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平行线经典题型

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七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )

七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。

小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》

小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》

小学六年级数学题《平行线问题大全及答案》姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、下面语句中，正确的是①不相交的两条直线叫做平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③如果线段ab和线段cd不相交，那么直线ab和直线cd平行；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c．[ ]a．②和④b．①和②c．②和③d．①和④答案与解析：a2、我们知道生活中许多美丽的事物都是由许多的图形组成的，如我们可以用两条平行线，一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来表示一个可爱娃娃。

怎么样，开动你的脑筋，用你的灵巧小手，用两条平行线、一个等腰三角形，一个圆（或半圆）来描绘我们美好事物，并给它起一个好听的名字。

答案与解析：答案不唯一，只要美观即可。

3、三条平行线上分别有3个点，4个点和5个点，且不在同一条平行线上的三个点不共线，以这些点为顶点的三角形共有______个．答案与解析：根据题干分析可得：（1）在第一条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：3x6+3x10=48（个），（2）在第二条直线上取一点，另外两点分别在第一条直线上，或在第三条直线上，可以得到的三角形的个数为：4x3+4x10=52（个），（3）在第三条直线上取一点，另外两点分别在第二条直线上，或在第一条直线上，可以得到的三角形的个数为：5x3+5x6=45（个），（4）每条直线上各取一点有，可得三角形的个数为：3x4x5=60（个），所以48+52+45+60=205（个）．答：以这些点为顶点的三角形共有205个．故答案为：205．4、在图中，过a作已知直线的垂线，再过b作已知直线的平行线，量出a、b间的距离，并与ab为直径画一个圆．答案与解析：答案如图，5、下面平行线中的三个图形，它们的面积从大到小排列是[ ]a.②③①b.②①③c.③②①答案与解析：c6、比较平行线间的两个阴影部分面积，如下图[ ]a．甲乙b．甲乙c．甲=乙答案与解析：c7、在两条平行线间，分别画出面积相等的长方形、平行四边形、三角形和梯形。

初中数学 平行线-练习题

初中数学 平行线-练习题

初中数学平行线-练习题1. 已知折线ABCD中，AB与CD是平行线，∠ABC = 70°，∠BDA = 110°，求∠BCD的度数。

解析：根据题意，AB与CD是平行线，因此∠ABC与∠BCD 是同旁内角。

根据同旁内角的性质，我们知道∠ABC与∠BCD的度数应该相等。

所以，∠BCD的度数为70°。

2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB与AE的延长线交于点F，以点F为顶点作三角形AFE，求证：∠AFE = ∠CDA。

解析：我们需要证明∠AFE与∠CDA相等。

根据题意，AB与CD是平行线，所以∠DAF与∠CDA是同旁外角。

又因为AE与CD是平行线，所以∠DAF与∠AFE是同旁内角。

根据同旁内角与同旁外角的性质，我们知道∠DAF与∠CDA 相等，∠DAF与∠AFE相等。

所以，∠AFE = ∠CDA。

3. 如图，AB与CD是平行线，AD是射线，∠ADE = 40°，∠BAF = 90°，求证：∠BCA = 90° + ∠CDE。

解析：我们需要证明∠BCA与∠CDE的和等于90°。

根据题意，AB与CD是平行线，所以∠CDE与∠BCA是同旁内角。

又因为AD是射线，所以∠ADE与∠BAF是同旁外角。

根据同旁内角与同旁外角的性质，我们知道∠ADE与∠CDE 的和等于180°，∠ADE与∠BAF的和等于180°。

所以，∠BCA = 180° - ∠ADE = 180° - 40° = 140°。

又因为∠BAF是直角，所以∠BAF的度数为90°。

所以，∠BCA + ∠CDE = 140° + 90° = 230°。

所以，∠BCA = ∠CDE + 90°。

证毕。

4. 如图，平行四边形ABCD中，AB与CF相交于点E，互补角∠ECD、∠ABE的度数之和为180°，求证：CF与DE平行。

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道摘要：一、引言1.问题背景及重要性2.文章目的与结构二、平行线判定方法1.同位角相等2.内错角相等3.同侧角相等4.两直线平行，同位角相等5.两直线平行，内错角相等6.两直线平行，同侧角相等三、平行线判定大题解析1.例题1：同位角相等判定2.例题2：内错角相等判定3.例题3：同侧角相等判定4.例题4：两直线平行，同位角相等判定5.例题5：两直线平行，内错角相等判定6.例题6：两直线平行，同侧角相等判定四、平行线判定大题练习1.练习1：同位角相等判定2.练习2：内错角相等判定3.练习3：同侧角相等判定4.练习4：两直线平行，同位角相等判定5.练习5：两直线平行，内错角相等判定6.练习6：两直线平行，同侧角相等判定五、总结与展望1.平行线判定方法总结2.平行线判定大题技巧概述3.后续学习建议正文：一、引言1.问题背景及重要性在初中数学几何部分，平行线的判定与性质是重点内容。

掌握平行线的判定方法，对于解决各类几何问题具有重要意义。

本文将为大家详细解析平行线判定大题30道，帮助大家更好地理解和应用平行线判定方法。

2.文章目的与结构本文旨在通过解析平行线判定大题，使大家对平行线的判定方法有更深刻的理解。

文章共分为五个部分，分别为：引言、平行线判定方法、平行线判定大题解析、平行线判定大题练习和总结与展望。

二、平行线判定方法1.同位角相等若两条直线被第三条直线所截，且有同位角相等，则这两条直线平行。

2.内错角相等若两条直线被第三条直线所截，且有内错角相等，则这两条直线平行。

3.同侧角相等若两条直线被第三条直线所截，且有同侧角相等，则这两条直线平行。

4.两直线平行，同位角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的同位角相等。

5.两直线平行，内错角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的内错角相等。

6.两直线平行，同侧角相等若两条直线平行，则它们被第三条直线所截时的同侧角相等。

三、平行线判定大题解析1.例题1：同位角相等判定已知直线AB与CD被直线EF所截，若∠AEF = ∠CED，证明AB平行于CD。

平行线练习题及答案

平行线练习题及答案

平行线练习题及答案平行线练习题及答案在数学中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

平行线在几何学和代数学中有着重要的应用，因此对于学生来说，掌握平行线的性质和判断方法是至关重要的。

本文将为大家提供一些平行线的练习题及答案，帮助大家加深对平行线的理解和运用。

练习题一：判断下列直线是否平行。

1. 直线AB：y = 2x + 3直线CD：y = 2x - 12. 直线EF：2x - 3y = 6直线GH：4x - 6y = 123. 直线IJ：3x + 4y = 8直线KL：6x + 8y = 16答案一：1. 直线AB和直线CD的斜率都为2，且截距不相等，因此直线AB和直线CD不平行。

2. 直线EF和直线GH的斜率都为2，且截距相等，因此直线EF和直线GH平行。

3. 直线IJ和直线KL的斜率都为2，且截距相等，因此直线IJ和直线KL平行。

练习题二：已知直线AB和直线CD平行，点E、F、G分别位于直线AB上，且AE = EF = FG。

若AE = 4，求FG的值。

答案二：由于直线AB和直线CD平行，因此直线AB和直线CD的斜率相等。

设直线AB的斜率为k，点E的坐标为(x1, y1)，点F的坐标为(x2, y2)，点G的坐标为(x3, y3)。

根据题意可得：y1 = kx1y2 = kx2y3 = kx3又因为AE = EF = FG，所以有：EF = FGy2 - y1 = y3 - y2kx2 - kx1 = kx3 - kx22kx2 = k(x1 + x3)x2 = (x1 + x3) / 2由于AE = 4，可得：y1 = kx1 = 4将x2 = (x1 + x3) / 2和y1 = 4代入直线AB的方程中，可得：4 = k(x1 + x3) / 28 = k(x1 + x3)8 = 4kx2x2 = 2将x2 = 2代入直线AB的方程中，可得：y2 = kx2 = 2k由于EF = FG，可得：y2 - y1 = y3 - y22k - 4 = y3 - 2k4k = y3 + 4y3 = 4k - 4将y3 = 4k - 4代入直线AB的方程中，可得：y3 = kx3 = 4k - 4综上所述，当AE = 4时，FG的值为4k - 4。

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道一、什么是平行线平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。

在几何学中，平行线是一种重要的概念，对于解决各种几何问题具有重要的作用。

平行线的判定是几何学中的基础知识之一，下面将介绍平行线的判定方法以及相关的例题。

二、平行线的判定方法2.1 直线与直线的判定两条直线平行的判定方法有以下几种：1.如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。

2.如果两条直线的斜率不存在且不相交，则这两条直线是平行线。

3.如果两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1=k2，则这两条直线是平行线。

2.2 直线与平面的判定直线与平面的判定方法有以下几种：1.如果直线与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行。

2.如果直线上的任意一点到平面的距离相等，则这条直线与该平面平行。

2.3 平面与平面的判定平面与平面的判定方法有以下几种：1.如果两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。

