轴向拉伸与压缩

屈服极限 s — 对应点 D（屈服低限）
(3)、强化阶段
此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。 此阶段如要增加应 变，必须增大应力
材料的强化 强度极限b —对应 点G (拉伸强度)， 最大名义应力
强化阶段的卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载， 则卸载过程 关 系为直线。
m
P
m
N N P
F
x
0
N P0
NP
二 轴 向 拉 压 杆 的 内 力 与 轴 力 图
（3）轴力的符号规定 轴力的正负号：轴力以拉为正，以压为负。 也可以说，若轴力方向背离截面为正；指向截面 为负。 N N F F +
同一位臵处左、右侧截面上 内力分量必须具有相同的正负 号。
（二）轴力图 二 轴力图——表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。 轴 向 （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力， 拉 作轴力图。 压 （ 2 ）轴力图中：横坐标代表横截面位臵，纵轴代 杆 表轴力大小。标出轴力值及正负号（一般：正值画 的 内 上方，负值画下方）。 力 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改 与 轴 变轴力大小。 力 图

E tg
θ

P
细长杆受拉会变长变细，
受压会变短变粗
长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形
P
L+L L
d-d d
d1
F
d
F l l1
横向变形
绝对变形 横向正应变
d d1 - d d d
规定，△l和△d伸长为正，缩短为负；ε和ε1 的正负号分别与△l和△d一致。因此规定：拉应 变为正，压应变为负。
5 20 103 N2 2杆： 2 4 Pa 2.5MPa [ ]2 2 A2 0.1
因此结构安全。
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
3、F 未知，求许可载荷[F] 各杆的许可内力为
Nmax A1 [ ]1

4
d 2 150 10 6 30.15 KN
m ---- 泊松比
在线弹性范围内，杆件上任一点的横向正应 变ε’与该点的纵向正应变ε成正比，但符号相反.

m 称为泊松比，是一个材料常数

N 1 EA E
E
m
m
负号表示纵向与横向 变形的方向相反


E
m
最重要的两个材料弹性常数，可查表
例题
一横截面为正方形的砖 柱分上下两段，其受力情况 、各段长度及横截面尺寸如 图所示。已知F=50kN,材料 的弹性模量 E=3×103MPa 。试求砖柱顶面的位移。
上述公式也适用于压杆。
d1
F
d
F l l1
轴向（或纵向）变形
绝对变形 相对变形
l l1 - l
长度变化的测量
l l
正应变
单位长度上的变形; 无量纲量
Δ l 1 FN FN , l E A A Δl l
E
普遍地用于所有的单向应力状态。
也称为胡克定律 该式表达的是均匀伸长时的线应变。
正应力—在截面法线方向的应力
F3
F
M
ΔA
F2

p
N dN lim A 0 A dA
剪应力—在截面切线方向的应力

M ΔA
lim
Q dQ A0 A dA
平均应力
F p A
单位：帕斯卡，简称帕 (Pa).
3、应变
三 轴 向 拉 压 杆 的 应 力
F
F


dx dx dx
y
F F
x y
0 0
N 2 cos N1 0 N2 sin P 0
N1

B P
x
得： N 2 P / sin 5P 4
N2
N1 N 2 cos 3P 4
2、P=20KN时，校核强度
3 20 103 N1 4 Pa 76.8MPa [ ]1 1杆： 1 2 A1 0.016 4
江阴长江大桥——江阴长江大桥是“中国第一、世界第四” 的特大跨径钢悬索桥
一 工 程 实 例
下面我们 将所圈区 域放大
缆索 一 工 程 实 例
一 工 程 实 例
轴向 拉杆
？
一 工 程 实 例
看了图片之后，大家想知道这个杆件的尺寸 是怎么确定的吗？那么通过本章的学习大家 可以作一个大致的了解。
外力特征：作用于杆上的外力的合力作用线与杆 件的轴线重合。
轴向拉伸与压缩
一、工程实例 二、轴向拉（压）杆的内力 与轴力图 三、轴向拉（压）杆的强度 与变形
四、材料在拉（压）时的力 学性能
五、小结
请同学仔细看下图中的起重车
一 工 程 实 例
下面请大家试着判断出钢绳的受力方向
其实在工程结构当中受轴向拉压变形的杆件相当之多， 下面我们来看国内一座著名的桥梁——江阴长江大桥
由此得 Δ Δ l 2.3 mm(向下）
Ⅰ 、材料的拉伸和压缩试验
试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载） 试件：
L0
d h
国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)
L=10d 对圆截面试样： L=5d
对矩形截面试样： L 11.3 A
L 5.65 A
试验仪器：万能材料试验机
例题：试画出图示杆件的轴力图。 已知 P1=10kN；P2=20kN； 二 轴 向 拉 压 杆 的 内 力 与 轴 力 图
A P1
1
1 P2
B
2 C
2
3 D
P3=35kN；P4=25kN；
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB段 BC段
P3
3
P4
0 N 2 P2 P 1 P1 N2 P 1P 2 10 20 10kN CD段 Fx 0 N kN N3 P4 25kN
45° B
C
N 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 10 Pa 89MPa
6
N1
N2
45°
y
B
P
x
P
（二）强度条件 三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形 极限应力：杆件中的应力随着外力的增加而增加，当其达 到某一极限时，材料将会发生破坏，此极限值称为极限应 力或危险应力，以 表示。
A
45° B
C
F F
x
0 0
N1 cos 45 N 2 0 N 1sin 45 P 0
p
N1
y
y
N1 28.3kN (拉力)
N 2 45° B
P
x
N 2 20kN (压力)
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
2、计算各杆件的应力。
A
N1 28.3 103 1 A1 20 2 10 6 4 90 106 Pa 90MPa
2
拉（压）杆的变形 1. 胡克定律 实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金 钢等都有一个线弹性阶段，即：
FN l Δl （ FN 为轴力，A为截面积） A
Δ l l1 l
FN l Δl （ FN 为轴力，A为截面积） A FN l 引入比例常数 E 有： Δ l EA 上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E为弹性模 2 量，其量纲为 [力] /[长度] ，常用单位为MPa。E的 数值随材料而异，是通过试验测定的。EA称为抗 拉（压）刚度。 Δ l 1 FN (单向应力状态时的胡克定律) l E A
N 所以工作应力 A
为保证构件能正常地工作并具有足够的安全储备， 将极限应力除以一个大于1的系数K（安全系数）， 便得到容许应力 [σ]，即

