14种布拉维格子
14种布拉维格子和球体紧密堆积
实验一14种布拉维格子和球体紧密堆积一、实验目的加深对14种布拉维格子和球体紧密堆积原理的理解。
二、基本原理1、布拉维格子只在单位平行六面体的八个角顶上分布有结点的空间格子，称为原始格子（Primitive lattice，符号P），在单位平行六面体的体中心还有一个结点时，则构成体心格子（Body-centered lattice,，符号I）。
如果在某一对面的中心上各有一个结点时，称为单面心格子（One-face-centered lattice）（001）面上有心的格子为底心格子或称为C心格子（End-centered , Based-centered lattice or C-centered lattice，符号C）当（100）面或（010）面上有心是，分别称为A心格子（A-centered lattice，符号A）和B心格子（B-centered lattice，符号B）如果在所有的三对面的中心都有结点时，称为面心格子或全面心格子（Face-centered lattice or All-faced-centered lattice，符号F）。
符合对称特点和选择原则的格子共有7种类型，共计14种不同形式的空间格子，即通常所称的14种布拉维格子（The fourteen Bravais space lattices），如下图所示。
布拉维格子是空间格子的基本组成单位，只要知道了格子形式和单位平行六面体参数后，就能确定整个空间格子的一切特征。
2、球体紧密堆积原子核离子都具有一定的有效半径，可以看作是具有一定大小的球体。
金属晶体和离子晶体中的金属键和离子键没有方向性和饱和性，因此金属原子之间或离子之间相互结合，再形式上可以看作是球体间的相互堆积。
由于晶体具有最小的内能性，原子核离子相互结合时，彼此间的引力和斥力达到平衡状态，相当于要求球体间做紧密堆积。
最紧密堆积的方式有两种，一种是六方最紧密堆积（Cubic closest packing，缩写为CCP），最紧密排列层平行于{0001}，可以用ABABAB……顺序来表示，如下图所示：另一种是立方最紧密堆积（Hexagonal closest packing，缩写为HCP），最紧密排列层平行于{111}，可以用ABCABCABC……顺序表示，如下图所示：自然铜、自然金、自然铂等矿物的晶体结构属于立方最紧密堆积方式。
问答题解答
第一章 晶体结构
1、在 14 种布拉维格子中，为什么没有底心立方？ 底心立方可以看作正方晶系中的简单四角。 2、面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？ 面心立方沿面对角线方向，体心立方沿体对角线方向。 3、二维布拉维点阵只有 5 种，试画图表示之？
二维：五种不同的二维 晶格类型（一种斜方晶 格，四种特殊晶格）
范围内，动量取值在 hk0 附近动量 ∆k 范围内，并且 ∆r 和 ∆k 满足测不准关系
∆r • ∆k ≈ 2π 。电子的运动可看成波包的运动，波包运动规律同经典粒子一样，
波包移动速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均值。 6、说明有效质量 m* 和普通质量 m 的差异。 （PPt5.5.2 试卷 略） 7、何谓是迪哈斯一范阿尔芬效应？ 1930 年德哈斯-范阿尔芬在研究铋单品在低 温和强磁场下的磁性时发现，铋抗磁化率 χ 随磁场的变化而显现振荡，如图所示。若绘 成 χ ~1/B 关系曲线， 则 χ 的变化呈周期性结 构。这种现象称为德哈斯-范阿尔芬效应。 第六章 金属电导理论 � � 1、说明玻耳兹曼方程中分布函数 f (r , k , t ) 的物理意义（PPT6.1） 在有外场（如电场、磁场或温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在散 射比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用由坐标 r 和波矢 k 组 成的相空间中的半经典分布函数 f (r, k, t) 来描述电子的运动。分布函数 f (r, k, t) 的物理意义是，在 t 时刻，电子的位置处在 r →r+dr 的体积元内，电子的状态处 在 k → k+dk 范围内单位体积的电子数为：
高， 每个态两个电子， 依次填充而得到， 由于单电子能级能量比例于波矢的平方， N 数目又很大，在 k 空间中占据区最后成为一个球，称为费米球。在 k 空间， 把 占据态和未占据态分开的界面叫费米面。 对于自由电子来说，等能面是球面，特别有意义的是 E=EF 的等能面，这称为费 密面，它是 k-空间的球面，其半径 k F = 5、画图示意说明什么是功函数？说明接 触电势差的起源。 金属中电子受正离子的吸引不会离开金 属，只有在外界供给它足够的能量时，才 会脱离金属。依照电子气模型，电子在深 度为 E0 的势井内，费密能级为 EF，如图所示。电子离开金属至少需要从外界 得到能量为 φ = E 0 − E F
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
十四种空间格子
同学们，再见！
的平行六面体的体积力求最小。
十四种空间格子
空间格子的划分
划分7种平行六面体
对应于7个晶系
形状及参数？
4mm
十四种空间格子
十四种空间格子
2．平行六面体中结点的分布
1）原始格子（ primitive, P）：结点分布于平行六面体的八个角顶。 2）底心格子（ end-centered, C、A、B）：结点分布于平行六面体 的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（ body-centered, I）：结点分布于平行六面体的角顶和 体中心。
