27.6(2)正多边形与圆

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专题11 正多边形和圆(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法

专题11 正多边形和圆概念规律重在理解一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

二、正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性。

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2.正多边形的中心对称性。

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3.正多边形的画法。

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

三、正多边形的性质任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.(1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.(2)外接圆的半径叫作正多边形的半径.(3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距.(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于360n四、正多边形的有关计算(1)正n边形的中心角怎么计算？(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？(3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？特别重要：圆内接正多边形的辅助线(1)连半径，得中心角；(2)作边心距，构造直角三角形.典例解析掌握方法【例题1】(2021贵州贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．144°B．130°C．129°D．108°【答案】A【解析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°．FA GB HC ID JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则【例题2】（2021南京）如图，,,,,∠+∠+∠+∠+∠=______︒．BAF CBG DCH EDI AEJ【答案】180︒【解析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．如图：过圆心连接五边形ABCDE的各顶点，∠+∠+∠+∠+∠则OAB OBC OCD ODE OEA=∠+∠+∠+∠+∠OBA OCB ODC OED OAE1=-⨯︒=︒(52)1802702∴BAF CBG DCH EDI AEJ∠+∠+∠+∠+∠=⨯︒-∠+∠+∠+∠+∠590()OAB OBC OCD ODE OEA=︒-︒450270=︒．180【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB 的度数，利用弦切角定理∠PAB．连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．23，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是【例题4】如图，正六边形ABCDEF的边长为多少？【答案】18【解析】过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．各种题型强化训练一、选择题1．（2021江苏连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN 周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，则△AMN的周长的最小值为3+1＝8．2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm【答案】A【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，∴BD=OB•sin30°=12×=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．连接OB，∵OB=4， ∴BM=2， ∴OM=2，==π，故选D ．4．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=-．二、填空题1.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm ．【答案】50．【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．如图，设圆心为O，连接AO，CO∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．2．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．【答案】10．【解析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数103．（2020•南京）如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【答案】2．【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T，证明S△PEF＝S△BEF，求出△BEF的面积即可．连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BE，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°，∴BF＝2BT＝2，∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF•EF•BF224．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．【答案】7π．【解析】利用弧长公式计算即可解决问题．的长，的长，的长，的长，的长，的长，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度7π，5．（2020•贵阳）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．【答案】120．【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．【解析】连接OA，OB，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°6．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴2120224360rππ⨯⨯=，2224,3rππ∴=236,r∴=解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：6.7．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．【答案】48．【分析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60°，则∠C＝60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，则∠EDC＝72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4120°，∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°﹣120°＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4108°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，∴∠EDC＝180°﹣108°＝72°，∴α＝∠CED＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣72°＝48°。

