幂级数运算
幂级数的运算
Calculus Ⅱ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数的运算
一 四则运算
设幂级数 an xn , bn xn 收敛半径分别为 R1, R2
n0 n!
例
求幂级数 ( n 1 ) x n 的和函数。
n1
解:
设 s(x) (n 1)xn , | x | 1
n1
两边积分得
x
s(x)dx
x
(n 1)xndx
xn1
x2
0
n1 0
n1
1 x
两边求导得
s(x)
x2
1 x
n1 (n 1)! n0 n!
即
s(x) s(x), s(x) 1
s(x)
积分得
x s(x) dx
x
dx
0 s(x)
0
ln s(x) ln s(0) x
因为
s(0) 1,
所以 因此得
s(x) ex
x n e x , x ( , )
n0
n0
记 r min{R1, R2 }, 则当 x (r, r )时，有
1) an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0
2) an xn bn xn cn xn
n0
n0
n0
幂级数运算
幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。
我们需要了解什么是幂级数。
幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。
幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。
当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
接下来，我们来看看幂级数的加法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。
接下来，我们来看看幂级数的减法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。
接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。
幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。
我们来看看幂级数的除法运算。
设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。
如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。
如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。
需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
幂级数的运算
即 s( x ) s(0) = ln(1 + x ) ∴ s( x ) = ln(1 + x ),
∞ 1 xn n 1 收敛 . ∴ ∑ ( 1) n1 又 x = 1时, ∑ ( 1) 时 = ln(1 + x ). n n n =1 n =1
( 1 < x ≤ 1)
1 n 1 的收敛域， 例3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n a n→ ∞ 1 n n n n2 ∞ ( 1)n1 ∞ 1 x = 2, ∑ 收敛， 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 2n 2n 1 1 2n
∞
2 收敛域 [ 2，)
1 n 1 1 ∞ 1 n 设s( x ) = ∑ n x = ∑ nx , 1 n2 x 1 n2
∞
x≠0
1 n 则xs( x ) = ∑ n x 1 n2
∞
1 n 1 1 ∞ 1 n 1 1 1 1 ∴ [ xs( x )]′ = ∑ n x = ∑ x = = n1 1 2 212 21 x 2 x 2 x x 1 dx ∫0 [ xs( x )]′dx = ∫0 2 x
n= 0
∞
两级数的收敛区间小得多) 两级数的收敛区间小得多
2.和函数的分析运算性质: 2.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
(1) 幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 连续.
(2) 幂级数
∑a
n= 0
∞
n
x 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ xn xn = x 2 ( ∑ )′′ + x ∑ = x 2 (e x 1)′′ + xe x n=1 n! n= 0 n! ∞
幂级数的加减乘除运算
幂级数的加减乘除运算幂级数是数学中研究的一类级数，它具有重要的数学性质和广泛的应用价值。
幂级数的加减乘除运算是研究幂级数的重要内容，通过对幂级数进行加减乘除的运算，可以得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
首先，我们来看幂级数的加法运算。
幂级数的加法运算就是将两个幂级数进行相加。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的和为幂级数C=a0+b0+(a1+b1)x+(a2+b2)x^2+(a3+b3)x^3+…。