2.如果两个平面上的任意一条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

三、平行线判定的例题下面是30道平行线判定的例题，供大家练习和巩固知识：1.判断直线y=2x+3和y=2x+5是否平行。

2.判断直线y=3和x=2是否平行。

3.判断直线y=3和x=3是否平行。

4.判断直线y=2x+3和y=3x-1是否平行。

5.判断直线y=-2x+3和y=2x+3是否平行。

6.判断直线y=-2x+3和y=-2x-3是否平行。

7.判断直线y=-2x+3和y=2x+5是否平行。

8.判断直线y=2x+3和y=-2x-3是否平行。

9.判断直线y=2x+3和y=-2x+3是否平行。

10.判断直线y=2x+3和y=2x+3是否平行。

11.判断直线y=2x+3和y=2x+5是否平行。

12.判断直线y=3和x=2是否平行。

13.判断直线y=3和x=3是否平行。

14.判断直线y=2x+3和y=3x-1是否平行。

15.判断直线y=-2x+3和y=2x+3是否平行。

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

1、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．2、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．3、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。

(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。

本题可分为AB ，CD 之间或之外。

结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．4、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 、80B 、50C 、30D 、205、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°6、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点错误!未找到引用源。

是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

．求证：错误!未找到引用源。

=360°；（3）如图3，点错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

是直线CM 、DN 内部的一个点，连结错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

．试求错误!未找到引用源。

的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出错误!未找到引用源。

…错误!未找到引用源。

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)1、已知∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数。

2、已知AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，且∠A=37°，求∠D的度数。

3、在图中，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，探索∠A，∠AEC，∠C之间具有的关系并说明理由。

根据提示，可分类讨论E点在AB，CD之间或之外。

结论：①∠AEC＝∠A＋∠C②∠AEC＋∠A＋∠C＝360°③∠AEC＝∠C－∠A④∠AEC＝∠A－∠C⑤∠AEC＝∠A－∠C⑥∠AEC＝∠C－∠A．4、在图中，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，求∠3的度数。

5、在图中，将一个直角三角板和一把直尺放置，已知∠α=43°，求∠β的度数。

6、在图中，点A、B分别在直线CM、DN上，且CM∥DN。

1）连接AB，则∠CAB+∠ABD=180°；2）连接AC、BD，则∠CAD=∠BDA，即∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；3）连接AC、BD、AD，则∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CDA=540°，又∠CDA=180°，故∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；4）根据（2）和（3）的结果，猜想∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠EDA=720°。

2、当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化。

3、当点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系取决于点P的具体位置。

如果P在AB的延长线上，则∠1、∠2、∠3之和为180度；如果P在AC和BD的交点之外，则∠1=∠PAC，∠2=∠APB，∠3=∠PBD，且∠1+∠2+∠3=180度。

(完整版)平行线习题(含答案)

(完整版)平行线习题(含答案)

