中国余数定理

中国余数定理公式

中国余数定理公式中国余数定理，也称为孙子定理，是一种基于模运算的经典数学定理。

它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。

这个定理在代数学、计算机科学、密码学等领域都有广泛的应用。

中国余数定理的原理假设给定两个正整数m1和m2，他们互质，对于任意两个整数a1、a2，下面的同余方程：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)都有一个解x在模m1m2下唯一确定。

特别的，当给定n个正整数m1、m2、...、mn，它们两两互质时，对于任意n个整数a1、a2、...、an，下面的同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)都有一个解x在模M=m1m2...mn下唯一确定。

中国余数定理的应用场景1. 线性同余方程组的求解中国余数定理可以将多个线性同余方程组转化为一个单一的同余方程，从而简化了求解问题。

在密码学领域中，线性同余方程组的求解常常涉及多个密码学密钥的计算和变换。

2. 数论问题的求解中国余数定理在数论领域中有广泛的应用。

它可以用来求解大量数据的最小公倍数，检测质数的性质，以及判断两个数是否是互质的。

3. 数据加密和解密中国余数定理可以用来设计和实现许多加密算法和协议，例如RSA加密算法和离散对数算法。

这些算法和协议通常需要利用中国余数定理来处理数字的加密和解密过程。

4. 编程语言中的应用在计算机科学领域，中国余数定理被广泛应用于编程语言中。

Java语言中可以利用中国余数定理来计算大型整数的模运算，而C++语言中则可以利用中国余数定理解决多项式求值问题。

总结：中国余数定理是一种重要的数学定理，常常在代数学、计算机科学、密码学等领域中得到广泛应用。

它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。

在实际应用中，中国余数定理被广泛用于线性同余方程组的求解、数论问题的求解、数据加密和解密、以及编程语言中的应用等方面。

数论.第4讲.余数问题(二).教师版

第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。

3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

(完整版)同余问题知识点讲解

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

小学奥数-中国剩余定理

实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。这就是著名的中国剩余定理。
例6、今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
中国剩余定理
2015.08.22
整数除法
被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） A ÷ B = C ＋ R （被除数－余数）÷除数 = 商 (A － R) ÷ B = C
例1、一个两位数,用它除58余2,除73 余3,除85余1,求这个两位数
用它除58余2，意外着这个两位数是56（58 － 2）的因数。同样的也是70和84的因数。
BYE
The End！ Thank you For your listening!
2015. 08. 22
4。这个数最小是多少?
这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是多少呢?
歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
利用这个思路，我们来解答例7。因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7

初识中国余数定理（ChineseRemainderTheorem）

初识中国余数定理（ChineseRemainderTheorem）初识中国余数定理 (Chinese Remainder Theorem)中国余数定理介绍起源：在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。

解法：设未知数为X1. 找到三个数：1). 从3和5的公倍数中找到被7除余1的数，15；2). 从5和7的公倍数中找到被3除余1的数，70；3). 从3和7的公倍数中找到被5除余1的数，21。

2. ⽤第1步得到的三个数除以响应的余数：1). 15乘以2（2为X除以7的余数），30；2). 70乘以2（2为X除以3的余数），140；3). 21乘以3（3为X除以5的余数），63。

将三个乘积结果相加，30 + 140 + 63 = 233。

3. ⽤第2步结果除以三个数的最⼩公倍数的余数即为所求结果X = mod(233,105) = 23原理：前提已知：前提1. if a % b = c, then (a + kb) % b = c;前提2. if a % b = c, then 2a % 2b = 2c.则由此1. 设n1, n2, n3分别为除3, 5, 7分别余2, 3, 2的数，1). n1 % 3 = 2;2). n2 % 5 = 3;3). n3 % 7 = 2.则问题变为能否找到数n1+n2+n3满⾜条件1). (n1+n2+n3) % 3 = 2;2). (n1+n2+n3) % 5 = 3;3). (n1+n2+n3) % 7 = 2.2. 可见，当1). n2与n3是3的倍数，条件1成⽴；2). n1与n3是5的倍数，条件2成⽴；3). n1与n2是7的倍数，条件3成⽴。