通过幂级数的加法运算，我们可以将多个幂级数进行相加得到新的幂级数，进一步拓展了数学的应用领域。
其次，我们来看幂级数的减法运算。
幂级数的减法运算就是将两个幂级数进行相减。
具体操作是将两个幂级数的相同次数的幂次项进行相减，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的差为幂级数C=a0-b0+(a1-b1)x+(a2-b2)x^2+(a3-b3)x^3+…。
通过幂级数的减法运算，我们可以利用幂级数的性质来求解一些特殊的函数问题，提高问题的求解效率。
接下来，我们来看幂级数的乘法运算。
幂级数的乘法运算就是将两个幂级数进行相乘。
具体操作是将两个幂级数的每一个幂次项进行相乘，然后将结果按幂次递增次序相加，得到新的幂级数。
例如，若幂级数A为a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…，幂级数B为b0+b1x+b2x^2+b3x^3+…，则它们的乘积为幂级数C=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x^2+(a0b3+a1b2+a2b1+a3b0)x^3+…。
通过幂级数的乘法运算，我们可以通过幂级数展开来计算一些复杂函数的数值近似值，提高数学计算的准确性和稳定性。
第十四章 幂级数
∞
∞
（14.2）
∫
x
0
f (t )dt = ∫
x ∞
0
∑ ant n dt = ∑
n =0
an n +1 x 。 n=0 n + 1
∞
（14.3）
证明： ∀x ∈ (− R, R ) ，取实数 r ，使 x < r < R ，由于式（14.1） ， （14.2） ， （14.3）右 边的幂级数都以 ( − R, R ) 为收敛区间，故都在 [ − r , r ] 一致收敛，据函数级数逐项求导和逐项 积分定理立证式（14.2） ， （14.3）成立。 推论 设幂级数
∑ax
1
收敛， 当 ρ x > 1 时，
∑ax
n
n
发散，
∑ax
n
n
的收敛半径是
ρ
，从而幂级数
∑a x
n
n
的收敛半径是
1
ρ
。
注 3.若幂级数的奇项或偶项系数全为 0，即形如
∑ a2 n x 2 n ，或 ∑ a2n−1 x 2 n−1 ，
n=0 n =1
∞
∞
那么收敛半径 R 的确定，应该象定理 14.2 那样用正项级数的根式判别法和比式判别法来判 定；也可用下面的方法求 ρ ：
评注：由于和函数在收敛域连续.故 S ( ±1) 的值可利用 lim S ( x ) 求出。
x →±1
补例 2（P24 题 5（1） ）求乘积级数
(∑ nx n −1 )[∑ ( −1) n −1 ⋅ nx n −1 ] 。
n =1 n =1
∞
∞
解：
∑ nx n−1 = (∑ ∫ nt n−1dt ) '
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
根据幂级数的运算知识点总结
根据幂级数的运算知识点总结
幂级数是数学中一类重要的级数，它常用于数值计算、函数逼
近和方程求解等领域。
以下是幂级数运算的一些核心知识点总结：
1. 幂级数的定义：
幂级数是形如∑(aₙxⁿ)的级数，其中aₙ是常数系数，x是变量，ⁿ表示指数。
2. 幂级数的收敛性：
(1) 当级数的通项aₙxⁿ的绝对值在某一范围内都趋于0时，该
幂级数收敛。
(2) 幂级数的收敛半径R能够通过求取lim|(aₙ)/(aₙ₊₁)|来计算。
3. 幂级数的运算法则：
(1) 幂级数的加法：将相同次数的各项系数相加即可。
(2) 幂级数的乘法：将幂级数展开后，相同次数的各项系数相
乘再相加。
4. 幂级数的展开：
(1) 幂级数的展开可以利用函数的泰勒级数来进行，泰勒级数
是一种特殊的幂级数表示。
(2) 对于某些特殊函数，如指数函数、三角函数等，可以利用
已知的展开式来得到幂级数的展开形式。
5. 幂级数的收敛域：
幂级数的收敛域是指使得幂级数收敛的变量取值范围。
一般来说，幂级数在其收敛半径范围内收敛，而在其边界上需要额外判断。
以上是根据幂级数的运算知识点的总结，希望对您有帮助！。
第四讲 幂级数的运算
数学分析第十四章幂级数
幂级数的运算
第四讲
数学分析第十四章幂级数
定理14. 9
n
n n a x ∞=∑0
n
n n b x ∞
=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相
同的和函数,(1,2,).
n n
a b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.
幂级数的运算
则它们同次幂项的系数相等, 即
数学分析第十四章幂级数
定理14. 10
n
n n a x 与
∞
=∑0n
n n b x
∞
=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00
,
||,
n n
n n a n n a x a x x R λλ∞∞
===<∑∑0
(),||,
n
n
n
n
n n n n n n a
x b x a b x x R ∞
∞
∞
===±=±<∑∑∑000
,||,n n n
n n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0
,min{,},.
n
a b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.
