实变函数学习心得
王涛 实变函数报告
实变函数读书报告姓名：王涛 班级：121132 学号：20131000513 摘 要 黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
我的读书报告主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义和一些定理的分析与比较，归纳总结出勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。
它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。
它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
两者之间的关系就像数钱一样，R 积分是你把钱分成按钱的张数分成堆，每堆数数有多少张1块，5块，100的然后求个和。
然后把所有堆的钱数加起来。
L 积分是你把1块的放一对，5快的放一堆，100的放堆，然后数出每堆的张数，求出总钱数。
关键词 黎曼积分 勒贝格积分 区别1、可积函数的连续性闭区间【a ，b 】连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数，比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的。
那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件。
它将函数的可积性归结到了函数的内在性质—连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚。
这个可积条件是：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。
这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的。
定理 为使【a ，b 】上的有界函数f 是R 可积，充分必要条件是f 在【a ，b 】上几乎处处连续。
此外当f 为R 可积时，f 必L 可积，而且两个积分值相等。
例如黎曼函数⎩⎨⎧>==为无理数，当为互质的整数）当x p q q q p x q x f 0,,0(/,/1)(这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.（因为该函数在区间(0,1)内的极限处处为0）。
实变函数,心得
实变函数,心得实变函数（函数变分学）是数学中一个重要的分支，是从纯函数发展而来的一个学科。
它也称为：微分函数、微分几何、拉格朗日力学等。
它的发展主要是中世纪的几何学家本尼阿斯·拉格朗日（1736 - 1813）对几何学的透视和质数的理解所作出的贡献。
拉格朗日的发现让几何学从一个图像的形式，变成了以力学的方式形成的解决方案，特别是以微分方程的形式来表达几何学的概念。
这种方式被发现能够表达纯函数在数据空间中的行为。
研究变分模型可以使我们深入了解如何通过修改对象来适应环境，以及如何使用基于经验的学习的机制来充分发挥环境提供的重要信息。
实变函数的应用范围是极其广泛的，它既可以用于奇异解的求解，也可以用于研究大规模数值解决方案。
实变函数也可以用于数据表征，可以被用来求解多元函数图像，通过数值最优化和程序设计等众多方面提供了重要的参考依据。
实变函数实际上就是一个新兴的领域，是在机器学习领域最前沿的研究学科。
它也可以说是把计算机科学和数学结合在一起的一种强大的连接。
自本尼阿斯·拉格朗日发现实变函数以来，数学，特别是几何学和力学，已经重新进入了人们的视野，而实变函数也成为包括计算机科学在内的其他学科交叉发展的基础。
它不仅仅可以用于几何学和力学方面的研究，还可以用于拟态学、计算机图形学、机器学习、人工智能以及生物科学等，可以说实变函数事实上是各种学科的基础。
由此可以看出，实变函数是一门综合性的学科，它与多个学科息息相关，融入其他学科和新的技术概念，从而实现大范围的应用。
它的诞生为我们提供了最前沿的学科研究和技术发展，为当今科学研究打开了新的大门，也为未来科学发展奠定了坚实的基础。
实变函数论
实变函数论实变函数论是数学分析领域中非常重要的一个分支。
它主要研究实数域上的函数，涉及到微积分、拓扑、测度论等多个数学分支，具有广泛的应用和深刻的理论意义。
一、实变函数的连续性和一致连续性实变函数中，连续性和一致连续性是非常基础的概念。
在实变函数论中，我们经常需要用到这两个概念来描述函数的性质。
连续性是指函数在某一点处的极限等于函数在该点处的函数值。
更准确地说，设$f(x)$为定义域上的一函数，$x_0$为定义域上的一点，则$f(x)$在$x_0$处连续等价于满足以下条件：$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$而一致连续性则更为强，它指的是函数在整个定义域上均满足某一性质，即在整个定义域上均具有连续性。
形式化地，设$f(x)$为定义域上的一函数，则$f(x)$在定义域上一致连续等价于满足以下条件：$$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{s.t. }|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$$连续性和一致连续性是实数域上函数的最基本的性质，是很多其他性质和定理的前提条件。
二、实变函数的导数和微分微积分中，导数和微分是非常基础的概念。
在实变函数中，我们同样需要研究函数的导数和微分。
导数描述的是函数在某一点处的变化率，它是一个极限。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的导数定义为：$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$微分是一个线性近似，用直线去接近曲线。
对于实变函数$f(x)$，在$x_0$处的微分为：$$df(x_0)=f'(x_0)dx$$在实变函数中，导数和微分的性质有很多，比如说链式法则、洛必达法则等，这些性质在高等数学中都会有所涉及。
三、实变函数的积分积分是微积分中非常重要的一个概念，是研究实变函数的重要手段。
2024年实变函数学习心得
2024年实变函数学习心得随着时代的发展，数学已经成为了一门非常重要的学科，而实变函数作为数学中的一部分，也成为了我们学习的内容之一。
在2024年，我对实变函数进行了深入学习，并且在实践中取得了一些心得和体会。
首先，我认识到实变函数的重要性。
实变函数是数学中的一个重要分支，它研究数学中的实数和实数函数的性质。
实变函数有许多重要的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都起着关键作用。
因此，深入了解和掌握实变函数的概念和性质，对于我未来的学习和发展都将起到很大的帮助。
