律可循的式子，从而求和。
4.分组求和(适用于将一个式子拆开后有等差或等比产生的数列)遇到这种式子时，我们将他拆开，然后分别求和即可。
数列求和1. 公式法：等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式：Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2n+n-13.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如：an=a1+(n-1)d bn=a1•q(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn qTn=a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an•b1•qn+d•b2[1-q(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)求和方法一、裂项相消Sn=A1+A2+···+AnAn=f(n+1)-f(n)f(x)为任意函数Sn=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+···+f(n+1)-f(n) #注意到中间的全部抵消了!=f(n+1)-f(1)二、分组求和概括：若Cn=An+Bn，且An，Bn是可求和数列，则Cn可以用分组求和通常情况下，An，Bn为等差或等比或其它可求和数列2、公式：∑Cn=∑Bn+∑An例题：求在闭区间[4,8]上分母为3的所有最简分数的和分析：题中符合条件的所有分数为13/3 14/3 16/3 17/3 ······22/3 23/3 #求这些数的和注意观察这其实是两个等差数列1)13/3 16/3 19/3 22/32)14/3 17/3 20/3 23/3把这两个数列分别求和，就是本题答案∑=(13/3+22/3)*4/2+(14/3+23/3)*4/2=48三、倍差法1、概括Cn=An*Bn其中An为等差数列 Bn为等比数列可以应用倍差法2、例题求数列An=(2n-1)*2^(n-1)的和解：Sn=1*2^0+3*2^1+5*2^2+······+(2n-3)*2^(n-2)+(2n-1)*2^(n-1)2Sn= +1*2^1+3*2^2+······+(2n-5)*2^(n-2)+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n 注意这里，错开一位，剩下的2次数相同将下面的式子和上面的式子作差，得Sn=(2n-1)*2^n-2*(2+4+8+······+2^(n-1))-1中间的可以用等比数列求和，就可以解决四、常见裂项公式(1) n(n+1)=[(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(2) 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)(3) 1/(根号下n+根号下n+1)=根号n+1 - 根号n(4) n/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!常用的方法1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法一、数列的求和问题在数学中非常常见，可以通过各种方法进行求解。
下面将介绍一些数列求和的常用方法。
1.直接求和法直接求和法是最基础的求和方法，即将数列中的所有项相加得到数列的总和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以直接将数列中的所有项相加来求和。
2.差分法差分法是一种将数列转化为差分序列进行求和的方法。
对于数列an，可以构造差分序列∆an = an+1 - an，然后将差分序列的所有项相加，得到数列的和。
差分法在数列中的应用较为广泛，尤其对于一些递推关系式的求和问题具有很好的效果。
3.转化法转化法是将数列进行变换，使其转化为容易求解的形式进行求和的方法。
例如，对于等差数列an，可以将其转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行求解。
转化法需要根据具体数列的性质进行变换，通常需要一定的技巧和经验。
4.等差数列求和公式对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，有等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2、该公式是数列求和中最常用的公式之一，可以快速计算得到等差数列的和。
此外，还可以利用等差数列的对称性求和，即Sn = na1 + n(n-1)d/25.等比数列求和公式对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，有等比数列求和公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)。
该公式是数列求和中另一个常用的公式，可以迅速计算得到等比数列的和。
6.综合求和法当数列无法通过上述方法直接求和时，可以尝试使用综合求和法。
综合求和法是利用数列中的递推关系式和数学归纳法进行求和的方法。
通过观察数列中的规律，可以得到数列中前n项的和与前n-1项的和之间的关系，从而得到数列的总和。
以上是数列求和的一些常用方法，不同的数列可以采用不同的方法求解。
高考数列求和的八种重要方法与例题
分裂通项法：
把数列旳通项拆成两项之差，即数 列旳每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时某些正负项相互抵消，于是前 n项旳和变成首尾若干少数项之和，这 一求和措施称为分裂通项法. （见到分式型旳要往这种措施联想）
拆项分组求和: 典例-1， 求该数列旳前n项和.