则
1
n
x+有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?
一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项幂级。
幂级数
间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的
上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛; (ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 ( , )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 ( R, R) 内收敛; 对
例5 级数
( x 1)n x 1 ( x 1)2 2n n 2 22 2
( x 1)n n 2 n
, (6)
由于
1 n 1 2n1 ( n 1) ( n ), 1 2( n 1) 2 2n n
所以级数(6)的收敛半径 R 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | x 1 | 2 即 ( 1, 3).
前页 后页 返回
求积后得到的幂级数
a1 2a2 x 3a3 x 2
与
a1 2 a2 3 a0 x x x 2 3 的收敛区间.
nan x n1
an n1 x n 1
(7)
(8)
定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收
敛区间.
证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).
n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.
前页 后页 返回
2 a n x n1 1( n ), 例1 级数 2 , 由于 2 an ( n 1) n
n
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
幂级数的运算
( −1 < x ≤ 1)
1 n −1 例 3：求 ∑ n x 的收敛域，并求其和函 数。 1 n2 1 1 解： R = lim = lim =2 n→ ∞ n→ ∞ n a 1 n n n n2 ∞ ( −1)n −1 ∞ 1 x = −2, ∑ 收敛， x = 2, ∑ 发散， 2n 1 1 2n
n ′ 即 s ( x ) = ( ∑ a n x )′ n= 0 ∞
= ∑ (a n x n )′ = ∑ nan x n−1 .
n= 0
n =1
∞
∞
(收敛半径不变)
例 2 求级数
n −1 ( − 1 ) ∑ n =1
∞
∞
xn 的和函数. n
xn , 显然 s(0) = 0, n
n −1 Q s ( x ) = ( − 1 ) 解 ∑ n =1
( ∑ a n x n ) ⋅ ( ∑ bn x n )= ∑ cn x n . x ∈ (− R, R )
n= 0 n= 0
n= 0
∞
∞
∞
(其中 cn = a0 ⋅ bn + a1 ⋅ bn−1 + L + an ⋅ b0 )
柯 西 乘 积
1 a0 b0 a1b0 a 2 b0 a 3 b0
L
x a0 b1 a1b1
1 ]x n n+1
2 + x 1 − x2 = + ln(1 − x ) ( x < 1, x ≠ 0) 4 2x ∞ 1 1 5 3 = s( ) = − ln 2. ∑ 2 n 2 8 4 2 ( n − 1)2
x 1 = [− ln(1 − x )] − [− ln(1 − x ) − x − x 2 ] 2 2x
幂级数除法
幂级数除法
幂级数除法是一种重要的数学运算方法，它可以在无限级数的情况下计算两个幂级数的商。
幂级数除法的基本思想是通过将被除数和除数展开成无限级数的形式，再利用级数的基本性质进行运算。
具体来说，对于形如$f(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n$和
$g(x)=sum_{n=0}^infty b_nx^n$的两个幂级数，我们要求解的是它
们的商$Q(x)$，即$f(x)/g(x)$。
幂级数除法的具体步骤如下：
1. 首先，将$f(x)$和$g(x)$展开成幂级数的形式，即
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots$和$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+cdots$。
2. 确定商的首项系数$q_0$，即$Q(x)=q_0+c_1x+c_2x^2+cdots$，其中$c_1,c_2,cdots$是待求系数。
3. 用$Q(x)$去除$g(x)$，即求得$h(x)=f(x)-Q(x)g(x)$。
4. 根据$h(x)$的系数求出$c_1,c_2,cdots$，即
$c_1=frac{a_1-q_0b_1}{b_0}$，
$c_2=frac{a_2-q_0b_2-c_1b_1}{b_0}$，以此类推。
5. 重复步骤3和步骤4，直到求出所有$c_i$。
通过幂级数除法，我们可以得到两个幂级数的商$Q(x)$，从而得到它们的其他有关信息，如求导、积分和求和等。
幂级数除法在微积分、概率论、数论等领域都有广泛的应用。
- 1 -。
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
幂级数的和函数
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。
当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ） 逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
高数幂级数详解和习题
( 1)
n1
n 1
n 1
x
n
的和函数.