3. 此时有1). n1为5与7的公倍数；2). n2为3与7的公倍数；3). n3为3与5的公倍数。

中国剩余定理

汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。

又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。

计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。

一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。

未知”。

原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。

问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。

孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。

因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。

1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。

明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。

除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。

意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。

在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。

例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。

小升初重点知识点：余数问题

小升初重点知识点：余数问题小升初重点知识点：余数问题一、中国古代剩余定理我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知•”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理” （ChineseRemainderTheorem）,是我国古代数学的一项辉煌成果。

诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘。

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘。

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘。

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。

此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求。

二、余数性质同余定义如果a, b除以c的余数相同，就称"b对于除数c来说是同余的，且有8与b的差能被c整除。

（a, b, c均为自然数）例如：17与13除以3的余数都是2,所以（17-11）能被3整除。

同余定理（一）可加性8与b的和除以C的余数，等于d, b分别除以C的余数之和 (或这个和除以C的余数)。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5 的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5 的余数等于(3+4)除以5的余数。

(二)可减性a与b的差除以c的余数，等于a, b分别除以c的'余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以(23-16)除以5 的余数等于3 — 1二2。

中国余式定理

jm+a=qjn+r 二式相减，有(j-i)m=(qj-qi)n。即n是(j-i)m的因子，而由于 m,n互素，则n只能是(j-i)的因子。可是，j ≤n是已知的。这表明，假设存在ri=rj=r (0≤i<j ≤n-1)是不成立的。从而可知，上述序列中，模r的每个余数0~n-1都将出现一次。因此，数b(0≤b≤n-1)也出现过,即存在某个pm+a模n 的余数为b ：pm+a=qn+b=x。
中国余式定理：令m和n是二互素的正整数，并令a,b是两个整数，0≤a ≤m-1,0 ≤b ≤n-1。则存在一个正整数x，使得x除以m的余数为a,x除以n的余数为b.即x可以表示为 x=mp+a=nq+b其中，p,q是两个整数。
证明：考虑n个整数：a,m+a,2m+a,…,(n-1)m+a.注意，这些数中的每一个除以m都余a. 假定它们除以n的余数分别为r0,r1,…,rn-1,显然，其取值均在0,n-1之间。假设存在ri=rj=r (0≤i<j≤n-1),即有 im&#

中国剩余定理的典型例题

中国剩余定理的典型例题中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决各种复杂的问题。

在计算机科学、统计学和密码学中都有广泛的应用。

中国剩余定理也被称为“中国余数定理”或“中国余数定理”，它源于中国古代学者Sunzi Suanjing 所著《孙子算经》，该书收录了中国古代数学家对于解决一类特殊方程的研究。

中国剩余定理的典型例题如下：1. 已知正整数a、b、m，求满足a≡x (mod m) 且b≡x (mod m)的整数x的取值范围。

由中国剩余定理可知，a≡x (mod m) 且b≡x (mod m) 等价于 a-b ≡ 0 (mod m)，即x = a-b+km, k∈Z，所以x的取值范围为x ∈ {a-b+km | k∈Z} 。

2. 已知a、b、N，求满足a≡b (mod N)的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N。

3. 已知三个整数a、b、c，求满足a≡b (mod c)的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod c) 等价于 a-b ≡ 0 (mod c)，即x = a-b+kc, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+c。

4. 已知三个整数a、b、N，求满足a≡b (mod N)且x>0的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N，而且x > 0，所以最小正整数解为x = a-b+N，其中N > 0。

以上就是中国剩余定理的典型例题，可以看出，中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决复杂的问题，被广泛应用于计算机科学、统计学和密码学中。

数论之余数问题

数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

中国剩余定理的原理

中国剩余定理的原理
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是中国古代求解一次同余式组问题的方法，也是数论中一个重要定理。