2019年4月16日初中数学作业学校: ______________ 姓名： _____________ 班级：_______________ 考号：______________一、单选题1. 如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】B【解析】【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可.【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选：B.【点睛】本题考查了平行线和相交线的应用，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.2. 下列说法中，正确的个数有（）①在同一平面内不相交的两条线段必平行；②在同一平面内不相交的两条直线必平行；③在同一平面内不平行的两条线段必相交；④在同一平面内不平行的两条直线必相交.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断.详解】解：（1）线段不相交，延长后不一定不相交，错误；（2）同一平面内，直线只有平行或相交两种位置关系，正确；（3）线段是有长度的，不平行也可以不相交，错误；（4）同（2），正确；所以（2）（4）正确．故选：B．【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意（1）和（3）说的是线段．3．下列表示平行线的方法正确的是（）A. ab// cdB. A // BC. a// BD. a// b【答案】D【解析】【分析】根据平行线的表达方法来判断即可得出结论.【详解】解：直线可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，故正确的表示方法是D.故答案为：D【点睛】本题主要考查了学生对平行线的表达方法的掌握情况，掌握平行线的表达方法是解题的关键.4 ．在同一平面内，下列说法正确的是（）A ．没有公共点的两条线段平行B ．没有公共点的两条射线平行C.不垂直的两条直线一定互相平行D ．不相交的两条直线一定互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的定义，即可求得此题的答案，注意举反例的方法．详解】A. 在同一平面内，没有公共点的两条线段不一定平行，故本选项错误；B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线不一定平行，故本选项错误；C. 在同一平面内，不垂直的两条直线不一定互相平行，故本选项错误；D. 在同一个平面内，不相交的两条直线一定互相平行，故本选项正确；【点睛】此题考查了平行线的判定．解题的关键是熟记平行线的定义．5．下列说法不正确的是( )A .过任意一点可作已知直线的一条平行线B. 同一平面内两条不相交的直线是平行线C. 在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线垂直D. 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断.【详解】A 中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误B. C. D 是公理，正确.故选A.【点睛】本题考查了平行线的定义和公理，熟练掌握定义和公理是解题的关键.6.在同一平面内，无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相( )A •平行B.垂直C.共线 D.平行或共线【答案】A【解析】【分析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析.【详解】如图所示：n n无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行•故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键7 .下列结论正确的是()A .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行【答案】D【解析】【分析】本题可结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理进行判定即可.【详解】(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应强调在同一平面内，故本项错误；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的.(3)在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，射线不一定，故本项错误；(4)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是正确的.故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质和平行公理.熟练掌握公理和概念是解决本题的关键.8 .在同一平面内，直线AB与CD相交，AB与EF平行，则CD与EF()A •平行B.相交C. 重合D.三种情况都有可能【答案】B【解析】【分析】先根据题意画出图形，即可得出答案.【详解】如图，•••在同一平面内，直线AB与CD相交于点O, AB // EF,••• CD与EF的位置关系是相交，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意画出图形是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用.9 .下列语句不正确的是（）A .在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行C. 两点确定一条直线D. 内错角相等【答案】D【解析】【分析】根据平行线的公理、推论及平行线的判定，可得答案.【详解】A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A正确;B、两直线被第三直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故B正确；C、两点确定一条直线，故C正确；D、两直线平行，内错角相等，故D错误；故选D.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟记公理、推论是解题关键．10 ．下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角是对顶角；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】依据线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，即可得到正确结论．【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②相等的角不一定是对顶角，错误；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，正确；④两点之间的距离是两点间的线段的长度，错误；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，错误. 故选：B．【点睛】本题考查线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，解题时注意：平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．11 ．下列说法中正确的是（）A .两条相交的直线叫做平行线B. 在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行C. 如果a // b, b // c,贝U a不与b平行D. 两条不平行的射线，在同一平面内一定相交【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质进行解题即可,见详解.详解】解：两条不相交的直线叫做平行线，故A 错误,在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行如果a// b , b // c ,则a // b,平行线的传递性，故C 错误, 射线一端固定，另一端无限延伸，故D 错误， 综上选B. 【点睛】，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键【解析】【分析】 根据平行线的传递性即可解题 【详解】解：••• AB // CD ，CD // EF ，••• AB // EF ，（平行线的传递性）故选A. 【点睛】本题考查了平行线的传递性 ，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键13 •一条直线与另两条平行直线的关系是 （ ）A .一定与两条平行线平行B .可能与两条平行线的一条平行，一条相交C . 一定与两条平行线相交D .与两条平行线都平行或都相交【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，可知如果一条直线与另 两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，则它与另一条平行线也平行即可求出本题答案【详解】，正确,// EF ，那么AB 和EF 的位置关系是本题考查了平行线的性质C.垂直D.不能确定【答案】A•••在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，•••如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交，否则与平行公理相矛盾；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，根据平行于同一直线的两条直线平行，则它与另一条平行线也平行.故答案为：D.【点睛】本题考查了平行线的相关知识，熟练掌握平行线的有关性质是本题解题的关键. 14．下列说法中，正确的个数为( )①过一点有无数条直线与已知直线平行；②如果a// b, a // c,那么b // c;③如果两线段不相交，那么它们就平行；④如果两直线不相交，那么它们就平行.A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义、公理及推论判断即可求出本题答案.【详解】(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故错误；(2) 根据平行公理的推论,正确；(3) 线段的长度是有限的,不相交也不一定平行,故错误；(4) 应该是“在同一平面内”,故错误.正确的只有一个,故选A.故答案为：A.【点睛】本题考查了平行公理及推论,平行线,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.15 •已知在同一平面内有一直线AB和一点P,过点P画AB的平行线，可画()A • 1条B. 0条 C. 1条或0条D.无数条【答案】C【解析】【分析】根据平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．【详解】如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条,如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条•故答案为：C.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟练掌握该知识点是本题解题的关键16 .下列说法中，正确的是（）A •平面内，没有公共点的两条线段平行B. 平面内，没有公共点的两条射线平行C. 没有公共点的两条直线互相平行D. 互相平行的两条直线没有公共点【答案】D【解析】【分析】回忆线段之间、射线之间与直线之间的位置关系；对于A，可在纸上画出两条没有公共点的线段，观察两条线段的位置关系；对于B,可在纸上画出两条没有公共点的射线，观察两条线段的位置关系；对于C,思考若两条直线不在一个平面内，是否能够得到两条直线不平行也不相交，对于D，根据平行线的定义可作出判断•【详解】对于A,如图所示，A错误；对于C,如果两条直线不在同一个平面内，不相交也可能不平行，则C错误；对于D，根据平行线的定义可知D正确•故答案为：D.【点睛】本题考查了两条直线的位置关系，直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线的位置关系及相关定义是本题解题的关键•17 ．下面说法正确的是( )A .过两点有且只有一条直线B.平角是一条直线C.两条直线不相交就一定平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据直线公理：经过两点有且只有一条直线；角的概念；平行线的定义和平行公理及推论进行判断.【详解】A、由直线公理可知，过两点有且只有一条直线，故本选项正确；B、平角是有公共端点是两条射线组成的图形，故本选项错误；C、同一平面内两条直线不相交就一定平行，故本选项错误；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误.故选：A .【点睛】本题属于综合题，考查了直线的性质：两点确定一条直线；角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.18 .下列说法错误的是( )A .对顶角相等B.两点之间所有连线中，线段最短C.等角的补角相等D.过任意一点P,都能画一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】A .根据对顶角的性质判定即可；B. 根据线段的性质判定即可；C. 根据补角的性质判定即可；D .根据平行公理判定即可 .【详解】A .对顶角相等，故选项正确；B. 两点之间连线中，线段最短，故选项正确；C•等角的补角相等，故选项正确；D .过直线外一点P,能画一条直线与已知直线平行，故选项错误•故选D.【点睛】本题分别考查了对顶角、邻补角的性质、线段的性质、余角、补角的关系及平行公理，都是基础知识，熟练掌握这些知识即可解决问题 .二、填空题19 . L i, 12, 13为同一平面内的三条直线，如果11与12不平行，12与13不平行，则11与13的位置关系是_______________ .【答案】相交或平行【解析】【分析】根据关键语句“若？有？不平行,??与?不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案.【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若？不平行，??与?3不平行，则?3可能相交或平行，故答案为：相交或平行•【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交20 •小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是________________ （填序号）.①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边.【答案】①②③④【解析】【分析】根据平行线的判定进行判断即可•【详解】解：是平行线的是①②③④.故答案为：①②③④【点睛】本题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答21.如图，用符号表示下列两棱的位置关系.AB ___ A ' B AA ' __________ AB ; AD _____ B ' C【答案】// 丄 //【解析】【分析】根据题意，可由立体图形中的平行线的判定条件，以及垂直的判定条件进行分析，然后填空即可.【详解】解：由图可知，AB// A B', AA丄AB AD// B' C'【点睛】本题主要考查的是直线的位置关系•22 .如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________ 条.【答案】3【解析】【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行. 【详解】解：与AB平行的线段是：DC EF;与CD平行的线段是：HG所以与AB线段平行的线段有：EF、HG DC.故答案是：EF、HG DC【点睛】本题考查了平行线•平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.23 .如图所示，用直尺和三角尺作直线AB , CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ________ .【答案】平行【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行判断.【详解】如图，C 亠丘D根据题意，/ 1与/ 2是三角尺的同一个角,所以/仁/2,所以，AB // CD （同位角相等，两直线平行）故答案为：平行.【点睛】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键.24 .在如图的长方体中，与棱AB平行的棱有 ________________________________________;与棱AA'平行的棱有DD , BB , CC解析】【分析】根据平行的定义，结合图形直接找出和棱AB平行的棱，与棱AA平行的棱即可.【详解】由图可知，和棱AB平行的棱有CD , AB', CD；与棱AA 平行的棱有DD ，BB ，CC .故答案为：CD , A B , C D ；DD , BB , CC .【点睛】本题考查了认识立体图形的知识点,熟练掌握平行的定义是本题解题的关键.25．在同一平面内，直线AB 与直线CD 满足下列条件，则其对应的位置关系是（1）____________________________________________________________________ 若直线AB 与直线CD 没有公共点，则直线AB 与直线CD 的位置关系为 __________________________ ；（2）直线AB 与直线CD 有且只有一个公共点，则直线AB 与直线CD 的位置关系为_______________ 【答案】平行；相交.【解析】【分析】根据“在同一平面内,两条直线的位置关系是：平行或相交.平行没有公共点,相交只有一个公共点”即可推出本题答案.【详解】在同一平面内,直线AB 与CD 满足下列条件,则其对应的位置关系是：（1）若AB 与CD没有公共点，则AB与CD的位置关系是平行；（2 ）若AB与CD有且只有一个公共点,则AB 与CD 的位置关系为相交.故答案为：（1）平行；（2）相交.【点睛】本题考查了直线的位置关系,熟练掌握判定方法是本题解题的关键.三、解答题26 .把图中的互相平行的线段用符号“//”写出来，互相垂直的线段用符号“丄”写出来：【解析】根据平行线和垂直的定义即可解答.【详解】 解：如图所示，在长方体中 ：互相平行的线段：AB// CD EF// GH MN PQ 互相垂直的线段：AB 丄 EF, AB 丄 GH CDL EF, CDL GH【点睛】本题考查了平行线和垂直的定义 ，理解定义是解题的关键•27 .如图，过点 0 '分别画 AB , CD 的平行线.【答案】详见解析•【解析】【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合， 用直尺靠紧三角板的另一条直角边， 沿直尺移 动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和 O 点重合，过O 点沿三角板的直角边画直线即可.【详解】解：如图，本题考查了学生利用直尺和三角板作平行线的能力28 •如图，按要求完成作图⑴过点P 作AB 的平行线EF ；(2) 过点P 作CD 的平行线 MN ;(3) 过点P 作AB 的垂线段，垂足为 G.【答案】作图见解析【点睛】【分析】利用题中几何语言画出对应的几何图形.【详解】如图，本题考查了平行线的作法和作垂线的步骤.29 •我们知道相交的两条直线的交点个数是 1 ;两条平行线的交点个数是0;平面内三条平行线的交点个数是0,经过同一点的三条直线的交点个数是 1 ;依此类推(1) 请你画图说明平面内五条直线最多有几个交点.(2) 平面内五条直线可以有4个交点吗？如果可以，请你画出符合条件的所有图形；如果不可以，请说明理由.(3) 在平面内画出10条直线，使交点个数恰好是31.【答案】(1)平面内五条直线的交点最多有10个，⑵五条直线可以有4个交点，⑶答案不唯一•【解析】【分析】(1)直接让五条直线中的任意两条互相相交即可；(2)不妨先让其中的四条直线相交得到3个交点，然后再使最后一条直线，与其中任意一条相交且与之前的交点不重合即可，接下来自己试着想想还有哪些画法；(3)结合已知，禾U用平行线的性质画出图形即可【详解】解：(1)平面内五条直线的交点最多有 10个，如图①.(2)五条直线可以有4个交点，如图②(a // b// c // d),图③(AD // BC , AB // DC)，图④(a // b).團② 関③(3) 答案不唯一，如图， a / b / c / d / e , f // g // h , l // m.【点睛】此题考查平面内不重合直线的位置关系， 解答时要分各种情况解答, 的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面.30 •如图，在方格纸上：(1)已有的四条线段中，哪些是互相平行的？⑵过点M 画AB 的平行线.⑶过点N 画GH 的平行线.37T~/ 、A7 D 、M / 7~■【答案】(1)AB // CD ； (2)画图见解析；⑶画图见解析【解析】【分析】(1) 根据图形可观察出互相平行的线段.(2) 过点M 画AB 的平行线.(3)过点N 画GH 的平行线.要考虑到可能出现【详解】(1)由图形可得：AB // CD .⑵(3)所画图形如下：【点睛】 本题考查了平行线的判定方法及过一点作平行线的知识, 的判定方法及作图的基本步骤.属于基础题， 主要掌握平行线。

