福建省莆田二中2020-2021学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案解析)
2020-2021学年福建省莆田二中高一上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省莆田二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）设，B＝{x|x2+2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）2．（5分）设a，b∈R，则“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在同一坐标系中，函数y＝x a（a≠0）和的图象不可能是（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝（）x+2x+b （其中b为实数），则f（1）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．（5分）若对任意的x都有意义，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜2B．0≤a≤2C．0＜a≤2D．0≤a＜26．（5分）已知函数f（x）＝，若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．[2，3）D．（0，2]7．（5分）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，且当x∈[0，2]时，≥k有解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣9]C．（﹣∞，﹣8]D．（﹣∞，﹣2] 8．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．（5分）下列说法正确是（）A．命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”B．若函数y＝f（x）的定义域是，则函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1]C．若x∈R，则函数的最小值为2D．若﹣1≤x＜y≤5，则﹣6≤x﹣y＜010．（5分）若a＜b＜﹣1，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）满足，则关于函数f（x）正确的说法是（）A．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}B．f（x）值域为{y|y≠1，且y≠2}C．f（x）在（0，+∞）单调递减D．不等式f（x）＞2的解集为（﹣1，0）12．（5分）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2三、填空题（共4小题）.13．（5分）函数f（x）＝的单调递减区间为．14．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝a x+2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则的最小值为．16．（5分）设y＝f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f（x）+f（﹣x）＝x2成立，函数g（x）满足g（x）＝f（x）﹣，则g（x）是（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）作出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f（x）＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．18．已知命题p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+2λx﹣1，若g（x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数λ的取值范围．20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．21．已知函数f（x）＝k•2x﹣2﹣x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝22x+2﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝|x+|，（1）判定函数g（x）＝x+在[2，+∞）的单调性，并用定义证明；（2）设方程f（x）＝m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①证明：x1x2x3x4＝16；②在[1，4]是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）设，B＝{x|x2+2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣4＜x＜2}，∴A∩B＝（﹣2，2）．故选：C．2．（5分）设a，b∈R，则“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“a≤2，且b≤2”时，则“a+b≤4”成立，但是，当“a+b≤4”成立，则“a≤2，且b≤2”不一定成立，故“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）在同一坐标系中，函数y＝x a（a≠0）和的图象不可能是（）A．B．C．D．解：当a＞0时，y＝x a（a≠0）和均为增函数，且与y轴的负半轴相交，当a＜0时，y＝x a（a≠0）在（0，+∞）上为减函数，为减函数，且与y轴的正半轴相交，故ABD不符合，故选：ABD．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝（）x+2x+b （其中b为实数），则f（1）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3解：f（x）为定义在R上的奇函数，且x≤0时，，则：f（0）＝1+b＝0，得到b＝﹣1，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣（2﹣2﹣1）＝1．故选：C．5．（5分）若对任意的x都有意义，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜2B．0≤a≤2C．0＜a≤2D．0≤a＜2解：若对任意的x都有意义，可得ax2﹣2ax+2＞0恒成立．当a＝0时，2＞0恒成立；当a＞0时，△＝4a2﹣8a＜0，解得0＜a＜2，即0＜a＜2时，不等式恒成立；当a＜0时，由于抛物线y＝ax2﹣2ax+2的开口向下，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是0≤a＜2．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．[2，3）D．（0，2]解：由已知可得函数f（x）是R上单调递减函数，则函数f（x）满足：，解得0＜a≤2，所以实数a的取值范围为：（0，2]，故选：D．7．（5分）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，且当x∈[0，2]时，≥k有解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣9]C．（﹣∞，﹣8]D．（﹣∞，﹣2]解：由题可知，当x∈[0，2]时，4x﹣3×2x+1≥k有解，令f（x）＝4x﹣3×2x+1，x∈[0，2]，则将不等式问题转化为k≤f（x）max，令t＝2x，t∈[1，4]∴f（x）＝g（t）＝t2﹣6t＝（t﹣3）2﹣9，∴当t＝1或t＝4时取得最大值﹣5，∴k≤﹣5，故选：A．8．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）解：当x∈[2，4）时，f（x）＝，可得f（x）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f（x）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（，），∴f（x）在[2，4）上的值域为[3，），∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝f（x+2）＝f（x+4），∴f（x）在[﹣2，0）上的值域为[，），当a＞0时，g（x）为增函数，g（x）＝ax+1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a+1，a+1]，∴，解得a≥；当a＜0时，g（x）为减函数，g（x）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a+1，2a+1]，∴，解得a≤﹣；当a＝0时，g（x）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a的范围是a≥或a≤﹣．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．9．（5分）下列说法正确是（）A．命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”B．若函数y＝f（x）的定义域是，则函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1] C．若x∈R，则函数的最小值为2D．若﹣1≤x＜y≤5，则﹣6≤x﹣y＜0解：由于命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”，故A正确；若函数y＝f（x）的定义域是，则对于函数y＝f（2x），有≤2x≤2，求得﹣1≤x≤1，故函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1]，故B正确；∵x∈R，则令t＝≥2，则函数＝t+在[2，+∞）上是单调递增函数，故当t＝2时，函数y取得最小值为，故C错误；若﹣1≤x＜y≤5，则当x＝﹣1，y＝5时，x﹣y取得最小值为﹣6，且x﹣y＜0，故有﹣6≤x﹣y＜0，故D正确，故选：ABD．10．（5分）若a＜b＜﹣1，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．解：由函数y＝x﹣在（﹣∞，﹣1）上为增函数可知，当a＜b＜﹣1时，a﹣＜b﹣，故A错误；由函数y＝x+在（﹣∞，﹣1）上为增函数可知，当a＜b＜﹣1时，a+＜b+，即a ﹣＜b﹣，故B正确；由a＜b＜﹣1，c＞0，可得a﹣b＜0，a﹣c＜0，所以﹣＝＜0，即＜，故C错误；由a＜b＜﹣1，可知＞1，0＜＜1，而c＞0，则＞1＞＞0，故D正确．故选：BD．11．（5分）已知函数f（x）满足，则关于函数f（x）正确的说法是（）A．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}B．f（x）值域为{y|y≠1，且y≠2}C．f（x）在（0，+∞）单调递减D．不等式f（x）＞2的解集为（﹣1，0）解：令t＝，则x＝，所以f（t）＝＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝＝1+．对于A选项，定义域为{x|x≠0且x≠﹣1}，即A错误；对于B选项，当x≠0时，y≠2，当x≠﹣1时，y≠1，所以值域为{y|y≠1且y≠2}，即B正确；对于C选项，f（x）＝1+在（0，+∞）上单调递减，即C正确；对于D选项，f（x）＝＞2，即＞0，等价于x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，即D正确．故选：BCD．12．（5分）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2解：因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a ≥0；则0≤a＜b；∵函数f（x）＝|x2﹣1|在区间[0，1]上时，f（x）＝1﹣x2，故f（x）在[0，1]上单调递减，f（0）＝1，f（1）＝0，故值域为[0，1]；故[0，1]是f（x）的一个“完美区间”，故A 正确；∵＜0，故B错误①当b≤1时，[a，b]⫋[0，1]，此时f（x）＝|x2﹣1|＝1﹣x2，则函数f（x）在[0，1]上单调递减；所以函数f（x）在区间[a，b]上单调递减；因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，所以，所以a2+b＝b2+a＝1，则a2﹣a＝b2﹣b，所以a2﹣a+＝b2﹣b+，即（a﹣）2＝（b﹣）2，所以a﹣＝b﹣，整理得a＝b（舍去）；或a﹣＝﹣b，整理得a+b＝1，因为a+b2＝1，所以b＝b2解得b＝0（舍去）或b＝1；则a＝1﹣b＝0，此时a2+b＝0+1＝1，满足原方程组，所以a＝0，b＝1是方程组的唯一解；故此情况下存在a＝0，b＝1使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1﹣0）＝2；②当b＞1时，（1）若0≤a＜1，则1∈[a，b]，此时f（x）min＝f（1）＝0，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝0，f（b）＝b；因为b＞1，所以f（b）＝|1﹣b2|＝b2﹣1＝b，即b2﹣b﹣1＝0，解得b＝（舍去）或b＝；故此情况下存在a＝0，b＝，使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（﹣0）＝1+；（2）当a≥1时，f（x）＝x2﹣1，x∈[a，b]；此函数f（x）在[a，b]上单调递增，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则，所以此时a与b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不等实根，解x2﹣x﹣i＝0得x1＝，x2＝，所以，因为a＝＜1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f（x）＝|x2﹣1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+）＝3+；故C正确；D错误；故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．13．（5分）函数f（x）＝的单调递减区间为[2，+∞）．解：令t＝﹣x2+4x+5，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，该函数在[2，+∞）上单调递减，而外层函数y＝2t是定义域内的增函数，∴函数f（x）＝的单调递减区间为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．14．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则＝log2216或3．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，∴m2﹣5m+7＝1，且m＞0，求得m＝2，或m＝3．当m＝2时，＝+2（lg5+lg2）﹣＝log227+2﹣＝＝＝log2216，当m＝3时，＝+2（lg5+lg2）﹣＝+2﹣＝3，故答案为：log2216 或3．15．（5分）已知函数f（x）＝a x+2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则的最小值为4．解：函数f（x）＝a x+2﹣3，令x+2＝0，得：x＝﹣2，此时y＝1﹣3＝﹣2，所以点A（﹣2，﹣2），又∵点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，∴﹣2＝﹣2m﹣n，即2m+n＝2，又∵实数m，n满足mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴＝（）•（2m+n）＝（4++）＝4，当且仅当即n＝2m时，等号成立，即m＝，n＝1时，取得最小值4，故答案为：4．16．（5分）设y＝f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f（x）+f（﹣x）＝x2成立，函数g（x）满足g（x）＝f（x）﹣，则g（x）是奇函数（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．解：根据题意，g（x）＝f（x）﹣，其定义域为R，则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣，则有g（x）+g（﹣x）＝x2﹣2×＝0，则函数g（x）为奇函数，对于g（x）＝f（x）﹣，y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，而y＝﹣在（﹣∞，0]上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，而函数g（x）为奇函数，则g（x）在区间[0，+∞）上也为增函数，综合可得：g（x）在R上为增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a⇒f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），则有2﹣a≥a，解可得a≤1，即实数a的取值范围是（﹣∞，1]；故答案为：奇函数，（﹣∞，1]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）作出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f（x）＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2|﹣x|＝x2﹣2|x|＝f（x）∴函数f（x）为偶函数；（2）f（x）＝x2﹣2|x|＝，图象如图，由图可知，单调递减区间为：（﹣∞，﹣1]，[0，1]；单调递增区间为：[﹣1，0]，[1，+∞）；（3）由（2）中的图可知，要使方程f（x）＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．18．已知命题p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由命题p：﹣x2+6x+16≥0得x2﹣6x﹣16≥0，解得﹣2≤x≤8，当m＝3时，q：x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5，p，q都为真，则，解得﹣1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[﹣1，5]；（2）记p：x∈A，q：x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m＞0时，由x2﹣4x+4﹣m2≤0，解得2﹣m≤x≤2+m，∴（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2﹣4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m＜0时，由x2﹣4x+4﹣m2≤0，解得2+m≤x≤2﹣m，∴，（两等号不同时成立），解得m≤﹣6，综上所述m≤﹣6或m≥6．19．已知幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+2λx﹣1，若g（x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）∵幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴﹣3m+5＞0，且﹣3m+5为偶数．（3分）又m∈N，解得m＝1，∴f（x）＝x2．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g（x）＝f（x）+2λx﹣1＝x2+2λx﹣1．当x∈[1，2]时，由g（x）＜0得λ＜﹣．（8分）易知函数y＝﹣在[1，2]上单调递减，（10分）∴λ＜（﹣）min＝﹣＝﹣．∴实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣）．（12分）20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．解：设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝，则S（x）＝6﹣x+＝17﹣[（x+1）+]≤17﹣2＝17﹣6＝11，当且仅当x+1＝，解得x＝2时，取等号．②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．21．已知函数f（x）＝k•2x﹣2﹣x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝22x+2﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴k•20﹣2﹣0＝0，k﹣1＝0，∴k＝1，经检验k＝1符合题意；（2）由（1）可知k＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x，函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝（）+（）＝（）（1+）＞0，∴函数在R上单调递增，原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0，∴x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}；（3）∵f（x）＝2x﹣2﹣x，∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）＝，∴g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，当m≥时，当t＝m时，g（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2；当m＜时，当t＝时，g（t）min＝﹣3m＝﹣2，解得m＝＞，舍去，综上可知m＝2．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝|x+|，（1）判定函数g（x）＝x+在[2，+∞）的单调性，并用定义证明；（2）设方程f（x）＝m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①证明：x1x2x3x4＝16；②在[1，4]是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】（1）g（x）在[2，+∞）上单调递增，证明：任取，x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2．∵＝＝（x1﹣x2）＝，其中x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣4＞0，g（x1）﹣g（x2）＜0，∴g（x1）＜g（x2）∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，（2）①⇒或即x2﹣（m+5）x+4＝0或m2+（m﹣5）x+4＝0∵x1，x2，x3，x4为方程f（x）＝m的四个不相等的实根∴由根与系数的关系得x1x2x3x4＝4×4＝16，②如图，可知0＜m＜1，f（x）在区间（1，2）、（2，4）上均为单调函数，（i）当[a，b]⊆[1，2]时，f（x）在[a，b]上单调递增，则，即f（x）＝mx，m＝在x∈[1，2]有两个不等实根，而令，则＝φ（t）＝，作φ（t）在[]的图象可知，，（ii）当[a，b]⊆[2，4]时，f（x）在[a，b]上单调递减，则，两式相除整理得（a﹣b）（a+b﹣5）＝0，∴a+b＝5，∴b＝5﹣a＞a，∴2，由﹣a﹣+5＝mb，得m＝＝＝1+，∴m；综上，m的取值范围为[）．。
福建高一高中数学期中考试带答案解析
福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．2.函数y=sin（2x-）在区间[-,π]上的简图是（）3.若，则等于（）A．B．C．D．4.设D为所在平面内一点且，则（）A．B．C．D．5.已知，则的值等于（）A．B．C．﹣D．6.已知为第三象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8.要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．10.已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）A．B．C．D．11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．12.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数。
下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递增二、填空题1.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.2.方程恒有实数解，则实数的取值范围是_________3.已知在中，，则角_________4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示．则f（x）＝__________.三、解答题1.已知.（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．2.已知：，求（1）（2）3.在平面直角坐标系中，已知向量， x∈（0，）。
（1）若，求的值；（2）若的夹角为，求的值。
4.已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若是第二象限的角，化简三角式，并求值．5.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及的单调递减区间；（Ⅱ）求在区间上的最值．6.如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（是直角顶点）来处理污水，管道越长污水净化效果越好，设计要求管道的的接口是的中点，分别落在线段上。