(nN)（2）求数列{an}旳通项公式an
1 2
an
(4
an ).
an1
1 2
an
(4
an )
1 2 [(an
2)2
4],
2(an1 2) (an 2)2
令bn an 2,
则bn
1 2
b2 n1
1 2
1 2
b2 n2
2
1 2
12
2n1
b2n 0
又b0=－1
bn
1 2
2n
1
,
总旳方向： 1.转化为等差或等比数列旳求和 2.转化为能消项旳 思索方式：求和看通项（怎样旳类型） 若无通项，则须先求出通项 措施及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}旳首项a1=a≠
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
数列专题：数列求和的6种常用方法(原卷版)
数列专题：数列求和的6种常用方法一、几种数列求和的常用方法1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．4、倒序相加法：如果一个数列{}n a 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．二、公式法求和常用公式公式法主要适用于等差数列与等比数列.1、等差数列{}n a 的前n 项和11()(1)22++==+n n n a a n n S na d 2、等比数列{}n a 的前n 项和111(1)11，，=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩n n na q S a q q q 3、一些常见的数列的前n 项和：①112123(1)==++++=+∑nk k n n n ；122462(1)==++++=+∑nk k n n n ②21(21)135(21)=-=++++-=∑n k k n n ；③22222116123(1)(21)==++++=++∑nk k n n n n ；④3333321(1)2123[]=+=++++=∑nk n n k n 三、裂项相消法中常见的裂项技巧1、等差型裂项（1）111(1)1=-++n n n n （2）1111()()=-++n n k k n n k（3）21111()4122121=---+n n n （4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦n n n n n n n （5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)==---+-+n n n n n n n n n（6）22111414(21)(21)⎡⎤=+⎢⎥-+-⎣⎦n n n n （7）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦n n n n n n n n n n （8）2222211111)(()+=-++n n n n n （9）222211112)42)((⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦n n n n n 2、根式型裂项=1=-k12=(1)1111(1)1++=+-++n n n n n n 3、指数型裂项（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++---==-------n n n n n n n n n （2）113111()(31)(31)23131++=-----n nn n n （3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2-++-⎛⎫==-⋅=- ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）1111(41)31911333(2)2(2)22-+--⎛⎫⎡⎤-⋅=-⋅=- ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭n n n n n n n n n n n （5）11(21)(1)(1)(1)(1)++⋅---=-++n n n n n n n n （6）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++-++++-++-++==⋅⋅+⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1111(1)1111(1)(1)(1))22(1)2222(1)2++++⎡⎤⎡⎤---=+-+=-+⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦n n n n n n n n nn n n n n 4、对数型裂项11log log log ++=-n a n aa a n na a a 四、错位相减法求和步骤形如n n n A B C =⋅，其中{}n B 为等差数列，首项为1b ，公差为d ；{}n C 为等比数列，首项为1c ，公比为q .对数列{}n A 进行求和，首先列出n S ，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{}n C 的公比q ，即得n q S ⋅，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{}n A 的前n 项和。
数列求和常见的7种方法
数列求和常见的7种方法数列求和是数学中比较常见的问题之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在数学中，我们常常使用不同的方法来求解数列求和问题，以下将介绍一些常见的数列求和方法。
一、公式法：公式法是求解数列求和中最常用的方法之一、对于一些特定的数列，我们可以通过找到它们的通项公式，从而直接计算出数列的和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其前n项和Sn =[n(a1+an)]/2，其中a1为首项，an为末项，d为公差。
同样地，对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其前n项和Sn = a1 *(1 - r^n)/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
二、递推法：递推法是另一种求解数列求和问题的常用方法。
通过推导出数列的递推关系式，我们可以通过逐项求和的方式来求解数列求和问题。
例如，对于斐波那契数列Fn=Fn-1+Fn-2（其中n>2），我们可以通过递推的方式来求得前n项和。