（完整版）平行线常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习

（完整版）平行线常考经典较难题、压轴题例题和巩固练习

平行线 例1 翻折 1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF 折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是的度数是．2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为 ．例2 旋转 1、将一副直角三角尺ABC 和CDE 按如图方式放置，其中直角顶点C 重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE 绕点C 旋转，若DE ∥BC ，则直线AB 与直线CE 的较大的夹角∠1的大小为的大小为 度．度．例3 平行线的性质1、已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？并说明理由．量关系？并说明理由． 1AED B C2、如图，两直线AB 、CD 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．3、已知直线AB ∥CD ． （1）如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为的数量关系为 ； （2）如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE ，∠CDN=∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则= ．例4 平移1、如图1所示，已知BC ∥OA ，∠B=∠A=120°（1）说明OB ∥AC 成立的理由．成立的理由． （2）如图2所示，若点E ，F 在BC 上，且∠FOC=∠AOC ，OE 平分∠BOF ，求∠EOC 的度数．的度数． （3）在（2）的条件下，若左右平移AC ，如图3所示，那么∠OCB ：∠OFB 的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA 时，求∠OCA 的度数．的度数．2、如图，已知AM ∥BN ，∠A=60°．点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC 、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求∠CBD 的度数；的度数； （2）当点P 运动时，∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使∠ACB=∠ABD 时，∠ABC 的度数是的度数是．例5 作图—应用1、（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD 表示．试问：桥CD 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥CD 的位置．的位置．2、如图，平面上有直线a 及直线a 外的三点A 、B 、P ．（1）过点P 画一条直线m ，使得m ∥a ；（2）过B 作BH ⊥直线m ，并延长BH 至B ′，使得BB ′为直线a 、m 之间的距离；之间的距离；（3）若直线a 、m 表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．【巩固练习】【巩固练习】1、如图，AB ∥DE ，∠ABC 的角平分线BP 和∠CDE 的角平分线DK 的反向延长线交于点P 且∠P ﹣2∠C=57°，则∠C 等于（等于（ ）A ．24°B ．34°C ．26°D ．22° 图2图1P BA题图第2题图题图第1题图2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）A．76° B．78° C．80° D．82°3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类的位置关系是（ ）推，则l1和l8的位置关系是（A．平行．平行或垂直 D．无法确定．无法确定 ．平行 B．垂直．垂直 C．平行或垂直4、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（为定值，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第5题图题图第4题图题图5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（等于（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°6、如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为的值为 ．第9题图题图题图第8题图第7题图题图7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为的度数为 ．8、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF= ．9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所的度数是．在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG ⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．的数量关系．11、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．；（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系之间的数量关系（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．的度数．12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．之间的一点．之间的数量关系，并证明你的结论；（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G 得图3，若∠AGD 的余角等于2∠E 的补角，求∠BAE 的大小．的大小．13、已知：如图，BC ∥OA ，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB ∥AC ．（注意证明过程要写依据）．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E 、F 在BC 上，且满足∠FOC=∠AOC ，并且OE 平分∠BOF ．（ⅰ）求∠EOC 的度数；的度数； （ⅱ）求∠OCB ：∠OFB 的比值；的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA ．此时∠OCA 度数等于度数等于 ．（在横线上填上答案即可）．（在横线上填上答案即可）14、已知直线AB ∥CD ．（1）如图1，直接写出∠ABE ，∠CDE 和∠BED 之间的数量关系是之间的数量关系是 ． （2）如图2，BF ，DF 分别平分∠ABE ，∠CDE ，那么∠BFD 和∠BED 有怎样的数量关系？请说明理由．理由．（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧，BF ，DF 仍平分∠ABE ，∠CDE ，请直接写出∠BFD 和∠BED 的数量关系的数量关系．。

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道摘要：一、引言1.平行线的概念2.平行线的判定方法3.判定大题的重要性二、平行线的判定方法1.同位角相等2.内错角相等3.同旁内角互补4.两直线被第三条直线截形成的对应角相等5.两直线被第三条直线截形成的同旁内角互补三、30 道平行线判定大题1.利用同位角相等判定平行线2.利用内错角相等判定平行线3.利用同旁内角互补判定平行线4.利用对应角相等判定平行线5.利用同旁内角互补判定平行线6.利用同位角相等判定平行线7.利用内错角相等判定平行线8.利用同旁内角互补判定平行线9.利用对应角相等判定平行线10.利用同旁内角互补判定平行线11.利用同位角相等判定平行线12.利用内错角相等判定平行线13.利用同旁内角互补判定平行线14.利用对应角相等判定平行线15.利用同旁内角互补判定平行线16.利用同位角相等判定平行线17.利用内错角相等判定平行线18.利用同旁内角互补判定平行线19.利用对应角相等判定平行线20.利用同旁内角互补判定平行线21.利用同位角相等判定平行线22.利用内错角相等判定平行线23.利用同旁内角互补判定平行线24.利用对应角相等判定平行线25.利用同旁内角互补判定平行线26.利用同位角相等判定平行线27.利用内错角相等判定平行线28.利用同旁内角互补判定平行线29.利用对应角相等判定平行线30.利用同旁内角互补判定平行线正文：一、引言平行线是几何学中的一个基本概念，它指的是在同一平面内，永不相交的两条直线。

在解决几何问题时，判断两条直线是否平行常常是关键步骤。

本文将介绍几种常用的平行线判定方法，并通过30 道平行线判定大题来帮助大家巩固这一知识点。

二、平行线的判定方法要判断两条直线是否平行，我们可以利用以下五种方法：1.同位角相等：若两直线被一条横截线所截，同位角相等，则这两条直线平行。

2.内错角相等：若两直线被一条横截线所截，内错角相等，则这两条直线平行。

3.同旁内角互补：若两直线被一条横截线所截，同旁内角互补，则这两条直线平行。

(完整版)平行线的经典题型

(完整版)平行线的经典题型

平行线的经典题型一、平行线之间的基本图形1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点；求证：12F AEC ∠=∠.2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系如何？你能找出其中的规律吗？3、将题变为如下图：AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？ABCDEABCDEABCDEA BDCE二、 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．2、已知：如图,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。

4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.DB CA F E AD F BE CA BEFDABE F CM N A D B C b 21a E 三、两组平行线构造平行四边形1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ． 求证：AB ∥CD ．2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ．3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。

四、证特殊角1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ．2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300，则∠PFC ＝_____．3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF.4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．6、求证：三角形内角之和等于180°．五、寻找角之间的关系1、如图,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.A B C D EF 1423 21GFEDB CAE 2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

平行线性质练习题30题

平行线性质练习题30题

平行线性质练习题1. 已知直线AB和CD平行，若BE平分∠ABC，求证：BE也平分∠ECD。

2. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同旁内角互补。

3. 若直线a ∥ b，直线b ∥ c，求证：直线a ∥ c。

4. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 120°，求∠EFD的度数。

5. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，BC = DA，求证：四边形ABCD是平行四边形。

6. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，求证：PQ也垂直于l2。

7. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：内错角相等。

8. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 = ∠2，求证：直线c ∥ b。

9. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠AEF = 30°，求∠CFD的度数。

10. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AD = BC，求证：四边形ABCD是矩形。

11. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ = QR，PR = QR，求证：∠PQR = 90°。

12. 在平行线l1和l2之间，有一条横穿它们的直线l3，形成了八个角。

求证：同位角相等。

13. 若直线a ∥ b，直线c与a、b都相交，且∠1 + ∠2 = 180°，求证：直线c ∥ a。

14. 已知直线AB ∥ CD，点E在AB上，点F在CD上，且∠BEF = 135°，求∠EFD的度数。

15. 在平行线l1和l2上分别取点A、B、C、D，若AB = CD，AC= BD，求证：四边形ABCD是菱形。

16. 已知直线l1 ∥ l2，点P在l1上，点Q在l2上，若PQ垂直于l1，且PQ = QR，求证：PR垂直于l2。

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)

1、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．2、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．3、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。

(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。

本题可分为AB ，CD 之间或之外。

结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．4、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A 、80B 、50C 、30D 、205、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°6、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证：BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P5∠+的度数（不必写出过程）．7、如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上． （1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由； （2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？A MBC ND P 1 A M B C N D 图2 P 1 P 2 A M B C N D 图3（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合）8、如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．9、如图，AB ∥CD ，则∠2+∠4﹣（∠1+∠3+∠5）= ．10、如图，直线a ∥b ，那么∠x 的度数是 ．11、如图，AB ∥CD ，∠ABF=∠DCE 。

专题1.5 平行线全章五类必考压轴题(原卷版)

专题1.5 平行线全章五类必考压轴题(原卷版)

专题1.5 平行线全章五类必考压轴题【浙教版】1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．(1)如图1，求证：EF∥GH；(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的1多3°，求∠AEF的度数．34．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ 的度数；(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．7．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE 平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED 的度数是度（用关于n的代数式表示）.1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD 的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．5．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、∠PEG、∠DGE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN−∠ENM=25°，求n的值．2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN 的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥CD；(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN 的度数．4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF ＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P 与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β间的数量关系．2．已知AB ∥CD ．(1)如图1，若∠ABE =120°，∠BED =135°，则∠EDK =______．(2)如图2，EF ⊥BE 于点E ，∠HBE 、∠KDE 的角平分线交于点P ，GE 平分∠DEF ，若∠P 比∠GEF 的5倍还多5°，求∠GEF 的度数．(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M 、N 满足：∠MBH =12∠MBE ，∠NDK =12∠NDE ，直线MB 与直线ND 交于点Q ，直接写出∠BQD 的大小______．3．如图，已知直线AB ∥射线CD ，∠CEB =100°．P 是射线EB 上一动点，过点P 作PQ ∥EC 交射线CD 于点Q ，连接CP ．作∠PCF ＝∠PCQ ，交直线AB 于点F ，CG 平分∠ECF ．(1)若点P ，F ，G 都在点E 的右侧．①求∠PCG 的度数；②若∠EGC−∠ECG =40°，求∠CPQ 的度数．(2)在点P 的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC ∠EFC =32若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．4．如图1，AD ∥BC ，∠BAD 的平分线交BC 于点G ，∠BCD =90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM的值．∠GBM1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．∠BFN时，求∠AKF．(1)当∠BFH=12(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t(0≤t≤36)，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？。