其次，我学会了对实变函数进行分析和研究。
实变函数的研究需要具备一定的分析能力，我通过学习分析学等相关课程，提升了自己的分析思维和分析能力。
在实践中，我发现通过分析实变函数的导数、极限和连续性等性质，可以揭示实变函数的一些重要特征和规律。
因此，在学习实变函数的过程中，我注重培养自己的分析能力，并且在实践中不断加以应用。
另外，我还注意到实变函数的多样性。
实变函数涉及到了很多不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数都有其独特的性质和应用。
因此，在学习实变函数时，我注重对不同类型函数的理解和掌握。
通过学习和掌握这些不同类型函数的性质，我可以更好地理解实变函数的整体特点和规律，为解决实际问题提供更多的可能性。
此外，我还通过实践应用来巩固和深化对实变函数的理解。
实变函数作为一个理论性的学科，理解和应用都至关重要。
在学习实变函数的过程中，我经常通过解决一些实际问题，将所学的理论知识应用于实际情境中。
这样不仅能够巩固自己对实变函数的理解和掌握，并且能够提高自己的解决实际问题的能力。
最后，我发现培养良好的数学思维对于学习实变函数非常重要。
数学思维是一种抽象、逻辑和创造性思维，对于学习实变函数的深入理解和应用至关重要。
在学习实变函数的过程中，我通过解决一些复杂的数学问题，培养和提升了自己的数学思维能力。
这样不仅能够更好地理解和掌握实变函数的概念和性质，并且能够在解决实际问题中发挥更大的作用。
关于实变函数学习的几点想法
关于实变函数学习的几点想法
实变函数是我到现在为止学的最难的一门课程，没有之一。
对于我来说，难点主要在以下几个方面：
1 定义与定理的用处以及它们之间的联系把握不够；
2 概念过于抽象，书本上的例子太少，理解的难度加大；
3 这是最关键的一点，也是最让我头疼的。
证明题基本上证不出。
分析原因如下：
1，2的产生是因为有些概念初次见到，根本不熟悉，所以也还比较好解决（相对于第3点）：多看书，多思考。
最主要的是要愿意去想。
人与人学习之间的差距不在资质上，而在花在思考的时间和思考的深度上。
这句话还是有一定道理的，尽管不适用于第3点。
3的产生原因无他：资质驽钝。
有没有人试过花了一下午在自习室结果却连一道题目也没有做出来的感受？欲哭无泪，真的是欲哭无泪。
我不是那种可以先把做不出来的题先放到一边，继续往下做的人。
其实有时候先放到一边等过一段时间再去想也许会“柳暗花明又一村”，可我就是做不到。
我已经学得是心力交瘁了。
第3点的解决办法：1摆正心态：好，我承认我笨的可以，我接受我一道题目也做不出来的事实；2 题目不会做就抄，一遍一遍反复抄，抄到我明白，抄到我能自己独立证出来为止！！！。
实变函数论读书报告
实变函数论实变函数论（real function theory）19世纪末20世纪初形成的数学分支。
起源于古典分析，主要研究对象是自变量（包括多变量）取实数值的函数，研究的问题包括函数的连续性、可微性、可积性、收敛性等方面的基本理论，是微积分的深入和发展。
因为它不仅研究微积分中的函数，而且还研究更为一般的函数，并且得到了较微积分中相应理论更为深刻、更为一般从而应用更为广泛的结论，所以实变函数论是现代分析数学各个分支的基础。
19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础。
实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。
在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。
如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。
它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。
实变函数论是微积分学的发展和深入。
函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。
它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。
这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。
精美的调和分析理论(见傅里叶分析)就是建立在勒贝格积分的基础上的。
此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。
例如为讨论牛顿－莱布尼茨公式而有佩隆积分。
由于有了具有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）、积分平均收敛等。
度量收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。
实变函数反思与总结报告
实变函数反思与总结报告引言我们所学的数学基础知识中，实变函数是一个既简单又重要的概念。
了解实变函数的性质和特点可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
在这个过程中，我充分认识到了实变函数的重要性，并对自己学习实变函数的方法和技巧进行了反思与总结。
学习方法的反思在学习实变函数的过程中，我意识到学习方法对于理解和掌握实变函数的概念和性质非常重要。
通过反思，我总结了以下学习方法的优点和缺点：1. 从理论入手优点：理论是学习实变函数的基础，通过系统地学习实变函数的定义、性质和定理，可以对实变函数有一个全面的了解。
缺点：过于注重理论，容易陷入纸上谈兵的陷阱，从而忽视了实际应用和问题解决的能力。
2. 多做练习题优点：通过大量的练习题，可以巩固对概念和定理的理解，提高解题能力和问题分析能力。
缺点：只注重题目的数量，容易走入机械式的运算，忽略了思考和推导的过程。
3. 探索与实践优点：通过自主学习和实践，能够加深对实变函数的理解。
通过在实际问题中应用实变函数的知识，可以培养解决实际问题的能力。
缺点：对于初学者来说，可能在实践中遇到问题而无法解决，需要指导和帮助。
学习方法的改进综合以上学习方法的优点和缺点，我计划以以下方式改进我的学习方法：1. 理论与实践结合在学习实变函数的理论知识的同时，我将注重与实际问题的结合。
通过找到实际问题中的数学模型，将实变函数的概念和性质应用到实际中，提高实际问题解决的能力。
2. 深入思考与总结在做练习题时，我不仅仅注重题目数量，更注重解题过程和思考的深度。
在解题过程中，我将思考清楚每一步的原理和推理，避免走进机械题中。
同时，我还将总结解题的经验和方法，形成自己的解题思路。
3. 寻求指导与分享在实践中遇到问题时，我将积极寻求指导和分享。
通过与同学、老师的讨论和交流，我相信能够解决遇到的问题，并从中得到更多的启发和思考。
结语通过对学习实变函数的方法和技巧进行反思与总结，我认识到了实变函数的重要性以及学习方法的关键。
实变函数学习心得
实变函数学习心得学习实变函数的过程是一段充满挑战和探索的旅程。