2020-2021学年福建省莆田市第二中学高一10月阶段性检测数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省莆田市第二中学高一10月阶段性检测数学试题一、单选题1．设集合{|215},{|2}A x x B x N x =≤+<=∈≤，则A B =（ ）A ．{|12}x x ≤≤B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2}【答案】B【解析】转化条件得{}|14A x x =<≤，{0,1,2}B =，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}|215|14A x x x x =≤+<=≤<，{}|2{0,1,2}B x N x =∈≤=， 所以{}1,2AB =.故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则p ⌝是（ ）． A ．x ∀∈R ，2210x +≤ B ．x ∃∈R ，2210x +> C ．x ∃∈R ，2210x +< D ．x ∃∈R ，2210x +≤【答案】D【解析】分析：根据含量词的命题的否定的方法求解即可．详解：由题意得，命题“x R ∀∈，2210x +>”的否定是“x R ∃∈，2210?x +≤． 故选D ．点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3．函数()2f x x =-的定义域为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[1,2)(2,)⋃+∞C ．[1,2)D ．(1,)+∞【答案】B【解析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可． 【详解】解：由题意得：1020x x -⎧⎨-≠⎩，解得：1x 且2x ≠， 故函数的定义域是[)()122+∞，，， 故选：B ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，属于基础题． 4．若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||||a b >D ．33a b <【答案】B【解析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】解：对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a bab ab<<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立； 对于C ，因为0a b <<，所以||||a b >，所以C 成立； 对于D ，因为0a b <<，所以330a b <<，所以D 成立， 故选：B 【点睛】此题考查不等式的性质的应用，属于基础题5．已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【解析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）∴()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-， 所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，∴()32f x x =-，故选B ． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6．函数()21,11,1x x x f x x x x⎧-++<⎪=⎨+>⎪⎩的值域为（ ）A ．(),0-∞B ．(],2-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(),2-∞【答案】D【解析】当1x <时，利用二次函数的性质可得()f x 的范围，当1x >时，利用反比例函数的性质可得()f x 的范围，进而得出函数的值域． 【详解】当1x <时，2215()1()24f x x x x =-++=--+，故5(),,(1)4f x x ⎛⎤∈-∞< ⎥⎝⎦.当1x >时，()()111,2f x x=+∈，故()f x 的值域为(,2)-∞. 故选：D 【点睛】本题考查分段函数的值域，考查二次函数的应用，属于基础题．7．函数2441()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值等于（ ）A ．6B ．9C ．4D ．8【答案】D【解析】由2441()(1)1x x f x x x -+=>-，得1()4441f x x x =-++-，利用基本不等式求出最值即可． 【详解】因为1x >，所以10x ->， 因此11()44444811f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当1441x x -=-，即32x =时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生计算能力，属于中档题．8．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2)上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，【答案】A【解析】将不等式进行变形，得到22244x a x x x<=++，不等式有解，可以转化为max2()4a x x<+，利用基本不等式求得结果.【详解】(0,2)x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；02x <<，44x x∴+>，2142x x ∴<+， 12a ∴<，则实数a 的取值范围是1(,)2-∞.故选：A. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有根据不等式有解求参数的取值范围，在解题的过程中，注意向最值靠拢，注意区分有解和恒成立，属于简单题目.二、多选题 9．设28150Ax x x ，10B x ax ，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A ．15B ．0C ．3D ．13【答案】ABD【解析】先将集合A 表示出来，由A B B =可以推出B A ⊆，则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值. 【详解】28150x x -+=的两个根为3和5，3,5A ，A B B =，B A ∴⊆，B ∴=∅或{}3B =或5B 或{}3,5B =，当B =∅时，满足0a =即可， 当{}3B =时，满足310a -=，13a ∴=， 当5B时，满足510a ，15a ∴=，当{}3,5B =时，显然不符合条件，∴a 的值可以是110,,35.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，由AB B =推出B A ⊆是解题的关键.10．若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（ ） A ．1152f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()241(0)(1)f x x x =-≠- D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠） 【答案】AD【解析】先求出()f x 的表达式，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】由()()221120x f x x x--=≠，令12x t -=1t ，则12tx -=，所以()22211241(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎝⎭-⎪，则()241(1)(1)f x x x =-≠-， 对于A ，1152f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()23f =，故B 错误； 对于C ，()241(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；对于D ，22244111(1)(1)1x f xx x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭-（0x ≠且1x ≠），故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意函数的定义域，属于基础题.11．（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】ABC【解析】作出函数244y x x =--的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果. 【详解】函数244y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.因为函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，， 故选ABC .【点睛】本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.12．（多选）对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()3.9 4.1f f -= B ．函数()f x 的最大值为1 C ．函数()f x 的最小值为0 D ．方程()102f x -=有无数个根 【答案】ACD【解析】根据新的定义，研究函数()f x 的性质，对A 选项直接计算进行判断． 【详解】( 3.9)( 3.9)[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，(4.1) 4.1[4.1] 4.140.1f =-=-=，A 正确；显然[]1x x x -<≤，因此0[]1x x ≤-<，∴()f x 无最大值，但有最小值且最小值为0．B 错，C 正确；方程1()02f x -=的解为1()2x k k Z =+∈，D 正确． 故选ACD. 【点睛】本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法就是用新定义把“新问题”转化为“老问题”，转化为我们熟悉的问题进行解决．三、填空题13．已知函数()f x 按下表给出，满足()()()1ff x f ＜的x 的值为________.【答案】2【解析】分别将123、、代入()()f f x 中，与()1f 进行比较，可得答案.【详解】解：由题中的表格可知：当1x =时，((1))(2)3f f f ==，而(1)2f =，原不等式不成立，所以1x =不满足题意；当2x =时，((2))(3)1f f f ==，而(1)2f =，原不等式成立，所以2x =满足题意； 当3x =时，((3))(1)2f f f ==，而(1)2f =，原不等式不成立，所以3x =不满足题意.综上，满足()()()1ff x f ＜的x 的值为2，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的表示方法-列表法，考查学生对基础知识的掌握程度，属于基础题. 14．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题， 则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．15．设,0()1,0x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为__________. 【答案】(],2-∞【解析】根据函数的最值，结合基本不等式，列出不等关系，求解即可. 【详解】当0x ≤时，()(0)f x f a ≥=， 又11022x x x x x>⇒+⋅=， 由题意得：2a ≤， 故答案为：(],2-∞. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数范围，涉及基本不等式的应用，属综合基础题.四、双空题16．已知x >0，y >0，且111x y+=，则2xy 的最小值为________；xy +3x 的最小值为________.【答案】8 9【解析】第一空：利用基本不等式，即可得出结论第二空：由已知将xy +3x 化为一次式，运用 “1”的变换，再利用基本不等式可得. 【详解】根据题意，实数0x>，0y >，由111x y +=≥，则28xy ≥，当且仅当2x =，2y =时，等号成立； 因为111x y+=，所以x y xy+= ()1143444159x y xy x x y x y x y y x ⎛⎫+=+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4=x y y x 时，即332x y ==，等号成立. 故答案为：8；9.【点睛】题考查基本不等式及利用基本不等式求最值，将所求式运用“1”的变换，属于中档题.五、解答题17．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.18．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{03}B xx =<≤∣，U =R . （1）若12a =，求()U A B C ⋂； （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1{|2a a ≤-或4}a .【解析】（1）利用交并补的定义计算可得答案；（2）按A =∅和A ≠∅分类讨论，列出不等式，解出a 的取值范围． 【详解】 （1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1{|2a a ≤-或4}a .【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围问题，属于中档题． 19．已知函数2()(1)1f x ax a x =-++，a R ∈. （1）若不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（2）若0a >，讨论关于x 不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）2a =（2）答案见解析 【解析】（1）12，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可. （2）(1)(1)0ax x -->，分三种情况讨论即可 【详解】（1）因为()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以12，1为方程()0f x =的两个根由韦达定理得：112132a a a⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得2a =（2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以(1)(1)0ax x -->①当01a <<时，11a >，不等式的解集是{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭②当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{|1}x x ≠ ③当1a >时，101a <<，不等式的解集是1|x x a ⎧<⎨⎩或}1x >综上可得，当01a <<时，不等式的解集是{|1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，不等式的解集是{|1}x x ≠； 当1a >时，不等式的解集是1|x x a⎧<⎨⎩或}1x > 【点睛】解含参的一元二次不等式需从以下几个方面讨论：1.二次系数的符号，2.根的个数，3.根的大小.20．已知函数2()22(1)()f x x ax a a R =--+∈.（1）求证：函数()f x 的图像与x 轴恒有两个不同的交点A 、B ，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2;(2)1a ≤【解析】（1）要证函数()f x 的图像与x 轴恒有两个不同的交点A ,B ,只需证>0∆,利用根与系数关系把两交点之间距离表示成a 函数,并求其最小值;（2）()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立,分离参数a ,得到212(1)1x a x x +≤>-+恒成立,设21()1x g x x +=+,利用基本不等式求出()g x 的最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）2()22(1)()f x x ax a a R =--+∈,,2228(1)4(241)44(1)40a a a a a ++=++++==+>∆,所以函数()f x 的图像与x 轴恒有两个不同的交点A 、B . 设1(,0)A x 、2(,0)B x ,则12122,22x x a x x a +==--,12||||AB x x =-==2=≥所以AB 两交点之间距离的最小值2.（2）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立,则22()32211(22)0(1)f x x ax a x x a x +=--+=+-+≥>-恒成立,分离参数a 得, 212(1)1x a x x +≤>-+恒成立,设2min 1(),2(),1,101x g x a g x x x x +=≤>-∴+>+221(1)2(1)22()(1)22111x x x g x x x x x ++-++===++-≥+++,当且仅当11x x +==,等号成立, min ()2g x =-1a ∴≤【点睛】本题考查一元二次方程的根判别式的运用,考查二次函数的性质的应用,考查应用基本不等式求最值, 体现等价转化数学思想,属于难题.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）()163601y m m m =--≥+； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【解析】（1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5xx+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解. （2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（2）当0m ≥时，10m +>，16(181)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()11f -=-，对任意x ∈R 有()24121x f x x -≤≤+恒成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(),21,23f x x g x f x x ⎧≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，对于实数162m -≤≤-，记函数()g x 在区间[],0m 上的最小值为()G m ，且()1G m m λ≥+恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）()22f x x x =+；（2）7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）由题意得出()()1113f f ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即13a b c a b c -+=-⎧⎨++=⎩，可得出12a c b +=⎧⎨=⎩，由此可得出不等式2220ax x a -+-≥恒成立，且当1x =时等号成立，可得出0∆=，可解出实数a 的值，可得出c 的值，由此可得出函数()y f x =的解析式；（2）作出函数()y g x =在(],0-∞上的图象，然后分63m -≤<-、31m -≤≤-、112m ≤-<-三种情况讨论，分析函数()y g x =在区间[],0m 上的单调性，得出()G m 的表达式，然后利用参变量分离法求出满足不等式()1G m m λ≥+恒成立的实数λ的取值范围. 【详解】（1）对任意的x ∈R 有()24121x f x x -≤≤+恒成立，当1x =时，则()313f ≤≤，所以，()()1113f a b c f a b c ⎧-=-+=-⎪⎨=++=⎪⎩，可得12a c b +=⎧⎨=⎩，1c a ∴=-，所以不等式()41f x x ≥-在R 上恒成立，即二次不等式22141ax x a x ++-≥-在R 上恒成立，即二次不等式2220ax x a -+-≥在R 上恒成立，当1x =时等号成立，()()20442410a a a a >⎧⎪∴⎨∆=--=-=⎪⎩，解得1a =，0c ∴=，因此，()22f x x x =+； （2）由题意可得()()222,212,23x x x g x x x x ⎧+≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩. 作出函数()y g x =在区间(],0-∞上的图象如下图所示：当20x -≤≤时，()()()2221111g x x x x g =+=+-≥-=-. 当2x <-时，()()2123g x x x =-+，令()1g x =-，可得223x x +=，得2230x x +-=，此时3x =-.由图象可知，当63m -≤<-时，函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()()2123G m g m m m ==-+， 由()1G m m λ≥+，得()21213m m m λ-+≥+，可得121323333m m m m λ⎛⎫≥---=-+- ⎪-⎝⎭， 63m -≤<-，则36m <-≤，由于双勾函数3y x x=+在区间(]3,6上单调递增，当36m <-≤时，31342m m <-+≤-， 则213233332m m ⎛⎫<-+-≤ ⎪-⎝⎭，此时，32λ≥； 当31m -≤≤-时，函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()11G m g =-=-， 由()1G m m λ≥+，得11m λ+≤-，即20m λ+≤对任意的[]3,1m ∈--恒成立，则32020λλ-+≤⎧⎨-+≤⎩，解得2λ≥；当112m ≤-<-时，函数()y g x =在区间[],0m 上单调递增， 函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()22G m g m m m ==+，由()1G m m λ≥+，可得212m m m λ+≤+，即12m mλ≥-+. 函数12y x x =-+在区间11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，112m -<≤-，17222m m ∴<-+≤， 此时，72λ≥.综上所述，实数λ的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了函数最小值的求解以及不等式恒成立问题，解题时要注意对参数的取值进行分类讨论，在解不等式恒成立问题时，可结合参变量分离法转化为函数的最值来处理，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于中等题.。
2020-2021莆田市哲理高中必修一数学上期中一模试卷(附答案)
2020-2021莆田市哲理高中必修一数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞5．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20199．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．下列各式：（1）122[(2)]2--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x 21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 14．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 15．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 17．若4log 3a =，则22a a -+= ．18．计算：__________．19．关于函数()2411x x f x x -=--__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.20．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题21．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．22．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 23．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．24．已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B（1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120x xm a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.3．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.7．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5．【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．B【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】（1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
2020-2021学年第一学期高一数学期中考试联考试卷福建省
2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟， 满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（ ）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（ ） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（ ） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（ ）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（ ） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（ ）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（ ） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（ ）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。
2021学年莆田市二中高一数学上学期期中考试卷附答案解析
（3）是否存在实数 t ，使得关于 x 的方程 f
2x 1
2t 2x 1
3t 2 0 有四个不相等的实数根？如果存
在，求出实数 t 的范围，如果不存在，说明理由.
