专题06 数列与数学归纳法(原卷版)

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数列与数学归纳法

数列与数学归纳法一、数列1. 数列的概念- 数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如：1,3,5,7,·s就是一个数列，其中的每一个数叫做这个数列的项，第n个数叫做数列的第n项，通常用a_{n}表示。

- 数列的表示方法：- 列举法：如数列2,4,6,8,10，直接将数列的项一一列举出来。

- 通项公式法：如果数列{a_{n}}的第n项a_{n}与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

例如，数列a_{n}=2n，n = 1,2,3,·s，当n = 1时，a_{1}=2×1 = 2；当n = 2时，a_{2}=2×2 = 4等。

- 递推公式法：给出数列的第一项（或前几项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前几项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式。

例如，数列{a_{n}}满足a_{1}=1，a_{n}=a_{n - 1}+2(n≥slant2)，通过这个递推公式可以依次求出数列的各项。

2. 等差数列- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示。

即a_{n}-a_{n - 1}=d(n≥slant2)。

- 通项公式：a_{n}=a_{1}+(n - 1)d。

例如，已知等差数列a_{1}=3，d = 2，则a_{n}=3+(n - 1)×2=2n + 1。

- 前n项和公式：S_{n}=frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+(n(n - 1))/(2)d。

3. 等比数列- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为0），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示。

即frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=q(n≥slant2)。

高中数学：“数列与数学归纳法”专题课共33页

Байду номын сангаас高中数学：“数列与数学归纳法”专题课
16、云无心以出岫，鸟倦飞而知还。 17、童孺纵行歌，斑白欢游诣。 18、福不虚至，祸不易来。 19、久在樊笼里，复得返自然。 20、羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左

专题06 数列与数学归纳法【解析版】

专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ． D ．【答案】D 【解析】对于A ，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，，A 正确；对于B ，由题意可知，，1212b S a a ==+， ∴，，，． ∴，．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得，B 正确；对于C ，，当时，，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，，．当时，，∴即24280b b b ->；当时，，∴即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【解析】因为，所以．即．故答案为：.3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设，由于，所以，故1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ . 所以 .由于10,1d b >=，所以，所以. 即，.4．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q . 由，()5435a a a =-，可得d =1. 从而的通项公式为. 由，又q ≠0，可得，解得q =2，从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有，和 ① 由①得 ②由①②得，由于，从而得：. 因此，.所以，数列的前2n 项和为.5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足24320,8a a a +==．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）100480S =. 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为. （2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则1617314b b b ====，即有个；对应的区间分别为：，则3233635b b b ====，即有个；对应的区间分别为：，则64651006b b b ====，即有个.所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.一、单选题1．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（） A ．2016 B ．1528 C ．1504 D ．992【答案】C 【解析】因为，所以，，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为故选：C2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（） A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】已知为等比数列，，且，满足，则S 3＝8．故选：A ．3．（2020·浙江高三期中）在数列中，，对任意的，，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】因为对任意的，都有，所以令，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为，所以，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，解得n =5，故选：C4．（2020·浙江杭州市·高一期末）设公差为d 的等差数列的前n 项和，若4228S S =+，则（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】因为4228S S =+，所以，所以，即，解得，故选：B.5．（2019·浙江高二学业考试）已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】数列是是正项等比数列，且，根据题意，数列是正项等比数列，设其公比为，则，则且，求得，故的值不可能是，故选．6．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等差数列的公差为正数，为常数，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】，, 令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，，即()2111t t -=++，解得则公差，所以. 故选：A7．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知数列满足，()11i i a a i +=+∈N ，则的值不可能是（） A ．2 B ．4 C ．10 D ．14【答案】B 【解析】由得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以，又，所以21200211a a a =++=，则，因为()11i i a a i +=+∈N ，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……，以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，；则所有可能取的值为，，，，，，，，，，，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B.8．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。

高三数学题：数列与数学归纳法

高三数学题：数列与数学归纳法数列是数学中重要的概念，也是高中数学中常见的考点。

数学归纳法作为解决数列问题的有效方法，也需要我们掌握和运用。

下面，我们将通过几道高三数学题，来探索数列及数学归纳法的应用。

题目1：已知数列 {an} 的通项公式为 an = 4n + 1，其中 n 是自然数。

求数列的前五项。

题目2：已知数列 {bn} 的前 n 项和 Sn = n(n+1)。

证明数列 {bn} 是等差数列，并求其通项公式。

题目3：已知数列 {cn} 的前 n 项和 Sn = 2^n - 1。

证明数列 {cn} 是等比数列，并求其公比。

解答1：根据题目给出的数列通项公式 an = 4n + 1，我们可以依次代入 n 的值来计算前五项。

当 n = 1 时，an = 4(1) + 1 = 5；当 n = 2 时，an = 4(2) + 1 = 9；当 n = 3 时，an = 4(3) + 1 = 13；当 n = 4 时，an = 4(4) + 1 = 17；当 n = 5 时，an = 4(5) + 1 = 21。

