第5篇傅里叶递推算法

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傅里叶变换推导

2.3 快速傅立叶变换问题1) 问题背景在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。

如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。

因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。

那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：(1)则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。

公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT。

现在我们来分析一下计算DFT所需要的工作量。

如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N次复数乘法和N-1次的复数加法。

显然当N很大时，这个工作量也非常巨大。

正是由于这个原因，使得DFT的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。

注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT的计算时间？1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT的数学方法，大大减少了DFT的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT。

鉴于DFT的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。

下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT结构的来源和FFT的工作原理。

2）傅立叶变换如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出：（2）若对任意参数f，上述积分都存在，则（2）式确定了一个函数X(f)，称为x(t) 的傅立叶变换。

如果已知X(f) 则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x(t) ：（3）若x(t) 和 X(f) 同时满足（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换对，记为。

傅里叶变换推导详解

傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。

f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。

同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。

离散傅里叶级数递推

离散傅里叶级数递推
离散傅里叶级数可以通过递推的方式计算，具体步骤如下：
1. 首先，给定一个离散信号序列x(n)，其中n表示时间点。

2. 计算信号序列的长度N。

3. 初始化离散傅里叶级数系数的数组X(k)。

4. 对于每个频率k，计算离散傅里叶级数系数X(k)。

即使用以下公式计算：
X(k) = sum(x(n) * exp(-2*pi*i*n*k/N))
其中，sum表示对所有的n求和，exp表示求幂，i表示虚数单位。

5. 重复步骤4，直到计算完所有的频率k。

6. 返回离散傅里叶级数系数数组X(k)作为结果。

这样，就完成了离散傅里叶级数的递推计算。

请注意，计算过程中使用的指数函数exp(-2*pi*i*n*k/N)可以通过欧拉公式展开为cos(2*pi*n*k/N) - i*sin(2*pi*n*k/N)。

傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数，由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。

假设可以，不失一般性，于是得到：2、将后面的正弦函数展开：于是得到：那么如何计算a n,b n,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。

上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。

这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。

下面的处理手段凸显了大师的风范：如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。

那么如何求出a n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

利用三角函数的正交性，可以得到：再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到b n,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A 0/2而不是直接的A 0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。

通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。

到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet 的家伙证明出如下结论：有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。

也就是说如何让一个以2l 为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z 就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。

傅里叶级数公式推导

傅里叶级数公式推导
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，其基本思想是将周期函数表示为具有不同频率的正弦和余弦函数的无穷级数。

以下是傅里叶级数公式的推导过程：
设f(x)是一个周期为T的周期函数，即f(x+T)=f(x)。

第一步，将f(x)在一个周期内进行离散化，即f(x)=∑n=−NNf(xn)δ(x−xn)，其中xn=nT/N，δ(x)是狄拉克δ函数。

第二步，利用三角恒等式sin2(θ)+cos2(θ)=1，将δ(x−xn)展开为正弦和余弦函数的无穷级数。

具体地，δ(x−xn)=2π1[cos(T2π(x−xn))+i sin(T2π(x−xn))]。

第三步，将第二步中的δ(x−xn)代入第一步中的f(x)，得到f(x)=2π1∑n=−NN f(xn)[cos(T2π(x−xn))+i sin(T2π(x−xn))]。

第四步，将第三步中的f(x)表示为傅里叶级数的形式。

由于f(x)是周期函数，因此可以将f(x)表示为无穷级数∑k=−∞∞ak cos(T2πkx)+bk sin(T2πkx)，其
中ak和bk是傅里叶系数。

综上，傅里叶级数公式可以表示为：f(x)=∑k=−∞∞ak cos(T2πkx)+bk sin(T2πk x)，其中ak和bk是傅里叶系数。

常见傅里叶公式展开式

常见傅里叶公式展开式傅里叶级数是一种用三角函数序列表示周期函数的方法。

其中，常见的傅里叶公式展开式有以下几种：正弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的正弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。

余弦函数展开式对于周期为T的函数f(t)，它的余弦函数展开式如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi nt}{T}) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0、an和bn分别是函数f(t)展开式中的系数。

奇函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个奇函数，即满足f(-t) = -f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为正弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T})其中，bn是奇函数f(t)展开式中的系数。