华东师大版九年级数学下册教案：274 正多边形和圆

课题27.4 正多边形和圆授课人教学目标知识技能使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；能应用正多边形的边角关系进行有关计算．数学思考使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维．问题解决使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神．情感态度通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心.教学重点理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其求法．教学难点探索正多边形和圆的关系．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾(多媒体演示)问题： 1．切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆． 2．请画出垂径定理的基本图形，并说明其中的数量关系． 3．什么是正多边形？你对正多边形有多少了解？师生活动：教师引导学生进行解答，并适时做出补充和讲解．回顾以前学习过的且对本节课的学习有基础作用的知识，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(课件展示)观看下列美丽的图案，提出问题：图27－4－4(1)你能从这些美丽的图案中找出正多边形吗？(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作出一个正多边形呢？师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系．创设情境，使学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生探索的热情，调动学生学习的积极性. 活动【探究新知】二：实践探究交流新知问题1：将一个圆分为五等份，依次连结各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论．师生活动：教师演示作图并提示学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程．教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：图27－4－5如图27－4－5，∵AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EA︵，∴AB＝BC＝CD ＝DE＝EA.∵BAD︵＝CAE︵＝3AB︵，∴∠C＝∠D.同理可证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∴五边形ABCDE是正五边形．∵A，B，C，D，E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形.活动二：实践探究交流新知教师小结：圆心O到各边的距离都相等，记为r，那么以点O为圆心、r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它就是正五边形的内切圆．归纳：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．问题2：如果将圆n等分，依次连结各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形．师生活动：学生思考，然后小组内交流、讨论，教师根据学生的回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解．教师重点关注：学生能否利用正多边形的定义进行判断；学生能否由圆内接正多边形的各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等；学生能否举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．1.将结论由特殊推广到一般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法．2．教学中，使学生明确圆内接正多边形必须满足各边相等，各角相等，培养学生严谨的态度和思维批判性．3．通过学生探索、归纳，教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、【应用新知】活动一：教师演示课件，根据正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念进行相关计算．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a，半径R，边心距r有什么关系？(3)正多边形的面积如何计算？图27－4－6师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：正n边形的中心角等于360°÷n，(a2)2＋r2＝R2.活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分呢？师生活动：学生小组内讨论，得到：把中心角n等分，则弧被n等分，即可得到正多边形．教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明两条半径和一边构成等边三角形．正六边形.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图27－4－7，有一个亭子，它的地基是边心距为2 3的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留根号)．图27－4－7解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，而OB＝OC，OP⊥BC，∴△OBC是等边三角形，∠BOP＝∠COP学生在教师的引导下，将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等集中在一个三角形中研究，可以利用勾股定理进行计＝30°，∴BC ＝OB ，cos 30°＝OPOB，而OP ＝2 3，∴BC ＝OB ＝4，∴该地基的周长＝4×6＝24，面积＝6×12×4×2 3＝24 3.师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答．教师总结：正六边形中由两条半径和边组成的三角形为等边三角形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积再乘6即可．变式训练如图27－4－8，正六边形螺帽的边长是2 cm ，这个扳手的开口a 的值应是(A )A ．2 3 cmB . 3 cm 图27－4－8C .2 33cm D ．1 cm算，进而能够求得正多边形的所有量．教师引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题.【拓展提升】例2 已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图27－4－9(续表)活动三：开放训练体现应用方法一：①用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；②连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．方法二：①用量角器画圆心角∠BOC＝120°；②在⊙O上用圆规截取弧AB＝弧BC；③连结AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．方法三：①作直径AD；②以点D为圆心，OD长为半径画弧，交⊙O于点B，C；③连结AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．例3如图27－4－10，AB，CD是⊙O中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，OA为半径画弧，与⊙O交于E、F两点．(1)求证：AE是正六边形的一边；(2)请在图上继续画出这个正六边形．解：(1)证明：连结OE，OF，AF，∵AE＝OA＝OE，∴△AOE是等边三角形，故∠OAE＝60°，同理可证：△OAF是等边三角形．∴∠OAF＝60°，∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°，∴AE是正六边形的一边．图27－4－10(2)以B为圆心，AE长为半径画弧，与⊙O交于点G，H，然后顺次将A，E，G，B，H和F连结起来就得到正六边形.及时获知学生对所学知识的掌握情况，落实本课的学习目标．分层设计可让不同程度的同学最大限度地发挥他们的潜力，树立学好数学的信心.活动四：课堂总结反思【达标测评】1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(B)A．6，3 2B．6，3 3C．3 3，6D．6，3 2．如图27－4－11，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是(A)A．∠BAC＝30°B.AC︵＝BC︵C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长图27－4－11 图27－4－123.如图27－4－12，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y＝kx位于第一象限的图象上，则k的值为__9_3__.(续表)活动四：课堂总结反思4.如图27－4－13，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)求证：∠G＝2∠F.图27－4－13解：(1)∵五边形ABCD是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，∵DC＝BC，∴△CDB是等腰三角形．∵∠C＝108°，∴∠1＝∠CBD＝36°.∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°.∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°，∴∠F＝∠BAF＝36°，∴△BAF是等腰三角形，进而可得∠GEA＝∠G＝∠2＝72°，∴△FDG，△AEG是等腰三角形，故等腰三角形有△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.(2)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB，得∠1＝36°，∴∠2＝108°－36°＝72°.又∵AF∥CD，∴∠F＝∠1＝36°，故∠G＝180°－∠2－∠F＝180°－72°－36°＝72°＝2∠F.师生活动：学生完成达标测评后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案.设置达标测评的目的是使学生加深对所学知识的理解和运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，增加开放型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力得以提升.【课堂小结】(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？布置作业：教材P67习题27.4第1，2，3题．巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励、进行思想教育.【知识网络】提纲挈领，重点突出.(续表)活动四：课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以相互转化的，并培养和训练学生综合运用知识和解决实际问题的意识，渗透数形结合的思想和方法．②[讲授效果反思]引导学生注意以下几点：(1)正多边形的相关概念；(2)正多边形中的相关计算；(3)正多边形的画法．③[师生互动反思]从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体验知识的发生和发展过程，学有所获．④[习题反思]好题题号__________________________________________错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.典案二导学设计编写人时间月日学生姓名班级年级班组学习目标1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

初中数学知识点：正多边形和圆知识点

初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

几何中的正多边形与圆的内切外切

几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。

正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。

本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。

一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。

内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。

以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。

二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。

外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。

以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。

三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。

1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。

人教版初中九年级上册数学课件《正多边形和圆》圆

18
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.