所以，数列的前五项依次为 5，9，13，17，21。

解答2：我们已知数列前 n 项和 Sn = n(n+1)。

要证明数列 {bn} 是等差数列，我们需要使用数学归纳法。

首先，当 n = 1 时，Sn = 1(1+1) = 2，代入数列的首项 b1，我们可以得到 b1 = 2。

其次，假设当 n = k 时，Sn = k(k+1)，数列的第 k 项为 bk，即 Sk = bk。

现在来证明当 n = k+1 时，Sn = (k+1)((k+1)+1)。

根据归纳假设，Sk = bk，那么 Sk+1 = bk + (k+1)。

根据题目中给出的数列 {bn} 的前 n 项和公式 Sn = n(n+1)，我们有 Sn+1 =(k+1)(k+2)。

因此，当 n = k+1 时，Sn = (k+1)((k+1)+1) 成立，数列 {bn} 为等差数列。

专题06 巧妙求和(原卷)

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题06 巧妙求和知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法

高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法数列与数学归纳法在高中数学中是非常重要的概念，在学习和应用过程中，练习题是最有效的辅助方式。

本篇文章将提供一些常见的高中数学数列与数学归纳法练习题，并附带详细解析。

题目一：1、一个等差数列的首项为3，公差为5，求第10项和第20项。

解析：已知a1=3, d=5. 求a10和a20。

根据公式an=a1+(n-1)d可求出：a10=3+(10-1)×5=48a20=3+(20-1)×5=98因此，数列第10项为48，第20项为98。

题目二：2、求下列数列的通项公式：3，6，9，12 ……解析：根据题目可以确定第一项a1=3，公差d=3。

因为首项为3，而公差为3，可以将通项公式表示为a_n=3+(n-1)×3。

因此，该数列的通项公式为an=3+(n-1)×3。

题目三：3、有一等比数列的第一项为1，公比为2，求第5项和第10项。

解析：已知a1=1，q=2. 求a5和a10。

根据公式an=a1×q^(n-1)，可得：a5=1×2^(5-1)=16a10=1×2^(10-1)=512因此，数列第5项为16，第10项为512。

题目四：4、已知数列{an}满足：a1=3, a3=7，每一项都等于前一项与后一项的和，求数列的通项公式。

解析：根据题目可以得到：a1=3a3=7a_n=a_(n-1)+a_(n+1) (n>1)将上述式子表示为：a_(n+1)=a_n+a_(n-1)设数列的通项公式为an=x^n，代入上式可得：x^(n+1)=x^n+x^(n-1)化简可得：x^2-x-1=0解方程可得：x1=(1+sqrt(5))/2 ,x2=(1-sqrt(5))/2由于数列的通项公式必须满足a1=3，因此，x=（1+sqrt(5))/2最终，求得数列的通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n。

高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法 6.4 数学归纳法课件理

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2.已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系(guān xì)是
√A.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B.f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 解析(jiě xī) f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋ (2k＋2)2.
1＋15·…·1＋2n1－1>
2n＋1 2 均成立.
12/11/2021
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多维探究
(tànjiū)
题型三归纳(guīnà)—猜想—证明
命题点1 与函数有关的证明问题
例2 设函数(hánshù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；
解 S1＝a1＝－23， S2＋S12＋2＝S2－S1⇒S2＝－34， S3＋S13＋2＝S3－S2⇒S3＝－45， S4＋S14＋2＝S4－S3⇒S4＝－56.
n＋1 由1此2/11/猜2021想：Sn＝－n＋2(n∈N＋).
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(2)用数学归纳法证明(zhèngmíng)所得的结论.
12/11/2021
123456
第十二页，共六十八页。
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PART TWO
题型分类(fēn lèi) 深度剖析
2021/12/11

专题06 数列与数学归纳法(解析版)

1 专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】D【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，。

高考数学章节总复习：《数列与数学归纳法》(含解析)