通过学习实变函数，我深刻理解了实变函数的基本概念、性质以及具体的计算方法，也进一步提高了数学建模和应用的能力。
在这篇心得中，我将分享我学习实变函数的心得体会。
首先，我研究了实变函数的基本概念。
实变函数是数学中的一种特殊函数，它的自变量和因变量都是实数。
通过学习实变函数的基本概念，我明白了实变函数的定义域、值域以及函数图像的特点。
对于一个实变函数来说，定义域是它能取值的实数集合，而值域则是函数取得的所有可能的实数值。
其次，我学习了实变函数的性质。
一方面，我了解了实变函数的奇偶性、周期性以及单调性等性质。
实变函数的奇偶性是指函数的对称性，如果对于任意的实数x，有f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果对于任意的实数x，有f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
实变函数的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现，即存在一个正数T，对于任意的实数x，有f(x+T)=f(x)。
实变函数的单调性是指函数图像在整个定义域上的增减性，可以是递增、递减或者不变。
另一方面，我还学习了实变函数的极限和连续性。
实变函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数对应的因变量也会无限接近于某一特定值。
通过学习实变函数的极限，我掌握了求极限的方法和技巧。
在计算实变函数的极限时，可以利用一些常用的极限性质，如极限的四则运算、夹逼定理等。
实变函数的连续性是指函数在定义域上的无间断性，也就是说函数图像没有任何跳跃或断裂的地方。
学习实变函数的连续性，我了解了连续函数和不连续函数的定义以及判断方法。
然后，我学习了实变函数的导数和微分。
实变函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数图像在该点的切线斜率。
通过学习实变函数的导数，我了解了导数的定义和计算方法，如极限定义、求导法则、高阶导数等。
在实际应用中，导数可以用来求函数的极值、判断函数的增减性以及绘制函数的图像。
大二实变函数98分
大二实变函数98分摘要：1.成绩概述2.实变函数的重要性3.大二学生学习实变函数的挑战4.取得高分的策略5.实变函数在实际应用中的例子6.总结与建议正文：【成绩概述】近日，我收到了大二实变函数的课程成绩，总分100分，我取得了98分的优异成绩。
在这门课程中，我深入学习了实变函数的概念、性质和应用，并在期末考试中得以体现。
实变函数作为数学分析的重要分支，在理论研究和实际应用中具有广泛的意义。
【实变函数的重要性】实变函数是数学分析的基础，它涉及到集合论、极限、连续性、微积分等众多领域。
实变函数的研究对象从有限个变量扩展到无穷多个变量，使得数学分析更加严谨和完善。
在实际应用中，实变函数可以解决很多实际问题，如物理、工程、经济学等领域的优化问题、波动方程、概率论等。
【大二学生学习实变函数的挑战】尽管实变函数具有广泛的应用，但学习起来并不容易。
首先，概念较为抽象，需要较高的数学素养。
其次，课程内容繁多，涉及多个领域，对学生的知识储备有较高要求。
最后，实变函数的运算和求解方法与其他数学课程有很大差异，学生需要花费更多的时间和精力去适应。
【取得高分的策略】在面对实变函数这一挑战性课程时，我采取了以下策略：1.打好基础，强化集合论、极限、连续性等基本概念；2.课上认真听讲，及时消化知识点，课下多做习题，巩固所学；3.主动查阅资料，了解实变函数在实际应用中的案例，提高学习的兴趣和动力；4.积极参加讨论，与同学、老师交流学习心得，取长补短；5.定期总结，梳理知识体系，形成系统性的认知。
【实变函数在实际应用中的例子】实变函数在实际应用中具有广泛的意义，以下举几个例子：1.物理学中的波动方程、薛定谔方程等；2.经济学中的优化问题、供应链管理等；3.工程领域的信号处理、图像识别等；4.概率论中的随机过程、马尔科夫链等。
【总结与建议】学习实变函数并非易事，但只要我们掌握正确的方法，付出努力，就一定能够取得理想的成绩。
同时，实变函数带给我们的知识和技能将对我们的未来发展大有裨益。
实变函数学习心得（通用3篇）
实变函数学习心得（通用3篇）实变函数学习心得篇1泛函分析是继实变函数论后的一门课程，是实变函数论的后继，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
可以说数字到数字的映射产生函数，而函数到函数的映射产生泛函，因此泛函分析是一门十分抽象的课程，学起来比较吃力。
在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。
在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。
定义:设X是一集合，是x × x到Rn的映射，满足：(1) (非负性) (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y(2) (对称性) (x,y)= (y,x)(3) (三角不等式) (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)则称X为距离空间，记为(X, )，有时简记为X。
由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了;度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。
赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。
度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。
赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。
巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。
巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。
满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。
度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离(x,y)的定义是重点。
赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。
在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
实变函数课程教学的几点体会
实变函数课程教学的几点体会高中阶段学习实变函数是非常重要的基础知识，对于后续函数和复变函数的学习也有很大帮助。