平行线必考几何题型专训(6大题型)—2023-2024学年七年级数学下册(浙教版)(解析版)

平行线必考几何题型专训(6大题型)—2023-2024学年七年级数学下册(浙教版)(解析版)

平行线必考几何题型专训（6大题型+10道拓展培优）【题型目录】题型一 根据平行线的判定与性质求解题型二 根据平行线的性质探究角的关系题型三 平行线的性质在生活中的实际应用题型四 平行线中的旋转问题题型五 平行线中的折叠问题题型六 平行线中的平移问题【经典例题一 根据平行线的判定与性质求解】 【例1】（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 为线段CD 延长线上一点，BAF EDF ∠=∠．(1)求证：DE AF ∥；(2)若=40F ︒∠，求DAF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)40DAF ∠=︒【分析】（1）根据AB BC ⊥，DC BC ⊥得出AB CF ，根据平行线的性质可得180BAF F ∠+∠=︒，进而得出180EDF F ∠+∠=︒，根据平行线判定定理即可得结论；（2）根据平行线的性质得出ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，根据角平分线的定义即可得答案．【详解】（1）证明：∵AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，∴90B C ∠=∠=︒，∴180B C ∠+∠=︒，∴AB CF ，∴180BAF F ∠+∠=︒，∵BAF EDE ∠=∠，∴180EDE F ∠+∠=︒，∴DE AF ∥．（2）解：∵DE AF ∥，∴ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，∵DE 平分ADC ∠，∴ADE CDE ∠=∠，∴40DAF F ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】 1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，已知直线,AB CD 被直线EF 所截，EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠，1290∠+∠=︒，AB CD 吗？为什么？因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以2AEF ∠∠=___________，2EFC ∠∠=___________，所以AEF EFC ∠∠+=___________（ ），因为1290∠+∠=︒（ ），所以AEF EFC ∠∠+=___________︒，所以AB CD （ ）．【答案】平行，见解析【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，从而可得180AEF EFC ∠+∠=︒，再根据平行线的判定即可得．【详解】解：因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，所以()212AEF EFC ∠+∠=∠+∠（等量代换），因为1290∠+∠=︒（已知），所以180AEF EFC ∠+∠=︒，所以AB CD （同旁内角互补，两直线平行）． 2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 和CD 被直线MN 所截．(1)如图1，EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同旁内角），则1∠与2∠满足______时， AB CD ∥，并说明平行的理由；(2)如图2，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同位角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由；(3)如图3，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对内错角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由．【答案】(1)1290∠+∠=︒，见解析(2)12∠=∠，见解析(3)12∠=∠，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足1290∠+∠=︒，即可得出()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，即可判断AB CD ∥；（2）根据角平分线的定义可得21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足12∠=∠，即可得BEM DFE ∠=∠，即可判断AB CD ∥；（3）同（2）的分析即得结论．【详解】（1）当1∠与2∠满足1290∠+∠=︒时， AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵1290∠+∠=︒，∴()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AB CD ∥；（2）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴BEM DFE ∠=∠，∴AB CD ∥；（3）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21AEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴AEF DFE ∠=∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，O ，OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，与AB 交于点P ，Q ，已知90OPQ DOQ ∠+∠=︒．(1)若:2:5DOQ DOF ∠∠=，求FOQ ∠的度数；(2)对AB CD ∥说明理由．【答案】(1)140FOQ =︒∠(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得出EOQ DOQ =∠∠，设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，根据题意得出225180x x x ++=︒，求出x 的值，即可得出答案；（2）根据OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，得出119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，根据90OPQ DOQ ∠+∠=︒，得出COP OPQ =∠∠，根据平行线的判断即可得出结论．【详解】（1）解：∵OQ 平分DOE ∠，∴EOQ DOQ =∠∠，∵:2:5DOQ DOF ∠∠=，∴设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，∴225180x x x ++=︒，解得：20x =︒，∴527140FOQ DOF DOQ x x x =+=+==︒∠∠∠；（2）证明：∵OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，∴12COP EOP COE ==∠∠∠，12EOQ DOQ EOD ==∠∠∠，∴119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，∵90OPQ DOQ ∠+∠=︒，∴COP OPQ =∠∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法． 4．（2022下·河北保定·七年级统考期中）如图，点E 在直线DC 上，射线EF 、EB 分别平分AED ∠、AEC ∠．(1)试判断EF 、EB 的位置关系，并说明理由；(2)若5A ∠=∠，且4590∠+∠=︒，求证：AB EF ∥．【答案】(1)EB EF ⊥，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；（2）由等角的余角相等可证得25∠=∠，进而可得2A ∠=∠，再由内错角相等两直线平行即可证得．【详解】（1）解：EB EF ⊥，理由如下：∵EB 平分AEC ∠，EF 平分AED ∠，∴1342AEC ∠=∠=∠，1122AED ∠=∠=∠，180AED AEC ∠+∠=︒，∴111123()180902222BEF AED AEC AED AEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴EB EF ⊥；（2）证明：∵2390∠+∠=︒（已证），4590∠+∠=︒（已知），又∵3=4∠∠，∴25∠=∠，∵5A ∠=∠，∴2A ∠=∠，∴AB EF ∥．【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键． 5．（2021下·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC 和三角形DEF 位于直线MN 的两侧中，直线MN 经过点C ，且BC MN ⊥，其中A ABC CB =∠∠，DEF DFE ∠=∠，90∠+∠=︒ABC DFE ，点E 、F 均落在直线MN 上． （1）如图1，当点C 与点E 重合时，求证：//DF AB ；聪明的小丽过点C 作//CG DF ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．（2）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，如图2，求证：//DE AC ；（3）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，使得点E 移动到点E '，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若DFE α∠=，则CAB ∠=________．（用含α的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2α．【分析】（1）过点C 作//CG DF ，得到DFE FCG ∠=∠，再根据90BCF ∠=︒，90∠+∠=︒ABC DFE ，得到ABC BCG ∠=∠，进而得到//CG AB ，最后证明//DF AB ；（2）先证明90ACB DEF ∠+∠=︒，再证明90ACB ACE ∠+∠=︒，得到DEF ACE ∠=∠，问题得证；（3）根据题意得到DFE DEF α∠=∠=，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=α，进而得到=90BC AC A B α=∠︒−∠，根据三角形内角和即可求解．【详解】解：（1）过点C 作//CG DF ，DFE FCG ∴∠=∠，BC MN ⊥，90BCF ∴∠=︒，90BCG FCG ∴∠+∠=︒，90BCG DFE ∴∠+∠=︒，90ABC DFE ∠+∠=︒，ABC BCG ∴∠=∠，//CG AB ∴，//DF AB ∴；（2）解：ABC ACB ∠=∠，DEF DFE ∠=∠，又90ABC DFE ∠+∠=︒，90ACB DEF ∴∠+∠=︒，BC MN ⊥，90BCM ∴∠=︒，90ACB ACE ∴∠+∠=︒，DEF ACE ∴∠=∠，//DE AC ∴；（3）如图三角形DEF 即为所求作三角形．∵DFE α∠=，∴DFE DEF α∠=∠=，由（2）得，DE ∥AC ，∴∠DEF=∠ECA=α，∵90ACB ACE ∠+∠=︒，∴∠ACB=90α︒−，∴ =90BC AC A B α=∠︒−∠，∴∠A=180°-A ABC CB −∠∠=2α．故答案为为：2α．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．【经典例题二 根据平行线的性质探究角的关系】 【例2】（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知AB DE ABC CED ∠∠∥，、的平分线交于点F ．探究BFE ∠与BCE ∠之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】2BCE BFE ∠=∠，见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C 作直线MN AB ∥，然后证明MN DE ∥，根据平行线的性质可得=DEC ECN ∠∠，=ABC BCN ∠∠，进而可得BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理可得BFE ABF DEF ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质可得2ABC ABF ∠=∠，2DEC DEF ∠=∠，等量代换可得答案．【详解】解：过点C 作直线MN AB ∥，∵AB DE MN AB ∥，∥，∴MN DE ∥，∴DEC ECN =∠∠，AB MN ，∴ABC BCN ∠=∠，∴BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理BFE ABF DEF ∠=∠+∠，∵ABC CED ∠∠、的平分线交于点F ，∴22ABC ABF DEC DEF ∠=∠∠=∠，，∴222BCE ABF DEF BFE ∠=∠+∠=∠．【变式训练】 1．（2024上·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究如图，已知直线a b c ∥∥，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线c 上，P 是直线b 上的一个动点．(1)当点P 移动到如图1所示的位置时，,,PAB PCD APC ∠∠∠之间的数量关系为________(2)当点P 移动到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并说明理由．(3)如图3，已知20,50,45,15B BCD CDE E ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒．试判断AB 与EF 是否平行，并说明理由：【答案】(1)360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒(2)（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由见解析(3)平行．理由见解析【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活应用是解本题的关键．（1）利用平行线的性质证明12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用平行线的性质证明1PAB ∠=∠，2PCD ∠=∠，从而可得结论；（3）如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．求解20BCM ∠=︒．结合20B ∠=︒，进一步可得结论．【详解】（1）解：如图，∵a b c ∥∥，∴12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，∴360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒．（2）（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由：如图，∵a b ∥，1PAB ∴∠=∠．∵b c ∥，2PCD ∴∠=∠．12APC ∠=∠+∠，APC PAB PCD ∴∠=∠+∠．（3）平行．理由如下：如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．45,15CDE E ︒∠︒∠==Q ，30DCM CDE E ∴∠=∠−∠=︒．50BCD ∠=︒，20BCM BCD DCM ∴∠=∠−∠=︒．又20B ︒∠=，BCM B ∴∠=∠．C AB M ∴∥．CM EF Q ∥，∴AB EF ∥．2．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O ．(1)如图1，若AC BD ∥，请直接写出A C ∠+∠与B D ∠+∠的数量关系为_________．(2)如图2，若AC 不平行BD ，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：不能用三角形内角和定理）【答案】(1)A C B D ∠+∠=∠+∠，证明见解析(2)（1）中结论成立，证明见解析【分析】（1）先证明A B ∠=∠，C D ∠=∠，可得A C B D ∠+∠=∠+∠；（2），过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，证明OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，从而可得结论成立．【详解】（1）解：A C B D ∠+∠=∠+∠，理由如下：∵AC BD ∥，∴A B ∠=∠，C D ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，∴AND GCD ∠=∠，ACG CAN ∠=∠，∴ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，∴OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，∴B D OAC ACO ∠+∠=∠+∠；【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，使刀背与直角腰的夹角为1∠，刀片转动的角为2∠．