第六章⎪⎪⎪数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为12，34，78，1516，则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －12n (n ∈N *)2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5等于________．答案：11613．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3n －1，则a n ＝________. 答案：2×3n －11．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ，则该数列第________项最大．答案：4或5考点一由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )A ．2 017×2 024B ．2 017×1 012C ．2 018×2 024D ．2 018×1 012解析：选B 结合图形可知，该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)，所以a 2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×(2 020＋4)2＝2 017×1 012.2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1)，n ∈N *.(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)，n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1，而a 1＝2，不满足此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2－a 1，所以a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1，即a n ＝12a n －1＋1，即a n －2＝12(a n －1－2)．所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列，所以a n －2＝(－1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若a n ＞0，S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，即a 21－3a 1＋2＝0.解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1，所以a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－16(a n －1＋1)(a n －1＋2)，所以(a n －a n －1－3)(a n＋a n －1)＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1－3＝0，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列．所以a n ＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n .[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n(n ∈N *)．角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2，n ∈N *时，有a n ＝2a n －1－2，求数列{a n }的通项公式．解：因为a n ＝2a n －1－2，所以a n －2＝2(a n －1－2)．所以数列{a n－2}是以a1－2＝－1为首项，2为公比的等比数列．所以a n－2＝(－1)×2n－1，即a n＝2－2n－1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．(1)a1＝1，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)；(2)a1＝1,2na n＋1＝(n＋1)a n(n∈N*)；(3)a1＝1，a n＝3a n－1＋4(n≥2)．解：(1)由题意知a n＋1－a n＝2n，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由2na n＋1＝(n＋1)a n，得a n＋1a n＝n＋12n.所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a2a1·a1＝n2(n－1)·n－12(n－2)·n－22(n－3)·…·22×1×1＝n2n－1.(3)因为a n＝3a n－1＋4(n≥2)，所以a n＋2＝3(a n－1＋2)．因为a1＋2＝3，所以{a n＋2}是首项与公比都为3的等比数列．所以a n＋2＝3n，即a n＝3n－2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2＋n，则a5＝() A．25B．30C．10 D．12解析：选B因为a n＝n2＋n，所以a5＝25＋5＝30.2．(2018·浙江三地联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n －1－1D.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n－1－1)＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.3．(2018·衢州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n 为( )A.1n ＋1B.2n ＋1 C.1n D.2n解析：选B 由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n＝n ＋12，即a n ＝2n ＋1.4．(2018·诸暨模拟)已知数列{a n }中，对任意的p ，q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ，若a 1＝－1，则a 9＝________.解析：由题可得，因为a 1＝－1，令p ＝q ＝1，则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2，则a 4＝a 22＝1；令p ＝q ＝4，则a 8＝a 24＝1，所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.答案：－15．(2019·杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________.解析：因为S n ＝n 2，所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15，a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(2019·天台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96D ．93解析：选B 因为S n ＝2a n －3，当n ＝1时，S 1＝2a 1－3＝a 1，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1，解得a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 6＝3(1－26)1－2＝189.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n ，两式相减，得a n＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以有a n ＝0.当n ＝1时，a 1＋a 1＋a 2＝a 2，所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．4．(2019·绍兴模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前n 项和为10，则项数n 的值为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.5．(2018·丽水模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 由a 1＝35∈⎣⎡⎭⎫12，1，得a 2＝2a 1－1＝15∈⎣⎡⎭⎫0，12，所以a 3＝2a 2＝25∈⎣⎡⎭⎫0，12，所以a 4＝2a 3＝45∈⎣⎡⎭⎫12，1，所以a 5＝2a 4－1＝35＝a 1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.6．(2019·镇海模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数，得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以log 2a n ＝2n －1，所以a n ＝22n －1.答案：22n －17．(2018·海宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1，则该数列的前8项和为________．解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：288．在一个数列中，如果对任意的n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －12.解：(1)因为a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝32－1＋1＝4，a 3＝33－1＋a 2＝9＋4＝13.(2)证明：因为a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －a n －1＝3n －1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1＝3n －12(n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝3－12＝1满足条件．所以当n ∈N *时，a n ＝3n －12.10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1＞a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2＜32，即得k ＞－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972．(2018·温州模拟)设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判定数列{a n }的单调性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，f (2a n )＝2n (n ∈N *) ，所以f (2a n )＝log 22a n －log2a n 4＝a n －2a n ＝2n ，且0＜2a n ＜1，解得a n ＜0.所以a n ＝n －n 2＋2.(2)因为a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1.因为a n ＜0，所以a n ＋1＞a n . 故数列{a n }是递增数列．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(2018·温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________；S 7＝________.答案：－n ＋8 283．(2018·温州十校联考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( )A ．(－3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(2018·湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＝16，a 6＝10，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，要使S n 能够取到最大值，则需a n ＝－2n ＋22≥0，所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2017·嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 1S 4＝110，所以10a 1＝4a 1＋6d ，所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7＝2a 5，∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝－2d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(2019·绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝______，公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6，得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0，即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2，得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2，解得d ＝4，所以a 1＝－14.答案：－14 4[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2019·温州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为对于n ∈N *，a n ＋1＝1＋a n a n ＋12，所以a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1－1a n －1＝112－a n－1－1a n －1＝2－a n －1a n －1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n －1＝－2＋(n －1)(－1)＝－(n ＋1)，所以a n －1＝－1n ＋1，即a n ＝n n ＋1. [由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2＋1a n －1a n ＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·宁波模拟)在等差数列{a n }中，若a 9a 8＜－1，且其前n 项和S n 有最小值，则当S n ＞0时，n 的最小值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选C ∵数列{a n }是等差数列，它的前n 项和S n 有最小值，∴公差d ＞0，首项a 1＜0，{a n } 为递增数列，∵a 9a 8＜－1，∴a 8·a 9＜0，a 8＋a 9＞0，由等差数列的性质知2a 8＝a 1＋a 15＜0，a 8＋a 9＝a 1＋a 16＞0.