三、画图法：画图法是一种直观的方法，通过画图可以更清楚地理解数列求和问题，并帮助我们找到解题思路。
例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为一个由等差数列首项、末项组成的矩形，然后通过计算矩形的面积来求解数列的和。
四、换元法：换元法是将数列中的变量进行换元，从而将原始数列转化为另一种形式，从而更容易求出数列的和。
例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为Sn = (n+1)a1 + d(1+2+3+...+n)，然后再利用等差数列的求和公式来求解。
五、差分法：差分法是一种将数列进行相邻项之间的差分操作，从而得到一个新的数列，通过对新数列进行求和的方式来求解原始数列的和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以计算得到数列bn = a2 - a1，然后求出bn的和，再通过一些变换得到原始数列的和。
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归纳数列求和是数学中的重要问题，涉及到多个知识点和方法。
下面就几种常见数列求和方法进行归纳。
1.等差数列求和等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
求等差数列的前n项和，可以使用以下公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
2.等比数列求和等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
求等比数列的前n项和，可以使用以下公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
3.等差数列差分求和等差数列的差分数列也是等差数列。
如果等差数列的公差为d，那么它的差分数列的公差也为d，且差分数列的首项为0。
所以，等差数列的前n项和等于差分数列的前n项和加上a1*n，其中a1为等差数列的首项。
4.等比数列差分求和等比数列的差分数列也是等比数列。
如果等比数列的公比为r，那么它的差分数列的公比也为r，且差分数列的首项为0。
所以，等比数列的前n项和等于差分数列的前n项和加上a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为等比数列的首项，r为公比。
5.特殊数列求和除了常见的等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和方法。
例如：-平方数列求和：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6；-立方数列求和：1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n*(n+1)/2)^2；-斐波那契数列求和：1+1+2+3+5+...+Fn=F(n+2)-1，其中Fn表示斐波那契数列中第n项。
以上是几种常见数列求和方法的归纳，它们是数学中求解数列求和问题的基本方法。
在实际应用中，根据数列的性质和特点，我们可以选择合适的方法来进行求解。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法
数列求和是数学中常见的问题，学校里也会要求学生用不同的方法解决求和问题。
下面就介绍几种常见的数列求和的方法。
1、列表法。
可以将数列给出来，把每一项都累加起来。
这种方法不仅适合简单的数列，也适用于比较复杂的数列，但是当数列较长时，这种方法计算起来就比较复杂。
2、等差数列求和公式法。
对于一个等差数列，如果知道了首项和末项，可以通过求和公式法得出总和，从而不用一一相加，而是利用求和公式把总和表示出来，可以大大提高计算的效率。
3、分段法。
当数列和较大时，可以将数列分段，在每一段内，用列表法或公式法求出各部分和，最后将各段和相加即可求出整个数列的和。
这种方法也可以提高计算效率。
4、几何法。
如果数列有一定的规律，可以考虑用几何方法，即采取绘制图表进行求解。
也可以说，
绘制图形是一种加快数列求和的有效方法，但这种方法对于简单的数列来说效果并不明显。
5、矩形原理。
如果数列的项值符合矩形原理，也可以利用此原理进行求和，比如，一段数列的首项为a，末项为b，每一项相差为d，而数列的项数为n，那么，此段数列的和就是a + b + (n-1)×d。
6、累加表格。
如果不知道原数列，而只知道数列和，可以用累加表格来表达，从而把总的计算和作为平方和的参数，利用平方和求出原来的数列。
通过以上介绍，给大家总结几种数列求和的方法：列表法、等差数列求和公式法、分段法、几何法、矩形原理和累加表格法。
根据实际情况可以依据需要选择性地使用这几种方法，正确有效地求解求和问题。
数列求和的8种方法
数列求和的8种方法数列求和是数学中一个很重要的概念，常常在数学课上出现，也被广泛应用于其他学科中。
本文将为您介绍数列求和的8种常用方法。
一、公式法公式法是数列求和中最常用的一种方法。
当数列具有规律性时，可以通过观察数列的特点和规律，得出数列求和的公式。
例如，等差数列的求和公式为Sn = (a1 + an) × n / 2，其中a1为首项，an为尾项，n为项数。
二、差累加法差累加法是一种通过累加差值来求和的方法。
将一个数列中的每一项与其前一项的差相加，即可得到数列的和。
例如，斐波那契数列的差累加法求和公式为Sn=Fn+2-1三、奇偶分拆法奇偶分拆法是一种将数列分为奇数项和偶数项两个数列的方法。
通过将原数列中的项按照奇偶分类，并分别求和，然后将奇数部分和偶数部分的和相加，即可得到原数列的和。
这种方法特别适用于等差数列或等比数列求和。
四、数形结合法数形结合法是通过图形化数列来求和的方法。
将数列用图形的形式展现出来，然后通过计算图形的面积、周长或者中点之间的连线长度等等，来求得数列的和。
这种方法特别适用于几何数列或者满足其中一种几何规律的数列。
五、递推关系法递推关系法是通过递推关系来求和的方法。
数列中的每一项可以通过前面一项或者多项之间的关系得到，因此可以通过递推关系来直接求得数列的和。
例如，斐波那契数列的递推关系是Fn=Fn-1+Fn-2，可以利用这个关系式求得数列的和。
六、数列分解法数列分解法是通过将数列分解成其他数列的和来求和的方法。
通过将数列拆分成两个或多个数列，然后分别求得每个数列的和，并将它们相加，即可得到原数列的和。
这种方法适用于数列可以被分解成多个简单数列的情况。
七、夹逼定理法夹逼定理法是一种通过构造相等的两个或多个数列来求和的方法。
通过找到与原数列相等的其他数列，然后求得这些数列的和，并将它们相加，就可以求得原数列的和。
这种方法特别适用于数列无法通过常规的方法求和的情况。