4
参考答案 一、选择题
1.【解答】解：集合 A x | 1 x 2 ，集合 B x |1 x 3 ，则 A B x | 1 x 3，
（1） xy 0 是 x2 y2 0 的____________条件； （2）已知 a, b, c R ，求证： a b c 的____________条件是 a2 b2 c2 ab bc ac .
16. 自然下垂的铁链：空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上， 这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当
下同方法一.
方法三：由题意可知，1
1 x 1
4 y
1 x 1
1 y
112
x 1 y
4 x 1
4
，
4
4
y
所以
x 1
4 y
4 ，当且仅当
1 x 1
1 y
，即
x
1,
y
8 时，等号成立；
4
下同方法一，故选 B.
8.【解答】解：作出函数 f x 的图象如图，
当 x 0 时， f x 2x 1 1 2x 0,1 ， 由图可知， f a f b f c 0,1 ，即 4 c 0,1 得 3 c 4 ，则 8 2c 16 ， 由 f a f b ，即 2a 1 2b 1 ，得1 2a 2b 1 ，求得 2a 2b 2 ，
2021 学年莆田市二中高一数学上学期期中考试卷
2020-2021学年福建省莆田市某校高一(上)期中考试数学试卷
2020-2021学年福建省莆田市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 设集合A={1,2,3}，B={x|x2=1}，则A∪B=( )A.⌀B.{1,2,3}C.{1}D.{−1,1,2,3}【答案】D【考点】并集及其运算【解析】本题主要通过并集的基本概念，结合一元二次方差进行求解即可【解答】解：∵ A={1,2,3}，B={−1,1}，∴ A∪B={−1,1,2,3}.故选D.2. 命题“∃x0∈R，x2+4x+5>0”的否定是( )A.∃x0∈R，x2+4x+5>0B.∃x0∈R，x2+4x+5≤0C.∀x∈R，x2+4x+5>0D.∀x∈R，x2+4x+5≤0【答案】D【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得命题“∃x0∈R，x2+4x+5>0”的否定是：“∀x∈R，x2+4x+5≤0”.故选D.3. 设x∈R，则“x>2”是“x2>4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】一元二次不等式的解法必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题主要考查充分性与必要性的说明，结合一元二次方程进行求解即可【解答】解：由“x>2”可以推出“x2>4”，但由“x2>4”可以推出“x>2”或“x<−2”，则“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件．故选A．4. 函数f(x)=2x−1，x∈{−1, 1}，则f(x)的值域为( )A.[−3, 1)B.(−3, 1]C.[−3, 1]D.{−3, 1}【答案】D【考点】函数的值域及其求法元素与集合关系的判断【解析】根据函数的定义域可知该函数定义域中只含2个元素，分别代入解析式，从而可求出该函数的值域．【解答】解：f(−1)=−2−1=−3，f(1)=2−1=1．所以该函数的值域为{−3, 1}．故选D．5. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是（）A.y=x3B.y=|x|+1C.y=−x2+1D.y=2−|x|【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及二次函数、一次函数的单调性即可判断每个选项函数的奇偶性和在(0, +∞)上的单调性，从而便可找出正确选项．【解答】解：A，y=x3是奇函数，故此选项错误；B，y=|x|+1为偶函数，当x>0时，y=x+1为增函数，故此选项正确；C，二次函数y=−x2+1在(0, +∞)上单调递减，故此选项错误；D，指数函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，y=2−x为减函数，故此选项错误．故选B.6. 已知函数f (x )={2x, x ≤0，−(12)x ,x >0，则f(f (2))=( )A.−4B.−12C.−8D.12【答案】 C【考点】分段函数的应用 函数的求值 【解析】本题主要是通过分段函数代入具体的函数值进行求解即可 【解答】解：∵ f (2)=−(12)2=−14 ，且−14<0，∴ f (−14)=2−14=−8，∴ f(f (2))=−8. 故选C ．7. 已知α∈{−3, −2, 13, 2}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减，则α的值为( ) A.−3 B.−2C.13D.2【答案】 A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】利用幂函数的性质求解． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减， ∴ α为奇数，且α<0， 根据选项可得，α=−3. 故选A .8. 已知y =f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2，且g(1)=1，则g(−1)=( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 函数的求值【解析】利用函数的奇偶性，利用条件先求出f(1)的值，然后求g(−1)的值． 【解答】解：因为g(x)=f(x)+2，所以g(1)=f(1)+2=1， 所以f(1)=−1．因为y =f(x)是奇函数，所以f(−1)=−f(1)=1． 所以g(−1)=f(−1)+2=1+2=3． 故选C . 二、多选题已知集合A ={1, 16, 4x}，B ={1, x 2}，若B ⊆A ，则x 可能取值有( ) A.0 B.−4C.1D.4【答案】 A,B【考点】集合的包含关系判断及应用 集合的确定性、互异性、无序性 【解析】根据集合的包含关系与集合元素的互异性进行判断． 【解答】解：∵ A ={1, 16, 4x}，B ={1, x 2}，若B ⊆A ，则x 2=16或x 2=4x ，则x =−4或0或4． 又当x =4时，4x =16，A 集合出现重复元素， 因此x =0或−4． 故选AB ．以下说法正确的有( )A.实数x >y >0是1x <1y 成立的充要条件 B.不等式ab ≤(a+b 2)2对a ， b ∈R 恒成立C.命题“∃x ∈R ，x 2+x +1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x +1<0"D.若1x +1y =1，则x +y 的最小值是4 【答案】 B,C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的否定 基本不等式 【解析】本题主要考查命题的真假判断，主要结合不等式的性质以及基本不等式和命题的否定进行考查【解答】解：A，当x<0，y>0时，1x <1y显然成立，故选项A错误；B，当ab>0时，由基本不等式易得成立，当ab<0时，(a+b2)2≥0，得不等式成立，当ab=0时，易得不等式也成立，故选项B正确；C，命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1<0”，故选项C正确；D，x+y=(x+y)(1x +1y)=2+xy +yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当yx =xy，且x>0，y>0时，等号成立，如当x=−1，y=12时，符合题意，但x+y=−1+12=−12<4，故选项D错误．故选BC．已知a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是( )A.1a <1bB.ac2>bc2C.ba<abD.a2>ab>b2【答案】A,C,D【考点】不等式的基本性质【解析】本题主要运用作差法以及代特殊值法进行不等式的判断大小．【解答】解：A，∵a>b>0，∴1a <1b，故选项A正确；B，当c=0时，很明显ac2>bc2不成立，故选项B错误；C，∵a>b>0，∴0<ba <1<ab，故选项C正确；D，a2−ab=a(a−b)，∵a>b>0，∴a−b>0，∴a2−ab=a(a−b)>0，∴a2>ab．ab−b2=b(a−b)>0，∴ab>b2，∴a2>ab>b2，故选项D正确．故选ACD．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f(x)=x，关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|)，下列说法正确的是( ) A.g(x)为偶函数B.g(x)在(−1,0)上单调递增C.方程g(x)=0在[0,4]上恰有三个实根D.g(x)的最大值为2【答案】A,D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：A，g(−x)=|f(−x)|+f(|−x|)=|−f(x)|+f(|x|)=g(x)，∴g(x)为偶函数，故选项A正确；B，x∈(−1,0)，则−x∈(0,1)，∴f(−x)=−x，|x|∈(0,1)，∴f(|x|)=|x|，∴g(x)=|f(x)|+f(|x|)=|−f(−x)|+|x|=|x|+|x|=2|x|=−2x，∴g(x)在(−1,0)上单调递减，故选项B错误；C，因为f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)是奇函数，所以f(x)是周期为4的函数，其部分图象如下图所示：所以当x≥0时，g(x)={2f(x)，x∈[4k,2+4k]，0，x∈(2+4k,4+4k]，k∈N.g(x)在[0,4]上有无数个零点，故C错误；D，当x≥0时，易知g(x)的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当x<0时，g(x)的最大值也为2，所以g(x)在整个定义域上的最大值为2，故D正确．故选AD.三、填空题已知f(2x+1)=3x−5，f(3)=________.【答案】−2【考点】函数的求值【解析】关于本题考查的函数的值，需要了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能得出正确答案． 【解答】解：f(2x +1)=3x −5，f(3)=f(2×1+1)=3×1−5=−2． 故答案为：−2．已知函数f(x)=1−m5x +1是奇函数，则实数m 的值为________． 【答案】 2【考点】函数奇偶性的性质 【解析】根据函数的解析式，可求出函数的定义域，进而根据定义在R 上的奇函数，图象必过原点，构造方程，解方程可得m 的值． 【解答】解：∵ 函数f(x)=1−m 5x +1的定义域为R ， 且函数f(x)=1−m5x +1为奇函数， ∴ f(0)=1−m50+1=1−m 2=0，解得m =2. 故答案为：2.若函数y =f(x)的定义域是[0, 4]，则函数g(x)=√x−1的定义域是________. 【答案】 (1, 2]【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由函数y ＝f(x)的定义域，列出不等式组，从而求出函数g(x)的定义域． 【解答】解：由函数y =f(x)的定义域是[0, 4]， 在函数g(x)=√x−1令{0≤2x ≤4，x −1>0，解得1<x ≤2.所以函数g(x)的定义域是(1, 2]． 故答案为：(1, 2].设a >0，b >0，称2ab a+b为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ．连接OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．【答案】 CD ,DE 【考点】 平均值不等式 【解析】在直角三角形中，由DC 为高，根据射影定理可得CD 2=AC ⋅CB ，变形两边开方，得到CD 长度为a ，b 的几何平均数；根据a ，b 与OC 之间的关系，表示出OC 的长度，根据直角三角形OCE 和直角三角形CDE 之间边的关系得到CE 的长，得到OE 进而ED ，得到结果． 【解答】解：在Rt △ADB 中DC 为高，由相似三角形的性质易得CD 2=AC ⋅CB ， ∴ CD =√ab ，即CD 长度为a ，b 的几何平均数， 将OC =a −a+b 2=a−b 2，CD =√ab ，OD =a+b 2代入OD ⋅CE =OC ⋅CD ，可得CE =a−ba+b √ab ， 故OE =√OC 2−CE 2=(a−b)22(a+b)，∴ ED =OD −OE =2aba+b ，∴ DE 的长度为a ，b 的调和平均数．故答案为：CD ；DE . 四、解答题已知函数f(x)=√4−x +√x+3的定义域为集合A ．(1)求集合A ；(2)若集合B ={x ∈N|0<x <3}，求A ∩B 并写出它的所有子集． 【答案】解：(1)∵ 函数f(x)=√4−x √x+3，∴ 函数的定义域为：{4−x ≥0，x +3>0，解得−3<x ≤4，∴ 集合A ={x|−3<x ≤4}.(2)∵ 集合B ={x ∈N|0<x <3}={1, 2}， 集合A ={x|−3<x ≤4}， ∴ A ∩B ={1, 2}，∴ A ∩B 的所有子集为：⌀，{1}，{2}，{1, 2}． 【考点】函数的定义域及其求法 交集及其运算 子集与真子集 【解析】（1）根据函数解析式有意义，列出不等式组，即可求出集合A ． （2）先求出集合A ，再求出A ∩B ，从而写出A ∩B 的所有子集． 【解答】解：(1)∵ 函数f(x)=√4−x √x+3，∴ 函数的定义域为：{4−x ≥0，x +3>0，解得−3<x ≤4，∴ 集合A ={x|−3<x ≤4}.(2)∵ 集合B ={x ∈N|0<x <3}={1, 2}， 集合A ={x|−3<x ≤4}， ∴ A ∩B ={1, 2}，∴ A ∩B 的所有子集为：⌀，{1}，{2}，{1, 2}．已知命题p ：∀x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0．若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】解：根据题意，命题p ：∀x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0， 若命题p 为真，必有a ≤(x 2)min =1，即a ≤1； 对于命题q ，∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0， 若命题q 为真，即方程x 2+2ax +2−a =0有解，则有Δ=4a 2−4(2−a)≥0，解可得：a ≥1或a ≤−2. 若命题p 与q 都是真命题，即{a ≤1,a ≥1或a ≤−2,则有a ≤−2或a =1.故a 的取值范围为{a|a ≤−2或a =1}． 【考点】复合命题及其真假判断一元二次不等式的解法 【解析】根据题意，求出命题p 和命题q 为真命题时a 的取值范围，求出其交集即可得答案． 【解答】解：根据题意，命题p ：∀x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0， 若命题p 为真，必有a ≤(x 2)min =1，即a ≤1； 对于命题q ，∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0， 若命题q 为真，即方程x 2+2ax +2−a =0有解，则有Δ=4a 2−4(2−a)≥0，解可得：a ≥1或a ≤−2. 若命题p 与q 都是真命题，即{a ≤1,a ≥1或a ≤−2,则有a ≤−2或a =1.故a 的取值范围为{a|a ≤−2或a =1}．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f(x)=x 2+2x ．(1)现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数f(x)的图像，并根据图像写出函数f(x)的增区间；(2)写出函数f(x)的解析式和值域. 【答案】解：(1)函数图像如图所示：f(x)的递增区间是(−1, 0)，(1, +∞)． (2)∵ x ≤0时，f(x)=x 2+2x ,令x >0, 则−x <0,故f(−x)=x 2−2x ,∵ 函数f(x)为偶函数，∴ f(x)=f(−x)， ∴ 当x >0时，f(x)=x 2−2x . ∴ f(x)={x 2+2x ，x ≤0，x 2−2x ，x >0，值域为：{y|y ≥−1}．【考点】函数的单调性及单调区间 函数图象的作法函数解析式的求解及常用方法 函数的值域及其求法 【解析】（1）根据函数f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，从而得到函数f(x)在y 轴右侧的图象，再根据图象得到增区间；（2）根据函数图象可得函数的解析式，和值域； 【解答】解：(1)函数图像如图所示：f(x)的递增区间是(−1, 0)，(1, +∞)． (2)∵ x ≤0时，f(x)=x 2+2x ,令x >0, 则−x <0,故f(−x)=x 2−2x ,∵ 函数f(x)为偶函数，∴ f(x)=f(−x)， ∴ 当x >0时，f(x)=x 2−2x . ∴ f(x)={x 2+2x ，x ≤0，x 2−2x ，x >0，值域为：{y|y ≥−1}．已知函数f(x)=x +mx ，且此函数图象过点(1, 5)． (1)求f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)在[2, +∞)上的单调性？并证明你的结论．(3)求函数f(x)在区间[2, 4]上的最小值和最大值． 【答案】解：(1)∵ 函数图象过点(1, 5)．得1+m =5， 解得m =4, ∴ f(x)=x +4x .(2)函数f(x)在[2, +∞)上的单调递增，证明如下： ∀x 1，x 2∈[2,+∞)，且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2 =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，∵ x 1，x 2∈[2,+∞)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在[2,+∞)上单调递增.(3)由f(x)在[2, +∞)上单调递增，可知函数f(x)在区间[2, 4]上也单调递增， 当x =2时，函数取得最小值4， 当x =4时，函数取得最大值5． 【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的单调性及单调区间 函数的最值及其几何意义 【解析】（1）将点(1, 5)代入f(x)=x +mx 求m ，再求f(x)的解析式；（2）求f(x)的导数f′(x)≥0，利用导数判断在[2, +∞)上的单调性；（3）区间[2, 4]⊆[2, +∞)，函数f(x)在区间[2, 4]也单调递增，利用单调性求最值． 【解答】解：(1)∵ 函数图象过点(1, 5)．得1+m =5， 解得m =4, ∴ f(x)=x +4x .(2)函数f(x)在[2, +∞)上的单调递增，证明如下： ∀x 1，x 2∈[2,+∞)，且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2 =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，∵ x 1，x 2∈[2,+∞)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0，∴ f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在[2,+∞)上单调递增.(3)由f(x)在[2, +∞)上单调递增，可知函数f(x)在区间[2, 4]上也单调递增， 当x =2时，函数取得最小值4， 当x =4时，函数取得最大值5．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB =3米，AD =4米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？(2)当AN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 【答案】解：(1) 设DN 的长为x (x >0)米，则AN =x +4米． ∵DN AN=DCAM， ∴ AM =3(x+4)x，∴ S AMPN =AN ⋅AM =3(x+4)2x，由矩形AMPN 的面积大于50得：3(x+4)2x>50，又x >0，得： 3x 2−26x +48>0， 解得： 0<x <83或x >6，即DN 长的取值范围为： (0,83)∪(6,+∞). (2)由(1)得，矩形花坛AMPN 的面积为： y =3(x +4)2x =3x 2+24x +48x =3x +48x +24≥2√3x ⋅48x+24=48，当且仅当3x =48x，即x =4时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48，故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米． 