4）面心格子（ face-centered, F）：结点分布于平行六面体的角顶和
三对面的中心。
十四种空间格子
以下两个平面点阵图案，画出其空间格子：
mm2(L22P) 4mm(L44P)
十四种空间格子
4mm
十四种空间格子
mm2 引出问题：空间格子可以有带心的格子； 另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
十四种空间格子
总结： 在四种格子类型当中，其中底心、
体心、面心格子称带心的格子，这是因为有 些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出 原始格子，只能画出带心的格子。
十四种空间格子
七个晶系—七套晶体常数—七种平行六面体种形状。 每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？
但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有
一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因 此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravis
于1848年最先推导出来的）
普通化学b 空间点阵
普通化学b 空间点阵
普通化学B中的空间点阵是描述晶体结构的一种方法。
在三维空间中，我们可以用一些基本的形状来描述晶体的排列方式。
这些形状包括点、线、面、体等等。
这些基本形状的组合形成了空间网格，我们称之为空间点阵。
空间点阵可以用来描述晶体内原子、离子或分子的排列方式。
空间点阵的类型取决于晶体中基元原子的排列方式和对称性。
普通化学B中常用的空间点阵有14种，它们被称为布拉维格子。
布拉维格子可以分为7种晶系，分别为立方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系、三斜晶系、六方晶系和四方晶系。
每种晶系都有其特定的空间点阵，具有不同的对称性和空间结构。
在普通化学B中，学习者需要掌握每种晶系的空间点阵。
通过了解空间点阵的特点和性质，学习者可以更好地理解晶体的结构和性质，对于化学、材料等学科的学习都具有重要的意义。
对称性和布拉维格子的分类
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 ts)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则
( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB a B A 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该 操作将使B格点转到B’ 位臵,则由于转动对称操作 不改变格子,在 B’ 处必定原来就有一个格点。
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 1850年布拉维由此证明只有14种 三维布拉维点阵
固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
900 1200
900
7个晶系(crystal system)相应的点群 S1, C2h , D2h , D4h , D3d , D6h , Oh
即：Ai G,i 1, 2,3 ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
其二，除顶点外，还分布于面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）
或（1/2，0，1/2）和（1/2，1，1/2）
有 两种 Bravais 格子：分
别称为简单单斜Bravais格子、底心单斜Bravais格子
背景音乐：
5°六方（Hexagonal）晶系或六角晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0 ， 120 0 有 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上 一种Bravais格子，称为简单六方
Bravais格子 Pearson 记法 hP， 平行六面体元胞不能显示出点对 称性，常选用正六方棱柱体作为
背景音乐：
4°四方(Tetragonal) 晶系或正方晶系或四角晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
有 其二，除顶点外，还分布于体心 两种Bravais格子，分别称
为简单四方Bravais格子和体心四方Bravais格子 Pearson 记法 tP 和tI，惯用元胞分别如图2.2.2－1中的（h）图和(i)图所示
Pearson 记法 mP、mA 或 mB ，惯用元胞分别如图 2.2.2－1中的（b）图、(c)图所
示。
背景音乐：
背景音乐：
3°斜方晶系或正交（Orthorhombic）晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 900
格点有四种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点 上；其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分 布于两个面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）或面心（1/2， 0，1/2）和（1/2，1，1/2）或面心（1/2，1/2，0）和（1/2， 1/2，1）；其四，除顶点外，还分布于六个面心 四种 有
