第十二章 组合变形的强度计算
第十二章工程力学之组合变形方案
将T分解为沿AC杆轴线的分量Tx和垂直于轴线的分量Ty
Tx T cos 30 40
3 34.6KN 2
Ty
T
sin 30
40
1 2
20KN
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。
32 M
d 3
4 15 103
d 2
32 6 103
d 3
根据强度条件 t max [ ]
有
4 15 103
d 2
32
6 103
d 3
35 106
由上式可求得立柱的直径 d≥122mm
例12-3：如图12-6（a）所示，电动机的功率为9kW，转速为 715r/m，皮带轮直径D=250mm，电动机主轴外伸部分长度为 l=120mm，直径d=40mm。求外伸部分根部截面A、B两点的应力。
二、叠加原理
杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。
当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。
M
M max Wy
35 103 2 152 106
115106
115MPa
截面上的弯曲正应力分布如图12-4（c）所示。 （4） 组合变形下的最大正应力
12组合变形的强度计算.
例 一桥墩如图示。承受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压力F0＝ 1920kN，桥墩墩帽及墩身的自重F1＝330kN，基础自重F2＝1450kN， 车辆经梁部传下的水平制动力FT＝300kN。试绘出基础底部AB面上的 正应力分布图。已知基础底面积为b×h＝8m×3.6m的矩形。
3700kN 1740kNm
例
FB
FAx
FBy
FAy
FBx
F
49.7kN
30kNm
B左截面压应力最大
max
FN M z A Wz
3
Mz Wz
Wz 187.5cm3
查表并考虑轴力的影响：
20a Wz 237cm
A 35.5cm
2
max
49.7 103 30 106 140.6MPa 2 3 35.5 10 237 10
bh 2 a b 1.786mm 12 F
12.1 弯扭组合变形的强度计算
一、弯扭组合变形的应力分析F
MBy B Iz M max max Wz
a
L
F Fa
T IP T max WP
2
B
x x 2 13 x 2 2
B
FL
1 3
2 4 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
Fa
2 3 2
二、弯扭组合变形的强度计算
图示圆轴.已知,F=8kN,M=3kNm,［σ］=100MPa,试用第 三强度理论求轴的最小直径. T 3kNm M max FL 4kNm F
12-2 工程力学-组合变形的强度计算
故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述前面研究了杆件在拉伸(压缩)、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。
但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。
例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。
我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。
常见的组合变形有：1。
拉伸(压缩)与弯曲的组合;2.弯曲与扭转的组合；3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）;4。
拉伸（压缩）与扭转的组合。
本章只讨论弯曲与扭转的组合。
处理组合变形问题的基本方法是叠加法,将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。
组合变形强度计算的步骤一般如下：(1）外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况;（2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置；（3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。
(4）建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加,然后建立强度条件进行计算。
§9。
2 弯扭组合变形强度计算机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作.现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。
图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮,工作时，电机给轴输入一定转矩,通过带轮的皮带传递给其它设备。
带紧边拉力为F T1,松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10—1（1）外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。
（2）内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图,如图10—1（c）、(d)所示。
由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为（3) 应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩，故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力，如图10—1(e),a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值，为危险点，该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态，图10-1(f),故需按强度理论建立强度条件。