【考点】一元二次不等式的应用基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1) 设DN 的长为x (x >0)米，则AN =x +4米． ∵ DNAN =DCAM ， ∴ AM =3(x+4)x，∴ S AMPN =AN ⋅AM =3(x+4)2x，由矩形AMPN 的面积大于50得：3(x+4)2x>50，又x >0，得： 3x 2−26x +48>0， 解得： 0<x <83或x >6，即DN 长的取值范围为： (0,83)∪(6,+∞).(2)由(1)得，矩形花坛AMPN 的面积为： y =3(x +4)2x =3x 2+24x +48x =3x +48x +24≥2√3x ⋅48x+24=48，当且仅当3x =48x，即x =4时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48，故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米．定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x ，y 满足：f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)<0．(1)求f(−1)及f(1)的值；(2)求证：f(x)是偶函数；(3)解不等式：f(2)+f(x 2−12)≤0．【答案】解：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)， ∴ f(1)=0， 再令x =y =−1，则f(1)=f(−1)+f(−1)， ∴ f(−1)=0.(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令y =−1， 则f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)， ∴ f(−x)=f(x)， ∴ f(x)为偶函数.(3)任取x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1<x 2， ∴ 0<x 1x 2<1，∴ f(x1x 2)<0，∴ f(x 1)=f(x 2⋅x 1x 2)=f(x 2)+f(x 1x 2)<f(x 2)，∴ f(x)在(0, +∞)是增函数， ∴ f(x)在(−∞, 0)是减函数，∵ f(2)+f(x 2−12)=f(2x 2−1)≤0=f(1)=f(−1)， ∴ {2x 2−1<0，2x 2−1≥−1，或{2x 2−1>0，2x 2−1≤1，解得−√22<x <√22或−1≤x <−√22或√22<x ≤1，∴ 不等式的解集为[−1, −√22)∪(−√22, √22)∪(√22, 1]. 【考点】抽象函数及其应用 函数的求值 函数奇偶性的判断 不等式的概念与应用 【解析】（1）分别令x =y =1，x =y =−1，求出f(1)和f(−1)的值； （2）令x =x ，y =−1，即可求出f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数（3）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x 的不等式组，解得即可． 【解答】解：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)， ∴ f(1)=0， 再令x =y =−1，则f(1)=f(−1)+f(−1)， ∴ f(−1)=0.(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令y =−1， 则f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)， ∴ f(−x)=f(x)， ∴ f(x)为偶函数.(3)任取x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1<x 2， ∴ 0<x 1x 2<1，∴ f(x1x 2)<0，∴ f(x 1)=f(x 2⋅x 1x 2)=f(x 2)+f(x1x 2)<f(x 2)，∴ f(x)在(0, +∞)是增函数， ∴ f(x)在(−∞, 0)是减函数，∵ f(2)+f(x 2−12)=f(2x 2−1)≤0=f(1)=f(−1)，∴ {2x 2−1<0，2x 2−1≥−1，或{2x 2−1>0，2x 2−1≤1，解得−√22<x <√22或−1≤x <−√22或√22<x ≤1，∴ 不等式的解集为[−1, −√22)∪(−√22, √22)∪(√22, 1].。
福建高一高中数学期中考试带答案解析
福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.等比数列中，=（）A．4B．16C．-4D．-162.、为非零实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．3.不等式的解为（）A．B．C．D．4.点在直线的右下方，则（）A．2a-b+3<0B．2a-b+3>0C．2a-b+3=0D．以上都不成立5.若,则的最小值是( )A．B．1C．2D．46.已知中，，则的值为（）A．B．C．D．7.已知数列中，=2，＝1，若为等差数列，则公差等于（）A．B．C．D．8.目标函数，变量满足，则有（）A．B．无最小值C．D．既无最大值，也无最小值9.为测树的高度，在水平地面上选取A、B两点（点A、B及树的底部在同一直线上），从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A． B．C． D．10.给定函数的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意,由关系式得到数列{}，满足，则该函数的图像为（）二、填空题1.二次函数的部分对应值如下表：则不等式的解集是_______________________．2.3.等比数列中,4.，对于一切的恒成立，则的取值范围是_________。
5.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如＝8，则为。
三、解答题1.（1）已知，其中，求的最小值，及此时与的值．（2）关于的不等式，讨论的解．2.等比数列中，已知．（1）求数列的通项公式及前项和．（2）记,求的前项和．3.已知、、分别是的三个内角、、所对的边（1）若面积求、的值；（2）若，试判断的形状．4.若不等式组 (其中)表示的平面区域的面积是9．（1）求的值；（2）求的最小值，及此时与的值．5.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年需维护费用为1万元，以后每年增加2万元，若把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）开发商最早在第几年获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其它项目，有两种处理方案：①纯利润最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼．问哪种方案更优？并说明理由？6.设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比与函数关系为，数列满足，点落在上，，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和，使恒成立时，求的最小值．[福建高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.等比数列中，=（）A．4B．16C．-4D．-16【答案】B【解析】由等比数列的性质可知：．【考点】等比数列的性质．2.、为非零实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，A、B、D错误；所以C正确．【考点】不等式的性质．3.不等式的解为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等价于，解得．【考点】不等式的解法．4.点在直线的右下方，则（）A．2a-b+3<0B．2a-b+3>0C．2a-b+3=0D．以上都不成立【答案】B【解析】点在直线的右下方，即，把点代入得，整理得．【考点】线性规划．5.若,则的最小值是( )A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】．【考点】基本不等式．6.已知中，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦定理得：，即；根据正弦定理，解得．【考点】正余弦定理的综合应用．7.已知数列中，=2，＝1，若为等差数列，则公差等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由为等差数列，不妨设，即，∴．【考点】数列的性质．8.目标函数，变量满足，则有（）A．B．无最小值C．D．既无最大值，也无最小值【解析】由题意知线性区域为：，当目标函数经过点时，有最小值；当目标函数经过点时，有最大值为．【考点】线性规划问题．9.为测树的高度，在水平地面上选取A、B两点（点A、B及树的底部在同一直线上），从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，，设，则，在中，由余弦定理得：，解得．【考点】余弦定理．10.给定函数的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意,由关系式得到数列{}，满足，则该函数的图像为（）【答案】A【解析】由题意，知：，即在图中应该是满足的所有点，只有A选项正确．【考点】数列的基本概念．二、填空题1.二次函数的部分对应值如下表：-3-2-101234则不等式的解集是_______________________．【答案】【解析】从表格可以看出方程的两根为-2和3，二次函数开口向下，所以不等式的解集是．【考点】二次不等式的解法．2.【解析】由题意知：，解得．【考点】二次方程的根的情况．3.等比数列中,【答案】28【解析】由等比数列的性质知：成等比数列，所以，解得．【考点】等比数列的性质．4.，对于一切的恒成立，则的取值范围是_________。
第一中学2021高三数学上学期期中试题
福建省莆田第一中学2021届高三数学上学期期中试题(满分:150分，时间:120分钟）一、选择题（8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1.设集合A=｛y｜y=错误!｝，B={x｜y=错误!｝，则（）A．A=B B。
A B= C. A B D。
B A2.复数z满足i z=1—2i,是z的共轭复数则z=（）A. 3B。
错误!C。
3 D。
53。
已知向量a=(1，1),b=（—1，3），c=(2，1）且（a—b）c，则= ( ）A。
3 B.2 C。
-2 D.—34.已知f(x)=e-x+k e x(k为常数)，那么函数f（x)的图象不可能是( )A B C D5。
在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。
若sin=错误!，则cos（—）= （)A.错误!B。
错误!C。
-错误!D.—错误!6。
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1C,空气温度为0C,那么t分钟后物体的温度(单位C)可由公式：=0+（1-0）e—kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100C的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C,则再经过m分钟后物体的温度变为40C（假设空气温度保持不变），则m=（)A。
2 B.4 C.6 D.87。
已知P是椭圆C：错误!+错误!=1(a〉b>0)上的点,F1,F2分别是C的左，右焦点，O是坐标原点,若|错误!+错误!|=2｜错误!|且F1PF2=60,则椭圆的离心率为（）A. 错误!B.错误!C. 错误!D. 错误!8.集合论中著名的“康托三分集"是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征，其具体操作过程如下：将闭区间［0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（错误!,错误!)，记为第一次操作；再将剩余的两个区间［0，错误!］,［错误!，1］分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。
2020-2021莆田市中山高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021莆田市中山高中必修一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．23．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞5．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,48．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．210．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 11．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________. 14．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 17．设，则________18．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．19．若幂函数()a f x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值． 23．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.24．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14， 作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=44248-±-±=⨯=4182-±-±=，∴此时x=12-， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m --≤≤， ∴n﹣m 的最大值为2﹣12--=522+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.5．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．8．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤.故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.10．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．二、填空题13．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围14．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.15．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．18．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-19．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．22．（1）(2,3]；（2）2log (1x =． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质． 23．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.24．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可． 【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x xx xx =---=-+-，当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+， 当16x =时，156max y =， 而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性； （2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930xxx x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围． 【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f = 令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q210x x ∴->()210f x x ∴-> ()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930xxxxf k f ⋅+-+>Q ()()32793xxxxf k f ∴⋅>--+()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+- 931x x k ∴>-+-令931xxy =-+-，下面求该函数的最大值 令()30xt t =>则()210y t t t =-+->当12t =时，y 有最大值，最大值为34-34k ∴>-∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.。
2020-2021学年福建莆田高三上数学期中试卷
2020-2021学年福建莆田高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x≤2}，则A∩B=( )A.(0, 1)B.(0, 2]C.(1, 2)D.(1, 2]2. 已知复数z=1−i2+i ，则z的共轭复数z¯=( )A.1 5−35i B.15+35i C.−15−35i D.−15+35i3. 已知三个数a=30.5，b=log32，c=cos32，则它们之间的大小关系是( ) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a4. 已知sin(θ−π3)=15，则sin(2θ−π6)=( )A.−225B.−2325C.225D.23255. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？()A.38B.35C.32D.296. (x2+2)(x−1x)6的展开式中的常数项是( )A.−5B.15C.20D.−257. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π3)=2，f(π)=0，且f(x)在区间(π3,5π12)单调，则ω的取值个数为( )A.7B.8C.9D.108. 若关于x的不等式ae x(x+1)−x2<0解集中恰有两个正整数解，a的取值范围为( ) A.[43e2,12e) B.[94e3,12e) C.[94e3,12e] D.[94e3,43e2)二、多选题已知函数f(x)=3sin(2x+π3)，函数g(x)的图象由f(x)图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数g(x)的说法正确的有( )A.g(x)的图象关于直线x=π6对称B.g(x)的图象关于直线x=π3对称C.g(x)在[−π24,5π24]单调递增D.g(x)在[−π6,π3]单调递减等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1>0，公差d≠0，则下列命题正确的是( )A.若S5=S9，则必有S14=0B.若S5=S9，则必有S7是S n中最大的项C.若S6>S7，则必有S7>S8D.若S6>S7，则必有S5>S6函数f(x)=ln(√x2+1−kx)的图象可能是( )A.B.C.D.如图，在边长为2的正方形AP 1P 2P 3中，线段BC 的端点B ，C 分别在边P 1P 2，P 2P 3上滑动，且P 2B =P 2C =x ，现将△AP 1B ， △AP 3C 分别沿AB ，AC 折起使得P 1，P 3 重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC .则下列命题正确的是( )A.AP ⊥平面PBCB.x 的取值范围为(0, 4−2√2)C.当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6πD.三棱锥P −ABC 体积最大值为13三、填空题函数f (x )={1+log 3(3−x )，x <0，3x ，x ≥0，则f (−6)+f(log √32)=________.已知|a →|=2，|b →|=1，a →+b →=(2,−√3)，则|a →+2b →|=________.