在此，笔者就如何提高高中实变函数课程的教学质量谈几点自己的体会：1、实变函数教学不同于导数及其几何意义教学。
高中阶段实变函数教学面临两大任务，一是继续进行函数与方程、不等式、函数性质及其应用的教学；二是对实变函数结构和图形特征进行专门的研究和训练。
以往的教学中由于前面所涉及到的问题比较多，所以导致了学生对实变函数内容的接受比较困难，实际教学过程中也没有重视起来，实变函数部分内容在教学目标中也只能够作为辅助性的内容处理。
在这种情况下，我们要注重建立在整体教学框架之上的实变函数知识体系，采用合适的教学策略，全面促进学生数学思维水平和学科素养的发展。
在课堂上，教师要精心设计问题，引导学生运用定义去认识、分析和解决问题，使学生的各种能力得到提升。
具体来说，我们可以采取以下三种策略，以完成两大任务：一是开拓思路。
教师通过多媒体演示与动画，创设富有启发性的教学情境，引导学生把握问题关键，以思考的眼光去发现和理解，并通过归纳与类比，培养推理论证能力。
二是转换视角。
引导学生探索与思考，以获得正确的答案。
针对某些思维障碍，巧妙引导、反复强调，帮助学生在相关的问题情景中，找到解决问题的方法。
三是引导探索。
通过各种途径让学生寻求问题的解决方法，尤其注重利用已有的知识经验和生活经验去探索问题的解决办法。
二是改进教法，营造活跃课堂氛围，提高教学效率。
高中实变函数教学内容的一个显著特点就是多，不但包括三角函数，还包括了集合、向量、函数等知识。
为此，要在保证传统授课方式的前提下，做到重点突出，避免面面俱到。
例如，在教学三角函数时，可先将公式、概念讲清楚，然后再列举若干例题加以应用。
在这个过程中，可根据学生的实际情况，引导他们联想生活、联系实际去深入理解新知识。
在教学集合、向量、复数等知识时，也可借鉴这种方法。
例如，在教学复数时，首先将集合、向量的基本知识讲清楚，然后通过演示复数表示方法的演变过程，帮助学生认识复数在三角函数中的地位和作用，同时，再通过一些应用性的问题，引导学生进行综合运用，使学生进一步巩固所学的知识，并逐步提高分析问题、解决问题的能力。
实变函数第五章积分论的收获
实变函数第五章积分论的收获
《实变函数》是数学中的一门重要课程，它研究实数域上的函数性质与具体的计算方法。
其中，第五章《积分论》是该课程的一个重要内容，主要介绍了函数积分的定义、性质与计算方法。
通过学习《实变函数》第五章积分论，你可以获得以下方面的收获：
1. 积分的定义与性质：了解积分的定义，了解积分的线性性质、保号性质、保序性质等重要性质。
2. 定积分计算方法：学习定积分的计算方法，如基本定积分公式、换元积分法、分部积分法等。
3. 不定积分与定积分的关系：了解不定积分与定积分的具体关系，学习不定积分与定积分之间的转换方法。
4. 积分中值定理：掌握积分中值定理的概念与应用，了解平均值定理、柯西中值定理等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：学习牛顿-莱布尼茨公式的内容和应用，了解积分与微分的关系。
这些是学习《实变函数》第五章积分论所能带来的一些收获，通过研究积分论的相关内容，你将深入理解函数积分的本质，掌握积分的计算方法，并能够灵活运用积分论解决实际问题。
实变函数读书笔记
实变函数读书笔记实变函数老师坚持不化题，平时笔记也是乱七八糟，说该挂多少人就挂多少人，最近一直忙着复习其他专业课，一、回归课本为主，找准备考方向学生根据自己的丢分情况，找到适合自己的备考方向。
基础差的学生，最好层层追溯到自己学不好的根源。
无论哪个学科，基本上都是按照教材层层关联的，希望基础不好的同学以课本为主，配套练习课本后的练习题，以中等题、简单题为辅、逐渐吃透课本，也渐渐提高信心。
只要把基础抓好，那么考试时除了一些较难的题目，基本上都可以凭借能力拿下，分数的高低仅剩下发挥的问题。
二、循序渐进，切忌急躁在复习的时候，由于是以自己为主导，有时候复习的版块和教学进度不同，当考试时会发现没有复习到的部分丢分严重。
导致成绩不高。
但是已经复习过的版块，却大多能够拿下。
这就是进步,不要因为用一时的分数高低做为衡量标准，复习要循序渐进，不要急躁。
复习就像修一条坑坑洼洼的路，每个坎坷都是障碍，我们只有认真的从起点开始，按照顺序慢慢推平。
哪怕前面依旧沟整，但是当你回头的时候，展现在你眼前的是一条康庄大道。
基本上，如果纯做题的话，1-2个月时间就能把各科的试题从第一章节到最后一个章节摸得差不多。
三、合理利用作业试题、试卷简单题、中等题一方面可以印证、检验自己的基础知识体系，又一方面可以提升我们复习的信心。
在选择作业上，简单题、中等题尤其是概念理解应用题一定要自己动手做，还要进行总结。
难题可以参考答案，但要认真思考其中的步骤推导思想和转化思想，这些都是考试所考察的。
语文要充分利用试卷，其中的成语、病句要注重收集，文言文虚实词记得要摘录。
英语单词注意把正确选项带人念熟。
同时思考阅读、完型题是如何找到有效的原文信息，他们有何特点和提示点?要这么去利用每一次作业和试卷，那么成绩将会短期内提高。
四、建立信心，不计一时得失有些学生自认为自己是差生，无可救药了。
但是事实上往往不是这样。
有些学生认为自己天生比别人笨，不如别人聪明。
实变函数论与泛函分析的学习心得
实变函数论与泛函分析的学习心得数计学院 10数本x班 xxx 20102244xx（xx）学习泛函分析这们课已经快一年了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与泛函分析这门课了。
我们用的教材是曹广福编的《实变函数论与泛函分析》第三版，这本书的难度中上等，刚开始接触这门课程，一般不太适合于我们自学和入门的新手，所以学习这门课程要按步骤、讲方法。
根据我自己学习这门课的心得与方法，有一下几点：1、复习并巩固数学分析等基础课程。
学习泛函分析这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。
为此，在学习这门课程前，我专门花了些时间复习数学分析这门课程的概念定义以及与之相关的定理和推论，并且能够知晓定理和推论的证明。
2、课前预习。
泛函分析是一门比较难的课程，邓老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。
如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。
如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。
3、上课认真听讲，认真做笔记。
邓老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。
因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，泛函分析这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。