偶函数的傅里叶级数展开式如果函数f(t)是一个偶函数，即满足f(-t) = f(t)，那么它的傅里叶级数展开式简化为余弦函数的展开式，如下所示：f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{2\pi n t}{T})其中，a0和an是偶函数f(t)展开式中的系数。

通过使用傅里叶公式展开式，我们可以将一个周期函数表示为一系列三角函数的线性组合，从而简化对周期函数的分析和计算。

请注意，以上展开式中的系数a0、an和bn需要根据具体函数的性质进行计算，并且展开式的收敛性需要进一步分析。

傅立叶变换的推导

f0t)
1 2
(e
j 2
f0t
e
j 2
f0t )
F( f
)
1 2
[
(
f
f0) ( f
f0)]
8，矩形窗函数文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
f (t) GT (t)
A 0
T 2
t
T 2
other
F(
f
)
f
(t)e j2
ftdt
T
2
T 2
Ae j2
ftdt
A
j2
f
(e
j 2
f
T 2
1 T
T
2
T 2
f (t)e jn1tdt
T
两边同乘T，得：T F
(n1)
2
T 2
f (t)e jn1tdt ，其中
T
2
当 T
时，1
2
T
0
n1
∴
2 1
F (n1)
f (t)e jtdt
令 F()
2 1
F(n，1) 则
F (
)
f
(t)e jtdt
f
(t)
n
F (n1) 1
e
j
n1t 1
6，傅里叶变换旳推导文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
a0 an (e jn1t e jn1t ) bn (e jn1t e jn1t )
2 n1 2
2j
a0 2
(
an
n1
jbn )e jn1t 2
( an
jbn 2
)e jn1t
令 F(n1)

傅里叶公式及系数公式

傅里叶公式及系数公式傅里叶公式和系数公式，这俩家伙在数学和物理学的世界里可算是大名鼎鼎啦！咱先来说说傅里叶公式。

这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能把复杂的波形或者信号拆解成一个个简单的正弦和余弦波。

你想想，原本看起来乱糟糟、毫无头绪的东西，经过傅里叶公式这么一处理，瞬间变得清晰明了，是不是很神奇？我记得有一次，我在给学生们讲解傅里叶公式的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这傅里叶公式到底有啥用啊？难道就是为了把简单的问题变复杂？”我笑着回答他：“孩子，这可大有用处！比如说，我们手机能接收到清晰的声音和图像，这背后就有傅里叶公式的功劳呢。

”那傅里叶系数公式呢，它就是用来确定这些正弦和余弦波的具体参数的。

就好比你要盖一座房子，傅里叶公式告诉你要用哪些材料（正弦和余弦波），而傅里叶系数公式则告诉你每种材料要用多少。

给你们举个例子啊。

假如我们有一个周期性的电压信号，它的变化规律很复杂。

但通过傅里叶公式和系数公式，我们就能把它分解成不同频率和振幅的正弦波。

这就像是把一团乱麻一根根地捋清楚。

在实际应用中，傅里叶公式和系数公式在通信领域那可是立下了汗马功劳。

比如说，在数字信号处理中，我们要对音频、视频等信号进行压缩和传输，就得依靠它们来分析信号的特征，去除一些不必要的信息，从而节省带宽和存储空间。

还有在图像处理方面，比如说我们对一张模糊的照片进行清晰化处理，或者对有噪声的图像进行降噪，也离不开这两个公式的帮忙。

对于学习物理的同学来说，傅里叶公式和系数公式在研究波动现象、热传导等问题时也是必不可少的工具。

比如说，当我们研究声波在不同介质中的传播时，就可以用它们来分析声波的频谱特性。

总之，傅里叶公式和系数公式虽然看起来有点复杂，让人头疼，但一旦你掌握了它们，就像是拥有了超级武器，可以在数学和物理的世界里披荆斩棘，解决很多看似无解的难题。

所以啊，同学们，别害怕这两个公式，多去琢磨琢磨，多做几道练习题，相信你们一定能把它们拿下！。

傅立叶定律PPT课件

1）按照时间坐标分类
稳态温度场（定常温度场）
（Steady-state conduction）
是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：
t f ( x, y, z )
非稳态温度场（非定常温度场）（Transient conduction）是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式：
怎么得到？
• 可得到
t q gradt n n
2.2 导热问题的数学描写
2.2.1 导热微分方程的推导 1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式
假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3)体内具有均匀分布内热源；强度 [W/m3]; ：单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项扩散项源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
3、微元体在d时间内焓的增加量
t c dxdydzd
d v＝
t t t [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd qv dxdydzd x x y y z z t c dxdydzd
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等，与物质几何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特性。