组合变形的强度计算
yC
Ft l 4
5 0.2 4
0.25(kN m)
所以，轴的危险截面为C截面的左 侧截面。
例2
（3）校核强度。
r3
M
2
M
2 x
M
2 zC
M
2 yC
M
2 x
Wz
d 3 / 32
0.12
0.252 0.52 503 / 32
106
46.3(MPa)
例2
（2）画扭矩图及弯矩图。从扭矩图
可以看出，CD段各截面上扭矩相同，
大小为
M
x
Me
Ft
d 2
5 0.2 0.5(kN m) 2
而从弯矩图来看，无论是铅垂面还是 水平面内，最大弯矩均出现在截面C， 其最大值分别为
M zC
Fr l 4
2 0.2 4
0.1(kN m)
M
M
2 z
0.75M
2 x
Wz
三 弯拉（压）组合的强度计算举例
例1 图示为一摇臂钻床，钻孔时钻头所受轴向力P＝15 kN。己知偏心距e＝0.4 m，铸 铁立柱的直径d＝125 mm，其许用拉应力为[ ]+=35 MPa，许用压应力[ ]-=120 MPa。 试校核铸铁立柱的强度。
解：（1）分析内力。采用截面法求立柱 横截面上的内力。截开后取上侧一部分 考虑，由其平衡条件可知，横截面上既 有轴力FN，又有弯矩M。所以立柱的变 形为弯曲与拉伸的组合变形。轴力和弯 矩的大小分别为
FN＝F＝15kN M =Pe =15×0.4 =6 kN·m （2）校核其强度。由于整个立柱内 的最大正应力为拉应力，且铸铁的许用 拉应力小于许用压应力，所以，只要最 大拉应力不超过许用拉应力，立柱的强 度也就足够了。
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
工程力学第12章 组合变形时杆件的强度计算
12.1
组合变形概述
在工程实际中有很多构件,在外力作用下所产生的变形并不是单一的基 本变形,而是同时产生了两种或两种以上的基本变形 ,这类变形形式称 为组合变形。例如,小型压力机框架的立柱部分(图12-1a),在F力作用 下,将同时发生拉伸及弯曲变形(图12-1b)。又如机器中传动轴(图122a)在齿轮啮合力的作用下,将同时产生扭转和弯曲变形。
组合变形包括多种形式,其中最常见的是拉(压)弯组合和弯扭组合。本章主要介 绍杆件在拉(压)弯和弯扭组合变形时的强度计算,其分析方法同样适用于其他组 合变形形式。
12.2
拉伸(压缩)与弯曲组合时杆件的强度计算Biblioteka 12.2.1 拉伸(压缩)与弯曲的组合
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形是工程中常见的一种组合变形 ,现以图12-3a所示 矩形截面悬臂梁为例来说明如何进行强度计算。设外力F位于梁纵向对称面内, 作用线与轴线成φ角,力学模型如图12-3b所示。 1) 外力分析 将力F向x、y轴分解得 F1=Fcosφ, F2=Fsinφ 轴向拉力F1使梁产生轴向拉伸变形,横向力F2使梁产生弯曲变形。 2) 内力分析 轴向拉力F1和横向力F2将分别在任意横截面m—m上产生轴力和 弯矩(略去剪力),如图12-3c,m—m面上轴力和弯矩值分别为 FN=F1=Fcosφ Mz(x)=-F2(l-x)=-F(l-x)sinφ 3) 应力分析 任一横截面m—m上,有轴力FN,引起均匀分布的拉应力σN(图123e);同时有弯矩Mz引起的线性分布的正应力σM(图12-3f)。它们的计算式分别 为
引起正应力,分别为
其应力分布规律见图12-5d。 根据叠加原理,将两种应力叠加起来,即得偏心压缩时任一点处的正应力计算式
弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]
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σ1
σ+ 2
σ 2
2
+τ
2
，，
σ2
=
0
σ3
=
σ 2
−
σ 2
2
+τ2
对于塑性材料，通常选第三或第四强度理论，强度条件分别为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤≤[σ≤] , σ r4 σ 2 + 3τ 2 [σ ]
（10.6）
将式（a）代入式（10.6）并注意到 Wp=2Wz，得到圆杆弯扭组合变形以内力表示的强度条件
= σ eq3
M 2 + = MT2 Wz
7.62 + 62 × 106 =
50.5 MPa <= [σ ]
80 MPa
π × 1253
32
计算结果表明轴 OA 的强度是足够的。
162
− 1125 × 103 1003 / 6
=6.99 MPa < [σ ]
故梁是安全的。
10.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算
弯曲与扭转组合变形在机械工程中是很常见的，例如皮带轮传动轴、齿轮轴、曲柄轴等轴
类构件，在传递扭矩的同时往往还发生弯曲变形。
如图 10-5（a）所示水平直角曲拐，AB 段为圆杆，受集中力 F 作用。将 F 向 AB 杆的 B 端
σr3
= 1 M 2 + M Wz
2 n
≤≤[σ
]
,
σr4
= 1 M 2 + 0.75 Wz
M
2 n
[σ ]
（10.7）
工程中除了弯扭组合的杆件外，还有拉（压）与扭转的组合，或者拉压、弯曲与扭转的组 合变形，运用相同的分析方法，仍可用式（10.6）进行强度计算。
组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
建筑力学 第十二章 组合变形
图12.1
二、组合变形的分析方法及计算原理 处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构 件在组合变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理 叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定 律，构件产生小变形，所求力学量定荷载 的一次函数的情况下，