-晶体结构的几何理论
若行列经过坐标原点， 把该行列上距原点最近 的结点坐标x，y，z放在 “[ ]”内， [xyz]即为该行列的行 列符号。
X
[111]
Y
Crystallography
点的坐标 coordinates of point
空间格子中结点、行列符号的表示方法
图中粗实线及箭头表示行列方向，圆圈代表结点
质点
结点 （相当点）
立方面心格子
质点
NaCl晶胞
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
Crystallography
第8章 晶体结构的几何理论
a
b
在一个晶胞中，反映了晶体结构中对称要素和 质点的种类及分布规律。 对一个晶胞进行分析，就可以知道整个晶体结 构中对称要素和质点分布规律。
第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
③斜方晶系 a≠b≠c α=β=γ=90°
c
β α a γ
b
斜方格子
CrystallographyΒιβλιοθήκη 第8章 晶体结构的几何理论
⑶各晶系单位平行六面体的形状
④单斜晶系 a≠b≠c α=γ=90° β ≠ 90°
c
β α γ a
b
单斜格子
Crystallography
有些格子类型与所在晶系的对称不符。 有些格子类型与空间格子的条件不符。 有些格子类型可以被改划为其它格子。
因此，只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravis于1848年最先推导出来的）
十四种空间格子
举例说明：
1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原
始格子 ；
2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面
14种布拉维点阵的结构特征
14种布拉维点阵的结构特征布拉维点阵是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的一种数学模型。
有14种布拉维点阵，也被称为14种布拉维格子或14种布拉维空间群。
这些点阵通过特定的对称性元素来定义。
以下是这些14种布拉维点阵的主要结构特征：1三立方格子（Triclinic）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
2单斜格子（Monoclinic）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
3正交格子（Orthorhombic）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
4四方格子（Tetragonal）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
5六方格子（Hexagonal）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
6立方格子（Cubic）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
7三斜半基心格子（Triclinic P）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
8单斜面心格子（Monoclinic P）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
9正交面心格子（Orthorhombic P）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
10四方面心格子（Tetragonal P）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
11六方面心格子（Hexagonal P）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
12立方面心格子（Cubic P）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
13三斜体心格子（Triclinic I）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
14正交体心格子（Orthorhombic I）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
这些布拉维点阵描述了晶体的结构特征，是研究材料科学和晶体学的重要工具。
1.2对称性和布拉维格子的分类
见黄昆书30页
20面体的 对称性
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原子的 长程有序，而不是平移对称性，具有 5 次对称性的 准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格的位置 有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得 到理解。实际是一
种准周期结构，是 介于周期晶体和非 晶玻璃之间的一种 新的物质形态—— 准晶态 。
1.2
对称性和布拉维格子的分类
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述?