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式原理及公式非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。

但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。

因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。

有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。

当N较大时，这个计算量是很大的。

利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。

对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。

图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。

由图可以明显看出FFT算法的优越性。

将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。

由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。

依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。

图3为8点FFT的分解流程。

FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。

FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。

关于FFT精度的说明：因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。

为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。

快速傅立叶变换算法

快速傅立叶变换算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种高效的计算傅立叶变换的算法。

它是一种分治算法，通过将一个复杂度为O(n^2)的问题分解为两个复杂度为O(n/2)的子问题来降低算法的时间复杂度。

FFT在信号处理、图像处理、数字滤波等领域有广泛的应用。

傅立叶变换是一种将一个函数表示为一组基函数的线性组合的方法。

对于一个连续函数f(x)，其傅立叶变换F(k)定义如下：F(k) = ∫ f(x) * e^(-2πikx) dx其中，k为频率，e为自然对数的底。

对于离散的情况，我们可以将傅立叶变换表示为以下形式：F(k) = Σ f(n) * e^(-2πikn/N)其中，f(n)为输入序列，N为序列的长度。

离散傅立叶变换的计算复杂度为O(n^2)。

FFT通过利用傅立叶变换的对称性质以及一个重要的结论，蝴蝶运算，将O(n^2)的计算复杂度降低为O(nlogn)。

蝴蝶运算是指对序列进行分组，并对每个分组进行计算的过程。

具体而言，FFT的算法流程如下：1.输入序列f(n)（长度为N）。

2.如果N=1，返回f(1)。

3.将f(n)分成两个子序列，偶数项序列和奇数项序列。

4.分别对偶数项序列和奇数项序列进行FFT计算，得到两个子序列的FFT结果。

5.根据蝴蝶运算的原理，将两个子序列的FFT结果合并为整个序列的FFT结果。

具体的蝴蝶运算过程如下：1.输入两个长度为N/2的子序列A和B。

2.计算A和B的FFT结果，得到长度为N/2的序列A'和B'。

3.根据公式：F(k) = A'(k) + e^(-2πik/N) * B'(k)F(k+N/2) = A'(k) - e^(-2πik/N) * B'(k)计算整个序列的FFT结果F(k)和F(k+N/2)。

通过不断递归地进行上述过程，最终可以得到整个序列的FFT结果。

FFT算法的关键在于蝴蝶运算的实现。

傅里叶级数的推导

傅里叶级数的推导傅里叶级数的推导2016年12月14日09:27:47傅里叶级数的数学推导首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。

但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。

一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。

如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。

单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：１、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。

然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。

傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。

于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）这里，t是变量，其他都是常数。

傅里叶展开的公式

傅里叶展开的公式傅里叶展开的公式，这可是个在数学和物理学领域相当重要的家伙！咱先来说说啥是傅里叶展开。

简单来讲，它就像是把一个复杂的函数拆解成一堆简单的三角函数的组合。

这可太神奇了，就好比你有一堆乱七八糟的拼图，傅里叶展开能帮你把它们整理得井井有条。

那傅里叶展开的公式到底长啥样呢？它一般可以写成这样：f(x) =a₀/2 + ∑(aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx)) 。

这里的 a₀、aₙ 和 bₙ 都是通过特定的积分计算出来的。

就拿声音来举例吧。

咱平时听到的声音，其实都是各种不同频率和振幅的声波叠加在一起的。

而傅里叶展开就能把这个复杂的声音信号分解成不同频率的正弦波和余弦波。

比如说，你在听一首好听的歌，感觉旋律特别动人，其实这背后就可能有傅里叶展开在发挥作用。

音乐制作人可以通过对声音进行傅里叶分析，然后调整不同频率的成分，让音乐变得更完美。

还记得有一次，我在课堂上给学生们讲傅里叶展开。

有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起身边的一个音箱，对他说：“你看，这个音箱能发出好听的声音，就是因为里面的电路对声音进行了处理，而这处理的原理就跟傅里叶展开有关系。