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值 可按下述范围选取： 矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2； 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例12.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成， 材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的 集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角 φ=15°，如图12.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解图11.9
(2) 计算横梁的内力 横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中 点截面D的弯矩最大，其值为 Mmax= Pl/4 = 15.5×3.4/4 kN· m=13.18kN· m 横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴 力都相等，其值为 N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 由式(12.7)，有 σymax=｜- N/A - Mmax/Wz｜≤［σ］
§12.2 斜弯曲
• 对于横截面具有对称轴的梁，当横 向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变 形后的轴线仍位于外力所在的平面内， 这种变形称为平面弯曲。 • 如果外力的作用平面虽然通过梁轴 线，但是不与梁的纵向对称面重合时， 梁变形后的轴线就不再位于外力所在的 平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯 曲。斜弯曲可分解为两个平面弯曲。
第十二章---压杆稳定(习题解答)
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？N BB CN B AB CC D解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EI EI P P aaππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N NN N ===。
研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。
第一种情况：C:)02450CB CB X P N cos N =→--=→=-∑ 压杆B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =→--=→==∑拉杆 令2,.2=C B cr C B cr EI N P P P aaπ=-==↔外第二种情况： )C B P N =拉杆 ()-BD BC N P ==压杆22.22-==22BD BC cr BD EI EI N P P P aaππ===↔12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。
0.57101.04xz xz yl i μλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。
27242.490.200xy xy zli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
m ax(.)242.49xz xy λλλ==（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。
组合变形课件
第十二章组合变形【学时】4内容：组合变形的概念及工程实例；斜弯曲时的应力和强度计算；拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算；偏心压缩（拉伸）；截面核心；弯曲与扭转组合时的强度计算。
基本要求：【基本要求】1．理解组合变形的概念[2]。
2．掌握斜弯曲时的应力和强度计算[1]。
3．掌握拉（压）与弯曲组合时应力和强度计算[1]。
4．理解偏心压缩（拉伸）[2]。
5．了解截面核心的概念[3]。
6．掌握弯曲与扭转组合时的强度计算[1]。
重点：【重点】斜弯曲，弯扭组合时的强度计算难点：【难点】截面核心§12–1 概 述一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理① 外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解③ 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
§12–2 斜弯曲一、斜弯曲：挠曲线与外力（横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解ϕsin P P y =ϕcos P P z =2.研究两个平面弯曲 ①内力ϕϕϕcos sin sin )()(M M M x L P x L P M y y z ==-=-=（2）应力M y 引起的应力：ϕσcos I M I z M yyy z-=-='M z引起的应力：ϕσsin I M I y M zz z y -=-=''合应力：)sin I y cos I z (M z y ϕϕσσσ+-=''+'=（3）中性轴方程000=+-=)sin I ycos I z (M z y ϕϕσϕαctg tg 00yz I Iz y ==可见：仅当Iy = Iz ，中性轴与外力才垂直（4）最大正应力距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点 （5）变形计算当ϕ = β 时，即为平面弯曲【例】 矩形截面木檩条，简支在屋架上，跨度ｌ＝4ｍ，荷载及截面尺寸(图中单位：mm)如图所示，材料许用应力[σ]＝10MPa ，试校核檩条强度，并求最大挠度。
《材料力学》第十二章-求变形的能量法
3 虚功的计算 外力：P1, P2,……, 虚位移：a1, a2,……., 外力虚功： 内力：N, M,… 虚变形：
We=P1a1+P2a2+……..