八、换元法换元法是一种通过将数列中的索引进行变换，来求得数列的和的方法。
专题6.4 数列求和(重难点突破)(解析版)
专题6.4 数列求和一、考情分析1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
二、经验分享考点一 求数列的前n 项和的方法(1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式，S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 考点二 常见的裂项公式 (1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .三、题型分析重难点题型突破1 分组转化求和例1、(2020·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( ) A ．1121 B ．1122 C ．1123 D ．1124【答案】C【解析】由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1123.【变式训练1-1】、在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99【答案】A.【解析】：n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.【变式训练1-2】、已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且a 1＝5，则S 2020＝( ) A ．4740 B ．4737 C ．12095 D ．12002【答案】B【解析】依题意a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且a 1＝5，a 2＝3×5＋1＝16，a 3＝162＝8，a 4＝82＝4，a 5＝42＝2，a 6＝22＝1，a 7＝3×1＋1＝4，…所以数列{a n }从第四项起构成周期为3的周期数列．因为2020＝3＋3×672＋1，所以S 2020＝5＋16＋8＋(4＋2＋1)×672＋4＝4737.【变式训练1-3】、已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 【答案】见解析【解析】 (1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.解法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12.(2)由题意知，①当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.综上，S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.重难点题型突破2 错位相减法求和例2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －12.(1)求a n ；(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 【答案】见解析【解析】：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)， 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1. (2)b n ＝(n －1)3n －1，T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1，③ 则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n .④ ③－④得，－2T n＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)×3n ＝3－3n 1－3－(n －1)×3n＝（3－2n ）×3n －32.所以T n ＝（2n －3）×3n ＋34.【变式训练2-1】、(2020·石家庄模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】见解析【解析】：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1. (2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 重难点题型突破3裂项相消法求和例3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n (n ∈N *)，则T 2 018＝________． 【答案】：4 0362 019【解析】：由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （n ＋1）2，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019.【变式训练3-1】、(2020·枣庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前100项和为________． 【答案】100101【解析】等差数列{a n }中，∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋4×52d ＝15，解得a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前100项和S 100＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31-21＋⎪⎭⎫ ⎝⎛41-31＋…＋⎪⎭⎫ ⎝⎛1011-1001＝1－1101＝100101. 【变式训练3-2】、已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n 4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n a n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .【答案】见解析【解析】：(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n 4 ①，所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2，n ∈N *) ②， ①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2，n ∈N *)，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．