幂级数运算

§11-3 幂 级 数

一、函数项级数的概念

1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321

+++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数

如: +++++=-∞

=-∑121

11n n n x x x x

+++++=+∑∞

=nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 2101

2. 收敛性

I x ∈∀0，(1)成为)2()

(1

0∑∞

=n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞

=1

0)(n n x u 收

敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞

=1

0)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛

点的全体；发散域：发散点的全体.

3.和函数

123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++

，∈∀x 收敛域

()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞

=

()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有

.0)(lim =∞

→x r n n

210

1n n n x x x x ∞

-==+++

++

∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x

=

- 二、幂级数及其收敛性

1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞

=0n n x ，∑

∞

=0

!1n n

x n 等等。 2

010200()()()n

n a a x x a x x a x x +-+-+

+-+

取 00n n n x x t a t ∞

=-=⇒∑

2．收敛性

定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数∑∞

=0n n n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则适合不等

式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞

=0

n n n x a 当0x x =时发散，

则适合不等式0x x >的一切x ，使这幂级数发散．

分析：(1)设级数∑∞

=0

0n n n x a 收敛,由级数收敛的必要条件有0lim 0=∞

→n

n n x a ,于是M ∃，

使得 .),2,1,0(0

=≤n M x a n

n

这样级数(3)的一般项的绝对值

.0

000

0n

n

n

n n n

n n n n x x

M

x x x a x x x a x a ≤⋅

=⋅=

由等比级数的敛散性知0x x <时,∑∞

=0

n n

n x a 收敛，即∑∞

=0

n n n x a 绝对收敛．

(2)反证法．

注1 由TH1知，若幂级数在0x x =处收敛，则),(00x x x -∈∀，都收敛；若在0

x x =处发散，则对于[]00,x x - 外的任何x ，都发散．

几何说明：

推论 如果幂级数∑∞

=0n n n x a 不是仅在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收

敛，则必有一个完全确定的正数R 存在，使得

当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；

当R x -=与R x =时，幂级数可能收敛也可能发散． 3．收敛半径和收敛区间

R ：幂级数(3)的收敛半径．幵区间(),R R -叫做幂级数(3)的收敛区间。由R

x ±=处的收敛性可决定它的收敛域是(][R R R R R R ,,),,),(---或[]R R ,-之一.特殊情形：

0=R ，+∞=R （这时收敛区间是),(+∞-∞）。

定理2 如果 ,lim

1

ρ=+∞→n

n n a a 其中1,+n n a a 是∑∞

=0n n n x a 的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1

ρρρρR

例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间

(1)13

n

n n nx ∞

=∑

解 11131

lim ||lim 33

n n n n n n a n a n ++→∞→∞+==, 故收敛半径为3R =.

因为当1x =时, 幂级数成为∑∞

=1

n n , 是发散的; 当1x =-时, 幂级数成为∑∞

=-1

)1(n n n ,

也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3).

(2) )

2( 42 6424223

2⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n

0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n +∞=R 收敛区间是.),(+∞-∞ ()

1

0:n n ex nx ∞

-=∑ 0R ρ=+∞=

(3)()

21

12n

n n

n nx -∞

=-∑

缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R

2

11lim

2

n n n u x u ρ+←∞

=

=211,2x x <<当时即级数绝对收敛

,

21.1,2x x 当时即级数发散

;(

)n=11n x ∞=∑n －

, (

)-1n=1

1n x ∞

=∑n －

收敛区间是( (4)()

1

1(1)1n n n x n ∞

-=--∑ 令1-=x t ，上述级数变为()11

1n n n t

n ∞

-=-∑ 1,R = 收敛区间为(]0,2