2正多边形与圆(第1课时)课件

如果是,那么对称轴有几条?这些对称轴的散布有什么特点?
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距（r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的中心每旋转60度可以与它自身重合.

《正多边形和圆》重点、难点

《正多边形和圆》重点、难点
1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。

2.正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：
其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。

（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3.有关的概念
（1）正多边形的中心
（2）正多边形的半径
（3）正多边形的边心距
（4）正多边形的中心角
4.正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有
（）；（）；（）；（）；（）；（）；1360221803180414561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅n
a R n r R n R r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos
（）正多边形的每一个内角，内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n
5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。

6.重点和难点：
（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。

正多边形和圆-ppt课件

“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于

华师大版数学九年级下册27.4《正多边形和圆》教学设计

华师大版数学九年级下册27.4《正多边形和圆》教学设计一. 教材分析《正多边形和圆》这一节内容，主要让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。

教材通过引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已有了一定的几何知识基础，如对图形的认识，对多边形的性质等。

但学生对正多边形和圆的概念可能还比较陌生，因此，教师在教学中应注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，以及圆的定义和性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的学习兴趣。

四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义，正多边形的性质，圆的定义和性质。

2.难点：正多边形和圆的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识正多边形和圆。

2.自主探究法：引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探究正多边形和圆的性质。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，解决问题，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、正多边形和圆的模型。

2.学具：学生用书、练习本、彩笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的正多边形和圆的实例，如足球、篮球、硬币等，引导学生认识正多边形和圆，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现正多边形和圆的定义和性质，引导学生初步理解正多边形和圆的概念。

3.操练（10分钟）教师引导学生观察正多边形和圆的模型，让学生通过自主探究，发现正多边形和圆的性质。

4.巩固（10分钟）教师通过实例，让学生应用正多边形和圆的性质解决问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师引导学生探究正多边形和圆的关系，让学生体会数学与实际生活的联系。

正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。

外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180Rn L π= 5、圆扇形，弓形的面积（l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形注意：因为扇形的弧长180Rn L π=。

所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。

如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。

27.6 正多边形与圆(2)

27.6 正多边形与圆（2）[几何计算]第一组 27-171、如果一个正多边形的外角的余弦值是12，那么它为（） A 、等边三角形 B 、正方形 C 、正六边形 D 、正五边形2、将正十边形绕它的中心旋转，可以与原来的正十边形重合，如果是首次重合，那么旋转角为（）A 、180ºB 、36ºC 、60ºD 、18º3、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是（） A 、两角互余 B 、两角互补 C 、两角互余或互补 D 、不能确定4、已知正十边形的边心距是30，那么这个正十边形的面积是（） A 、45sin 36º B 、90tan 18º C 、45cos 36º D 、90cot 18º5、圆的内接正n 边形与外切正n 边形的边长之比是（） A 、sin 180ºnB 、cos 180ºnC 、tan180ºnD 、cot180ºn6、半径长相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A 、1：√2：√3B 、1：2：3C 、√3：√2：1D 、3：2：17、如果正方形ABCD 的外接圆的半径为R ，那么这个正方形的面积是。

8、如果圆的半径为R ，那么它的内接正三角形的边长等于，边心距等于。

9、边长为3的正三角形的面积是。

10、正n 边形的一个中心角为40º，那么n = 。

11、在半径为4的圆中，内接正方形的边心距为。

12、正多边形有27条对角线，则这个正多边形的内角和为。

13、若正六边形ABCDEF 的外接圆的半径为r ，则正六边形ABCDEF 的面积等于。

14、一个正多边形的一个外角的余弦值等于√32，则这个正多边形的边数是。

15、已知圆的半径为6，求这个圆的外切正六边形的周长。

16、已知正六边形的边长为a ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。

专题06正多边形与圆(原卷版)