一.对称性的概念：
一个物体（或图形）具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成， 经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换 位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保 持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
其中 Aij 为正交矩阵 从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕 z 轴旋转θ 角
a11 s r Ai j a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
sin cos 0 0 0 1
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。
固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一
个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不
同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、
镜象和旋转--反演点对称操作构成32个点群。
3.七个晶系
在不考虑平移对称操作的基础上，32个点群
属于7个晶系。 7个晶系的划分，可以说是从
简单格子出发来考虑的，简单 格考子虑含到有格一矢个Rv格n 点n1。av1 n2av2 n3av3
n1,2,3,4,6 n次旋转轴
Cn
n 1, 2, 3, 4, 6 旋转-反演轴
Sn
m( 2) 镜面反映
Cs S2
国I
表示中心反演
Ci S1 i
际 符
n m
垂直于镜面的n次旋转轴
号
nm 平行于镜面的n次旋转轴
n2
垂直于一个或多个2次轴 的n次主轴
n2 垂直于一个或多个2次轴 的旋转反演轴
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。
由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6
n
证明见p28
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律
如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这 个变换为物体的一个对称操作。显然，一个物 体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。
定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。 谢希德、蒋平等人编著的《群论及其在物理学 中的应用》(科学出版社出版，1986年8月)是一 本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。
布拉伐格子
布拉伐格子来自维基百科，自由的百科全书跳转到：导航，搜索在几何学和结晶学中，布拉伐格子，由奥古斯特·布拉伐提出。
它是由一组晶格矢量表示的：N是任意整数，a1、a2、a3是三个不共面的矢量, 称为布拉伐格子的基矢。
Rn称为布拉伐格子的格矢在一种晶体中，一个或多个原子在网格中重复排列而组成晶体。
因此，晶体看起来一样，当从任何网格点。
两个格子复式格子往往被认为是等效的如果他们有同构的对称群的。
在这个意义上说，在三维空间中有14 种可能的布拉伐格子。
这14个对称的布拉伐格子隶属于230个空间群中二维中的布拉伐格子两维中，有五个格子。
他们是斜方，矩形，居中矩形，六方，和正方。
五个基本二维布拉伐格：1 斜方，2，六方，3 居中矩形、4矩形和5 的四方三维中的的布拉伐格子14 的布拉伐格子，在3 个维度是结合之一七格系统（或轴向系统）抵达格centerings 之一。
每个布拉伐格子引用不同的晶格类型。
格centerings：•简单格子(P)：格子上只有单元格角部的点•体心(I)：一个额外的格子点中心的单元格的•面心(F)：一个额外的格子点中心的每个单元格的脸•底心（A、B 或C）：一个额外的格子点中心的每个单元格面临的一对。
并非所有组合的晶体系统和格都需要描述可能的格子。
有总7 × 6 = 42 组合，但它可以显示几个其实是相当于对方。
例如，我晶格的单斜可以描述单斜C 点阵的水晶轴的不同选择。
同样，所有A 或B-本格可以都描述或者由C-或P-居中。
这将减少至14 常规的布拉伐格子下, 表中所示的组合数。
七大晶系14种布拉伐格三斜P单斜P C斜方（正交）P C I F四方P I三方P六方P立方P (pcc) I (bcc) F (fcc)晶系体积三斜单斜正交abc四方a2c三方六方立方a3。
福大结晶学与矿物学教案01结晶学-6晶体内部结构的微观对称
第六章晶体内部结构的微观对称一、十四种空间格子（布拉维格子）1．平行六面体的选择：对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
平行六面体的选择原则如下：1）所选取的平行六面体应能反映结构固有的对称性；2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱之间的直角关系最多；3）在满足以上条件的基础上，所选取的平行六面体的体积最小。
2．各晶系平行六面体的形状和大小：平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、b、c及棱间的夹角（轴角）α、β、γ表征。
这组参数（a、b、c；α、β、γ）即为晶胞参数。
在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的。
宏观上的晶体常数与微观的晶胞参数是对应的,但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。
3．平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P，primitive）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。
2）底心格子（C、A、B，end-centered）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。
3）体心格子（I body-centered）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。
4）面心格子（F，face-centered）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。
4．十四种布拉维格子七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形状。
每种形状有四种类型，那么似乎就有7×4=28种空间格子。
但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。
（A.Blavais于1848年最先推导出来的）举例说明：1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；2、在等轴晶系中，在立方格子中的底面中心不可能结点，否则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格子。
二、晶体内部结构的对称要素研究宏观晶体对称仅仅是研究了旋转、反映、反伸,而没有包括平移对称,晶体结构内部最突出的对称是平移，平移与宏观对称结合就会产生内部结构特有的一些对称操作和对称要素：1．平移轴(translation axis)：为一直线，图形沿此直线移动一定距离，可使相等部分重合，晶体结构中任一行列都是平移轴。