∵S n ＝(a 1＋a n )n2，∴当S n ＞0时，n 的最小值为16. 2．(2018·嘉兴一中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足a n ＞0的最大n 的值为______，满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝______.解析：由题可得a 6＝S 6－S 5＞0，a 7＝S 7－S 6＜0，所以使得a n ＞0的最大n 的值为6.又a 6＋a 7＝S 7－S 5＞0，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＞0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＜0，因为{a n }是递减的等差数列，所以满足S k S k ＋1＜0的正整数k ＝12. 答案：6 12[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(2018·浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310 B.37 C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，因为S 4S 8＝13，所以不妨设S 4＝1，则S 8＝3，所以S 8－S 4＝2，所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10，所以S 8S 16＝310.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列，所以d ＞0，故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(2018·舟山期末)在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1，a 4＝5，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15. 3．(2019·缙云模拟)已知{a n }为等差数列，其公差d 为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1，因为a 7是a 3与a 9的等比中项，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(2019·腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？解析：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d 2＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，则a 6＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12，所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1，即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1，所以数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，所以a 6＝18－2＝4.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个． 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2019·台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝18，S 18＝54，则a 17＝________，S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 2＝18，S 18＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20，d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n .答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·金华浦江适考)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，其中a n ＝－3n ＋20，b n ＝|a n |，则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________，T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意，数列{a n }中，a n ＝－3n ＋20，则数列{a n }是首项为17，公差为－3的等差数列，且当n ≤6时，a n ＞0，当n ≥7时，a n ＜0，又由b n ＝|a n |，当n ≤6时，b n ＝a n ，当n ≥7时，b n ＝－a n ，则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6，T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2. 10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列，所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－12.(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(2018·台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4－2a 2＝4，a 3＝4，则a n ＝________；S 10＝________.解析：设公比为q ，因为a 4－2a 2＝4，a 3＝4，所以有4q －8q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3，则a 1＝( ) A .17 B.15 C.13D ．1解析：选C 由题可得，1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1，解得a 1＝13.2．(2018·杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中，若a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，由a 2，12a 3，a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1，所以有q 2－q －1＝0，解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2019·浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2，所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152.2．(2018·宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14，a 2a 8＝4(a 5－1)，则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1)，解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(2018·杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________.解析：由题可得，设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80，a 1(1－q 2)1－q＝8，解得a 1＝2，q ＝3，所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162.答案：3 162考点二等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2，所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，所以a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3，当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以当n ≥2时，b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．考点三等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.解析：由题可得，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，因为S 4S 2＝5，不妨设S 2＝1，则S 4＝5，所以S 4－S 2＝4，所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85，所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类1．(2018·诸暨模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( )A ．50B ．70C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，由S 3＝40，S 6－S 3＝20，知公比为12，故S 9－S 6＝10，S 9＝70.2．(2018·浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，所以a 3＋a 5＝5，所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4，所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·舟山模拟)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，由等比数列的性质及等比中项可知，xz ＝3，y 2＝3，且y 与－1，－3符号相同，所以y ＝－3，所以xyz ＝－3 3.2．(2019·湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A ．66B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以54(S 3n －60)＝36，解得S 3n ＝6023.3．(2018·金华十校联考)在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为( )A ．10B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(2018·浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n ，均有S n ＋3＝8S n ＋3，则a 1＝_________，公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3，所以当n ≥2时，S n ＋2＝8S n －1＋3，两式相减，可得a n ＋3＝8a n ，所以q 3＝8，解得q ＝2；当n ＝1时，S 4＝8S 1＋3，即15a 1＝8a 1＋3，解得a 1＝37.答案：3725．(2018·永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋n ，则a 1＝______，数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1，即a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *，p ≠－1)，则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ，所以当n ≥2时，a n ＝pS n －1＋q ，两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ，即当n ≥2时，a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时，a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时，a 2a 1＝1＋p ，满足上式，故数列{a n }为等比数列，所以是充分条件；当{a n }为等比数列时，有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1，解得a 1＝q ，所以是必要条件，从而选C.2．(2019·乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1，公比为4的等比数列，所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.5．(2019·金华模拟)设A n ，B n 分别为等比数列{a n }，{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1，则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知，A n B n＝12n ＋1，令A n ＝k (2n －1)，k ≠0，则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n－1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ，b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ，所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(2018·超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 1，S 2,5成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，S n ＝_________.解析：由题可得，2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6，所以q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2 2n －17．(2018·慈溪中学)在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 1＋a 3＋a 5＝21，则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．。