专题06 正多边形与圆知识梳理：一.、正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二.、正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三.、正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；题型一：正多边形的相关概念【例1】下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．【例2】以下说法正确的是( )A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．【例3】以下说法错误的是（）A．多边形的内角大于任何一个外角B．任意多边形的外角和是360︒C．正六边形是中心对称图形D．圆内接四边形的对角互补【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个B．4个C．5个D．6个【例5】正十边形的中心角是（）A．18°B．36°C．72°D．144°【例6】下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720︒C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【例7】若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7题型二：正多边形与圆的有关计算【例1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15【例2】如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（）A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④【例3】如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，∠等于__________度.DG PC⊥，垂足为G，则PDG、分别是O内接正三角【例4】如图，A、B、C是O上顺次三点，若AC AB形、正方形的一边，∠=__________．则BACAB ，连接AD，则AD的长为______【例5】如图，正六边形ABCDEF中，1【例6】如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .【例7】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【例8】如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°题型三：正多边形的画法【例1】作图与证明:如图，已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.【例2】已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点E在AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.【例3】已如：⊙O与⊙O上的一点A（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【例4】如图正六边形ABCDEF的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．【例5】如图，A是⊙O上一点．（1）作⊙O的内接等边△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为3，求△ABC的边长．【例6】已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为____．题型四：内接圆外接圆综合【例1】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（B ）A．1：2：3B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【例3】若⊙O是△ABC的外接圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=______．若⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=_____．【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=______°．【例5】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【例6】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为______．2【例7】若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为．3．【例8】已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为．【例9】如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为cm．．题型四：解答题题型【例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．【例2】如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．【例3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．【例4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，C．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．【例5】如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．课后练习1、半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A．2B．1C．D．2、如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．3、若一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的内角和是度．4、半径为5的正六边形的周长为．5、如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为．6、如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．7、如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需个五边形完成这一圆环．8．半径为R的圆内接正多边形中，下列图形边心距最大的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形9．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．10．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10B．8C．6D．511．已知⊙O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为．12．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F，求证：AC＝AB+BF．。

《正多边形和圆(共2课时)》参考教案

24．3 正多边形和圆（共2课时）第一课时：正多边形和圆教学目标1、了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．难点：探索正多边形与圆的关系．教学过程一、问题与情境，引入新课观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？引入新课。

二、探究新知探究一：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．关注（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．探究二如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．探究三各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．[活动3]学生观看课件，理解概念．例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×12×a ×a=32三、课堂练习完成教材第105练习页习题24．3第1题．四、课堂小结1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．五、布置作业1．教科书第107页习题24．3第3、5、6题．2．思考题1、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？2、正n 边形的半径，边心距，边长又有什么关系？第二课时：正多边形和圆教学内容1、在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．3．正多边形的画法．重点：并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．教学过程一、复习回顾：1、一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2、外接圆的半径叫做正多边形的半径．3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、探究新知:现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB=3605=72°，如图，∠AOC=30°，OA=12AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．三、巩固练习教材P107 练习四、应用拓展例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且h DN NF h AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hF D E CA NG分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．解：（1）由AB ·CG=AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯==4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x - 则S 四边形DEFN =x ·104.8（4.8-x ）=-2512x 2+10x =-2512（x 2-12025x ）=-2512 [（x-6025）2-3600625]=-25x （x-2.4）2+12 ∵-25x （x-2.4）2≤0 ∴-25x （x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．∴BE=2222-=-=1.83 2.4DE EF∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵当x=2.4时，DE=5∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．五、归纳小结（学生小结，老师点评）1．画正多边形的方法．2．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°二、填空题1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．。

27.6 正多边形与圆(作业)(解析版)