简单来说，中国剩余定理就是找出这样一个正整数，它分别能被给定的多个正整数整除，并且是其中最小的。

具体来说，设有m个线性方程，每个方程有n个未知数，形式为：x ≡ a_i (mod p_i)，其中i=1,2,...,m。

假设p_i 两两互质，那么存在一个解x，使得x ≡ a_i (mod p_i)对i=1,2,...,m都成立。

中国剩余定理的原理可以简述为：几个数相加，如果存在一个加数不能被数a整除，那么它们的和就不能被整数a 整除。

这个定理的证明可以通过数学归纳法和欧几里得算法得出。

在应用方面，中国剩余定理被广泛应用于密码学、数论等领域。

例如，在RSA加密算法中，中国剩余定理被用于快速求解大数的模幂运算。

余数定理

二、中国余数定理的算理⑴如果被除数加上除数的整数倍，除数不变，则余数不变。

即：如果a除以b余数为c，那么(a+nb)除以b余数也为c（c〈b）。

⑵如果被除数扩大几倍，除数不变，则余数也扩大同样的倍数。

即：如果a除以b余数为c，那么na除以b余数为nc（c〈b，nc〈b）。

⑶如果整数a除以自然数b（b≠0），余数r仍不小于b，则r 除以b的余数等于a除以b所得余数。

对于《孙子算经》中的“物不知数”问题：先从5和7、3和7、3和5的公倍数中相应地找出分别被3、5、7除均余1的较小数70、21、15。

即70÷3=23 (1)21÷5=4 (1)15÷7=2 (1)再用找到的三个较小数分别乘以被3、5、7除所得的余数的积连加，70×2+21×3+15×2=233。

最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数。

233÷105=2 (23)这个余数23就是合乎条件的最小数。

以上三个步骤适合于解类似的所有问题。

例如：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。

则[4，5]=20；[3，5]=15；[3，4]=12；[3，4，5]=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；为了使15被4除余1，用15×3=45；为了使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

三、中国余数定理的应用例1：一筐苹果,如果按5个一堆放,最后少2个。

如果按6个一堆放,最后也少2个。

如果按7个一堆放,还多出1个。

这筐苹果至少有多少个。

解：苹果数除以5余3，除以6余4，除以7余1。

从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余1的数是126。

中国剩余定理

中国剩余定理若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表⽰为下式：x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，⽽且被d1除，余数为1；R1 、R2…、Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，⽽且被dn除，余数为1；D是d1、d2、…、的最⼩公倍数；R是任意整数，可根据实际需要决定；且d1、、…、必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.该问题可以⽤初等数论中的同余⽅程组的求解问题。

利⽤同余的符号，可以将上述问题转化为下⾯的同余⽅程组：x≡2(mod 3)；x≡3(mod 5)；x≡2(mod 7)；不难看出上述同余⽅程组的解并不唯⼀，因为如果x是⼀个解，则x+3×5×7×k=x+105k也是该同余⽅程组的⼀个解，其中的k可以是任意整数。

事实上，从3，5，7两两互质可知上述同余⽅程组的任意两个解相差105的倍数。

所以，⼀旦求出“最⼩正整数解”x0，则每个解均可表⽰为x=x0+105k。

如何求出上述同余⽅程组的⼀个解呢？我们的祖先聪明的把问题转化为以下三个⾮常特殊的同余⽅程组的求解a≡1(mod 3)； b≡0(mod 3)； c≡0(mod 3)；a≡0(mod 5)； b≡1(mod 5)； c≡0(mod 5)；a≡0(mod 7)； b≡0(mod 7)； c≡1(mod 7)；显然，如果求出了a，b，c的⼀组值，则2a+3b+2c就是原同余⽅程组的⼀个解，再把这个解除以105，则相应的余数即为所求的最⼩整数解。