n
n 1
解 s( x ) ( 1)
2
x
n
,
显然 s(0) 0,
,
n
s( x ) 1 x x
1 1 x
( 1 x 1)
两边积分得
0
x
s( t )dt ln(1 x )
即 s( x ) s(0) ln(1 x )
域,
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 称 为函数项级数的和函数. ,
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
s( x ) 函数项级数的部分和 s n ( x ),
lim sn ( x ) s( x )
n 2 n 0
un ( x ) u1 ( x )
2.收敛点与收敛域:
如果 x 0 I ,数项级数
un ( x0 )收敛,
n 1
则称 x 0 为级数
否则称为发散点. un ( x )的收敛点,
n1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛
n1
n
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数.
《高等数学教学课件》第三节 幂级数
设幂级数 an x n的收敛半径为R, 和函数为s( x), n0
则在( R, R)内, s( x)可导, 且有逐项求导公式
s( x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x ( R, R)
n0
n1
n1
幂级数 nan x n1与 an x n有相同的收敛半径.
设sn
n
( 1) k 1
k1 (2k 1)(2k 1)!
rn
s sn
un1
1
104
(2n 1)(2n 1)!
(2n 1)(2n 1)! 104
取n 3, 7 7! 104
1 sin x
3
(1) k 1
11
dx
1 0.9461.
0x
k1 (2k 1)(2k 1)! 3 3! 5 5!
n0
an n
x 1
n1与
n0
an
x
n具有相同的收敛半径.
例1、求幂级数 x n 的收敛半径,收敛区间及收敛域,并求和函数.
解 lim
1
n0 n 1
1 lim n 1 1; R 1;
n n (1)n
n0 n 1 s( x)
2 莱
n 1 n n 2 1n 布 尼 兹 级 数,收 敛. n0 n
解
1
( x)n (1)n x n
1 x 1.
1 x n0 x
1
n0
dx
x
(1)n x ndx
( 1) n
x x ndx
ln(1 x)
(1)n
n0
x n1 n1
x 0
0 1 x
(1)n
n0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§11-3 幂 级 数一、函数项级数的概念1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321+++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数如: +++++=-∞=-∑12111n n n x x x x+++++=+∑∞=nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 21012. 收敛性I x ∈∀0，(1)成为)2()(10∑∞=n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞=10)(n n x u 收敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞=10)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛点的全体；发散域：发散点的全体.3.和函数123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++，∈∀x 收敛域()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞=()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有.0)(lim =∞→x r n n2101n n n x x x x ∞-==+++++∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x=- 二、幂级数及其收敛性1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞=0n n x ，∑∞=0!1n nx n 等等。
2010200()()()nn a a x x a x x a x x +-+-++-+取 00n n n x x t a t ∞=-=⇒∑2．收敛性定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数∑∞=0n n n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n n x a 当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x ，使这幂级数发散．分析：(1)设级数∑∞=00n n n x a 收敛,由级数收敛的必要条件有0lim 0=∞→nn n x a ,于是M ∃，使得 .),2,1,0(0=≤n M x a nn这样级数(3)的一般项的绝对值.00000nnnn n nn n n n x xMx x x a x x x a x a ≤⋅=⋅=由等比级数的敛散性知0x x <时,∑∞=0n nn x a 收敛，即∑∞=0n n n x a 绝对收敛．(2)反证法．注1 由TH1知，若幂级数在0x x =处收敛，则),(00x x x -∈∀，都收敛；若在0x x =处发散，则对于[]00,x x - 外的任何x ，都发散．几何说明：推论 如果幂级数∑∞=0n n n x a 不是仅在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R 存在，使得当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；当R x -=与R x =时，幂级数可能收敛也可能发散． 3．收敛半径和收敛区间R ：幂级数(3)的收敛半径．幵区间(),R R -叫做幂级数(3)的收敛区间。
