高考数学：古典概型

课时规范练
A组基础对点练
1．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()
A.1
9 B.
1
6
C.1
18 D.
1
12
解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有
36种，所以所求概率P＝6
36
＝1
6
，故选B.
答案：B
2．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x －y＝1上的概率为()
A.1
12 B.
1
9
C.5
36 D.
1
6
解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，
而以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3
种，故所求概率为3
36＝1 12.
答案：A
3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()
A.2
3 B.
2
5
C.3
5 D.
9
10
解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10
种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝9
10.
答案：D
4．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()
A.1
2 B.
1
3
C.1
4 D.
1
6
解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故
所求概率是2
6＝1 3.
答案：B
5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()
A.1
5 B.
2
5
C.3
5 D.
4
5
解析：取两个点的所有情况有10种，两个点的距离小于正方形边长的情况有
4种，所以所求概率为4
10
＝2
5.
答案：B
6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．解析：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其
中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为4
10＝2 5.
答案：2 5
7．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.
解析：依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是
7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝3
10
＝0.3.
答案：0.3
8．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解析：(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a⊥b的
概率为2
36＝1 18.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，
其概率为6
36＝1 6.
9．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1
8
＝
4.7，
故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均
值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝10
15＝2 3.
B组能力提升练
10．(2019·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为()
A.3
4 B.
7
10
C.4
5 D.
3
5
解析：设2个红球分别为a、b,3个白球分别为A、B、C，从中随机抽取2
个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事
件有6个，则所求概率为P＝6
10＝3 5.
答案：D
11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()
A.3
4 B.
5
8
C.1
2 D.
1
4
解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合
题意的取法有2种，故所求概率P＝1
2.
答案：C
12．(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝1
3x
3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中
任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()
A.7
9 B.
1
3
C.5
9 D.
2
3
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的
取值．满足a2>b2的共有6个，P＝6
9＝2 3.
答案：D
13．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．
解析：圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝
|2a|
a2＋b2
，当d<2时，直线与
圆相交，则有d＝|2a|
a2＋b2
<2，得b>a，满足b>a的共有15种情况，因此
直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为15
36＝5 12.
答案：5 12
14．(2019·长沙长郡中学检测)在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________．
解析：所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所
求概率是60
90＝2 3.
答案：2 3
15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现
从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事
件A发生的概率．
解析：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，
{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，
A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，
A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝9
15＝3 5.。