经过简单计算可知a可以取70，b可以取21，c可以取15。

所以2a+3b+2c=233，除以105后得余数为23，这就是所求的最⼩正整数解。

BiorhythmsProblem DescriptionSome people believe that there are three cycles in a person's life that start the day he or she is born. These three cycles are the physical, emotional, and intellectual cycles, and they have periods of lengths 23, 28, and 33 days, respectively. There is one peak in each period of a cycle. At the peak of a cycle, a person performs at his or her best in the corresponding field (physical, emotional or mental). For example, if it is the mental curve, thought processes will be sharper and concentration will be easier.Since the three cycles have different periods, the peaks of the three cycles generally occur at different times. We would like to determine when a triple peak occurs (the peaks of all three cycles occur in the same day) for any person. For each cycle, you will be given the number of days from the beginning of the current year at which one of its peaks (not necessarily the first) occurs. You will also be given a date expressed as the number of days from the beginning of the current year. You task is to determine the number of days from the given date to the next triple peak. The given date is not counted. For example, if the given date is 10 and the next triple peak occurs on day 12, the answer is 2, not 3. If a triple peak occurs on the given date, you should give the number of days to the next occurrence of a triple peak. InputYou will be given a number of cases. The input for each case consists of one line of four integers p, e, i, and d. The values p, e, and i are the number of days from the beginning of the current year at which the physical, emotional, and intellectual cycles peak, respectively. The value d is the given date and may be smaller than any of p, e, or i. All values are non-negative and at most 365, and you may assume that a triple peak will occur within 21252 days of the given date. The end of input is indicated by a line in which p = e = i = d = -1.OutputFor each test case, print the case number followed by a message indicating the number of days to the next triple peak, in the form:Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.Use the plural form ``days'' even if the answer is 1.Sample Input0 0 0 00 0 0 1005 20 34 3254 5 6 7283 102 23 320203 301 203 40-1 -1 -1 -1Sample OutputCase 1: the next triple peak occurs in 21252 days.Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.SourcePKU1 #include <iostream>23using namespace std;45int main()6 {7int k=0;8int p,e,i,d;9 cin>>p>>e>>i>>d;10while(p!=-1&&e!=-1&&i!=-1&&d!=-1)11 {12 k++;13int t=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;14if(t==0) t=21252;15 cout<<"Case "<<k<<": the next triple peak occurs in "<<t<<" days."<<endl;16 cin>>p>>e>>i>>d;17 }18return0;19 }。

数学基础课里的中国剩余定理和lagrange插值公式

数学基础课里的中国剩余定理和lagrange插值
公式
中国剩余定理与拉格朗日插值公式都是数学基础课中的重要内容，这两种定理和公式的应用非常的广泛，它们的学习比较重要。

中国剩余定理（中国余剰定理、中国余数定理）是一種重要的数论定理，由中國古代數學家秦九韶在3世紀前後提出的定理，也被称为秦九韶定理。

它陈述的是当x是满足一定关系的正整数时，无论x除以任一正整数m有余数a，都可以把x分解成m个正整数之和，并且它们都是以m及a为参数的函数，为此它被称为一种余数定理。

中国剩余定理的本质是一种逆向的概念，即可以通过给定一组余数，给出一个组合的整数。

拉格朗日插值法是一种比较简单的插值方法，由拉格朗日在1795年左右提出。

它可以根据已知数据推导出函数的公式，从而预测未知数据。

函数的公式为：y=a 0+a 1x+a 2x2+…+a nxn。

在实际应用中，最多只使用3次项多项式，即只取n=3，公式为：y=a 0+a 1x+a 2x2+a 3x3。

拉格朗日插值法是从多项式拉格朗日插值延伸出来的概念，它可以用来预测没有观测数据的值。

中国剩余定理和拉格朗日插值公式都极其重要，它们的应用非常广泛。

它们共同为数学基础课提供了一种良好的解决方案，因此学习这两种定理和公式是十分重要的。

中国剩余定理在密码学中的应用

中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称CRT）是一种古老的数学定理，可以应用于整数解决同余方程组或者求解对整数的模线性方程组。

