微积分B2知识点

微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。

例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。

第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。

解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。

记作 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数xz∂∂和y z ∂∂。

解 令,y u xy v x ==，则(,)y z f xy x =变为(,)z f u v =，,yu xy v x==复合而成的复合函数。

2()z f u f v f f yy x u x v x u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂∂∂∂ 1z f u f v f f x y u y v y u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 练习：设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂ 6.可微、偏导、连续的关系;7.多元函数极值的计算。

概念：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于0P 的点(),P x y ,有00(,)(,)f x y f x y <(或00(,)(,)f x y f x y >),则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的一个极大值(或极小值).例；求函数22442y xy x y x z ---+=的极值。

解：解3342204220x yz x x y z y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y =±。

而22122,2,122xxxy yy z x z z y =-=-=- 对(,)(1,1)x y =±，2212210,2,12210xxxy yy z x z z y =-==-=-=， 知 (,)(1,1)x y =±为极小值点。

且极小值为-2。

第九章 二重积分1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1）()⎰⎰+Dd y x σ6，其中D 由1,2,===x x y x y 所围成（2）求⎰⎰DD xyd ,σ是由直线3+-=x y 与曲线1212-=x y 所围成 （3）计算⎰⎰=Dy x xy I d d ，其中D 由曲线2y x =及y x 562-=所围成．解 画出积分区域D积分区域D 2:y D ≤x ≤y 56-，2-≤y ≤1， 所以y y y y x xy y I y y d )56(21d d 12456122⎰⎰⎰-----==427613532121632-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-y y y ． （4）()4:2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ(5) 41:)(22522≤+≤+⎰⎰y x D d y x Dσ2. 交换积分次序；例 交换二重积分⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01的积分次序。

解：由二次积分的上、下限知积分D 的图形是0=y 与x y ln =在],[e 1之间的部分，则 :D x y e x ln ,≤≤≤≤01若先对y 后对x 积分，此时积分区域可表示为:D e x e y y ≤≤≤≤,10因此，我们可以交换积分次序⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01=⎰⎰eey dx y xf dy ),(10例（1）⎰⎰-4122),(ydx y x f dyy(2) ⎰⎰x dy y x f dx 010),(+⎰⎰-xdy y x f dx 2021),(3.二重积分的性质与应用。

例 设D 由xy x y y 1,0,2==-=所围成，求平面图形D 的面积。

第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程()()x Q y x P dydx=+ (1) 称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y 及其导数dydx是一次方程)当()0≡x θ时，方程(1)为齐次的，当()Q x 不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．()0=+y x P dydx(2) 称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦. 例 求方程()25112+++=x x y dx dy 的通解分析 (常数变易法)这是()()()251.11+=+-=x x Q x x P 的一阶非齐次线性方程．它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解．y x dx dy 12+=,dx x y dy 12+=, c x y ln 1ln 2ln ++=,()21+=x C y ,用常数变易法，把c 换成u ，即令()21+=x u y,()()1212'+++=x u x u dxdy , 代入所给非齐次方程，有()121u x '=+,()()C x dx x u ++=+=⎰23211321,于是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 2321321,解法二 (公式法)直接由()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦给出，其中 ()()⎰⎰+=+-=21ln 12x dx x dx x p 2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。

二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++=中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。

解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20r pr q ++=，并求解出特征根12,r r （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,C C（4）将12,C C 代入到通解里去，得到题目要求的特解。

例题：求微分方程230y y y ''--=‘满足初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==的特解。

解： 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x xy C e C e -=+ （1）从而312'3x x y C e C e -=-+ （2） 将初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==代入（1）、（2） 得：120C C =+，1243C C =-+ 从而121,1C C =-=所以，原微分方程的特解为3x x y e e -=-+例题：求方程2220d s dss dt dt++=满足初始条件：2..400-=='==s s t t 的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122=++r r 即0)1(2=+r2121,.1r r r r Θ-==∴为重根．t e t c c s -+=∴)(21(1)再对(1)的两边关于t 求导:t t t e t c c c e t c c e c dtds-----=-++=)()1)((212212(2) 把40==s t 代入(1)的41=c 把⎪⎩⎪⎨⎧=-==4210c s t 代入(2)得，22=ct e t s -+=∴)24(为所求．例题： 求微分方程：052=+'-''y y y 通解． 解 所给方程的特征方程为：i r r r 2122042,0522,12±=-±==+-为一对共轭复根．).2sin 2cos (21x c x c e y x +=∴(这里2,1==βα) 3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算 类型1：),(y x f y '='' 令 ,p y =' 则 p y '=''，于是可将其化成一阶微分方程。