设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x +1)=2f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )=sin πx ，当x ∈[0,+∞)时，函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，a 3，⋯，a n ⋯，并记相应的极大值为b 1，b 2，b 3，⋯，b n ⋯，则数列{a n +b n }前9项的和为________.在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP =3，AB =2√3，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为________. 四、解答题为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25；女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15. 根据调查结果制作了如下2×2列联表.(1)请将2×2的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；(2)从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =−13a n +43，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n=log14a n，记数列{1(b n+1)(b n+3)}的前n项和为T n，求证：T n<34．在①b sin A+a sin B=4c sin A sin B，②cos2C−2√3sin2C2+√3=2，③(a−√3b)sin A+b sin B=c cos C，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B=1+√34，c=2，________，求角C及△ABC的面积S．（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠BAA1=60∘.(1)求证：A1C⊥B1A1；(2)若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB=BC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a na n+3(n∈N∗)．(1)求证：数列{1a n +12}是等比数列，并求数列{a n}的通项a n；(2)若数列{b n}满足b n=(3n−1)n2na n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式(−1)nλ<T n对一切n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．已知函数f(x)=x2−2x+a ln x,(a>0)．(1)当a=1时，若关于x的方程f(x)=x+b有唯一实数解，求实数b的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)≥mx2恒成立，实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年福建莆田高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．【解答】解：由A中的不等式变形得：log41<log4x<log44，解得：1<x<4，即A=(1, 4)，∵B=(−∞, 2]，∴A∩B=(1, 2]．故选D．2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】直接利用复数的除法运算化简，然后求共轭复数即可．【解答】解：∵z=1−i2+i =(2−i)(1−i)(2−i)(2+i)=1−3i5=15−35i，∴z¯=15+35i．故选B．3.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较余弦函数的单调性【解析】利用指数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：a=30.5>30=1，1=log33>b=log32>log3√3=12，0=cosπ2<c=cos32<cosπ3=12，∴c<b<a．故选A．4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】【解答】解：因为cos[2(θ−π3)]=1−2sin2(θ−π3)=2325，即cos(2θ−2π3)=2325，则sin(2θ−π6)=sin(2θ−2π3+π2)=cos(2θ−2π3)=2325．故选D．5.【答案】B【考点】数列的应用等差数列的通项公式【解析】【解答】解：由题意可知，九个儿子的年龄可以看成是以老大的年龄a1为首项，公差为−3的等差数列，∴9a1+9×82×(−3)=207，解得：a1=35，∴老大的年龄是35岁.故选B．6.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】(x−1x)6的通项公式T r+1=∁6r x6−r(−1x)r=(−1)r∁6r x6−2r，(r＝0, 1, 2,…,6)．令6−2r＝0或−2，解得r即可得出． 【解答】解：(x −1x)6的通项公式为：T r+1=C 6r x 6−r (−1x )r =(−1)r C 6r x 6−2r，令6−2r =0或−2，解得r =3或4． ∴ (x 2+2)(x −1x)6的展开式中的常数项为：(−1)4C 64+2(−1)3C 63=15−2×20=−25． 故选D ． 7.【答案】 B【考点】正弦函数的图象 正弦函数的单调性 正弦函数的周期性【解析】利用三角函数的性质求解即可. 【解答】解：f(π3)=2sin (π3ω+φ)=2，f(π)=2sin (πω+φ)=0， 所以π3ω+φ=π2+2kπ，ωπ+φ=kπ(k ∈Z )， 两式相减，得2π3ω=−π2−kπ(k ∈Z )，所以ω=−34−32k(k ∈Z )， 因为f (x )在区间(π3,5π12)单调，所以5π12−π3≤12⋅2πω，所以ω≤12， 所以{−34−32k ≤12，−34−32k >0，所以−8.5≤k <−0.5， 又因为k ∈Z ，所以k 的取值为−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1． 故选B . 8. 【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性 斜率的计算公式根的存在性及根的个数判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：题意等价于关于x 的不等式x 2e x>a (x +1)恰有两个正整数解．设f (x )=x 2ex ，则f ′(x )=x (2−x )e x，故f (x )在(−∞,0)∪(2,+∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 且x →−∞时，f (x )→+∞， x →+∞时，f (x )→0，作出f (x )的大致图象，如图．设g (x )=a (x +1)，g (x )恒过定点M (−1,0)，设A (2,4e 2)，B (3,9e 3)，结合图象可知需考虑AM ，BM 斜率．因为k AM =43e 2>k BM =94e 3，所以a 的取值范围为[94e 3,43e 2)． 故选D .二、多选题 【答案】 B,C【考点】正弦函数的单调性 正弦函数的对称性【解析】根据三角函数的图象平移关系求出g(x)的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可． 【解答】解：由题意可得：g(x)=3sin [2(x −π4)+π3]=3sin (2x −π6).A，g(π6)=3sin(2π6−π6)=32，因为32不是g(x)的最大值也不是最小值，所以g(x)的图象不关于直线x=π6对称，故A错误；B，g(π3)=3sin(2π3−π6)=3sinπ2=3，因为3是g(x)的最大值，所以g(x)的图象关于直线x=π3对称，故B正确；C，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，当k=0时，则函数g(x)在[−π6,π3]上单调递增，又[−π24,5π24]⫋[−π6,π3]，则函数g(x)在[−π24,5π24]上单调递增，故C正确，故D错误.故选BC.【答案】A,B,C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，则a7+a8=0，S14=14×(a1+a14)2=14×(a7+a8)2=0，A正确；对于B，若S5=S9，必有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，又由a1>0，则必有S7是S n中最大的项，B正确；对于C，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，又由a1>0，必有d<0，则a8=S8−S7<0，必有S7>S8，C正确；对于D，若S6>S7，则a7=S7−S6<0，而a6的符号无法确定，故S5>S6不一定正确，D错误.故选ABC.【答案】A,B,D【考点】函数的图象函数奇偶性的性质【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论；【解答】解：①当f(x)为奇函数时，图象关于原点对称，f(x)+f(−x)=0，即ln(√x2+1−kx)+ln(√x2+1+kx)=0，ln2+1−kx)(√x2+1+kx)]=0，整理，得x2+1−k2x2=1，即x2=k2x2，解得k=±1，当k=1时，f(x)的图象为选项A；当k=−1时，f(x)的图象为选项B；②当f(x)为偶函数时，图象关于y轴对称，f(x)=f(−x)，即ln(√x2+1−kx)=ln(√x2+1+kx)，所以k=0，当k=0时，f(x)≥0，故f(x)的图象为选项D．故选ABD.【答案】A,B,C【考点】直线与平面垂直的判定球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，∵AP1⊥P1B，AP3⊥P3C，即AP⊥BP，AP⊥PC，又BP∩PC于点P，∴AP⊥平面PBC，故A正确；对于B，由题意可知P2B=P2C=x，则BC=√2x，BP=CP=2−x，根据三角形三边关系可知0<√2x<4−2x，解得0<x<4−2√2，故B正确；对于C，根据题意，得三棱锥P−ABC中AP=2，BP=CP=1，PA，PB，PC两两互相垂直，三棱锥P−ABC的外接球的直径2R=√AP2+BP2+CP2=√6，可得三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=√62，根据球的表面积公式，得三棱锥P−ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√62)2=6π，故C正确；对于D ，由A 可知AP 即为三棱锥P −ABC 的一个高， 则V P−ABC =13⋅PA ⋅S △PBC =23S PBC . ∵ PB =PC =2−x ，BC =√2x ， ∴ BC 边上的高为√(2−x)2−12x 2， ∴ S △PBC =12×√2x ⋅√(2−x)2−12x 2.当x =12时， S △PBC =√22×12⋅√(2−12)2−12×(12)2=√178， 此时V P−ABC =√178×23=√1712>13，故D 错误.故选ABC . 三、填空题【答案】 7【考点】 函数的求值 分段函数的应用【解析】根据自变量的取值范围，分段代入然后求和. 【解答】解：因为函数f (x )={1+log 3(3−x )，x <0，3x，x ≥0，所以f (−6)=1+log 3(3+6)=1+2=3， f(log √32)=3log √32=3log 34=4， 所以f (−6)+f(log √32)=7. 故答案为：7. 【答案】 2√3【考点】 向量的模 【解析】先由题意得到a →⋅b →=1，再利用|a →+2b →|=√(a →+2b →)2√a →2+2b →2+4a →⋅b →代入求解即可.【解答】解：∵ |a →|=2，|b →|=1，a →+b →=(2,−√3)， ∴ |a →+b →|=√22+(−√3)2=√7，∴ (a →+b →)2=a →2+b →2+2a →⋅b →=4+1+2a →⋅b →=7，∴ a →⋅b →=1， ∴ |a →+2b →|=√(a →+2b →)2=√a →2+4b →2+4a →⋅b →=√4+4+4 =2√3.故答案为：2√3. 【答案】11032【考点】利用导数研究函数的极值 等差数列的前n 项和 等比数列的前n 项和【解析】求出函数y =f (x )在区间[n −1,n)(n ∈N −)上的解析式，利用导数求出函数y =f (x )在区间[n −1,n)(n ∈N −)上的极大值点与极大值，可得出数列{a n +b n }的通项公式，再利用分组求和法可求得数列|a n +b n |的前9项的和． 【解答】解：函数f (x )的定义域为R ，满足f (x +1)=2f (x )， 则f (x )=2f (x −1)，且当x ∈[0,1)时，f (x )=sin πx ， 则当x ∈[n −1,n)(n ∈N ∗)， x −(n −1)∈[0,1)，f(x)=2f(x −1)=22f(x −2) =2n−1f[x −(n −1)]=2n−1sin [πx −π(n −1)]，f ′(x)=2n−1πcos [πx −π(n −1)]，当x ∈[n −1,n)(n ∈N ∗)时，x −(n −1)∈[0,1)， 则[πx −π(n −1)]∈[0,π)，令f ′(x)=0，可得πx −π(n −1)=π2，解得x =n −12， 当n −1<x <n −12时，f ′(x)>0，当n −12<x <n 时，f ′(x)<0，所以，函数y =f (x )在x =n −12处取得极大值，即b n =f (n −12)=2n−1， 则a n =n −12，所以a n +b n =n −12+2n−1，因此，数列{a n +b n }的前9项的和 S 9=(1−12+9−12)×92+1−291−2=11032.故答案为：11032.【答案】 57π【考点】 球内接多面体 球的表面积和体积【解析】根据题意画出图形，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥P −ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【解答】解：三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，直线PQ 与平面ABC 所成角为θ， 如图所示；则sin θ=PAPQ =3PQ ，且sin θ的最大值是√32，∴ (PQ)min =2√3，∴ AQ 的最小值是√3，即A 到BC 的距离为√3， ∴ AQ ⊥BC .∵ AB =2√3，在Rt △ABQ 中可得∠ABC =π6， 即可得BC =6；取△ABC 的外接圆圆心为O ′，作OO ′ // PA ， ∴ 6sin 120∘=2r ，解得r =2√3， ∴ O ′A =2√3， 取H 为PA 的中点，∴ OH =O ′A =2√3，PH =32， 由勾股定理得OP =R =√PH 2+OH 2=√572， ∴ 三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是 S =4πR 2=4×π×(√572)2=57π．故答案为：57π. 四、解答题【答案】解：(1)根据题意，填写列联表如下； K 2=100×(22×36−9×33)31×69×55×45=100×3331×23≈4.628>3.841，∴ 有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.(2)依题意得，5个人中2人更擅长理科，3人不更擅长理科， ∴ X 的可能取值为0，1，2， 故P(X =0)=C 20C 32C 52=310，P(X =1)=C 21C 31C 52=35， P(X =2)=C 22C 30C 52=110，∴ X 的分布列为：数学期望为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【考点】 独立性检验离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (Ⅱ)根据分层抽样原理，依题意知X 的可能取值，计算对应的概率值， 写出分布列，计算数学期望值． 【解答】解：(1)根据题意，填写列联表如下；K 2=100×(22×36−9×33)31×69×55×45=100×3331×23≈4.628>3.841，∴ 有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.(2)依题意得，5个人中2人更擅长理科，3人不更擅长理科， ∴ X 的可能取值为0，1，2， 故P(X =0)=C 20C 32C 52=310，P(X =1)=C 21C 31C 52=35， P(X =2)=C 22C 30C 52=110，∴ X 的分布列为：数学期望为：E(X)=0×310+1×35+2×110=45．【答案】(1)解：数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =−13a n +43，①当n =1时，S 1=a 1=−13a 1+43，解得a 1=1，当n ≥2时，S n−1=−13a n−1+43，② ①−②得a n =−13a n −(−13a a−1)， 所以a n =14a n−1，故a nan−1=14(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，14为公比的等比数列， a n =1×(14)n−1=(14)n−1．(2)证明：由(1)得b n =log 14a n =n −1，所以1(bn +1)(b n+3)=1n(n+2) =12(1n−1n+2)，所以T n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+ (14−16)⋯+(1n −1−1n +1)+(1n −1n +2)] =12(1+12−1n +1−1n +2) =34−12(1n+1+1n+2)， 因为n ∈N ∗，所以1n+1+1n+2>0，所以34−12(1n+1+1n+2)<34，即T n <34. 【考点】数列递推式等比数列的通项公式 数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式． (Ⅱ)利用裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 【解答】(1)解：数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =−13a n +43，① 当n =1时，S 1=a 1=−13a 1+43，解得a 1=1， 当n ≥2时，S n−1=−13a n−1+43，② ①−②得a n =−13a n −(−13a a−1)， 所以a n =14a n−1， 故a nan−1=14(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，14为公比的等比数列， a n =1×(14)n−1=(14)n−1．(2)证明：由(1)得b n =log 14a n =n −1，所以1(bn +1)(b n+3)=1n(n+2) =12(1n −1n+2)，所以T n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+(1−1)⋯+(1−1)+(1−1)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)，因为n∈N∗，所以1n+1+1n+2>0，所以34−12(1n+1+1n+2)<34，即T n<34.【答案】解：选①b sin A+a sin B=4c sin A sin B.因为b sin A+a sin B=4c sin A sin B，所以由正弦定理得sin B sin A+sin A sin B=4sin C sin A sin B，即2sin B sin A=4sin C sin A sin B，所以sin C=12，因为C∈(0,π)，所以C=π6或C=5π6．若C=5π6，由sin A sin B=1+√34，而A<π6，B<π6，从而sin A sin B<14，矛盾，舍去．故C=π6.接下来求△ABC的面积S.法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R=csin C =2sinπ6=4，∴a=2R sin A=4sin A，b=2R sin B=4sin B，∴ab=16sin A sin B=4(1+√3)，∴S△ABC=12ab sin C=12×4(1+√3)×12=1+√3．法二：易得cos C=√32，即cos A cos B−sin A sin B=−√32，∵sin A sin B=1+√34，∴cos A cos B=1−√34，∴cos(A−B)=cos A cos B+sin A sin B=12.∵A−B∈(−5π6,5π6)，∴A−B=π3或B−A=π3.当A−B=π3时，又A+B=5π6，∴A=7π12，B=π4，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sinπ4sinπ6=2√2，∴S△ABC=12bc sin A=12×2√2×2sin7π12=2√2(√22×12+√22×√32)=1+√3，当B−A=π3时，同理可得S△ABC=1+√3，故△ABC的面积为1+√3．