高考数学复习第六章数列与数学归纳法6.2等差数列及其前n项和市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT

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(2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. ①设bn＝an＋1－an，证实{bn}是等差数列；证实由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2等差数列.
命题点1 等差数列项性质
例3 (1)(·浙江五校第一次联考)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋ a9＝8π，则{an}前9项和S9＝____2_4_π，cos(a3＋a7)值为______－__12.
答案解析
由 a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得 a5＝83π，所以{an}前 9 项的和 S9＝9a12＋a9＝9a5＝9×83π＝24π. cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos 163π＝cos 43π＝－12.
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(2)求数列{an}中最大项和最小项，并说明理由. 解答由(1)知 bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7. 设 f(x)＝1＋2x－2 7，则 f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数. 所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
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5.等差数列前n项和公式
na1＋an
设等差数列 {an} 公差为 d ，其前 n 项和 Sn ＝ ______2_______ 或 Sn ＝ nn－1
_n_a_1_＋____2____d_.
6.等差数列前n项和公式与函数关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 7.等差数列前n项和最值
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跟踪训练1 (1)(·杭州模拟)设Sn是等差数列{an}前n项和，已知a2＝3，

专题06 整式中规律探索的三种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)

数是；
（3）我们自上往下按图 3 的方式排列一串整数 31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第 1 层到
第 20 层的所有数的绝对值的和．
斐波那契数列中的第
个数相同．
【变式训练
4】观察下列一组数：2，
1 2
，
2 7
，…，它们按一定规律排列，第
n
个数记为 an
，
1 且满足
an
1 an2
2 an1
．则 a4
， a2022
．
类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭 2020 个这样的小正方形需要小棒（）根．
A．8080
B．6066
C．6061
A．19600
B．20400
C．20200
D．20000
3．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要 4 根小棒，搭两个小正方形需要
17．观察下列一串单项式的特点： xy ， 3x2 y ， 5x3 y ， 7x4 y ， 9x5 y ，…
（1）写出第 10 个和第 2020 个单项式．
（2）写出第 n 个单项式．
个数．如有序数对 4,3 表示 8，则有序数对 16,14 表示的数为
．
【变式训练 3】斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔
子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等领域也
有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第 n 个数记为 an ，则1 a3 a5 a7 a9 a2021 与
A．5
B．3
C．2
【变式训练 1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：
D．1
（1）上表中，第九行有

专题06 求值问题(含最值问题)(原卷版)