布拉维格子
布拉维格子
只在单位平行六面体的八个角顶上分布有结点的空间格子，称为原始格子（Primitive lattice，符号P），在单位平行六面体的体中心还有一个结点时，则构成体心格子（Body-centered lattice，符号I）。
如果在某一对面的中心各有一个结点时，称为单面心格子（One-face-centered lattice），(001)面上有心的格子为底心格子或称C心格子（End-centered lattice, Base-centered lattice or C-centered lattice，符号C），当(100)面或(010)面上有心时，分别称为A心格子(A-centered lattice，符号A)和B心格子（B-centered lattice，符号B）。
如果在所有三对面的中心都有结点时，称为面心格子或全面心格子（Face-centered lattice or All-face-centered lattice，符号F）。
符合对称特点和选择原则的格子共有7种类型，共计14种不同型式的空间格子，即通常所称的十四种布拉维格子（the fourteen Bravais space lattices），如图5-1所示。
布拉维格子是空间格子的基本组成单位，只要知道了格子形式和单位平行六面体参数后，就能够确定整个空间格子的一切特征。
三斜原始格子(Z) 单斜原始格子(M) 单斜底心格子(N)
正交原始格子(O) 正交体心格子(P) 正交底心格子(Q) 正交面心格子(S)
四方原始格子(T) 四方体心格子(U) 六方和三方原始格子(H) 三方菱面体格子(R)
立方原始格子(C) 立方体心格子(B) 立方面心格子(F)。
2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介
7°立方(Cubic) 晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六
个面心
有 三种 Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、
晶系 单胞轴矢的特征 布拉维格子 所属点群 斜方晶系：a ≠ b, g ≠90º 简单斜形 1，2 长方晶系：a ≠ b, g =90º 简单长方 1m,2mm 中心长方 正方晶系：a = b, g =90º 简单正方 4,4mm 六角晶系：a = b, g =120º 简单六角 3,3m,6,6mm
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
其二，除顶点外，还分布于面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）
或（1/2，0，1/2）和（1/2，1，1/2）
有 两种 Bravais 格子：分
别称为简单单斜Bravais格子、底心单斜Bravais格子
2.2.4
晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不
Bravais格子：分别称为简单正交Bravais格子、体心正交
Bravais格子、底心正交Bravais格子和面心正交Bravais格子
Pearson 记法 oP、oI、oA或oB或oC、oF，惯用元胞分别如图
2.2.2－1中的（d）图、(e)图、（f）图、（g）图所示。 背景音乐：
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14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
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14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
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14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
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14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
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14种布拉维格子二：立方体心（cI）
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14种布拉维格子三：立方面心（cF）
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14种布拉维格子之四:
四方简单（tP）
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14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
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14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
黑色与灰白色点 都是点阵点.黑点 与蓝线表示一个 正当格子
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图
所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)： 请点击按钮观察动画
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14种布拉维格子之一：立பைடு நூலகம்简单（cP）
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14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)
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晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hR是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只
有三次对称轴而没有六次对称轴, 六方晶体才有六次对称轴.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
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14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
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14种布拉维格子之七：三方晶系的六方R 心(hR)
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三方晶系的六方简单 (hP)
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六方简单 (hP)格子已用于六方晶系, 现在又可用于三方晶系, 所以只算一种格子. 尽管三方晶系的两种格子------六方简单(hP)和六方R 心(hR)------形状都与六方