选②cos2C−2√3sin2C2+√3=2，因为cos2C−2√3sin2C2+√3=2，所以2cos2C−1−√3(1−cos C)+√3−2=0，即2cos2C+√3cos C−3=0，(2cos C−√3)(cos C+√3)=0，所以cos C=√32或cos C=−√3（舍），因为C∈(0,π)，所以C=π6．以下解法同①.选③(a−√3b)sin A+b sin B=c sin C，由(a−√3b)sin A+b sin B=c sin C及正弦定理得(a−√3b)a+b2=c2，即a2+b2−c2=√3ab，由余弦定理得cos C=a2+b2−c22ab=√32，因为0<C<π，所以C=π6.以下解法同①．【考点】正弦定理余弦定理两角和与差的余弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：选①b sin A +a sin B =4c sin A sin B . 因为b sin A +a sin B =4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B =4sin C sin A sin B ， 即2sin B sin A =4sin C sin A sin B ，所以sin C =12， 因为C ∈(0,π)，所以C =π6或C =5π6． 若C =5π6，由sin A sin B =1+√34，而A <π6，B <π6，从而sin A sin B <14，矛盾，舍去． 故C =π6.接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ， 则由正弦定理得2R =csin C =2sin π6=4，∴ a =2R sin A =4sin A ，b =2R sin B =4sin B ， ∴ ab =16sin A sin B =4(1+√3)，∴ S △ABC =12ab sin C =12×4(1+√3)×12=1+√3． 法二：易得cos C =√32，即cos A cos B −sin A sin B =−√32， ∵ sin A sin B =1+√34， ∴ cos A cos B =1−√34，∴ cos (A −B )=cos A cos B +sin A sin B =12. ∵ A −B ∈(−5π6,5π6)，∴ A −B =π3或B −A =π3. 当A −B =π3时，又A +B =5π6， ∴ A =7π12，B =π4，由正弦定理得b =c sin B sin C=2sinπ4sin π6=2√2，∴ S △ABC =12bc sin A =12×2√2×2sin 7π12=2√2(√22×12+√22×√32)=1+√3，当B −A =π3时，同理可得S △ABC =1+√3，故△ABC 的面积为1+√3． 选②cos 2C −2√3sin 2C2+√3=2， 因为cos 2C −2√3sin 2C 2+√3=2，所以2cos 2C −1−√3(1−cos C )+√3−2=0， 即2cos 2C +√3cos C −3=0， (2cos C −√3)(cos C +√3)=0， 所以cos C =√32或cos C =−√3 （舍），因为C ∈(0,π)，所以C =π6． 以下解法同①.选③(a −√3b)sin A +b sin B =c sin C ，由(a −√3b)sin A +b sin B =c sin C 及正弦定理得(a −√3b)a +b 2=c 2， 即a 2+b 2−c 2=√3ab ， 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=√32， 因为0<C <π， 所以C =π6.以下解法同①．【答案】(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ，如图所示，∵ AC =BC ，∴ OC ⊥AB .∵ AB =AA 1，∠BAA 1=60∘， ∴ △AA 1B 是等边三角形， ∴ A 1O ⊥AB .又∵ OC ∩OA 1=O ，AB ⊄平面OA 1C ， ∴ AB ⊥平面OA 1C . ∵ A 1C ⊂平面OA 1C ， ∴ AB ⊥A 1C .在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， ∵ AB//A 1B 1， ∴ A 1C ⊥B 1A 1.(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又∵ 平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，两平面交线为AB ， ∴ OC ⊥平面ABB 1A 1， ∴ OA 1，OA ，OC 两两垂直.以O 为坐标原点，以OA ，OA 1，OC 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设OA =1，则A (1,0,0)，A 1(0,√3,0)，C(0,0,√3)， B (−1,0,0)，B 1(−2，√3，0)，故CA 1→=(0,√3,−√3)，CB →=(−1,0，−√3)， CB 1→=(−2,√3,−√3).设n →=(x,y,z )为平面A 1BC 的法向量， 则{n →⋅CA 1→=0,n →⋅CB →=0,即{√3y −√3z =0,−x −√3z =0,取z =1，则x =−√3，y =1， ∴ n →=(−√3,1,1). ∴ cos <n →,CB 1→>=n →⋅CB 1→|n →||CB 1→|=√65. 又∵ 直线与平面的正弦值等于直线与平面法向量余弦值的绝对值， ∴ 直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值为：√65. 【考点】棱柱的结构特征直线与平面垂直的判定 用空间向量求直线与平面的夹角【解析】(1)求线线之间的垂直，先找线面垂直，因为证明A 1C ⊥B 1A 1，即证明A 1C ⊥AB ，所以需证明AB ⊥面OA 1C . (2)由(1)知，结合题干可知OA ，OA 1，OC 两两垂直，故可建立空间直角坐标系进行求解. 【解答】(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ，如图所示，∵ AC =BC ， ∴ OC ⊥AB .∵ AB =AA 1，∠BAA 1=60∘， ∴ △AA 1B 是等边三角形， ∴ A 1O ⊥AB .又∵ OC ∩OA 1=O ，AB ⊄平面OA 1C ， ∴ AB ⊥平面OA 1C . ∵ A 1C ⊂平面OA 1C ， ∴ AB ⊥A 1C .在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， ∵ AB//A 1B 1， ∴ A 1C ⊥B 1A 1.(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又∵ 平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，两平面交线为AB ， ∴ OC ⊥平面ABB 1A 1， ∴ OA 1，OA ，OC 两两垂直.以O 为坐标原点，以OA ，OA 1，OC 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设OA =1，则A (1,0,0)，A 1(0,√3,0)，C(0,0,√3)， B (−1,0,0)，B 1(−2，√3，0)，故CA 1→=(0,√3,−√3)，CB →=(−1,0，−√3)， CB 1→=(−2,√3,−√3).设n →=(x,y,z )为平面A 1BC 的法向量， 则{n →⋅CA 1→=0,n →⋅CB →=0,即{√3y −√3z =0,−x −√3z =0,取z =1，则x =−√3，y =1， ∴ n →=(−√3,1,1). ∴ cos <n →,CB 1→>=n →⋅CB 1→|n →||CB 1→|=√65. 又∵ 直线与平面的正弦值等于直线与平面法向量余弦值的绝对值， ∴直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值为：√65.【答案】(1)证明：由a n+1=a n a n +3(n ∈N ∗)，得1a n+1=a n +3a n =3a n +1， ∴1a n+1+12=3(1a n+12)，∴ 数列{1a n+12}是以3为公比以1a 1+12=32为首项的等比数列，∴ a n =23n −1.(2)解：由(1)知，b n =(3n −1)⋅n2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1， T n =1×1+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，12T n=1×12+2×(12)2+⋯+(n −1)(12)n−1+n(12)n ，两式相减得，12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n 2n =1−(12)n1−12−n 2=2−n+22，∴ T n =4−n+22n−1． ∵ T n+1−T n =(4−n+32n)−(4−n+22n−1)=n+12n>0，∴ T n 为递增数列．①当n 为正奇数时，−λ<T n 对一切正奇数成立，∵ (T n)min =T 1=1=T 1=1，∴ −λ<1，∴ λ>−1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵ (T n)min =T 2=2=T 2=2，∴ λ<2． 综合①②知，−1<λ<2． 【考点】等比关系的确定 数列的求和 数列的函数特性【解析】（1）把题目给出的数列递推式取倒数，即可证明数列{1a n+12}是等比数列，由等比数列的通项公式求得1a n+12，则数列{a n }的通项a n 的通项可求；（2）把数列{a n }的通项a n 代入b n =(3n −1)n 2na n ，由错位相减法求得数列{b n }的前n 项和为T n ，作差后得到T n 为递增数列．然后对n 分类求得满足不等式(−1)n λ<T n 的实数λ的范围，则答案可求． 【解答】(1)证明：由a n+1=a n a n +3(n ∈N ∗)，得1a n+1=a n +3a n =3a n +1， ∴1a n+1+12=3(1a n+12)，∴ 数列{1a n+12}是以3为公比以1a 1+12=32为首项的等比数列，∴ a n =23−1.(2)解：由(1)知，b n =(3n −1)⋅n2n ⋅23n −1=n ⋅(12)n−1， T n =1×1+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，12T n =1×12+2×(12)2+⋯+(n −1)(12)n−1+n(12)n ，两式相减得，12T n =1+12+122+⋯+12n−1−n 2n =1−(12)n1−12−n 2n =2−n+22n，∴ T n =4−n+22n−1． ∵ T n+1−T n =(4−n+32n)−(4−n+22n−1)=n+12n>0，∴ T n 为递增数列．①当n 为正奇数时，−λ<T n 对一切正奇数成立，∵ (T n)min =T 1=1=T 1=1，∴ −λ<1，∴ λ>−1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵ (T n)min =T 2=2=T 2=2，∴ λ<2． 综合①②知，−1<λ<2．【答案】解：(1)当a =1时，有f(x)=x 2−2x +ln x ， 其定义域为{x|x >0}，从而方程f(x)=x +b 可化为b =x 2−3x +ln x ， 令g(x)=x 2−3x +ln x ，则g ′(x)=2x −3+1x =2x 2−3x+1x，由g ′(x)>0得x >1或0<x <12， g ′(x)<0⇒12<x <1.所以g(x)在(0,12)和(1,+∞)上单调递增，在(12,1)上单调递减， 且g(12)=−54−ln 2，g(1)=−2，又当x 趋向于0时，g(x)趋向于负无穷； 当x 趋向于正无穷时，g(x)趋向于正无穷，因为关于x 的方程b =x 2−3x +ln x 有唯一实数解， 所以实数b 的取值范围是b <−2或b >−54−ln 2.(2)因为f(x)的定义域为{x|x >0}， f ′(x)=2x −2+ax =2x 2−2x+ax，令f ′(x)=0⇒2x 2−2x +a =0，因为函数f(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，所以2x 2−2x +a =0有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，所以由Δ>0得，0<a <12，且x 1+x 2=1，a =2x 1−2x 12．从而0<x 1<12<x 2<1，由f(x 1)≥mx 2恒成立得，m ≤f(x 1)x 2，f(x 1)x 2=x 12−2x 1+a ln x 1x 2=x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 1x 2=1−x 1+1x 1−1+2x 1ln x 1．设ℎ(t)=1−t +1t−1+2t ln t(0<t <12)， 则ℎ′(t)=1−1(t−1)2+2ln t ．因为0<t <12，−1<t −1<−12，14<(t −1)2<1，所以ℎ′(t)<0⇒ℎ(t)在(0,12)上单调递减， 则ℎ(t)>ℎ(12)=−32−ln 2，所以实数m 的取值范围是m ≤−32−ln 2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的极值【解析】（2）求出f(x)的导数，令f ′(x)=0，得2x 2−2x +a =0，对判别式讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）函数f(x)在(0, +∞)上有两个极值点，由（2）可得0<a <12，不等式f(x 1)≥mx 2恒成立即为f(x 1)x 2≥m ，求得f(x 1)x 2=1−x 1+1x 1−1+2x 1ln x 1，令ℎ(x)=1−x +1x−1+2x ln x(0<x <12)，求出导数，判断单调性，即可得到ℎ(x)的范围，即可求得m 的范围． 【解答】解：(1)当a =1时，有f(x)=x 2−2x +ln x ， 其定义域为{x|x >0}，从而方程f(x)=x +b 可化为b =x 2−3x +ln x ， 令g(x)=x 2−3x +ln x ， 则g ′(x)=2x −3+1x =2x 2−3x+1x，由g ′(x)>0得x >1或0<x <12， g ′(x)<0⇒12<x <1.所以g(x)在(0,12)和(1,+∞)上单调递增，在(12,1)上单调递减， 且g(12)=−54−ln 2，g(1)=−2，又当x 趋向于0时，g(x)趋向于负无穷；当x 趋向于正无穷时，g(x)趋向于正无穷，因为关于x 的方程b =x 2−3x +ln x 有唯一实数解， 所以实数b 的取值范围是b <−2或b >−54−ln 2. (2)因为f(x)的定义域为{x|x >0}， f ′(x)=2x −2+ax=2x 2−2x+ax，令f ′(x)=0⇒2x 2−2x +a =0，因为函数f(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，所以2x 2−2x +a =0有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，所以由Δ>0得，0<a <12，且x 1+x 2=1，a =2x 1−2x 12．从而0<x 1<12<x 2<1，由f(x 1)≥mx 2恒成立得，m ≤f(x 1)x 2，f(x 1)x 2=x 12−2x 1+a ln x 1x 2 =x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)ln x 1x 2=1−x 1+1x1−1+2x 1ln x 1．设ℎ(t)=1−t +1t−1+2t ln t(0<t <12)， 则ℎ′(t)=1−1(t−1)2+2ln t ．因为0<t <12，−1<t −1<−12，14<(t −1)2<1，所以ℎ′(t)<0⇒ℎ(t)在(0,12)上单调递减，则ℎ(t)>ℎ(12)=−32−ln 2，所以实数m 的取值范围是m ≤−32−ln 2．。
2020-2021高中必修一数学上期中试题及答案(5)
2020-2021高中必修一数学上期中试题及答案(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z6．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D8．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．211．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．15．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.16．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.17．计算：__________．18．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．19．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．22．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）23．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 24．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．25．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．B解析：B 【解析】【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．D解析：D 【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.6．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.9．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．10．B解析：B【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=421282-±-±=，∴此时x=122-，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为212--522+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.16．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 17．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.18．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|12xy m-⎛⎫=+=⎪⎝⎭可得出112xm-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m=-与函数()y g x=的图象有交点，作出函数()111,122,1xxxg xx--⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m=-的图象如下图所示，由图象可知()01g x<≤，则01m<-≤，解得10m-≤<.因此，实数m的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 19．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围解析：[1,0)-【解析】【分析】根据()()1212f x f xx x->-判断出函数在R上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，所以函数在R上为增函数，所以121124aaa a->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤<.故答案为：[)1,0-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(a 上是减函数，在),a +∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--，()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，解得7799a -+<<，113a ∴≤<， 当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．22．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+．同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元；②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 23．