三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度2 三种常用的数列求和方法

分组转化法求和

已知等差数列{a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5. {a n }的通项公式;

(2)若数列{b n }满足b 1=3,b 2=6,{b n -a n }为等比数列,求数列{b n }的前n T n .

利用已知条件求出等差数列{a n }的通项公式;(2)因为{b n n ,所以数列{b n }的前n 项和T n 可以看成数列{b n -a n }{a n }的前n 项和的总和.

设等差数列{a n }的公差为d , {a n }满足a 2=2,a 1+a 4=5,

∴{2=a 1+d ,5=2a 1+3d ,

解得a 1=d=1, ∴a n =1+(n-1)×1=n.

(2)设等比数列{b n -a n }的公比为q ,∵b 1=3,b 2=6, ∴b 1-a 1=3-1=2,b 2-a 2=6-2=4, ∴q=2.

∴b n -a n =2×2n-1=2n , ∴b n =n+2n ,

∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+3+…+n )+(2+22

+ (2)

)=

n (n+1)2

+

2(1-2n )1-2

=

n (n+1)

2

+2n+1-2.

从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.

错位相减法求和

已知{a n }的前n 项和S n =4n-n 2+4. {a n }的通项公式;

(2)求数列{

7-a n 2n

}的前n 项和T n .

由{a n }的前n 项和求出数列{a n }的通项公式;(2)利用错(当n=1时要单独考虑).

当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-n 2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n ; 1时,a 1=S 1=7.

∴a n ={7,n =1,5-2n ,n ≥2.

(2)令b n =

7-a n 2n

,

当n=1时,T 1=b 1=7-721

=0;

当n ≥2时,b n =

7-a n 2n

=n+12n -1,

∴T n =0+32+4

22+5

23+…+n

2n -2+n+12n -1,

1

2

T n =322+423+524+…+n

2n -1+n+1

2n , 两式相减得1

2

T n =1+12+1

2

2+…+

1

2n -1-n+12n

=1-(12)

n

1-1

2

-n+12n =2-n+3

2n ,

∴T n =4-n+3

2n -1(n ≥2).

当n=1时,满足上式. 综上所述,T n =4-n+32n -1

.

用错位相减法求和时,应注意:

,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式;

(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

分类透析三 a n =1

n (n+k )型的裂项相消法求和

已知数列{a n }为单调递增数列,S n 为其前n 项和,2S n =a n 2

+n.

(1)求{a n }的通项公式. (2)若b n =

a n+2

2n+1·a n ·a n+1

,T n 为数列{b n }的前n 项和,证明:T n <1

2

.

由递推公式2S n =a n 2+n 求出{a n }的通项公式;(2)先用裂

项相消法求和,再进行适当放缩证明.

当n=1时,2S 1=2a 1=a 12+1,即(a 1-1)2=0,解得a 1=1.

又{a n }为单调递增数列,所以a n ≥1.

由2S n =a n 2+n 得2S n+1=a n+12+n+1, 所以2S n+1-2S n =a n+12-a n 2+1,

整理得2a n+1=a n+12-a n 2+1,所以a n 2=(a n+1-1)2.

所以a n =a n+1-1,即a n+1-a n =1,

所以{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n.

(2)b n =a n+2

2n+1·a n ·a n+1

=n+22n+1·n ·(n+1)=12n ·n -1

2n+1·(n+1),

所以

T n =(11-12)+(1

22×2-1

23×3)+…+[1

2n ×n -1

2n+1×(n+1)]=1

2-1

2n+1×(n+1)<1

2.

用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.

(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{a n }是等差数列,则

1a n a n+1

=1d (1a n

-1

a

n+1

),1

a

n a n+2

=12d (1a n

-1

a

n+2

).

分类透析四 a n =

√n+√n+k

型的裂项相消法求和

已知数列{a n }的首项为a 1=1,且(a n +1)a n+1=a n ,n ∈N *. (1)求证:数列{1

a

n

}是等差数列.

(2)设b n =

√a n a n+1

√n+1+√n

,求数列{b n }的前n 项和T n .

通过递推公式(a n +1)a n+1=a n 证明数列{1

a n

}是等差数列;(2)

将b n =

√a n a n+1√n+1+√n

裂项,再求和.

由a n+1=a n a n +1

,得

1a n+1

=

a n +1a n

=1a n

+1,则1

a

n+1

-1

a n

=1,又a 1=1,所

以1

a 1=1.

所以数列{1

a

n

}是以1为首项,1为公差的等差数列.

(2)由(1)可知,1a n

=n ,故a n =1

n

.

又b n =

√a n a n+1

√n+1+√

n

=√1

n (n+1)

√n+1+√n

=√n+1-√n

√n (n+1)=√n -√n+1

,

所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n

=(1-1√

2)+(1

√

2-1

√

3)+(1

√

3-1

√

4)+…+

1

√n -1

√n+1

=1-

1

√n+1

.

方法技巧 本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项

,属于中档难度题.常见的裂项技巧:

(1)

1

n (n+k )=1

k (1

n -1

n+k

);