0
k

k —安全系数
—容许应力
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
强度条件： 要使拉压杆有足够的强度，要求杆内的最大工作应力不 超过材料的许用应力，即强度条件为
例题
解：首先作轴力图。若认 为基础无沉陷，则砖柱顶面下 降的位移等于全柱的缩短。 由于此柱为变截面杆， 且上下两段轴力不等,因此要 分段计算。
例题
Δ l Δ l1 Δ l2 FN1 l1 EA1 FNII lII EAII
( 50 1000) 3 Δl ( ( 3 109 ) ( 240 240 10 6 ) ( 150 1000) 4 9 6 )m ( 3 10 ) ( 370 370 10 ) ( 0.00087 0.00146)m 0.0023 m 2.3 mm
变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短 一 工 程 实 例
杆的受力简图为
拉伸 压缩
F
F F
F
讨论题：在下图所示各杆件中哪些是属于轴向拉伸或压缩？
P

P
P
P
P
P
P P
一 工 程 实 例
P
（1）
（2）
（3）
（4）
二 （1）轴力：由于轴向拉压横截 轴 向 面上引起的内力作用线与杆的 拉 轴线一致，称为轴力 P 压 （2）截面法求轴力（4个步骤） 杆 的 1、假想沿m-m横截面将杆切开；P 内 力 2、 留下左半段或右半段； 与 3、 将抛掉部分对留下部分的 轴 力 作用用内力代替； 图 4、对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值。
Nmax A2 [ ]2 a 2 4.5 106 45KN
两杆分别达到许可内力时所对应的载荷
1杆：
2杆：
Fmax
Fmax
4 FN 1,max 4 30.15 40.2 KN 3 3 4 FN 2,max 4 45 36 KN 5 5
确定结构的许可载荷为
[ F ] 36KN
2. 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为 d1=30 mm与d2=20 mm，两杆材料相同，许用应力 [σ]=160 MPa。该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷 F=80 kN作用，试校核桁架的强度以及在A点处所能承 受的最大载荷。
B C
1
300 450
A F
Biblioteka Baidu
实验装臵 （万能试验机）
低碳钢拉伸试件
低碳钢拉伸破坏演示
Ⅱ、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能
为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为 材料的应力——应变曲线图。
图中：
FN A
A — 原始横截面面积
— 名义应力
l l
l — 原始标距
— 名义应变
2、拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：
N max max [ ] A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
N 1、强度校核： max A N 2、设计截面： A
3、确定许可载荷：
N A
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
例题：图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16 mm, [ ]1 150MPa 杆2：方形截面，边长a=100mm, [ ]2 4.5MPa



（二）轴向拉压杆横截面上的正应力 研究方法：
三 轴 向 拉 压 杆 的 应 力
实验观察
作出假设
理论分析
实验验证
F
F
结论：横截面上应力为均匀分布，以表示。
F

即
N A
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
例题：图示结构，试求杆件AB、CB的应 力。已知 P=20kN；斜杆AB为直径20mm的 圆截面杆，水平杆CB为15×15mm的方截 面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆 AB为1杆，水平杆BC为2杆）用截面法 取节点B为研究对象
x
F
0 N1 P 1 10kN
x
F
P1
P2
N1 N2 N3
P4
10

25

2、绘制轴力图。
10
x
（一）应力、应变
三 轴 向 拉 压 杆 的 应 力
1、应力 —分布内力在截面内一点的密集程度 引入： F1
M点的应力定义
F dF (M点的 F p lim A0 A dA 合应力)
(1)、弹性阶段OB 此阶段试件变形完全是弹性的， 且与成线性关系
E
E — 线段OA的斜率
比例极限p — 对应点A
弹性极限e — 对应点B

a
b
d
弹性极限
e
c
e
比例极限 p
O

(2)、屈服阶段
此阶段应变显著增加，但应力基本 不变—屈服现象。 产生的变形主要是塑性 的。
抛光的试件表面上可见 大约与轴线成45 的滑移 线。
试求：(1)当作用在B点的载荷 P=20kN时，校核强度；
(2)求在B点处所能承受的最大载荷。
解：分析此类问题的一般步骤：
3m
外力
内力 4m 应力
A
1 P 2
B
利用强度条 件校核强度
下面我们按照这个步骤来做解这道题目：
C
三 轴 向 拉 压 杆 的 强 度 与 变 形
1、计算各杆件的轴力。（用截面法取节点B 为研究对象）