(1)若155∠=︒，求2∠的度数．(2)刀片在打开过程中，若2∠为钝角，求证：2901∠=︒+∠．【答案】(1)145︒(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，由互余得到9035DCE BCE ∠=︒−∠=︒，则35CDF DCE ∠=∠=︒，根据邻补角即可得到2∠的度数；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，则1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠， 由90BCE DCE ∠+∠=︒得到90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，则901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，根据邻补角即可得到结论．【详解】（1）解：如图，过点C 作CE DF ∥，由题意可知，AB DF ∥，∴AB DF CE ∥∥，∴155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90905535DCE BCE ∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴35CDF DCE ∠=∠=︒，∴218018035145CDF ∠=︒−∠=︒−︒=︒；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，∴1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，∴901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，∴()2180180901901CDF ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠；即2901∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查平行线的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2023下·贵州毕节·七年级校联考期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线,AB CD 和一块含60︒角的直角三角尺(90,60)EFG EFG EGF ∠=︒∠=︒”为主题开展数学活动． (1)如图1，三角尺的60︒角的顶点G 在CD 上．240∠=︒，则1∠的度数为________．(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索AEF ∠与FGC ∠之间的数量关系是_______．(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30︒角的顶点E 在AB 上．若AEG α∠=，DFG β∠=，请直接写出AEG ∠与DFG ∠的数量关系（用含,αβ的式子表示）．【答案】(1)80︒(2)90AEF FGC ∠+∠=︒(3)120αβ−=︒【分析】（1）根据平行线的性质可知1EGD ∠=∠，依据2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，可求出1∠的度数；（2）过点F 作∥FP AB ，得到FP AB CD ∥∥，通过平行线的性质把AEF ∠和FGC ∠转化到EFG ∠上即可；（3）依据AB CD ∥，可知180AEF CFE ∠+∠=︒，再根据18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，代入180AEF CFE ∠+∠=︒，即可求出120AEG DFG ∠−∠=︒．【详解】（1）解：AB CD ∥，1EGD ∴∠=∠，2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，260180EGD ∴∠+︒+∠=︒，80EGD ∴∠=︒，180∴∠=︒；故答案为：80︒；（2）90AEF FGC ∠+∠=︒，理由如下：如图，过点F 作∥FP AB ，CD A B ∥，FP AB CD ∴∥∥，AEF EFP ∴∠=∠，FGC GFP ∠=∠，AEF FGC EFP GFP EFG ∴∠+∠=∠+∠=∠，90EFG ∠=︒，90AEF FGC ∴∠+∠=︒；故答案为：90AEF FGC ∠+∠=︒；（3）120αβ−=︒，理由如下：AB CD ∥，180AEF CFE ∠+∠=︒∴，18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，3018090180AEG DFG ∴∠−︒+︒−∠−︒=︒，120AEG DFG ∴∠−∠=︒，120αβ∴−=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知AB CD ∥，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点Q 为射线EF 上一点．(1)如图1，若22A ∠=︒，35C ∠=︒，则AQC ∠= ．(2)如图2，当点Q 在线段EF 的延长线上时，请写出A ∠、C ∠和AQC ∠三者之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，AH 平分QAB ∠，CH 交AH 于点H ．①若CH 平分QCD ∠，求AQC ∠和AHC ∠的数量关系．②若:1:3QCH DCH ∠∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，直接写出AQC ∠的度数为 ．【答案】(1)57︒(2)数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，理由见解析(3)① AHC ∠=12AQC ∠，②72AQC ∠=︒【分析】（1）过点Q 作QH ∥AB ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（2）过点Q 作MN ∥CD ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（3）①过点H 作PH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；②根据①的结论，利用角的关系解答即可．【详解】（1）解：过点Q 作QH ∥AB ，AB ∥CD ，QH ∴∥AB ∥CD ，35C CQH ∴∠=∠=︒，22A HQA ∠=∠=︒，352257AQC CQH HQA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：57︒；（2）数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，证明：过点Q 作MN ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥MN ，NQC C ∴∠=∠，180MQA A ∠=︒−∠，180AQC NQC MQA A C ∴∠=︒−∠−∠=∠−∠．（3）①过点H 作PG ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥PH ，PHC HCD ∴∠=∠，180GHA HAB ∠=︒−∠，AHC HAB HCD ∴∠=∠−∠．又AH 平分CAB ∠，CH 平分QCD ∠，HAB ∴∠=12QAB ∠，HCD ∠=12QCD ∠ AHC ∴∠=12 ()QAB QCD ∠−∠由（2）可得AHC ∠=12.AQC ∠②72AQC ∠=︒，理由如下：QCH ∠：1:3DCH ∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，11QCH ∴∠=︒，33DCH ∠=︒，332558HAB ∴∠=︒+︒=︒，5824472AQC ∴∠=︒⨯−︒=︒，故答案为：72︒．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答．【经典例题三 平行线的性质在生活中的实际应用】 【例3】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB 、BC 为固定支撑杆，支架OC 可绕点C 旋转调节．已知灯体顶角52DOE ∠=︒，顶角平分线OP 始终与OC 垂直．(1)如图2，当支架OC 旋转至水平位置时，OD 恰好与BC 平行，求支架BC 与水平方向的夹角θ∠的度数；(2)若将图2中的OC 绕点C 顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD 与水平方向的夹角OQM ∠的度数．【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得1262DOP DOE ∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP ∠=︒，得出116COD COP DOP ∠=∠+∠=︒，再运用平行线性质即可得出答案；（2）过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图2，52DOE ∠=︒，OP 平分DOE ∠，1262DOP DOE ∴∠=∠=︒，OP OC ⊥，90COP ∴∠=︒，9026116COD COP DOP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，OD BC ∥，180********C COD ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，OC BF ∥，64COF C ∴∠=∠=︒，即64θ∠=︒；（2）如图3，过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，则15COF OCG ∠=∠=︒，116COD ∠=︒，11615131FOQ COD COF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，CG MN ∥，OF CG ∥，OF MN ∴∥，180OQM FOQ ∴∠+∠=︒，180********OQM FOQ ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．【变式训练】 1．（2023下·江苏·七年级期中）如图1，某段道路AB CD ，两旁安装了两个探照灯M 和N ．灯M 光束从MB 开始旋转至180︒便立即回转，灯N 光束从NC 开始旋转至180︒便立即回转．灯M 转动的速度是每秒1度，灯N 转动的速度是每秒2度，灯M 转动的时间为t 秒． (1)如图2，灯M 光束先转动30秒后，灯N 光束才开始转动．①直接写出灯M 光束和灯N 光束，灯 先回转；(填M 或N )②在灯M 光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t 的值；(2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接MN ，且2BMN MND ∠=∠，若两灯光束交于点E ，在转动过程中，请探究BME ∠与MEF ∠的数量关系是否发生变化？并说明理由．【答案】(1)①N ；②当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行(2)不变，BME MEF ∠=∠．理由见解析【分析】（1）①分别计算M 、N 回转时间，然后比较即可；②根据M 、N 均未回转即30120t <<和N 回转后即120180t <<两种情况，进行求解即可；（2）由AB CD ，可得180BMN MND ∠+∠=︒，则12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，由2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，得1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，求得180MEN t ∠=︒−︒，则MEF t ∠=︒，进而可得BME MEF ∠=∠．【详解】（1）①解：光束M 回转时间为1801180t =÷=（秒）；光束N 回转时间180230120t =÷+=（秒）；∵120180<，∴光束N 先回转，故答案为：N ；②解：当30120t <<时，如图1，∵AB CD ，∴BMM MM C ''∠=∠， ∵MM NN ''∥，∴N NC MM C ''∠=∠， ∴BMM N NC ''∠=∠，∴()230t t =−，解得60t =；当120180t <<时，如图2，∵AB CD ，∴180BMM MM D ''∠+∠=︒， ∵MM NN ''∥，∴N ND MM D ''∠=∠， ∴180BMM N ND ''∠+∠=︒，∴()230180180t t +−−=⎡⎤⎣⎦，解得140t =，综上所述，当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行；（2）解：不变，BME MEF ∠=∠．理由如下：∵AB CD ，∴180BMN MND ∠+∠=︒，∵2BMN MND ∠=∠，∴12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，∵2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，∴1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，∴()()1801202120180MEN t t t ∠=︒−︒−︒−︒−︒=︒−︒，∴MEF t ∠=︒，∠=∠．∴BME MEF【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．2．（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD 分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)70(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确AB∥CD时的t值．【详解】（1）解：AB∥CD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE ＜90°＜∠ACD ，则AB 与CD 不平行；③当40s ＜t≤80s 时，如下图，有∠BAC ＜∠ACD ，AB 与CD 不平行；④当80s ＜t≤120s 时，如下图，若AB ∥CD ，则∠BAC=∠DCF ，即3t -240=t -40，解得t=100，∴当t=100s 时，AB ∥CD ；综上可知，在射线AB 转动一周的时间内，存在时间t ，使得CD 与AB 平行，其t=10s 或100s ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 3．（2023下·吉林松原·七年级统考期末）如图，PQ MN ∥，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转动的速度是/a ︒秒，射线BQ 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足2|6|(1)0a b −+−=．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）(1)=a ，b = ；(2)若射线AM 、射线BQ 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．(3)若射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行？【答案】(1)6，1(2)907t =s(3)射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行【分析】（1）依据()2610a b −+−=，即可得到a ，b 的值；（2）依据90ABO BAO ∠+∠=︒，180ABQ BAM ∠+∠=︒，即可得到射线AM 、射线BQ 第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，列出方程即可得到射线AM 、射线BQ 互相平行时的时间．【详解】（1）2|6|(1)0a b −+−=， 60a ∴−=，10b −=，6a ∴=，1b =，故答案为：6，1；（2）设至少旋转t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．如图，设旋转后的射线AM 、射线BQ 交于点O ，则BO AO ⊥，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，PQ MN ∥，180ABQ BAM ∴∠+∠=︒，90OBQ OAM ∴∠+∠=︒，又OBQ t ∠=︒，6OAM t ∠=︒，690t t ∴︒+︒=︒，90()7t s ∴=；（3）设射线AM 再转动t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．