专题06 求值问题（含最值问题）第9-12章四边形、分式、反比例函数、二次根式共50题一、单选题1．如图，矩形ABCD 中，8AB AD ==，点E 在边AD 上，且1:3AE ED =:．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作交射线BC 于点F ，联结PF ．设M 是线段PF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，线段DM 长的最小值是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，，以ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（） A ．5B ．6C ．8D ．93．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若，2BC CE ==，则EH =（）A B ．2 C D 4．如图，反比例函数()30y x x =>的图象经过等腰直角三角形的顶点和顶点C ，反比例函数()0ky x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，，AB 边交y 轴于点D ，若，C 点的纵坐标为1，则k 的值是（）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-65．如图，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A （﹣2，2），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图象上，则t 的值是（）A ．B ．C ．4D ．6．两个反比例函数3y x =，6y x =在第一象限内的图像如图所示，点1P 、2P 、3P ……2020P 反比例函数6y x=图像上，它们的横坐标分别是1x 、2x 、3x ……2020x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点1P 、2P 、3P ……2020P 分别作y 轴的平行线，与反比例函数3y x=的图像交点依次是、、……，则2020y 等于（）A ．2019.5B ．2020.5C ．2019D ．40397．如图，平面直角坐标系xOy 中，线段BC ∥x 轴、线段AB ∥y 轴，点B 坐标为(4，3)，反比例函数y ＝（x ＞0）的图像与线段AB 交于点D ，与线段BC 交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B'DE 处，则点B'的纵坐标是（） A ．715B ．C ．512D ．7248．如图，反比例函数(0)ky x x=<的图像经过点(2,2)A -，过点作AB y ⊥轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点(0,)P t ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图像上，则t 的值为（）．A B ．C ．1D ．1-9．如图，已知点是反比例函数y x=在第一象限图像上的一个动点，连接OA 为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值为（）A ．-B ．C ．D ．10．如图，已知点在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，点B 、D 在反比例函数(0)by b x=<的图象上，////AB CD x 轴，AB 、CD 在x 轴的两侧，与CD 的距离为5，则a b -的值是A ．25B ．8C ．6D ．3011．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )A ．B ．52-C ．3D ．1412．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ( )A ．B ．4C ．2D ．4+13．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（）A ．2B ．2-C 1D 14．如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是( )． A ．15° B ．165°C ．15°或165°D ．90°15．如图，在ABC ，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（） A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.816．如图，平面内三点、B 、C ， 4AB =，3AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A ．5B ．7C ．D 17．如图，在平行四边形ABCD 中，于EF ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )A．54︒B．60︒C．66︒D．72︒MN再过点B折叠纸片，使点格在MN 18．如图，把正方形ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,BE若AB长为2,则EN的长为(（）上的点F处，折痕为,A．3B．3-C．D．AB=，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD 19．如图，在正方形ABCD中，4的中点，连接GH，则GH的最小值为（）A B1C．2 D．4-20．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．B．C．D．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落在点B'处，当△B'EC 是直角三角形时，BE的长为（）A．2 B．6 C．3或6 D．2或3或6二、填空题+=________．22．若a，b，c是实数，且，则2b c23．实数a、b满足，则22a b+的最大值为_________．24．甲容器中装有浓度为a，乙容器中装有浓度为b，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．25．已知x=_________26．已知可写成的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 27．已知实数,x y 满足，则2232332007x y x y -+--的值为______.28．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________． 29．已知2221,2,16abc a b c a b c =++=++=，则的值是_________30．若240x y z -+=，4320x y z +-=．则的值为______31．对于正数x ，规定f （x ）＝11x +，例如：f （3）＝，f （13）11311413==-+，计算：f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）＝______．32．将，，，…，依次代入得到1y ，2y ，3y …100y ，那么123100y y y y ++++=__________．33．若关于x 的方程有唯一解，则,a b 应满足的条件是_________________． 34．已知：223x x =+，328215y x x x =+-，计算：的值是_____．35．已知：①x +＝3可转化为x +＝1+2，解得x 1＝1，x 2＝2， ②x +6x＝5可转化为x +＝2+3，解得x 1＝2，x 2＝3， ③x +＝7可转化为x +＝3+4，解得x 1＝3，x 2＝4，……根据以上规律，关于x 的方程x +23n nx +-＝2n +4的解为_____．36．已知:x 满足方程11200620061x x =--,则代数式的值是_____.37．如图，在ABC 中，D 在BC 边上，且D 关于AC 、AB 的对称点分别为E 、F 若，，9ABCS =+连接EF ，则四边形BCEF 面积的最大值是__________．38．如图，正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，N 是AM 上的动点，过点N 作EF ⊥AM 分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）AM 的长为_____；（2）EM +AF 的最小值为_____．39．如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，且CE =2BE ，点F 为对角线BD 上一点，且BF =2DF ，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，若HG =2cm ，则正方形ABCD 的边长为__________cm ．40．如图，长方形纸片ABCD 中，AD =7，CD =4，将长方形纸片折叠，使点B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF ，再沿DF 折叠，使点C 落在点G 处，连接CG ，交DF 于点I ．则线段CG 的长度为____．在折痕DF 上有一动点P ，连接PC ，过点P 作PH ⊥DC 交DC 于H ．则PC +PH 的最小值为____．41．如图，正方形ABCD 中，AB =6，F 为AB 边上一点，H 是BC 延长线上一点，将△BHF 沿HF 翻折，使点B 恰好落在AD 边上的点E 处，EH 与CD 交于点G ，连接BG ，与HF 交于点M ，若BG 平分∠CGE ，AE =4，则FM =___．42．如图，长方形ABCD ，10AB =，8AD =，将长方形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，连结AP 、BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是________．43．如图，在四边形ABCD 中，，BD 平分ABC ∠，过点作交BD 于点E ，EFBC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．44．如图，点P 是射线CM 上的一个动点，且APQ 是等边三角形，CM 平行于x 轴，已知点A 、B 、C ，若四边形ABPQ 的四边,,,AB BP PQ QA 中有两条边互相平行时，则P 的坐标是_______．45．如图，等腰直角三角形OAB 的一条直角边在y 轴上，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 的反比例函数ky x=的图象交斜边于点Q ，（1）当Q 为中点时，:AP PB =_________（2）若P 为AB 的三等分．．．点．，当AOQ △的面积为k 的值为________．46．如图，P 是反比例函数12(0)y x x=>上的一个动点，过P 作PA x ⊥轴，PB y ⊥轴．（1）若矩形的对角线10AB =，则矩形OAPB 周长为________；（2）如图，点E 在BP 上，且2BE PE =，若E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在坐标轴上，连结,,AE AF EF ，则AEF 的面积为___________．47．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(,0)m ，点Q 在x 轴上，且不与P 重合，以PQ 为边，60PQM︒∠=作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y x=-的图象上．（1）若如图所示的点P 的坐标为，则图中点M 的坐标为________；（2）随着m 的取值不同，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，则点M 的坐标为________．48．如图，函数y= (x>0)的图象与矩形OABC 的边BC 交于点D ，分别过点A ，D 作AF ∥DE ，交直线y=k 2x(k 2<0)于点F ，E.若OE=OF ，BD=2CD ，四边形ADEF 的面积为12，则k 1的值为________.49．如图，等腰直角△ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝3，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣4，边BC 、AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y ＝kx与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为___________ ．50．将反比例函数(0,0)ky k x x=<<的图像绕着原点O 顺时针旋转45°得到新的双曲线图像1C （如图1所示），直线l x ⊥轴，F 为x 轴上的一个定点，已知，图像1C 上的任意一点P 到F 的距离与直线l 的距离之比为定值，记为e ，即(1)PFe PH>．（1）如图1，若直线l 经过点B (1,0),双曲线1C 的解析式为y =且2e =，则F 点的坐标为__________．（2）如图2，若直线l 经过点B (1,0), 双曲线2C 的解析式为y =(5,0)F ，P 为双曲线2C 在第一象限内图像上的动点，连接PF ，Q 为线段PF 上靠近点P 的三等分点，连接HQ ，在点P 运动的过程中，当HQ 时，点P 的坐标为__________．。