邓老师在有限的课堂教学时间中，只能讲证明思路，讲重点，讲难点。
我个人觉得对于教师在课堂上讲的知识，最重要的是获得整体的认识，而不拘泥于每个细节是否清楚。
学生在课堂上听课时，也应当把主要精力集中在教师的例题证明思路和对于做题难点的分析上。
大学《实变函数》课程教学体会与方法探索
大学《实变函数》课程教学体会与方法探索作者：尹秀霞陈自力来源：《教育教学论坛》2017年第21期（南昌大学理学院数学系，江西南昌 330031）摘要：实变函数论是高等院校数学专业的一门基础专业课。
对该课程教学中遇到的各种问题，本文从大量的教学实践中有针对性地提出几条切实可行的教学方法。
这些方法能有效地激发学生的好奇心，提升学生的自信心以及提高学生的数学素养。
关键词：实变函数；Lebesgue积分；研究型教学中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）21-0205-02一、引言《实变函数》课程是高等院校数学系本科极其重要的专业基础课，主要讲述的是本世纪初建立的Lebesgue测度与积分，学生普遍觉得这门课晦涩难懂。
作为实分析的主体部分，实变函数在数学的许多领域中，如测度论、分形几何、泛函分析、调和分析、偏微分方程中都产生了极大的影响，可以说是它们共同的基础。
然而《实变函数》课程因其自身的特点，如课程展开的方式需要经过漫长的准备、集合论与分析相结合的处理方法、所讨论的函数类范围的扩大以及习题量大而且难做等，都使得学生认为其深奥晦涩、枯燥无味。
学习不到一个月，不少学生便对这门课程丧失了信心，更谈不上兴趣；后期的学习情况更糟，甚至对一些基本概念的理解都出现困难。
为了更好地实施教学，笔者查阅相关文献资料，从实变函数教学中的点滴体会出发，就《实变函数》这门课程的教学方法进行初步探讨。
二、注重鲜活的人物和故事的介绍兴趣是最好的老师，如果在教学的过程中能穿插一些与教学内容相关并且非常有趣的故事，不仅能极大地提高学生的学习兴趣，而且还有助于培养学生的创新思维能力。
在实变函数的第一节课中，我是通过阐述1926年Lebesgue本人在哥本哈根的演讲中的形象比喻来介绍Lebesgue积分与Riemann积分的区别的。
这个比喻是这样的：“按照Riemann的方法，我们对依自变量x的大小顺序所提供的不可分割的量求和，这有如没有条理的商人数钱，碰到硬币数硬币，碰到纸币数纸币。
实变函数
实变函数系（部）：数学与信息科学学院班级：数学与应用数学学号： 123456789学生姓名：李桂英2015年12月浅谈学习实变函数的心得【摘要】：想想已经学习了一学期的实变函数，实变函数与其他数学数学最大的不同就是学习其思想，这是老师从第一节课就一直给我们传输的，本论文我将就在学习实变函数的扩展思想作为主要论述目标。
在学习实变函数时总会遇到一些德摩根公式，在以前我们已经学习过真假命题及集合，且知道德摩根公式在其中的应用，在实变函数中集合由单个集合扩展到一组集合，其德摩根公式又该怎样的表现形式呢？1、实变函数的不同已经上了三年的大学生活，学了三年的数学，微分几何、高等代数、几何微分等等，但是从没有一门课程让我觉得学起来很没有成就感，我知道上大学与以前的学习方式不同，上课前预习，下课后及时复习就可以将其学的很好，没必要向之前上高中一样需要一直练题，但是我从没有课前预习的习惯，但我会在老师上完课之后及时的复习，及时做练习题巩固，三年下来我学习的还算游刃有余，每解出一道题就像高中时期一样特别的有成就感，特别高兴。
但是学了实变函数之后我之前的感觉全没有了，因为实变函数与其他数学的不同，实变函数的重点不在解题而在于学习其思想，这就与其他数学科目不同。
虽然偶尔也有需要解决的但大部分均是证明。
在学习实变函数之前老师就介绍实变函数，我们知道实变函数的最基本内容已成为分析数学各分支的普遍基础，实变函数主要指自变量（也包括多变量）取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论。
在学习实变函数中我经常学到的就是扩展思想，这也是我听老师讲课时说到的最多的词语，在实变函数中第一章集合中，由原来单个集合扩展到一族集合的德摩根公式就运用到了这一思想，下面我将详细介绍。
2、德摩根公式2.1德摩根生平德摩根，英国数学家，其父亲是英国驻扎在印度的军队的上校，德摩根7个月时被带回英国，中学时就强烈爱好数学。
1823年至1827年间入读剑桥大学，1828年担任伦敦大学学院数学教授，1865年，他积极帮忙筹备伦敦数学会，1865年担任第一任会长，亦有奖章以他的名字命名。
实变函数教学中的几点体会
实变函数教学中的几点体会高文华1，郭继东2（1.新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046；2.伊犁师范学院 数学系，新疆 伊宁 835000）摘要：针对实变函数课程抽象、枯燥等特点，要善于将严谨的数学语言与通俗形象的教学语言相结合，善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣，适当加强学生的习题训练，注意实变函数中反例的作用，注意微观和宏观兼顾.关键词：实变函数；教学；反例；Lebesgue积分中图分类号：O174.1文献标识码：B1 引 言实变函数课程是我国高等学校数学与应用数学专业的重要专业课程，该课程是数学分析的一门后继课程[1-4]. 它一方面是数学分析理论的深化和继续，另一方面也是学生学习泛函分析、概率论、拓扑学、偏微分方程和调和分析等现代数学的基础，因此具有承上启下的作用. 实变函数课程不仅能够丰富学生现代分析的知识结构，而且可以大大提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题能力. 但是实变函数一向被认为是数学专业本科阶段最难学的课程之一. 许多数学本科学生都对这门课程不感兴趣，甚至望而生畏. 这不是因为学生不努力，而是因为该课程相对数学分析等基础课程，在概念和方法上都有较大飞跃，更加抽象和更加理论化，习题非常难做等特点. 学习不到一个月，不少学生就对学习这门课程丧失了信心，更谈不上什么兴趣了，结果后期学习情况就会非常糟糕. 如果一个教“实变函数”的教师多从学生角度出发，适当运用一些教学理论和技巧，尽量减少该课程特点对学生学习的负面影响，会使教学效果事半功倍. 首先要充分了解学生的原有知识结构和原有数学认知能力，只有在这个基础上才能够做到因材施教，才能够把握给学生讲解到如何细致的程度教学效果好. 在学生学习过程中，要让学生感觉你讲授的内容就像“树上垂下来的果子，需要跳一跳才能够得到”. 这样学生既有成就感，又需要一定的努力才学得懂，从而培养提高了数学能力. 关于实变函数的教学体会，杨钟玄[5]，周性伟[6]，徐西安[7]等人都在他们的文章中谈了自己的体会，我们很认同他们的体会和建议．本文结合我们的教学实践，针对实变函数课程的特点，对如何改善实变函数教学谈几点体会. 不妥之处请同行指正.2 要善于将严谨的数学语言与通俗形象的教学语言相结合语言的严谨性是数学语言的特点之一，在实变函数教学过程中要坚持概念和定理叙述的严谨性. 