如图，射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒后，AM 转动至AM '的位置，186108MAM '∠=⨯=︒，分两种情况：①当918t <<时，QBQ t '∠=︒，6M AM t '''∠=︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，645BAM M AM M AB t ''''''∠=∠−∠=−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''， 此时，45645t t ︒−︒=−︒， 解得907t =；②当1827t <<时，QBQ t '∠=︒，690NAM t ''∠=︒−︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，45(690)1356BAM t t ''∠=︒−︒−︒=︒−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，此时，451356t t ︒−︒=︒−，解得18t =； 综上所述，射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．【经典例题四 平行线中的旋转问题】 【例4】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线MN 上（直角三角板ABC 和直角三角板EDC ，90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，30DCE ∠=︒，90ABC ∠=︒，45BAC BCA ∠=∠=︒），保持三角板EDC 不动，将三角板ABC 绕点C 以每秒5︒的速度顺时针旋转，旋转时间为t 秒，当AC 与射线CN 重合时停止旋转．(1)如图②，当AC 为DCE ∠的平分线时，t =____________；(2)当18t =时，求BCD ∠的度数；(3)在旋转过程中，当三角板ABC 的AB 边平行于三角板EDC 的某一边时（不包含重合的情形），直接写出t 的值．【答案】(1)3(2)15︒(3)t 的值为15或27或35【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．（1）根据角平分线的定义求出1152ACE DCE ∠=∠=︒，然后求出t 的值即可；（2）当18t =时，旋转角为90︒，可求出ACE ∠，即可求出BCD ∠；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t 的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，∴30DCE ∠=︒，∵AC 平分DCE ∠， ∴1152ACE DCE ∠=∠=︒， ∴1535t ==，（2）当18t =秒时，CA 的旋转角度为185=90⨯︒︒，即90ACE ∠=︒，如图，∴=BCD ACE ACB DCE ∠∠−∠−∠=904530︒−︒−︒15=︒；（3）①当AB DE ∥时，如图，此时BC 与CD 重合，旋转角度为75BCA ECD ∠+∠=︒，∴()3045515t =+÷=；②当AB CE ∥时，如图，∵AB CE ∥，∴90BCE B ∠=∠=︒，∴9045135ACE ∠=︒+︒=︒，∴135527t =÷=；③当AB CD ∥时，如图，∵AB CD ∥，∴90BCD D ∠=∠=︒，∴309045175ACE ∠=︒+︒+︒=︒，∴175535t =÷=．【变式训练】 1．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A 射线自AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a ︒/秒，灯B 转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足()2340a a b −++−=．假定主道路是平行的，即PQ MN ∥，且:1:3BAN ABP ∠∠=．(1)填空：=a _______，b =_______，BAN ∠=_______︒；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，灯A 射线转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3 1 45(2)15秒或82.5秒(3)不发生改变32BAC BCD ∠=∠【分析】（1）根据绝对值与平方数的非负性即可求解；根据同旁内角互补并结合已知条件可求得BAN ∠的度数．（2）根据题意，当两灯的光束互相平行时，内错角相等即可列出方程求解．（3） 设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=设法把BAC ∠与BCD ∠用含x 的代数式表示出来即可获得两角的关系式．【详解】（1）∵()2340a a b −++−=，∴30,40a a b −=+−=∴3,1a b ==．∵PQ MN ∥，∴180BAN ABP ∠+∠=︒．由:1:3BAN ABP ∠∠=得3ABP BAN ∠=∠∴4180BAN ∠=︒，∴45BAN ∠=︒．（2）如图．设在灯B 射线赶到达BQ 之前，灯A 射线转动t 秒，两灯的光束平行，①在灯射线到达AN 之前，由题意得，303t t +=，解得：15t =（秒）②在灯A 射线到达AN 之后，由题意得：()()318030180t t −︒++︒=︒（同旁内角互补，两直线平行）解得：82.5t =（秒）∴灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．（3）BAC ∠与BCD ∠的数量关系不发生变化．理由如下：如图．由⑴知45BAN ∠=︒，∴18045135ABP MAB ∠=∠=︒−︒=︒．设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=∴3x 135BAC MAC MAB ∠=∠−∠=−︒，①135ABC ABP PBC x ∠=∠−∠=︒−，∴()()18018031351351802BCA BAC ABC x x x ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−︒−=︒−∵CD AC ⊥，∴()90901802290BCD BCA x x =︒−=︒−︒−=−︒∠∠②由①②得，23BAC BCD ∠=∠ ∴32BAC BCD ∠=∠【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的判定、三角形内角和、用含字母的代数式表示角度等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线AB ，CD 和一块含45︒角的直角三角尺()90EFG EFG ∠=︒”为主题开展数学活动，已知点E ，F 不可能同时落在直线AB 和CD 之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45︒角的顶点E ，G 分别放在AB ，CD 上，若150BEG ∠=︒，求FGC ∠的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，若点E 恰好落在AB 和CD 之间，且AB 与EF 所夹锐角为25︒，求FGC ∠的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，旋转三角尺，若存在()545FGC DGE DGE ∠=∠∠<︒，直接写出射线GF 与AB 所夹锐角的度数．【答案】（1）105︒（2）115︒（3）67.5︒或11.25°【分析】（1）根据平行线的性质得出180BEG EGD +=︒∠∠，得出30EGD ∠=︒，即可求解．（2）设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，推出EN AB ∥．根据平行线的性质得出则25NEM BME ∠=∠=︒．求出NEG ∠，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论：①当点E 在CD 上方时，②当点E 在CD 下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可.【详解】解：（1）∵AB CD ∥，180BEG EGD ∴∠+∠=︒．又150BEG ∠=︒，30EGD ∴∠=︒，1803045105FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（2）如图1，设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，∵AB CD ∥，EN CD ∥EN AB ∴∥．25NEM BME ∴∠=∠=︒．452520NEG ∴∠=︒−︒=︒．又EN CD ∥，20DGE NEG ∴∠=∠=︒，1802045115FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（3）67.5︒或11.25°．如图2，AB 交GF 于点H ，当点E 在CD 上方时，设EGD x ∠=，则5FGC x ∠=，∴545180x x +︒+=︒，解得22.5x =︒．∴4522.567.5AHG HGD ∠=∠=︒+︒=︒；如图3，延长GF 交AB 于点H ，当点E 在CD 下方时，设EGD y ∠=，则5FGC y ∠=，∴()545180y y +︒−=︒，解得33.75y =︒，∴4533.7511.25AHG HGD ∠=∠=︒−︒=︒．综上所述，AHG ∠的度数为67.5︒或11.25°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 3．（2022上·陕西延安·七年级统考阶段练习）如图1，已知PQ MN ∥，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，且45BAN ∠=︒，射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转（速度是a ︒/秒），射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转（速度是b ︒/秒）、且a 、b 满足()2310a b −+−=．(1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t 秒()60t <，两条旋转射线交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，求BAC ∠与BCD ∠的数量关系；(2)若射线BP 先旋转20秒，射线AM 才开始旋转，设射线AM 旋转时间为t 秒()160t <，若旋转中AM BP ∥，求t 的值．【答案】(1)23BAC BCD ∠=∠；(2)若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a ，b 的值，由题意可得3135BAC t ∠=−︒，再根据PQ MN ∥即可得到ACB CBD CAN ∠=+∠，从而可得1802BCA t ∠=︒−，再根据=90ACD ∠︒，可得290BCD t ∠=−︒，从而可得32BAC BCD ∠∠=：：，即可得出结论；（2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM 、射线BP 互相平行时的时间．【详解】（1）解：∵a 、b 满足()2310a b −+−=．∴3010a b −=−=，，∴31a b ==，，由题意得3CAM t CBD t ∠=∠=，，∵180345CAN t BAN ∠=︒−∠=︒，， ∴4518033135BAC t t ∠=︒−︒−=−︒（）， 过点C 作CE PQ ∥，∴CBD BCE t ∠=∠=，∵PQ MN ∥，∴PQ CE MN ∥∥，∴1803CAN ACE t ∠=∠=︒−，∵ACE BCE ACB ∠+∠=∠，∴18031802ACB CBD CAN t t t ∠=+∠=+︒−=︒−，∵CD AC ⊥，∴=90ACD ∠︒，∴()90901802290BCD ACB t t ∠=︒−∠=︒−︒−=−︒，∴32BAC BCD ∠∠=：：， 即23BAC BCD ∠=∠；（2）解：∵160t <，∴()2011803480t t +⨯<<，，即射线BP 旋转的角度小于180︒，①当3180t <，即060t <<时，()3201t t =+⨯，解得：10t =；②当1803270t <<且()20190t +⨯>，即7090t <<时， ()3180201180t t −++⨯=， 解得：85t =；③当()360348020190t t <<+⨯>且，即120160t <<时， ()3360201t t −=+⨯， 解得：190t =（不合题意，舍去）；∴若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 4．（2023上·广西贵港·七年级校考期末）如图，直线AB CD ∥，MN AB ⊥分别交AB ，CD 于点M 、N ，射线MP 、MQ 分别从MA 、MN 同时开始绕点M 顺时针旋转，分别与直线CD 交于点E 、F ，射线MP 每秒转10︒，射线MQ 每秒转5︒，ER ，FR 分别平分PED ∠，QFC ∠，设旋转时间为t 秒()018t <<．(1)用含t 的代数式表示：AMP ∠=________︒，QMB ∠=________︒；(2)当4t =时，REF ∠=________︒．(3)当130MEN MFN ∠+∠=︒时，求出t 的值．【答案】(1)10t ，()905t −(2)70(3)8t =或283t =.【分析】（1）由题意不难得出10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，继而得到()905QMB t ∠=−︒；（2）由平行线的性质可得10MEF AMP t ∠=∠=︒，再结合ER 是PED ∠的平分线，即可求解；（3）由平行线的性质可得10MEN AMP t ∠=∠=︒，再由MN AB ⊥得到MN CD ⊥，从而求得905MFN t ∠=︒−︒，分两种情况讨论：当点E 在N 左侧时和当点E 在N 右侧时，结合已知条件，即可求解；【详解】（1）解：由题意得：10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，AB CD ∥，MN AB ⊥，()90905905QMB NMF t t ∴︒∠=︒−∠=︒−︒=−；故答案为：10t ，()905t −； （2）AB CD ∥，10MEF AMP t ∴∠=∠=︒，ER Q 是PED ∠的平分线，()()111801801090522REF MEF t t ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒−︒，∴当4t =时，905470REF ∠=︒−⨯︒=︒；故答案为：70；（3）①当点E 在N 左侧时，AB CD ∥，10MEN AMP t ∴∠=∠=︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，10905130t t ∴︒+︒−︒=︒，解得：8t =；②当点E 在N 右侧时，如图，AB CD ∥，10AMP t ∠=︒，180MEN AMP ∴∠+∠=︒，18010MEN t ∴∠=︒−︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，180********t t ∴︒−︒+︒−︒=︒， 解得：283t =；【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是对这些知识点的掌握和熟练应用． 5．（2022下·天津南开·七年级校联考期中）将一副三角板中的两个直角顶点C 按如图方式叠放在一起．(1)若45DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为________；若140ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为________；(2)猜想ACB ∠与DCE ∠的大小关系，并说明理由；(3)若将三角板BCE ∠绕点C 按顺时针方向继续旋转，当90ACE ∠<︒时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请画出图形，并直接写出ACE ∠的大小．【答案】(1)135︒；40︒(2)180ACB DCE ∠+∠=︒，见解析(3)存在，见解析，当AC EB ∥时45ACE ∠=︒，当AD BC ∥时，30ACE ∠=︒【分析】（1）根据角度之间的和、差计算即可；（2）根据角度之间的和、差计算即可；（3）分两种情况讨论：AC EB ∥和AD BC ∥，根据图形，利用平行线的性质和角度之间的和、差关系求解即可．【详解】（1）解：若45DCE ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，904545ACE ACD DCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，4590135ACB ACE DCE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；若140ACB ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，1409050ACE ACB BCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，905040DCE ACD ACE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒；故答案为：135︒；40︒；（2）证明：90ACB DCB ∠=︒+∠，90DCE DCB ∠=︒−∠，9090180ACB DCE DCB DCB ∴∠+∠=︒+∠+︒−∠=︒；（3）解：如图所示，当AC EB ∥时，45CEB ∠=︒，∴45ACE CEB ∠=∠=︒；。