高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第6讲数学归纳法课件

12/11/2021
第十九页，共三十一页。
②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，a11＋a12＋a13＋…＋a1k< 2k－1成立，
那么当 n＝k＋1 时，
a11＋a12＋a13＋…＋a1k＋ak1＋1
<
2k－1＋
1 2k＋1
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第二十页，共三十一页。
<
2k－1＋
2 2k＋1＋
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第二十九页，共三十一页。
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第三十页，共三十一页。
内容(nèiróng)总结
第六章数列(shùliè)与数学归纳法
No Image
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第三十一页，共三十一页。
【证明】 (1)①当 n＝1 时，a1＝a>2，命题成立． ②假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即 ak>2.
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第十六页，共三十一页。
则当 n＝k＋1 时， ak＋1－2＝2（aka－2k 1）－2＝2（（aak－k－21））2>0，所以当 n＝k＋1 时 ak＋1>2 也成立，由①②得，对任意正整数 n，都有 an>2. (2)an＋1－an＝2（ana－2n 1）－an＝a2n（（a2n－－a1n）），由(1)可知 an>2>0，所以 an＋1<an.
＝4（kk（＋k1＋）2（）k＋＋12）
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第十一页，共三十一页。
＝4（k＋（1k）＋（1）k＋2 2）＝4（kk＋＋12）＝4（kk＋＋11＋1）. 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切 n∈N*等式都成立．

专题06整式中与参数有关的两种考法(原卷版)(北师大版)

专题06整式中与参数有关的两种考法
类型一、直接求参数
例．已知是关于，的五次单项式，则这个单项式是
例2.关于x的多项式（a为正整数）是二次三项式，则．
【变式训练1】已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
【变式训练2】若多项式是关于x，y的三次多项式，则．
8．如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况．
9．已知多项式7xm+kx2（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为7，求m+nk的值．
【变式训练2】若多项式是关于x的三次多项பைடு நூலகம்，则多项式的值为．
【变式训练3】若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为．
课后训练
1．已知多项式关于x的五次多项式，且三次项的系数为3，则的值为（）
A．2或12B．或6C．6D．2
2．已知关于x的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（）
A．7B．6C．4D．3
3．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝．
4．若多项式是关于的一次多项式，则需满足的条件是．
5．已知关于的多项式是二次三项式，则，当时，该多项式的值为．
6．关于x、y的多项式是四次二项式，则．
7．若多项式是关于x，y的三次多项式，则mn=．
【变式训练3】已知p=（m+2） ﹣（n﹣3）xy|n|﹣1﹣y，若P是关于x的四次三项式，又是关于y的二次三项式，则的值为．
类型二、分类讨论求参数
例．若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为．

数列与数学归纳法

数列与数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，用于证明关于自然数（或整数）的命题。

它的基本思想是通过推理，将一个数学命题在自然数集上一步步地展开，最终得到所有情况的证明。

数学归纳法在数列的性质证明中有着重要的应用。

本文将探讨数列与数学归纳法的关系，并通过具体的例子来说明。

一、数列的概念与性质数列是数学中重要的概念，它由一系列有序的数按照一定规律排列而成。

数列可以用通项公式或递推关系式来表示。

常见的数列有等差数列、等比数列等。

接下来以等差数列为例，来介绍数列的性质。

等差数列是指数列中任意两个相邻数之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，则其通项公式为an=a+(n-1)d。