由于a 1＝14，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4n a n 2n ＋1＝12n ＋1，所以b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12(12n ＋1－12n ＋3)，故T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12(13－12n ＋3)＝n6n ＋9.【变式训练3-3】、(2020·石家庄模拟)已知数列{a n }是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】【解析】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 2＋a 3＝12，a 1＝1，得q ＋q 2＝12， 解得q ＝3或q ＝－4.因为数列{a n }的各项都为正数，所以q >0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1＝1n (n ＋2)＝12()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21-1n n ， 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 重难点题型突破4 并项求和例4.(2020·湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1.当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 019＝________． 【答案】：1 010【解析】：由a n ＋2S n －1＝n (n ≥2)，得a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式作差可得a n ＋1－a n ＋2a n ＝1(n ≥2)，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2 019＝1＋2 0182×1＝1 010.【变式训练4-1】、(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n .【答案】见解析【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＋2，a 4，a 6－2成等比数列， 所以a 24＝(a 2＋2)(a 6－2)，所以(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)，又a 3＝3，所以(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d )，化简得d 2－2d ＋1＝0，解得d ＝1， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n .(2)由(1)得，b n ＝（－1）n a 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n 2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n (1n ＋1n ＋1)，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－(1＋12)＋(12＋13)－(13＋14)＋…＋(12n ＋12n ＋1)＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.【变式训练4-2】、在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82【答案】B.【解析】：由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得a n ＋2＋a n ＝(－1)n ·(2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.。
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考查角度2 三种常用的数列求和方法分组转化法求和已知等差数列{a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5. {a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b 1=3,b 2=6,{b n -a n }为等比数列,求数列{b n }的前n T n .利用已知条件求出等差数列{a n }的通项公式;(2)因为{b n n ,所以数列{b n }的前n 项和T n 可以看成数列{b n -a n }{a n }的前n 项和的总和.设等差数列{a n }的公差为d , {a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5,∴{2=a 1+d ,5=2a 1+3d ,解得a 1=d=1, ∴a n =1+(n-1)×1=n.(2)设等比数列{b n -a n }的公比为q ,∵b 1=3,b 2=6, ∴b 1-a 1=3-1=2,b 2-a 2=6-2=4, ∴q=2.∴b n -a n =2×2n-1=2n , ∴b n =n+2n ,∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+3+…+n )+(2+22+ (2))=n (n+1)2+2(1-2n )1-2=n (n+1)2+2n+1-2.从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.错位相减法求和已知{a n }的前n 项和S n =4n-n 2+4. {a n }的通项公式;(2)求数列{7-a n 2n}的前n 项和T n .由{a n }的前n 项和求出数列{a n }的通项公式;(2)利用错(当n=1时要单独考虑).当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-n 2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n ; 1时,a 1=S 1=7.∴a n ={7,n =1,5-2n ,n ≥2.