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a ca f abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可；（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a ba ca ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】（1）由题意可得()432421b ac af a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+，解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）由题意可知012a b aca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a ++<，即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞.（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=-2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ ,因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x-+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 24．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<- 【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x xx f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=----21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-，∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-. 即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.25．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”； （2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”， ∴f （-x ）=-f （x ）无实数解， 即x 2+a =0无实数解， ∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）； （3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ， ∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意. 【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型. 26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a=1；（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。
福建省莆田二中2020-2021学年高一上学期周末练习数学试题(2020.11.7) PDF版含答案
部奇函数”，若 f x 4x m2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的
取值范围是______
15．函数 y ( 1 ) x2 2x3 的值域为____________ ，单调递增区间是_________． 2
16．已知函数 f x e | xt | ， g x x e ， h x m a x f x, g x ，其中
试卷第 3页，总 4页
19．已知函数
f
x
m
x
1 x
2,
x
0
是奇函数.
2
x
1 x
n,
x
0
（1）求实数 m ， n 的值；
（2）若对任意实数 x ，都有 f 4x f 2x 0 成立.求实数 的取值范围.
20．已知函数 f x (m 1)x2 mx m 1(m R) .
求得
a
2
，则
loga
7 11
loga
11 14
loga
( 7 11) 11 14
log2
1 2
1 ，故选：B
4．A【详解】因为∃x0∈
1 2
,
2
，使得
2x02
x0
1
0
成立是假命题，
所以∀x∈
1 2
,
2
，使得
2x2－λx＋1≥0
恒成立是真命题，即∀x∈
1 2
,
2
，
2x
1 x
恒成立
是真命题，当 x
D． 6, 7
二、多选题
9．若 0 c 1, a b 1 ，则（ ）
A． loga c logb c C． a logb c b loga c
福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题 含答案
2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷命题人: 审核人:高三备课组(满分:150分,时间:120分钟)一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.设集合A={y| y=4-x2},B={x| y=4-x2},则( ) A．A=B B. A⋂B=∅ C. A⊆B D. B⊆A2.复数z满足i⋅z=1-2i, z̅是z的共轭复数则z⋅z̅=( )A. 3B. 5C. 3D. 53.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-λb)⊥c,则λ=( )A.3B.2C.-2D.-34.已知f(x)=e-x+k e x(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是( )A B C D5. 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=2 3,则cos(α-β)=( )A.19B.459C.-19D.-4596. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为θ1︒C,空气温度为θ0︒C,那么t 分钟后物体的温度θ(单位︒C)可由公式：θ=θ0+(θ1-θ0)e -kt 求得,其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100︒C 的物体,放在20︒C 的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60︒C ，则再经过m 分钟后物体的温度变为40︒C(假设空气温度保持不变),则m = ( ) A.2 B.4 C.6 D.87.已知P 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点,F 1,F 2分别是C 的左,右焦点，O 是坐标原点, 若|OP →+OF 2→|=2|OF 1→|且∠F 1PF 2=60︒，则椭圆的离心率为 ( )A. 12B.32C. 3-12D. 338.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(13,23),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,13],[23,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；⋅⋅⋅；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。
2020-2021学年福建省莆田一中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省莆田一中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 设集合A ={2,x,x 2}，若1∈A ，则x 的值为( )A. −1B. ±1C. 1D. 02. 函数f(x)=√mx 2+mx +2的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. [0,8]B. [0,8)C. [8,+∞)D. (−∞,8)3. 函数y =x +2√1−x 的值域是( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)4. 已知函数f(x)={2x (x <4),f(x −1)(x ≥4)，那么f(5)的值为( )A. 32B. 16C. 8D. 645. 设a =30.1，b =lg5−lg2，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b6. 已知f(x)=|x|，g(x)=x 2，设ℎ(x)={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)，则函数ℎ(x)大致图象是( )A.B.C.D.7. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又f(−3)=1，则不等式f(x)<1的解集为( )A. {x|x >3或−3<x <0}B. {x|x <−3或0<x <3}C. {x|x <−3或x >3}D. {x|−3<x <0或0<x <3}8. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2，若对任意的x ∈[t,t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. [−√2,−1]∪[√2,√3]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(4,+∞)，则( )A. a >0B. 不等式bx +c >0的解集为{x|x <−4}C. a +b +c >0D. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x|x <−14或x >12}10. 水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有( )A. Ⅰ−(2)B. Ⅱ−(1)C. Ⅲ−(3)D. Ⅴ−(4)11. 给出下列四个结论，其中正确的结论是( )A. 函数y =(12)−x2+1的最大值为12B. 已知函数y =log a (2−ax)在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是(1,2)C. 已知定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021D. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x +5)是偶函数，则f(2000)+f(2010)+f(2020)=012. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数f(x)=e x1+e x−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )A. g(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x)在R 上是增函数D. g(x)的值域是{−1,0,1}三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题p：∀x≥0，x2−ax+3>0，则¬p为．14.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案：销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励方案模型为y= alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为万元．15.已知a>1，设函数f(x)=a x+x−3的零点为m，g(x)=log a x+x−3的零点为n，则mn的最大值为．16.若函数f(x)满足以下三个条件：①f(x)的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f(x)是偶函数；③f(x)恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f(x)=．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)计算3log32+2713+lg50+lg2；(2)已知2a=3，4b=6，求2b−a的值．18.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|x2−4ax+3a2<0}．(1)若a=1，求(∁R B)∩A；(2)若a>0，设命题p：x∈A，命题q：x∈B.已知p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.已知x>0，y>0，且1x +4y=1．(1)求x+y的最小值；(2)若xy>m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．20.习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”.为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系式为：P(t)=P0e−kt(e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45．(1)求函数P(t)的关系式；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几小时？(参考数据：lg2≈0.3)21.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数．(1)求k的值；(2)若函数ℎ(x)=4f(x)+12x+m×2x−1,x∈[0,log23]，是否存在实数m使得ℎ(x)最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=2x−2+a(a是常数)．2x+a(1)若a=1，求函数f(x)的值域；(2)设函数ℎ(x)=1，若对任意x1，x2，x3∈[0,1]，以ℎ(x1)，ℎ(x2)，ℎ(x3)为[f(x)−1]2边长总可以构成三角形，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题．利用1∈A 求出x ，将x 的值代入集合A ，进行检验，即得答案． 【解答】解：∵集合A ={2,x,x 2}，且1∈A ， ∴x =1或x 2=1， 即x =−1或x =1，当x =1时，x =x 2，不满足元素的互异性，故x =1舍去， 当x =−1时，A ={2,−1,1}，符合题意． 故选：A ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．根据题意可得出，不等式mx 2+mx +2≥0的解集为R ，从而可看出m =0时，满足题意，m ≠0时，可得出{m >0Δ=m 2−8m ≤0，解出m 的范围即可．【解答】解：∵函数f(x)的定义域为R ；∴不等式mx 2+mx +2≥0的解集为R ； ①m =0时，2≥0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则{m >0△=m 2−8m ≤0； 解得0<m ≤8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8]． 故选：A ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查利用换元法求函数的值域，考查二次函数值域的求法，是中档题． 令√1−x =t(t ≥0)，把原函数转化为关于t 的一元二次函数求解． 【解答】解：令√1−x =t(t ≥0)，则x =1−t 2，∴原函数化为y =−t 2+2t +1=−(t −1)2+2≤2， 当t =1，即x =0时取最大值．∴函数y =x +2√1−x 的值域是(−∞,2]． 故选：C ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题．根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求值即可． 【解答】解：∵f(x)={2x (x <4)f(x −1)(x ≥4)，∴f(5)=f(4)=f(3)=23=8故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了指数、对数的性质的应用，属于基础题． 利用指数、对数的性质即可比较得解． 【解答】解：由题意可得：a=30.1>30=1，b=lg5−lg2∈(0,1)，<0，c=log3910则a>b>c．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．先求出函数ℎ(x)的解析式，再根据f(x)，g(x)即可得到函数的图象．【解答】解：当f(x)≤g(x)时，即|x|≤x2时，解得x≤−1或x≥1或x=0，故图象为D．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．利用f(x)是偶函数，f(−3)=1，不等式转化为f(|x|)<f(3)，再利用函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵f(x)是偶函数，f(−3)=1，∴f(3)=1，∵f(x)<1，∴f(|x|)<f(3)，∵f(x)在(0,+∞)上减函数，∴|x|>3，∴x<−3或x>3，∴不等式f(x)<1的解集为{x|x<−3或x>3}，故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，利用单调性处理不等式恒成立问题．由题意可得2f(x)=f(√2x)，由题意可知f(x)为R上的增函数，故对任意的x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立可转化为x+t≥√2x对任意的x∈[t,t+2]恒成立，求解即可．【解答】解：当x≥0时，f(x)=x2，当x<0时，−x>0，f(−x)=x2=−f(x)，所以当x<0时，f(x)=−x2，所以f(x)在R上单调递增，对于x∈R,都有2f(x)=f(√2x)，∴f(x+t)≥2f(x)⇒f(x+t)≥f(√2x)，=(√2+1)t对任意的x∈[t,t+2]恒成立，即x+t≥√2x⇒x≤√2−1∴x max=t+2≤(√2+1)t⇒t≥√2，∴实数t的取值范围为[√2,+∞);故选：A．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于基础题．由题意利用二次函数的性质，可得a>0，且−2和4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系可判断b，c的符号和cb的值，再逐项判断即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−2)∪(4,+∞)，故a>0，且−2和4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴−ba =2，ca=−8，∴b<0，c<0，cb=4．∵ax2+bx+c<0的解集为(−2,4)，∴x=1时，a+b+c<0，不等式bx+c>0，即x<−cb，它的解集为{x|x<−4}．不等式cx2−bx+a<0，即x2−bc x+ac>0，即x2−14x−18>0，它的解集为{x|x<−14或x>12}，故选：ABD．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查函数的图象分析，关键是分析函数的增长变化趋势，属于基础题．根据题意，依次分析4个容器中水面上升速度的趋势，可得其对应的图象，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，在Ⅰ中，容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，与(2)对应，A正确；在Ⅱ中，容器下粗上细，水高度的上升速度越来越快，与(3)对应，B错误；在Ⅲ中，容器为球形，水高度上升速度为快−慢−快，与(1)对应，C错误；在Ⅳ中，容器上粗下细，水高度的上升速度越来越慢，与(4)对应，D正确；故选：AD．11.【答案】CD【解析】 【分析】本题主要考查函数的最值，函数的单调性，奇函数的性质，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．举出反例可说明选项A 错误，由函数的单调性得到关于a 的不等式组可得实数a 的取值范围，由奇函数的性质可得函数的零点个数，由题意首先确定函数的周期性，然后计算f(2000)+f(2010)+f(2020)的值即可． 