微积分B2知识点

微积分B2复习要点

一 题型

1.填空题( 3×7=21分)；

2.单项选择题(3×6=18分)；

3.计算题(51分)；

4.解答题(10分)

二 知识点

第七章 向量代数与空间解析几何

空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)

例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，

空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。

例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。

第八章 多元函数微分学

1.二元函数的定义域；

例1 求函数z =的定义域D .

解 要使z =

有意义, 应有22440x y --?,

即2

2

14y x +

?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪

例2 求ln()z x y =-的定义域D .

解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3

求函数z =

的定义域D 。

解

要使z =, 应有

22224010

x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}

22(,)14D x y x y =<+?

2.二元函数的极限的计算；

定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当

δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。

记作 A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00 或 A y x f =→),(lim 0

ρ

例 求

2

222001

y

x y x y x ++→sin

)(lim )

,(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，11

2

2≤+y

x sin

由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以

2

222001

y

x y x y x ++→sin

)(lim )

,(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；

概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y

∂∂=

+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．

解 因为

2223,25z z

xy x y x y

∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．

（3）多元复合函数的偏导数的计算；

概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数

((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且

z z u z v x u x v x

z z u z v y u y v y

∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨

∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩

例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求

,z z

x y

∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z v

u y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得

223sin 22cos z

x y y x y

∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；

例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求

,.z z x y

∂∂∂∂ （5）抽象函数求导

例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数x

z

∂∂和y z ∂∂。

解 令,y u xy v x ==，则(,)y z f xy x =变为(,)z f u v =，,y

u xy v x

==复合而成的复合函数。

2()z f u f v f f y

y x u x v x u v x

∂∂∂∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂∂∂∂ 1z f u f v f f x y u y v y u v x

∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 练习：设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有一阶连续偏导数，求

,z z

x y

∂∂∂∂ 6.可微、偏导、连续的关系;

7.多元函数极值的计算。

概念：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于

0P 的点(),P x y ,有00(,)(,)f x y f x y <(或00(,)(,)f x y f x y >),则称00(,)f x y 为函

数(,)f x y 的一个极大值(或极小值).

例；求函数22442y xy x y x z ---+=的极值。

解：解3342204220x y

z x x y z y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y =±。

而22

122,2,122xx

xy yy z x z z y =-=-=- 对(,)(1,1)x y =±，22

12210,2,12210xx

xy yy z x z z y =-==-=-=， 知 (,)(1,1)x y =±为极小值点。且极小值为-2。

第九章 二重积分

1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；

例（1）()⎰⎰+D

d y x σ6，其中D 由1,2,===x x y x y 所围成