如果总是严谨而枯燥的数学语言势必会使学生容易产生厌倦感觉，从而使教学效果大打折扣. 因此在不失基本的严谨性基础之上，可以对比较难理解的概念、定理和证明过程用比较通俗而形象的语言进行解释.例如在讲述叶果洛夫定理时，定理板书后可以用如下通俗语言说明该定理：在有限测度集合上的几乎处处收敛函数列一定是“差不多”一致收敛. 又如在讲述鲁津定理时，可用如下通俗语言说明该定收稿日期：2007—04—04基金项目：新疆大学校院联合项目；新疆高校优秀青年学者奖励计划项目(XJEDU2005E06).作者简介：高文华(1974—), 男, 山东胶州人, 讲师，2005级博士生, 主要从事调和分析研究；郭继东(1965—)，男，山东郓城人，教授，硕士生导师，主要从事函数空间理论研究.第2期 高文华，郭继东：实变函数教学中的几点体会 59 理：几乎处处有限的可测函数其实“差不多”是连续函数.一个通俗的“差不多”就形象地解释了一串枯燥的数学语言“δ∀>0, 00,(),E E m E E δ∃⊂−< 使得命题P 在集合0E 上成立”，更加深了学生对定理的理解.在经典习题讲解中可以用通俗语言加强学习实变函数的意义. 比如在讲解习题“[a,b]上的实函数全体的势为2C ”和“[a,b]上的连续实函数全体的势为C ”后，可以通俗地讲：我们发现，经常见到的连续实函数在实函数中是“极少数的”，就像我们前面习题中反映的经常见到的代数数（包含很多、35无理数）在实数中是“极少数的”的一样. 实变函数就是要以占有“绝大多数”的连续性质不好的实函数作为研究对象，这样数学分析的许多定义和工具都“不好使了”，必须建立适用有“绝大多数”的连续性质不好的实函数的积分理论，这是我们这本书的主要任务.3 要善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣兴趣是学生主动学习的内部驱动力，是学习积极性中最现实、最活跃的刺激因素，也被认为是最好的老师. 教师是使学生产生兴趣的主要源泉，教师要善于和经常运用适当手段激发学生的学习兴趣.3.1 通过类比构建的方法激发学生学习兴趣实变函数的Lebesgue 积分理论框架对学生来说比较晦涩难懂，直接平铺直叙令学生难以接受. 运用类比构建的方法可以联系学生熟悉的数学分析中Riemann 积分知识体系类比出Lebesgue 积分理论.例如，集合上连续函数的概念是区间上连续函数概念的推广. 由于区间只有内点和不是内点的聚点组成，而集合还可能有孤立点，甚至全部都是孤立点，因此它们有联系又有区别：函数f(x )在区间内一点0x 连续的定义:0,0,εδ∀>∃> 0(,)x U x δ∀∈, 有|f(x )−f(0x )|<ε (1) 这时由于0x 是区间内点，领域0(,)U x δ包含于区间内，因此要考察0(,)x U x δ∀∈.对于一般集合E ，0x E ∈，领域0(,)U x E δ⊂不一定成立，因此有：0,0,εδ∀>∃> 0(,)x U x E δ∀∈∩, 有|f(x )−f(0x )|<ε (2) (2)与(1)的差别仅仅是(2)中只需要求0(,)U x E δ∩中的x 就可以了. 但是，这个小小的改变，可以得到函数在孤立点上连续的结论. 因此数列是定义在自然数集上的连续函数，这给连续函数概念增添了新的内容. 很明显，如果直接写出(2)中领域形式的定义，学生一时是难以接受的.3.2 适当讲述一些定理在数学中的地位和作用，既可以激发学生学习兴趣，又可以加强学生对该定理的重视在讲述连续统假设时可以提出这是著名23问题中之一，并简单介绍1901年数学家大会希尔伯特所做的著名23问题报告以及其对现代数学的影响，这样可以充分激发学生学习该课程的兴趣. 以故事形式讲解理论的来龙去脉是激发学生学习兴趣的好方法．1854年，德国著名数学家Riemann 终于完成了积分理论，从理论、方法和应用都非常完整. 但是对一些和简单的函数，如Dirichlet 函数在Riemann 意义下就不可积. 为此很多数学家经过近半个世纪的探索，终于在1902年由当时年仅26岁的法国数学家Lebesgue 揭开了这个难题. 他是怎么做的呢？他本人用形象的一段话揭示了Lebesgue 积分的实质：偿还一笔钱，可以从口袋中摸出不同面值的钞票，还给债主，直到还清，这叫Riemann 积分. 也可以按照不同面值的钞票还给债主，这叫Lebesgue 积分.又如，在讲述Lebesgue 控制收敛定理时，指出这是Lebesgue 积分理论的最成功方面之一，正是因为该定理要求的条件很弱而且验证起来方便容易才使得Lebesgue 积分理论被大多数数学其他分支广泛应用．学生就会对该定理尤其重视，并积极领会其条件和结论，而且做相关题目时产生很大兴趣．3.3 运用图形进行直观解释也会激发学生学习兴趣例如，在前言中，回顾Riemann 积分定义从而引出Lebesgue 积分定义时，不必将 Riemann 积分定义完全板书出来，只要画出图形对Riemann 积分定义进行回忆，再对照图形把对x 轴进行分割建立和式变成对y 轴进行分割建立和式S(f )=11({()})ni i i i i m E c f x c ξ+=<≤∑，其中1i i i c c ξ+<≤.60 伊犁师范学院学报（自然科学版） 2007年 进而提出一般点集的“长度”如何定义？引出我们要去学习Lebesgue 测度论. 当f(x)满足什么条件时m(1{()}i i i E c f x c +<≤) 具有意义？进一步引出将要学习的Lebesgue 可测函数理论. 这种直观说明比起一大堆数学符号的推导更易使学生明白和感兴趣.又如在证明命题：任何无限集合A 并上一个有限或者可数集合B 都不会改变它的势和Bernstein 定理时，直接逻辑推理证明，学生会觉得云里雾里的，不知道为什么要这样去做，如果在分析证明思路时，运用集合图形的方法可以使学生更好地掌握证明思路.3.4 运用恰当的问题设置各种悬疑，是激发学生征服欲和兴趣的一个有效手段教师要科学地安排提问，提问要有启发性，经过引导，循序渐进，由浅入深，最终使学生通过思考、分析、推理得出结论和答案.例如在学习完有限个可数集的并仍是可数集，及时提出问题：有限多个可数集合的并还是可数集合，那么无限多个可数集之并是否还是可数集？一石激起千层浪，学生们积极思考，猜测. 有些学生回答：“还是可数集”；有些学生回答：“不一定是可数集了”；还有学生不知是什么答案. 这样就大大激发了他们的学习兴趣. 有个预习过的学生回答：“是可数集”. 这时可以进一步提出问题：“无限集合的势是不是就一种？”该学生立刻补充道：“不对！是可数个可数集合的并还是可数集合”. 根据学生的回答适时地引出下面的定理：可数个可数集合的并集仍是可数集合. 并指出该学生只回答对了一半，另一半我们在学习完后面的连续势以后就可以回答了.4 注意实变函数中反例的作用对事物要从多个角度和方面去认识才能够做到全面，数学中的概念和理论常需要从正反两方面才能够认识透彻. 实变函数中多是概念和理论的正面叙述，学生往往很难吃透概念和理论. 