【解答】解：对于A ，当x =1时，y =1，函数的最大值不是12，故A 错误； 对于B ，由a >0且a ≠1，可得函数y =2−ax 单调递减， 若要使函数y =log a (2−ax)在(0,1)上单调递减，则{a >12−a ⩾0，解得a ∈(1,2]，故B 错误；对于C ，由函数f(x)为R 上的奇函数，可得f(0)=0，又函数f(x)在(−∞,0)内有1010个零点，所以函数f(x)的零点个数为2021，故C 正确；对于D ，因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x +5)是偶函数， 所以f(x +5)=f(−x +5)=−f(x −5)，所以f(x +20)=−f(x +10)=f(x)，所以函数f(x)的周期为20， 所以f(2000)=−f(2010)即f(2000)+f(2010)=0， f(2020)=f(0+20×101)=f(0)=0，所以f(2000)+f(2010)+f(2020)=0，故D 正确． 故选：CD ．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数性质的判定及函数值域的求法． 由g(1)≠g(−1)判断A 错误；由奇函数的定义证明B 正确；把f(x)的解析式变形，由y=e x的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出f(x)的范围，进一步求得g(x)的值域判断D．【解答】解：∵g(1)=[f(1)]=[e1+e −12]=0，g(−1)=[f(−1)]=[1e1+1e−12]=[1e+1−12]=−1，∴g(1)≠g(−1)，则g(x)不是偶函数，故A错误；∵f(x)=e x1+e x −12的定义域为R，f(−x)+f(x)=e−x1+e−x−12+e x1+e x−12=1e x1+1e x+e x1+e x−1=11+e x +e x1+e x−1=0，∴f(x)为奇函数，故B正确；∵f(x)=e x1+e x −12=1+e x−11+e x−12=12−11+e x，又y=e x在R上单调递增，∴f(x)=12−11+e x在R上是增函数，故C正确；∵e x>0，∴1+e x>1，则0<11+e x <1，可得−12<12−11+e x<12，即−12<f(x)<12．∴g(x)=[f(x)]∈{−1,0}，故D错误．故选：BC．13.【答案】∃x≥0，x2−ax+3≤0【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称量词命题的否定是存在量词命题是解决本题的关键，属于基础题．根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称量词命题，则全称量词命题的否定是存在量词命题．即¬p ：∃x ≥0，x 2−ax +3≤0， 故答案为：∃x ≥0，x 2−ax +3≤0，14.【答案】1024【解析】 【分析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用待定系数法求函数解析式．把点(8,1)，(64,4)代入y =alog 4x +b ，得到关于a ，b 的方程组，求得a 与b 的值，可得函数解析式，取y =8，求解对数方程得x 值即可． 【解答】解：函数模型为y =alog 4x +b ，把点(8,1)，(64,4)代入， 可得{1=alog 48+b 4=alog 464+b ，解得a =2，b =−2．∴y =2log 4x −2，由2log 4x −2=8，得2log 4x =10，即log 2x =10，得x =210=1024． ∴某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1024万元． 故答案为：1024．15.【答案】94【解析】 【分析】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，基本不等式的应用，属于拔高题．由题意可得，函数y =a x 的图象和直线y =3−x 的交点的横坐标为m ，函数y =log a x 的图象和直线y =3−x 的交点的横坐标为n.再根据函数y =a x 和y =log a x 互为反函数，可得点(m,3−m)与点(n,3−n)关于直线y =x 对称，m+n 2=3−m+3−n2，可得m +n =3，再利用基本不等式求得mn 的最大值． 【解答】解：∵a >1，设函数f(x)=a x +x −3的零点为m ，g(x)=log a x +x −3的零点为n ， ∴函数y =a x 的图象和直线y =3−x 的交点的横坐标为m ， 函数y =log a x 的图象和直线3−x 的交点的横坐标为n ．再根据函数y =a x 和y =log a x 互为反函数，可得点(m,3−m)与点(n,3−n)关于直线y =x 对称， ∴m+n 2=3−m+3−n2，可得 m +n =3≥2√mn ，∴mn ≤94，当且仅当m =n =32时，等号成立，故mn 的最大值为94， 故答案为：94．16.【答案】(x 2−1)⋅|x|【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题． 由题意同时满足3个条件的函数可以为f(x)=(x 2−1)|x|． 【解答】解：由题意可得满足条件的函数f(x)=(x 2−1)|x|． 故答案为：(x 2−1)|x|．17.【答案】解：(1)原式=2+3+1+lg5+lg2=7；(2)由2a =3得a =log 23， 由4b =6得b =log 46=12log 26，所以2b −a =log 26−log 23=log 263=log 22=1．【解析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题． (1)根据有理指数幂和对数的运算性质运算可得； (2)将指数式化对数式后，再用对数的运算性质运算可得．18.【答案】解：(1)a =1时，B =(1,3)，则C R B =(−∞,1]∪[3,+∞) 所以(C R B)∩A =[3,4)． (2)a >0时，B =(a,3a)．因为p 是q 的必要不充分条件，则B ⫋A ，所以{a ≥23a ≤4且等号不同时成立，解得a 不存在，所以实数a 不存在．【解析】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合的应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力．(1)a =1时，B =(1,3)，可得∁R B ，再利用集合运算可得：(∁R B)∩A ．(2)a >0时，B =(a,3a).根据p 是q 的必要不充分条件，可得B ⫋A ，得到关于a 的不等式组，解得实数a 的取值范围．19.【答案】解：(1)因为x >0，y >0，1x +4y =1，所以x +y =(x +y)(1x +4y )=5+4x y+y x ≥5+2√4x y ⋅yx =9，当且仅当4xy =yx 且1x +4y =1，即x =3，y =6时取等号， 所以x +y 的最小值为9． (2)因为x >0，y >0， 所以1=1x +4y ≥2√1x ⋅4y =√xy，所以xy ≥16，当且仅当x =2，y =8等式成立， 因为xy >m 2+6m 恒成立， 所以16>m 2+6m ， 解得−8<m <2，所以m 的取值范围为(−8,2)．【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于拔高题． (1)x +y =(x +y)(1x +4y )=5+yx +4x y，利用基本不等式即可求得最小值．(2)利用基本不等式得到xy ≥16，可得16>m 2+6m ，求出m 的范围即可．20.【答案】解：(1)根据题设，得45P 0=P 0e −k ，∴e −k =45，所以函数P(t)=P 0(45)t ； (2)由P(t)=P 0(45)t ≤11000P 0，得(45)t ≤11000，两边取以10为底的对数，并整理，得t(1−3lg2)≥3， 解得t ≥30；因此，至少还需过滤30小时．【解析】本题考查了指数函数模型的应用问题，是中档题． (1)由题意代入点(1,45P 0)，求得函数P(t)的解析式；(2)根据函数P(t)的解析式，列不等式求出t 的取值范围即可．21.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=log 4(4x +1)+kx 是偶函数．∵f(−x)=f(x)，即log 4(4−x +1)−kx =log 4(4x +1)+kx 对于任意x ∈R 恒成立， ∴2kx =log 4(4−x +1)−log 4(4x +1)=log 44−x +14x +1，∴2kx =−x ， ∴k =−12．(2)由题意，ℎ(x)=4x +m ×2x ，x ∈[0,log 23]，令t =2x ∈[1,3]，φ(t)=t 2+mt ，t ∈[1,3]，开口向上，对称轴t =−m2， 当−m2≤1，即m ≥−2时，φ(t)min =φ(1)=1+m =0，解得：m =−1；当1<−m2<3，即−6<m <−2时，φ(t)min =φ(−m 2)=−m24=0,m =0(舍去)；当−m2⩾3，即m ⩽−6时，φ(t)min =φ(3)=9+3m =0，∴m =−3(舍去) ∴存在m =−1使得ℎ(x)最小值为0．【解析】本题考查了对数的基本运算和二次函数的最值的讨论求解参数问题．属于中档题．(1)根据函数是偶函数，即f(−x)=f(x)，可得k 的值．(2)求解出ℎ(x)，转化为二次函数，利用对称轴讨论其最小值，可得结论．22.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=2x −12x +1，即y =2x −12x +1，整理可得2x =−y−1y−1，因2x >0，则−y−1y−1>0，即(y +1)(y −1)<0，解得−1<y <1，故函数f(x)的值域为(−1,1)．(2)由题意得，2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，ℎ(x)=1[f(x)−1]2=14(2x +a)2， 令t =2x ，t ∈[1,2]，则y =14(t +a)2，t ∈[1,2]，其对称轴为t =−a ， ①当−a ≥2，即a ≤−2时，此时y =14(t +a)2在[1,2]单调递减， 所以2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，即2⋅14(a +2)2>14(a +1)2， 解得a <−3−√2或a >−3+√2， 此时a <−3−√2；②当32≤−a <2，即−2<a ≤−32时，此时y =14(t +a)2在[1,−a)上单调递减，在(−a,2]上单调递增，所以2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，即2⋅0>14(a +1)2，无解；③当1<−a <32，即−32<a <−1时，此时y =14(t +a)2在[1,−a)上单调递减，在(−a,2]上单调递增，所以2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，即2⋅0>14(a +2)2，无解；④当−a ≤1，即a ≥−1时，此时y =14(t +a)2在[1,2]单调递增，所以2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，即2⋅14(a +1)2>14(a +2)2，解得a <−√2或a >√2， 此时a >√2；综上所述，此时实数a 的取值范围为(−∞,−3−√2)∪(√2,+∞)．【解析】本题综合考查了函数值域的求法，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力． (1)把a =1代入后反解可得2x =−y−1y−1>0，解分式不等式即可求解；(2)由题意可得，2ℎ(x)min >ℎ(x)max ，结合，ℎ(x)=1[f(x)−1]2=14(2x +a)2，利用换元法t =2x ，t ∈[1,2]，则可转化为y =(t+a)24，t ∈[1,2]，结合二次函数的性质可求．。
2020-2021高一数学上期中试题附答案
2020-2021高一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z5．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20196．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 7．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．69．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7810．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．212．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.14．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 16．函数的定义域为______________．17．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 18．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____19．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.20．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.22．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.23．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．24．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．25．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）． 26．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．6．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.7．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.8．C解析：C【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．12．B解析：B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 14．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．15．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1c osx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.18．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：13【解析】 【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax by +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果. 【详解】Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上，把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13.【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.19．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：320．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()())()()2222f x f x ln1x 1ln1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增， 所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩；当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立； 当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立. 【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.22．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【解析】 【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可. 【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =. 当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.23．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性； （2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930xxx x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围． 【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f = 令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q210x x ∴->()210f x x ∴-> ()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930xxxxf k f ⋅+-+>Q()()32793xxxxf k f ∴⋅>--+()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+- 931x x k ∴>-+-令931xxy =-+-，下面求该函数的最大值 令()30xt t =>则()210y t t t =-+->当12t =时，y 有最大值，最大值为34-34k ∴>-∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键． 24．（1）；（2）.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可．【详解】函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.25．（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．试题解析：（1）令，得，∴定义域关于原点对称，得，∴∴是奇函数，即又由已知得：由函数是增函数，不等式转化为∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．26．（1）9512；（2）3.【解析】【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。
福建高一高中数学期中考试带答案解析
福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C2.将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．－C．D．－3.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－4.已知平面向量=（2m+1,3）， =（2,m），且和共线，则实数m的值等于A．2或－B．C．－2或D．－5.下列各式不能化为的是（）A．B．C．D．6.要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知平面上三点A、B、C满足则+的值等于（）A．—25 B．—20 C ．25 D．—108.已知且与互相垂直，则实数的值等于（）A．B．C．D．9.已知向量且∥，则= （）A．B．C．D．10.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.=则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知平行四边形的对角线交于，且则的坐标为．2.已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则其解析式为．3.函数的最小值是．4.下列命题中：（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；（2）如果、均为非零向量，则与一定相等；（3）时，向量 , 共线且方向相同；（4）则其中假命题是．三、解答题1.（12分）已知,求的值2.已知角终边上一点P（－4，3），求的值3.已知，，且与夹角为120°求：⑴；⑵；⑶与的夹角。
4.（本大题满分12分）已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？5.已知的最大值是，最小值是，求函数的周期、最大值及取得最大值时的值的集合．6.已知=，=，=，设是直线上一点，是坐标原点，（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中的点，求的余弦值。