27.6 正多边形与圆（作业）一、单选题1．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据题意可以求出这个正n 边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则这个正n 边形的中心角是60°，360606¸°=on 的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.2．（2020·上海）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（）A ．sin 36a°B ．cos36a°C ．2sin18a°D ．2cos18a°【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ；∴OA=AM sin OAM Ð=218a sin °故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.3．（2020·上海九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．4．（2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模）（）D．A．2B．4C．【答案】A【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．【详解】如图，AOG＝30°，在Rt△AOG中，OG÷2；∴OA＝OG÷cos 30°故选A．【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．5．（2020·上海九年级专题练习）正六边形的半径与边心距之比为（）B1C2D．2A．1【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径...正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，2D．∴R：r＝1【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）下列四个命题中，错误的是（）A．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】B【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．【详解】A 、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项不符合题意；B 、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；C 、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；D 、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）若一个正九边形的边长为a ，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20a°B ．sin 20a°C ．2cos 20a°D ．2sin 20a°【答案】D【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOB=3609°．OC 是边心距，OA 即半径．根据三角函数即可求解．【详解】解答：如图所示，过O 作OC ⊥AB 于C ，则OC 即为正九边形的边心距，连接OA ，∵此多边形是正九边形，∴∠AOB=3609°=40°，OA=OB ，∴∠AOC=12∠AOB=12×40°=20°，∵AB=a ，∴AC=12a ，∴OA=sin AOCAC Ð=2sin20a °=2sin20a°．故选D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．8．（2020·上海九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A ．pB ．p -C ．2pD ．2p -【答案】D 【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，∴△ABC 的面积为12BC•AD=122´，S扇形BAC =2602360p´=23p，∴莱洛三角形的面积S=3×23p﹣﹣，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．二、填空题9．（2019·上海交大附中九年级）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】4p【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=r，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【详解】连接OA、OF，设OA=R，OF=r；Q AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，\90AFOÐ=°，AF=1122AB=\在Rt AFO △中，222AF AO FO =-即2221124R r æö=-=ç÷èø又Q ()22=S R r p -圆环，\1=4S p 圆环．故答案为4p ．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．10．（2020·上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE 至少旋转的度数为AOB Ð的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为AOB Ð的度数由正五边形的性质得：AOB BOC COD DOE AOEÐ=Ð=Ð=Ð=Ð又360AOB BOC COD DOE AOE Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°Q 1360725AOB \Ð=´°=°故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为，故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．12．（2020·上海九年级二模）如图，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =uuu r r ，AF b =uuu r r ，那么向量AD uuu r 用向量a r ，b r 表示为____．【答案】2a +r 2b r ．【分析】如图，连接BE 交AD 于O ．则AOB D 是等边三角形，OA OD =，根据三角形法则求出AO uuu r即可解决问题．【详解】如图，连接BE 交AD 于O ．∵ABCDEF 是正六边形，∴△AOB 是等边三角形，AO =OD ，∴∠FAO =∠AOB =60°，OB =AB =AF ，∴AF ∥OB ，∴BO AF b ==uuu r uuu r r ，∵AO AB BO a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，∵AD =2AO ，∴AD =uuu r 2a +r 2b r ．故答案为：2a +r 2b r ．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题13．（2020·上海九年级一模）如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ，∴12180180r r ap bp =∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ，∴α=β，∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.14．（2014·上海）如图，已知AD 既是△ABC 的中线，又是角平分线，请判断：（1）△ABC 的形状；（2）AD 是否过△ABC 外接圆的圆心O ，⊙O 是否是△ABC 的外接圆，并证明你的结论．试题分析：（1）过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ，根据HL 定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD ，可知AD 过圆心O ，故可得出结论．试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．证明：过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ．∵AD是角平分线，∴DE=DF．又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AD过圆心O．作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，∴⊙O是△ABC的外接圆．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．。

《正多边形与圆》教学设计(2020区优质课一等奖教案)

《正多边形与圆》教学设计(2020区优质课一等奖教案)《正多边形与圆》教学设计（2020区优质课一等奖教案）一、教学目标知识与技能1. 理解正多边形的定义及其性质。

2. 掌握圆的定义及其性质。

3. 能够运用正多边形和圆的知识解决实际问题。

过程与方法1. 通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和思维能力。

2. 学会用数学语言描述和解释几何图形。

情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生的团队合作意识和沟通能力。

二、教学内容1. 正多边形1.1 正多边形的定义：一个多边形如果所有角相等，且所有边相等，就称为正多边形。

1.2 正多边形的性质：正多边形的中心角等于 \( \frac{360°}{n} \)，其中 \( n \) 是正多边形的边数。

2. 圆2.1 圆的定义：平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。

2.2 圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离等于半径；圆上任意两点关于圆心对称。

三、教学过程1. 导入1分钟：通过展示一些生活中的正多边形和圆的图片，如圆桌、足球、车轮等，引导学生关注这些几何图形，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入5分钟：介绍正多边形和圆的定义和性质，让学生通过观察、操作、思考，理解正多边形和圆的本质特征。

3. 课堂讲解20分钟：详细讲解正多边形和圆的性质，通过例题展示如何运用正多边形和圆的知识解决实际问题。

4. 课堂练习10分钟：安排一些练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。

5. 总结与反思5分钟：让学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程，提出疑问。

四、教学评价通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对正多边形和圆的定义、性质的理解和运用程度。

同时，观察学生在课堂上的参与程度、思维能力和团队合作意识，全面评价学生的学习效果。

五、教学资源1. 正多边形和圆的图片素材。

2. 正多边形和圆的练习题。

3. 教学课件和教案。

六、教学建议1. 注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。

正多边形和圆知识点归纳

正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。