(2)令b n =7-a n 2n,当n=1时,T 1=b 1=7-721=0;当n ≥2时,b n =7-a n 2n=n+12n -1,∴T n =0+32+422+523+…+n2n -2+n+12n -1,12T n =322+423+524+…+n2n -1+n+12n , 两式相减得12T n =1+12+122+…+12n -1-n+12n=1-(12)n1-12-n+12n =2-n+32n ,∴T n =4-n+32n -1(n ≥2).当n=1时,满足上式. 综上所述,T n =4-n+32n -1.用错位相减法求和时,应注意:,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.分类透析三 a n =1n (n+k )型的裂项相消法求和已知数列{a n }为单调递增数列,S n 为其前n 项和,2S n =a n 2+n.(1)求{a n }的通项公式. (2)若b n =a n+22n+1·a n ·a n+1,T n 为数列{b n }的前n 项和,证明:T n <12.由递推公式2S n =a n 2+n 求出{a n }的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明.当n=1时,2S 1=2a 1=a 12+1,即(a 1-1)2=0,解得a 1=1.又{a n }为单调递增数列,所以a n ≥1.由2S n =a n 2+n 得2S n+1=a n+12+n+1, 所以2S n+1-2S n =a n+12-a n 2+1,整理得2a n+1=a n+12-a n 2+1,所以a n 2=(a n+1-1)2.所以a n =a n+1-1,即a n+1-a n =1,所以{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n.(2)b n =a n+22n+1·a n ·a n+1=n+22n+1·n ·(n+1)=12n ·n -12n+1·(n+1),所以T n =(11-12)+(122×2-123×3)+…+[12n ×n -12n+1×(n+1)]=12-12n+1×(n+1)<12.用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{a n }是等差数列,则1a n a n+1=1d (1a n-1an+1),1an a n+2=12d (1a n-1an+2).分类透析四 a n =√n+√n+k型的裂项相消法求和已知数列{a n }的首项为a 1=1,且(a n +1)a n+1=a n ,n ∈N *. (1)求证:数列{1an}是等差数列.(2)设b n =√a n a n+1√n+1+√n,求数列{b n }的前n 项和T n .通过递推公式(a n +1)a n+1=a n 证明数列{1a n}是等差数列;(2)将b n =√a n a n+1√n+1+√n裂项,再求和.由a n+1=a n a n +1,得1a n+1=a n +1a n=1a n+1,则1an+1-1a n=1,又a 1=1,所以1a 1=1.所以数列{1an}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1a n=n ,故a n =1n.又b n =√a n a n+1√n+1+√n=√1n (n+1)√n+1+√n=√n+1-√n√n (n+1)=√n -√n+1,所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(1-1√2)+(1√2-1√3)+(1√3-1√4)+…+1√n -1√n+1=1-1√n+1.方法技巧 本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项,属于中档难度题.常见的裂项技巧:(1)1n (n+k )=1k (1n -1n+k);(2)√n+k+√n =1k(√n +k -√n ); (3)1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1); (4)1n (n+1)(n+2)=12[1n (n+1)-1(n+1)(n+2)].此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.1.(2017年天津卷,理18改编)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q=d=2. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =an b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意知a 1=b 1=1, a n =2n-1,b n =2n-1. (2)由(1)得c n =2n -12n -1,则T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1, ①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n. ②由①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n=3-2n+32n,故T n =6-2n+32n -1.2.(2015年全国Ⅰ卷,理17改编)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =(n3+r)a n ,且a 1=2.(1)求数列{a n }的通项公式. (2)设b n =1a 2n -1(n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为T n .求证:T n ≥n 2n+1.∵Sn a n =13n+r ,a 1=2,∴a 1a 1=13+r=1,解得r=23.∴S n =n+23a n ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1,化为a n a n -1=n+1n -1,∴a n =an a n -1·an -1a n -2·an -2a n -3·…·a3a 2·a2a 1·a 1=n+1n -1·n n -2·n -1n -3·…·42·31·2=n (n+1),当n=1时也成立,∴a n =n (n+1). (2)b n =1a 2n -1=1(2n -1)(2n -1+1)≥1(2n -1)(2n+1)=1212n -1-12n+1,∴数列{b n }的前n 项和为 T n ≥12(1-13)+(13-15)+…+12n -1-12n+1=12(1-12n+1)=n2n+1.∴T n ≥n 2n+1.3.