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力P=1, 力P产生的内力 则有：
莫尔定理
小结： 1 变形位能的概念 2 卡氏定理 3 莫尔定理 4 互等定理 5 虚功原理 作业：12.19, 12.20
2 ( x)
2G
L
dv
2 w ( x)
L
2E
dv
内力表达的变形位能
应力表达的变形位能
结
论
1. 变形位能是状态函数 （同最终的力和变形有关）
11
2. 变形位能的计算不能用叠加原理
如何解释交叉项？ 单独作用时 则 交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈解释1〉
载荷
在载荷
引起的位移上做的功
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
例
A
求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 [P356]）
q B x a C
A
P0 =1
B
a
a
C
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx2 M ( x ) aqx 2
③变形
q A x a C B A P0 =1 B
a
a
C
a
对称性
④求转角，重建坐标系（如图）
q
A
§12–3 莫尔定理 Mohr Theory
q(x)
A
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为M(x) 如何计算任一点A的位移？ 1、 在A点加虚单位力
工程力学-弯扭组合
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
组合变形强度计算
第6章 组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理6.1.1 组合变形的概念在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。
如图6-1（a ）所示小型压力机的框架。
为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化（图6-1b ），便可看出，立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M =引起的弯曲。
图6-16.1.2 弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。
该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。
在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。
例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F 和对应着弯曲的M 。
这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。
现在再作一些更广泛的阐述。
设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F 时，右端支座截面的转角为EIFl 162=θ这里转角θ与载荷F 的关系是线性的。
EI l 162是一个系数，只要明确F 垂直于轴线且作用于跨度中点，则这一系数与F 的大小无关。
类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A 点因载荷1F引起的位移1δ与1F 的关系是线性的，即111F C =δ (a)这里1C 是一个系数，在1F 的作用点和方向给定后，1C 与1F 的大小无关，亦即1C 不是1F 的函数。
同理，A 点因另一载荷引起的位移为222F C =δ （b ）系数2C 也不是2F 的函数。
若在构件上先作用1F ，然后再作用2F 。
因为在未受力时开始作用1F ，这与（a ）式所表示的情况相同，所以A 点的位移为11F C 。
在作用时2F ，因构件上已存在1F ，它与（b ）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数'2C 代替2C ，得A 点的位移为22'F C 。
组合变形构件的强度计算
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作 用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作 用效果（或影响很小可以忽略）；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应力
及叠加法为基础。
第五页，编辑于星期二：四点 三十三分。
大拉应力。
E
D
B
C
A
第四十六页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
7、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷
q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内最大正
应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150
P 100
第四十七页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
杆内的最大拉应力与最大压应力。
B
L=2.5m
1m
A
1m
P
100 100
第四十三页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最大压应
力。 P
L/2 L/2
H h
b
第四十四页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
第十一页，编辑于星期二：四点 三十三分。
组合变形构件的强度计算
§16-2 拉伸（压缩）与弯组合变形的强度计算
工程实例
第十二页，编辑于星期二：四点 三十三分。
观察立柱变形
组合变形构件的强度计算
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第十二章
组合变形的强度计算
思 考 题
1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？
2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？
3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？
4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？
5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？
6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？
习 题
1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN ，ｌ＝２ｍ，5.1,12==︒b h ϕ，材料的容许正应力［σ］＝10MPa ，试确定ｂ和ｈ的尺寸。
2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成ϕ角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa ，试求梁能承受的最大分布荷载m ax q 。
题 1 图 题 2 图
3 如图所示斜梁横截面为正方形，a ＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。
4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN ，Ｆ2＝10ｋN ，Ｆ3.＝1.2ｋN ， ＝2ｍ，ｂ＝12cm ，ｈ=18cm ，试求杆中的最大压应力。
题 3 图 题 4 图
5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ] =100MPa 。
当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。
6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4
a 。
求开槽前后柱内的最大压应力值。
题 5 图 题 6 图
7 砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力Ｆ＝40kN 的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。
8 矩形截面偏心受拉木杆，偏心力Ｆ＝160kN ，ｅ＝5cm ，［σ］＝10MPa ，矩形截面宽度ｂ＝16cm ，试确定木杆的截面高度ｈ
题 7 图 题 8 图
9 一混凝土重力坝，坝高Ｈ＝30ｍ，底宽Ｂ＝19ｍ，受水压力和自重作用。
已知坝前水深Ｈ＝30ｍ，坝体材料容重3
/24m kN =γ，许用应力[-σ]＝10MPa ，坝体底面不允许出现拉应力，试校核该截面正应力强度。
10 浆砌块石挡土墙如图所示，在计算所取的1m 长墙体内，受有自重F G ＝F G1＋F G2、总土压力Ｆ的作用，力Ｆ的作用线与水平方向夹角为︒42，各力大小及其作用线到墙底截面ＢＣ的形心ｏ的距离分别为：F G 1＝72ｋＮ，F G 2＝77ｋＮ，Ｆ＝95ｋＮ，ｘ1＝0.8ｍ、ｘ2＝0.03ｍ、ｘ3＝0.43ｍ、ｙ3＝1.67ｍ，且知砌石体许用应力［+σ］＝0.14MPa 、［-σ］＝
3.5MPa ，试求墙底截面上Ｂ、Ｃ两点处的正应力，并进行正应力强度校核。
题 9 图 题 10 图。