等差数列有以下性质：1. 通项公式：设首项为a，公差为d的等差数列的第n项为an=a+(n-1)d。

2. 前n项和公式：首项为a，公差为d的等差数列的前n项和Sn=n/2[2a+(n-1)d]。

3. 逆序等差：逆序等差数列的首项与原数列的末项相同，公差相反。

二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明方法，其基本原理如下：1. 第一步：证明当n等于1时，命题成立。

这是归纳法的基础，也称为基本情形。

2. 第二步：假设当n=k时，命题成立，即假设命题在某一特定的情况下成立，这一特定的情况可以是自然数，也可以是整数。

这称为归纳假设。

3. 第三步：通过假设，证明当n=k+1时，命题也成立。

通过归纳假设和推理，得到命题在n=k+1时成立的结论。

通过这三步，我们可以推导出命题对于任意大于等于1的自然数都成立。

数学归纳法的核心思想就是通过已知情况的成立来推导未知情况的成立。

三、数列与数学归纳法的应用数学归纳法在数列的性质证明中有着重要的应用。

下面以等差数列的性质证明为例，演示数学归纳法的应用过程。

命题：对于任意自然数n，等差数列1, 4, 7, 10, ... 的第n项可表示为an=3n-2。

证明过程：1. 基本情形：当n=1时，等差数列的第1项为1，符合an=3n-2的表达式。

数列与数学归纳法解析与归纳

数列与数学归纳法解析与归纳数学归纳法（Mathematical Induction）是数学中一种常用的证明方法。

它用于证明诸如递推关系和数学性质之类的命题。

而数列是数学中一个重要的概念，是指按照一定规律排列的数的集合。

在解析与归纳方面，数学归纳法对研究数列具有重要的应用价值。

一、数列的定义与分类数列指的是按照一定规律排列的数的集合，可表示为{a₁, a₂,a₃, ...}。

根据数列的规律和性质，我们可以将数列分为等差数列、等比数列、等差数列和等差数列四种。

1.等差数列：数列中的每个数与它的前一个数之差都相等，该差值称为公差，常用字母d表示。

等差数列可以用通项公式an=a₁+(n-1)d 表达，其中n为第n项。

2.等比数列：数列中的每个数与它的前一个数之比都相等，该比值称为公比，常用字母q表示。

等比数列可以用通项公式an=a₁q^(n-1)表示，其中n为第n项。

3.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后一项是前两项之和的数列。

斐波那契数列可以用递推关系an=an-1+an-2表示。

4.等差等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系的数列称为等差等比混合数列。

通常用递推关系an=an-1+d或an=an-1*q 表示。

二、数学归纳法的基本原理数学归纳法通过先证明基本情况成立，再利用归纳假设证明下一个情况成立的方式，逐步完成整个证明过程。

1.基本情况的证明：首先证明当n=1时，命题成立。

这就是数学归纳法的起点。

2.归纳假设的假设：假设当n=k时，命题成立。

这就是数学归纳法的假设。

3.归纳步骤的证明：利用归纳假设证明当n=k+1时，命题也成立。

通过以上三步，就可以完成整个数学归纳法的证明过程。

三、数学归纳法在数列中的应用数学归纳法在数列研究中具有重要的应用价值，可以帮助我们解析和归纳数列的特性。

1.利用数学归纳法证明数列的递推关系：通过数学归纳法，我们可以证明数列的递推关系成立。

例如，对于等差数列an=a₁+(n-1)d，我们可以通过数学归纳法证明该递推关系对于所有的正整数n都成立。

数列与数学归纳法试题及解析

数列与数学归纳法试题及解析数学归纳法是初等数学中一种重要的证明方法，常用于证明整数性质、数学恒等式以及数列的性质等方面。

在本文中，我们将介绍一些与数列及数学归纳法相关的试题，并给出相应的解析。

试题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

解析：首先，我们利用归纳法的思想，先验证等式在n=1时成立。

当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2=1/2，显然等式成立。

假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。

我们需要证明当n=k+1时，等式仍成立。

即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。

根据假设，我们有1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2，因此，等式左边可以写为 k(k+1)/2 + (k+1)。

将左边进行化简，得到 (k^2 + k + 2k + 2)/2 = (k+1)(k+2)/2，与等式右边相同。

综上所述，等式对于任意正整数n成立。

试题二：证明：对于任意正整数n，都有1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =n(n+1)(2n+1)/6。

解析：同样地，我们利用归纳法证明这个等式。

首先验证n=1时等式成立。

当n=1时，等式左边为1^2=1，右边为1(1+1)(2(1)+1)/6=1，等式成立。

假设当n=k时，等式成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 =k(k+1)(2k+1)/6。

我们需要证明当n=k+1时，等式仍成立。

即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... +k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。

根据假设，我们有1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6，因此，等式左边可以写为 k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。

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