反例对学生全面理解概念和理论是非常重要的.数学中的反例就是用以否定错误命题而举的例子. 反例可分为三类：用来否定似是而非的命题的，用来说明命题和定理的条件和结论是不可更改的，用来纠正直观上可能产生的错觉的.有些反例是经典的，比较难的. 比如Lebesgue 不可测集合、依测度收敛而不几乎处处收敛的函数列、几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列、Fatou 引理中使得等号不成立的例子和当E 的测度不是有限时，叶果洛夫定理不成立的例子等，在教学中除了要讲清楚书中这些反例，还可以要求学生按照这些反例的构造思路模仿类似的反例. 这样可以大大提升学生对这些重要知识的理解深度.还有许多概念以及它们的联系更要知道一些反例才能理解透彻. 如测度为零的集合必是可数的集合，反例是Cantor 集合；有限个完备集的并还是完备集，可数个完备集的并集也是完备的，反例：P n =[11,1n n+]（n=1，2，…）都是完备集，但1nn P∞=∪=(0,1]不是完备集；无内点的集合测度是零，反例是[0,1]内的无理点集合；不可测函数：f(x)=1，[0,1]x E ∈−；f(x )=−1，x E ∉，E 是[0，1]中的一个L 不可测子集.5 适当加强学生的习题训练.实变函数的习题非常难做，有两方面的原因：一是习题都是证明题，它需要对新建立的概念和结论在一定程度的融会贯通后才能做；另一个原因是题目很少重复，基本上是一题一个类型，要不很长时间做不出，要不做出就短短几行. 实变函数习题的难度是阻碍学生继续有信心学习下去的一个重要方面，所以一定要加强学生习题训练. 习题课是一个重要的教学环节，教师一定要重视它. 首先要精心布置作业. 既不能布置很多学生都不会做的难题目，也不能全部是简单题目，要让学生努把力就可以做出大部分题. 这样既不打击学生学习积极性也要他们有所收获. 另外，布置作业时，对较难的题目要给出提示. 其次就是讲解习题方法要多样化. 一部分习题要详细讲解，并要求学生照葫芦画瓢做类似的题目. 另外一些习题可以和学生一起讨论思考，引导学生自己动手解决. 还可以对一些经典的题目要学生先在黑板上做，再进行适时分析和评论，提高学生的书面表达能力，以达到大部分学生都有收获的目标. 最后，为了保证一定的习题数量，需要进行一些课外辅导，把习题课没有时间处理的习题和疑问集中讲解.6 教学中注意微观和宏观兼顾有些学生在学习中对教材中很多的细节不容易搞懂，尤其是证明中的细节要花很多时间和精第2期高文华，郭继东：实变函数教学中的几点体会61力，他们往往把每个细节弄懂就以为自己都懂了. 可是他们对知识的结构、各种概念和定理的联系以及整个教材的脉络却不去考虑. 还有些学生对知识的结构、各种概念和定理的联系以及整个教材的脉络很感兴趣，也比较清楚，经常可以看到他们在同学们面前滔滔不绝，口若悬河. 可是他们对很多细节以及定理的证明马马乎乎，不去推敲，数学的分析能力、构造能力等都没有进步. 前者只是注意微观而忽视了宏观；后者注重宏观而忽视了微观. 这两种倾向都不可取. 其实客观和微观是相互制约，相辅相成的. 微观的细节是宏观把握的前提，没有把细节弄明白，宏观的把握就是空中楼阁；宏观的把握对细节的理解有指导作用，在宏观的把握指导下才会对细节的前因后果领会更加透彻. 所以在教学过程中要注意微观和宏观兼顾. 在介绍概念和定理前，要做知识联系的铺垫，讲清楚为什么要讲这个概念和定理；在详细讲清楚概念和定理证明后，可以经常性地总结概念之间的联系，定理的意义和联系，并对定理证明的思路作一步分析，加深理解.例如讲L可测集定义时，直接给出Caratheodory 条件就比较突然，学生往往不明白为什么. 之前要充分讲清楚外测度是不能作为集合“长度”（面积、体积）概念的推广，因为当外测度具有“长度”（面积、体积）所具有的可加性后，就具有可列可加性，从而导致例1[2](P33）的矛盾. 因此要设置适当条件作为“筛子”，滤去不具有可加性的集合，把剩下的集合的外测度称为L测度. 那么，给出什么样的“筛子”（条件），才是恰当的呢？首先应该对任何长方体I关于E所分开的集合具有可加性，再次证明这与对任何集合T关于E所分开的集合具有可加性是等价的. 有了这些铺垫，就自然地给出满足Caratheodory条件的集合是L可测集合的概念了. 之后要说明：1. L测度就是外测度，不是新定义的；2. 任何集合都有外测度；3. 不是任何集合都有测度，只有满足Caratheodory条件的集合的外测度才是测度；4. L可测集合具有所有外测度所具有的性质. 这些说明对学生理解L测度概念是有意义的. 参考文献：[1]周民强，编. 实变函数[M]. 北京：北京大学出版社，1985.[2]曹广福，编. 实变函数论与泛函分析(上册)[M]. 北京:高等教育出版社，2004.[3]程其骧，等编. 实变函数与泛函分析基础(上册)[M]. 北京:高等教育出版社，1983.[4]郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要(第一册)[M]. 北京:高等教育出版社，1989.[5]杨钟玄. 浅谈实变函数论教学中应当注意的几个问题[J]．天水师范学院学报，2004，24(2) ：71-73.[6]周性伟. 讲授实变函数课的点滴体会[J]．高等理科教育，2000 (1)：42-45.[7]徐西安. 改进实变函数教学的一些方法[J]．山东教育学院学报，2006(4)：103-105.[责任编辑：张建国]Some Experience in Teaching Real Variable FunctionGAO Wen-hua1, GUO Ji-dong2（1.College of Mathematics and System Sciences, XinJiang University, Urumqi 830046, Xinjiang ,China；2. Department of Mathematics, Ili Normal University, Yining 835000, Xingjiang, China）Abstract: Accordance with abstract, monotonous and other properties of real variable function course, authors put forward some suggestions on how to improve teaching effect of Real Variable Function.Key words: real variable function; inverse example; Lebesgue integral。
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实变函数学习心得
实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。
下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢!