”那孩子似懂非懂地点了点头，不过从他那专注的眼神里，我能感觉到他开始对这个神奇的公式产生兴趣了。

在物理学中，傅里叶展开也大有用处。

比如研究热传导问题，通过傅里叶展开，可以把复杂的温度分布函数分解成简单的形式，从而更方便地求解方程。

在通信领域，傅里叶变换能帮助我们更好地传输和处理信号。

总之，傅里叶展开的公式虽然看起来有点复杂，但它的应用真的是无处不在。

它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多科学和技术领域的大门。

只要我们用心去理解它，就能发现它带给我们的惊喜和便利。

希望大家在学习傅里叶展开公式的时候，不要被它的外表吓到，多去思考它背后的意义和应用，相信你一定会有所收获的！。

傅里叶变换相关公式

傅⾥叶变换相关公式在学习⾼数的时候，就接触了傅⾥叶变换。

也就记得是将⼀些周期函数表⽰成⼀系列三⾓函数的叠加，不是很理解这个变换的具体意义，就是觉的挺神奇的，可以求⼀些特殊的积分什么之类的。

到了学习信号与系统的时候，离散序列也可以傅⾥叶变换，还有⼀个叫离散傅⾥叶变换，那时学得很草，考完试之后都混在⼀起，不知道谁是谁了。

关于什么是傅⾥叶变化，⽹上有很多⼤佬写的很好。

这⾥我也不打算科普（毕竟墨⽔不多，想吐也吐不出来），主要⽬的还是⽅便⾃⼰⽇后复习，省去翻书查看公式。

粗略地介绍下，傅⾥叶转化具体可以包含3个⼤类：1. CTFS和CTFT 连续（C）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）2. DTFS和DTFT 离散（D）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）3. DFS和DFT 离散（D）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）这些英⽂缩写值得记忆的，也能够帮助我们好好理解。

⽬录连续时间傅⾥叶系数/变换周期的连续信号的CTFS对象：连续的周期信号\(f(t)\)，同时得满⾜Dirichlet条件表达公式：三⾓形式（⾼数学的）\[\begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_n \cos{k\Omega t}+b_n\sin{k\Omega t})\\ a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\ a_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos{n\Omega t}dt\\ b_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{n\Omega t}}dt\\ \end{aligned} \]复指数形式（更加通⽤形式）\[\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ F_n &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ \end{aligned} \]两种形式可以相互转化，当\(n > 0\)的时候，\(F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\)；当\(-n < 0\)时，\(F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)\)。

傅里叶变换算法详细介绍.

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。

感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。

/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

傅里叶级数例题解答过程

傅里叶级数例题解答过程傅里叶级数是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。

为了更好地解答你的问题，我将从以下几个角度来回答，傅里叶级数的定义、计算公式、求解步骤和一个具体的例题解答过程。

1. 傅里叶级数的定义：傅里叶级数是一种将周期函数分解为一组基本正弦和余弦函数的方法。

它是基于傅里叶变换的理论基础，用于将一个周期函数表示为无穷级数的形式。

2. 傅里叶级数的计算公式：对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数可以表示为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(ancos(nωt) + bnsin(nωt))。

其中，a0、an和bn是系数，ω是角频率，n是正整数。

3. 求解步骤：a. 确定周期函数f(t)的周期T。

b. 计算常数项a0：a0 = (1/T) ∫[0,T] f(t) dt.c. 计算余弦系数an：an = (2/T) ∫[0,T] f(t) cos(nωt) dt.d. 计算正弦系数bn：bn = (2/T) ∫[0,T] f(t) sin(nωt) dt.e. 将计算得到的系数代入傅里叶级数公式，得到f(t)的傅里叶级数展开式。

4. 例题解答过程：假设我们要求解周期为2π的函数f(t) = t，即f(t)的周期T=2π。

a. 计算常数项a0：a0 = (1/2π) ∫[0,2π] t dt.= (1/2π) [t^2/2] [0,2π]= (1/2π) [(2π)^2/2 0^2/2]= (1/2π) π^2。