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平行线的经典题型
一、平行线之间的基本图形
1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，
F 是两条角平分线的交点；求证：1
2
F AEC ∠=∠.
2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系如何？
你能找出其中的规律吗？
3、将题变为如下图：AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？
4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A B
D
C
E
二、 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】
1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．
2、已知：如图,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,
求证：DO ⊥AB.
3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。

4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.
D
B C A F
E
A
D
F
B
E C
A B
E
F D
A
B
E F C
M
N
A
D
B
C
b
2
1
a
E
三、两组平行线构造平行四边形
1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ． 求证：AB ∥CD ．
2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ．
3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。

四、证特殊角
1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ．
2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300
，则∠PFC ＝_____．
3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF.
4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．
5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．
6、 求证：三角形内角之和等于180°．
五、寻找角之间的关系
1、如图,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.
A
B C
D
E
F
1
4
2
3
2
1
G
F
E
D
B C
A
E 2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD ∥BE 。

3．如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 六、翻折
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝55°，则∠
AED ′的度数为 。

2、如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则∠B 的度数等于 。

图2
3、如图3，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′， 若ADC ∠′=20°，则∠DBC =的度数为 _。

4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝20°按图中所示方法将 △BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则∠BDC =__________．
5、如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，
则图中①②③④四个三角形的周长之和为 ．
6. 如图①是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③.（1）若∠DEF=200
，则图③中∠CFE 度数是多少？
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE 用α表示.
E
D
B
C′
F C
D ′
A
图1
C
1
2 3
A
B D F A D
B C E
F 1
2
3
4
A 1
2
B
C
图3
C ′
A
D
C
B
20° A E B
F
C
D 图
A E
B
F C
D
A E B
F C
D 图
A
B
C
D
C’。

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