(2014年全国Ⅰ卷,文17改编)已知等差数列{b n },正项等比数列{a n },a 1=b 1=1,a 2+b 2=7,且a 22=b 1(b 3+2).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)-1)n b n +a n b 2n ,求数列{c n }的前n 项和T n .设等比数列{a n }的公比为q ,等差数列{b n }的公差为d ,由{a 22=b 1(b 3+2),a 2+b 2=7,得{q 2=3+2d ,q +1+d =7,解得{q =3,d =3或{q =-5,d =11.因为{a n }中各项均为正数,所以q=3,即d=3, 故a n =3n-1,b n =3n-2.(2)由(1)得c n =(-1)n (3n-2)+(6n-2)·3n-1,设数列{(-1)n (3n-2)}的前n 项和为A n ,数列{(6n-2)·3n-1}的前n 项和为B n .当n 为偶数时,A n =-1+4-7+10+…+[-(3n-5)]+(3n-2)=3n2;当n 为奇数时,A n =A n-1-(3n-2)=3n -32-3n+2=1-3n 2.又B n =4×30+10×31+16×32+…+(6n-2)×3n-1, ① 则3B n =4×31+10×32+16×33+…+(6n-2)×3n , ② 由①-②得-2B n =4+6(31+32+…+3n-1)-(6n-2)×3n=4+6×3-3n1-3-(6n-2)×3n =-5-(6n-5)×3n ,因此,B n =52+6n -52×3n .综上,T n ={3n+52+6n -52×3n ,n 为偶数,6-3n 2+6n -52×3n,n 为奇数.1.(2018新疆二模)在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3+a 8=9,a 2+a 5+a 11=21.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若c n =2a n +3,求数列{a n ·c n }的前n 项和S n .设等差数列{a n }的公差为d , ∵{a 1+a 3+a 8=9,a 2+a 5+a 11=21,∴{3a 1+9d =9,3a 1+15d =21,解得{a 1=-3,d =2,∴a n =2n-5.(2)由(1)得c n =2a n +3=22(n-1)=4n-1,∴a n ·c n =(2n-5)·4n-1,∴S n =a 1·c 1+a 2·c 2+…+a n ·c n =-3×40+(-1)×41+1×42+…+(2n-5)×4n-1,4S n =-3×41+(-1)×42+1×43+…+(2n-5)×4n .两式相减得-3S n =-3×40+2×41+2×42+…+2×4n-1-(2n-5)×4n=-3+2×4(1-4n -1)1-4-(2n-5)×4n ,∴S n =179+6n -179×4n .2.(2018常德一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,(n+1)a n =2S n .(1)求数列{a n }的通项公式a n . (2)令b n =2(n+2)a n,设数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:T n <34.由(n+1)a n =2S n ,得当n ≥2时,na n-1=2S n-1. (n-1)a n =na n-1, 即a n a n -1=n n -1,a n -1a n -2=n -1n -2,…,a 2a 1=21,利用累乘法,得a n a 1=n1,则a n =2n.当n=1时,a 1=2符合上式,故a n =2n. (2)由于a n =2n , 则b n =2(n+2)a n=1n (n+2)=12(1n -1n+2),T n =12(1-13+12-14+…+1n -1-1n+1+1n -1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34-12(n+1)-12(n+2)<34.3.(2018海淀区二模)已知等差数列{a n }满足2a n+1-a n =2n+3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{b n }的前n设等差数列{a n }的公差为d , 2a n+1-a n =2n+3,所以{2a 2-a 1=5,2a 3-a 2=7,所以{a 1+2d =5,a 1+3d =7,所以{a 1=1,d =2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1.(2)因为数列{a n +b n }是首项为1,公比为2的等比数列, 所以a n +b n =2n-1. 因为a n =2n-1,所以b n =2n-1-(2n-1).设数列{b n }的前n 项和为S n , 则S n =(1+2+4+…+2n-1)-[1+3+5+…+(2n-1)]=1-2n 1-2-n (1+2n -1)2=2n -1-n 2.所以数列{b n }的前n 项和为2n-1-n 2.4.(厦门第一中学2017届高三上学期期中考试)设递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2(a n +a n+2)=5a n+1,且a 52=a 10.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2)设b n =S n ·log 2a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .设等比数列{a n}的公比为q,a n+a n+2)=5a n+1,得2q2-5q+2=0,或q=2.解得q=12因为{a n}为递增数列,所以q=2.又由a52=a10知,(a1q4)2=a1q9,所以a1=q,所以a1=q=2,a n=2n,S n=2n+1-2.(2)b n=S n·log2a n+1=(2n+1-2)(n+1)=(n+1)·2n+1-2(n+1),记数列{(n+1)·2n+1}的前n项和为P n,则P n=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,2P n=2×23+3×24+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2,两式相减得-(n+1)·2n+2=-n -P n=23+(23+24+…+2n+1)-(n+1)·2n+2=23+23(2n-1-1)2-1·2n+2,即P n=n·2n+2.又数列{2(n+1)}的前n项和为2[2+3+4+…+(n+1)]=n(n+3), 所以T n=n·2n+2-n(n+3).。