= π/2。

b. 计算余弦系数an：an = (1/π) ∫[0,2π] t cos(nωt) dt.= (1/π) [t (sin(nωt)/(nω) ∫sin(nωt)/(nω) dt)] [0,2π]= (1/π) [t (sin(nωt)/(nω) +cos(nωt)/(n^2ω^2))] [0,2π]= (1/π) [(2π (sin(nπ) sin(0)))/(nω) +(cos(n2π) cos(0))/(n^2ω^2)]= (1/π) [(2π 0 0)/(nω) + (1 1)/(n^2ω^2)]= 0。

傅里叶算法

傅里叶算法傅里叶算法是一种概括了现代数学从罗马以来发展过程中积累下来的一系列概念和思想的统称，这种算法仅仅在20世纪才被人们重视起来，它植根于数学及物理学的相关理论，以及在20世纪50年代以来发展起来的计算机科学。

在20世纪中期，傅立叶算法逐渐得到重视，被作为研究和应用于科学、工程和社会领域的重要工具和工具之一。

傅里叶法的本质是数学的抽象方法，它涵盖了无限维的空间的概念、复变函数的分析、调和分析、积分计算等，还有其他各种有趣的数学技巧。

其分析和解决问题的途径是将某一实际问题的模型表示成所谓的波函数，然后运用傅里叶法对该模型进行有效的数值计算。

傅里叶法在科学研究中有着多重用途。

例如，在物理学中，这种法则可用来分析和求解时间变量系统的特性；在化学领域，它可用来估计化学反应种类的分布特征；在工程领域，它可用于预测系统的变化趋势和模拟系统的运行状态；在社会学研究中，它可用来预测社会变迁趋势和模拟发展过程。

此外，傅里叶算法还可以用于优化和改进各种工程机械系统的性能，并为从事结构调整、流体计算、声学分析、多体动力学等众多工程学科提供有益的信息。

例如，在汽车引擎设计方面，傅里叶算法可以用来计算和估计进排气系统的性能；在飞机设计中，它可以用来计算各个零件的位置和性能；在电子产品设计中，它可以用来测量和估计各种电气电子外形参数。

另外，傅里叶算法在计算机科学中也有广泛的应用，它可以用来改善和优化算法运行速度，它也可用来进行多维数据的分析、模拟和推断，以及复杂系统模型的建立和应用。

在计算机图形学领域，傅里叶算法可以用来进行图像编码和调整，以及提取和减少图像中噪声等；在计算机语音识别的领域，它可以用来检测和识别声音特征等；在计算机视觉领域，它可以用来处理和识别图像信息等。

总之，傅立叶算法是一种强大而有效的算法，在现代科技发展中扮演着重要的角色。

它既可以用于科学研究，也可以用于工程应用，还有计算机科学领域的实践应用。

它的优点在于，能够有效处理复杂的实际问题，而且还能获得更准确、精确的计算结果。

傅立叶推导的傅里叶公式

傅立叶推导的傅里叶公式
傅里叶公式是一种数学公式，描述了一个函数在频域上的表示方式。

它由法国数学家傅立叶在19世纪首次推导出来。

傅里叶公式的推导基于傅立叶级数展开和复数的欧拉公式。

傅里叶公式可以用如下形式表示：
F(k) = ∫ f(x) * exp(-2πikx) dx
其中，F(k)表示在频域中的函数，f(x)表示在时域中的函数，k是频率，x是时间。

公式中的积分范围可以是从负无穷到正无穷。

简单来说，傅里叶公式将一个函数在时域中的表示转换为了频域中的表示。

即通过傅里叶变换，我们可以将一个函数表示为一系列频率成分的叠加，每个频率成分都有相应的幅度和相位。

这对于信号处理和频谱分析非常有用。

傅里叶公式的推导过程涉及数学分析、积分技巧和复数运算等内容，比较复杂且涉及较多的数学知识。

热传导方程傅里叶解

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与空间变量 (x,y,z) 的函数。

/是空间中一点的温度对时间的变化率。

,与温度对三个空间座标轴的二次导数。

k决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。

如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。

一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。

因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。

扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。

先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。

方程如下：其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。