由Rx ±=处的收敛性可决定它的收敛域是(][R R R R R R ,,),,),(---或[]R R ,-之一.特殊情形：0=R ，+∞=R （这时收敛区间是),(+∞-∞）。
定理2 如果 ,lim1ρ=+∞→nn n a a 其中1,+n n a a 是∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间(1)13nn n nx ∞=∑解 11131lim ||lim 33n n n n n n a n a n ++→∞→∞+==, 故收敛半径为3R =.因为当1x =时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当1x =-时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ,也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3).(2) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n +∞=R 收敛区间是.),(+∞-∞ ()10:n n ex nx ∞-=∑ 0R ρ=+∞=(3)()2112nn nn nx -∞=-∑缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R211lim2n n n u x u ρ+←∞==211,2x x <<当时即级数绝对收敛,21.1,2x x 当时即级数发散;()n=11n x ∞=∑n －, ()-1n=11n x ∞=∑n －收敛区间是( (4)()11(1)1n n n x n ∞-=--∑ 令1-=x t ，上述级数变为()111n n n tn ∞-=-∑ 1,R = 收敛区间为(]0,2三、幂级数的运算1．四则运算设∑∞=0n nn x a 和 ∑∞=0n n n x b 分别在()R R ,-及),(//R R -内收敛，（1）加减法 ∑∞=±0)(n n n n x b a 在()R R ,-及),(//R R -中较小的区间内成立.（2）乘法（两幂级数的柯西乘积）)(2210 +++++n n x a x a x a a )(2210 +++++⋅n n x b x b x b b++++++=2021120011000)()(x b a b a b a x b a b a b a .)(0110 ++++-n n n n x b a b a b a 可以证明上式在()R R ,-与),(//R R -中较小的区间内成立．（3）除法： ++++++++nn n n x b x b x b b x a x a x a a 22102210,2210 +++++=n n x c x c x c c 这里设.00≠b 为决定系数,,,,,,210 n c c c c 可将∑∞=0n nn x b 与∑∞=0n n n x c 与相乘，并令乘积中各项的系数分别等于级数∑∞=0n n n x a 中同次幂的系数，即得：,,,201102210011000c b c b c b a c b c b a c b a ++=+==由这些方程就可以顺序地求出.,,,,,210 n c c c c相除后所得∑∞=0n n n x c 的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多．2.幂级数的和函数性质 ()R R x x a x s n n n ,,)(0-∈=∑∞=性质1 幂级数nnn a x∞=∑和函数()s x 在其收敛域上连续.性质2 )(x S 在区间()R R ,-内是可导的.且有逐项求导公式)5(,)()()(110///∑∑∑∞=-∞=∞====n n n n n n n n n x na x a x a x S其中R x <，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.反复应用上述结论 ： )(x S 在收敛区间()R R ,-内具有任意阶导数． 性质3 )(x S 在区间()R R ,-内是可积的.且有逐项积分公式∑⎰⎰∑⎰∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000)(n x nn xn n n xdx x a dx x a dx x S )6(,101∑∞=++=n n n x n a其中R x <，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
例2 求下列幂级数的和函数(1)在区间()1,1-内求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数解 设和函数0()1nn x s x n ∞==+∑ 显然(0)1s =10()1n n x xs x n +∞==+∑并由)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n 01()ln(1).1xxs x dx x x ==---⎰当0≠x 时,有1()ln(1)s x x x=--.从而 1ln(1),01,()1,0.x x s x xx ⎧--<<⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，和函数)(x S 在处是连续的．可验证：1lim ()lim[ln(1)]1n n s x x x→∞→∞=--=.求和函数经常与求等比级数的和相联系,一般：,n u n 若是的整式函数先遂项积分化为等比级数求和,再遂项求导得和函数;,n u n 若是关于的分式函数时先遂项求导化为等比级数求和,再遂项积分得函数; 练习：∑∞=-2)1(n nn n x ()()()()1ln 1s x x x x =--+小结：本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，会利用幂级数的分析性质求其和函数.。