实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。
我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点：
1、复习并巩固数学分析等基础课程。
学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。
2、课前预习。
实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。
如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。
3、上课认真听讲，认真做笔记。
龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。
因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。
4、课后复习,做作业，做练习。
我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。
复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。
做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。
所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。
实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。
其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。
虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。
前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。
1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。
对于上极限可以这样定义：
{x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。
上述
的描述翻译成数学的语言就是：对于任给的n，总能找到一个mn，使得x属于Am，再换成集合论的表示方式就非常简单了。
2、至于下极限，它可以定义为：除去集列中有限个下标外，属于集列中每个集合的元素之全体所组成的集合。
类比数学分析中的-N语言，假设有限个下标中最大的那个下标为n，则对于任意的kn，总有x属于Ak，将这段话翻译成集合论的语言应该是非常容易的事情了。
3、为什么单调列一定存在极限?以单调递增集合列为例：因为是升列，故Ak(k=n,n+1,...)的交集就等于An，这样下极限就化为：Ak(k=1...)，而Ak(k=n,n+1,...)的并集也等于Ak(k=1...)，这是因为Ak是升列，所以在前面再并上有限项并不影响最终的结果，从而上极限也化为了Ak(k=1...)，故上下极限相等，极限存在且为Ak(k=1...)。
单调减集合列与此类同。
实变函数学习心得体会范文篇3 泛函分析是继实变函数论后的一门课程，是实变函数论的后继，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
可以说数字到数字的映射产生函数，而函数到函数的映射产生泛函，因此泛函分析是一门十分抽象的课程，学起来比较吃力。
在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。
在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。
定义:设X是一集合，是x x到Rn的映射，满
足：
(1) (非负性) (x,y)0 且(x,y)=0,当且仅当x=y
(2) (对称性) (x,y)= (y,x)
(3) (三角不等式) (x,z) (x,y)+ (y,z)
则称X为距离空间，记为(X, )，有时简记为X。
由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了;
度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。
赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。
度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。
赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。
巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。
巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。
巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。
满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。
度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离(x,y)的定义是重点。
赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。
在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空
间，其上的范数由一个内积导出。
因此只要弄清楚了度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间，内积空间和希尔伯特空间学习第一章就没什么难度了。
有界线性算子及其范数，在两个线性赋范空间上定义一个映射，这个映射就是线性赋范空间的线性算子，由线性算子又派生出有界线性算子，由范数的计算导出算子空间，第一二章就由线性赋范空间紧密串联起来。
泛函分析作为一门科学,它是从解决实际问题的需要产生的。
决定一个物理系统的状态的参数的个数叫做这个系统的自由度。
在质点力学中,常遇到具有穷自由度的系统。
但在连续介质力学中,往往遇到具无穷自由度的力学系统(例如振动的梁)。
无穷维空间正是反映具无穷自由度的系统的数学概念。
因此学好泛函分析为研究物理学提供了重要的方法;Banach不动点原理在证明数值分析中应用了迭代法原理，这也说明了微积分学为泛函分析提供了证明方法，那么反过来，泛函分析也可以为微积分学的研究提供重要方法。
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