它由中国古代数学家九家张会斋创造（大约在公元252年），被称为中国余数定理。

这种定理主要用在计算机科学、代数学、数学建模及物理学中，而且在软件工程和计算机网络方面也发挥着重要作用。

尽管中国剩余定理可以有很多应用，但是在密码学中，中国剩余定理最重要的应用可能是在公钥技术的素数分解上。

公钥加密系统中，用于加密和解密的私钥由两个大素数（p和q）构成。

通常情况下，这两个素数会以用户不可见的方式储存在公钥加密系统中。

大素数p和q一般是指一个数小于一百亿被另一个数小于一百万整除不尽的两个素数。

按照密码学的标准，要想确保公钥的安全性，这两个素数必须是相当大的。

例如，我们假设p的数值为A，q的数值为B，令N=A×B，若要分解N，我们需要选择一个数D，要求D≤A，D≤B，若D能被A和B都整除，则能找到N的因数。

接下来，就可以利用中国剩余定理分解N，即找到一对对应的X和Y，要求D* X =A （mod B）和 D* Y =B （mod A），只要满足这两个条件，就可以利用中国剩余定理求出X和Y，即X=A×Y·D 和Y=B×X·D，最终X×B+Y×A=N。

得益于中国余数定理的灵活性，可以高效率地计算出大数的的素数，从而可以利用它来加密现代密码系统中的数据、位流或其他数据流。

值得一提的是，中国余数定理可以节约计算机算法所用时间，从而使加密、解密数据变得更快速安全。

此外，中国余数定理还可以发挥其他重要功能，也常常应用在可靠性、传输性、可重复性等多种网络应用上。

在网络应用中，中国余数定理可以用于对多发令牌（Multi-Token）进行校验，而且可以有效避免接受服务器的拒绝服务，这样可以保证多部件系统得以稳定运行。

中国剩余定理

中国剩余定理(同余方程组)小结问题简单来说就是 a = ai (mod ni) 求未知数a,以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.中国余数定理:设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a 求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a推论1:对于 a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:定义 mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中 mi*mf mod ni = 1;则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;代码如下:复制内容到剪贴板代码:#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;const int MAXN = 100;int nn, a[MAXN], n[MAXN];int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {int d;if (b == 0) {x = 1; y = 0;return a;} else {d = egcd(b, a%b, y, x);y -= a/b*x;return d;}}int lmes() {int i, tm=1, mf, y, ret=0, m;for (i=0; i<nn; i++) tm *= n[i]; for (i=0; i<nn; i++) {m = tm/n[i];egcd(m, n[i], mf, y);ret += (a[i]*m*(mf%n[i]))%tm; }return (ret+tm)%tm;}int main() {a[0] = 4; a[1] = 5;n[0] = 5; n[1] = 11;nn = 2;printf("%d\n", lmes());return 0;}。

中国余数定理c语言

中国余数定理c语言摘要：1.引言2.中国余数定理简介3.中国余数定理在C 语言中的应用4.总结正文：1.引言中国余数定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子所提出的一个关于同余方程组的定理。

随着现代计算机科学的飞速发展，中国余数定理在计算机编程领域也有着广泛的应用，特别是在C 语言中。

本文将简要介绍中国余数定理，以及如何在C 语言中运用这一定理。

2.中国余数定理简介中国余数定理是一种解决同余方程组的方法，它可以求解一组同余方程在模某个数时的非负整数解。

该定理的表述如下：设a_1, a_2, ..., a_n 两两互质，m 是a_1, a_2, ..., a_n 的最大公约数，那么同余方程组：x ≡ a_1 (mod m)x ≡ a_2 (mod m)...x ≡ a_n (mod m)有唯一解x ≡ 0 (mod m)。

3.中国余数定理在C 语言中的应用在C 语言中，中国余数定理可以应用于多种计算场景，例如大数运算、模运算等。

下面以一个简单的示例来说明如何在C 语言中使用中国余数定理求解同余方程组：```c#include <stdio.h>#include <stdbool.h>bool chinese_remainder(int a[], int m[], int n, int M) {int x = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (m[i] == 1) {x = (x + a[i]) % M;} else {int u = chinese_remainder(a, m + 1, n - 1, M / m[i]);x = (x * m[i] + u) % M;}}return x == 0;}int main() {int a[] = {2, 3, 5};int m[] = {5, 7, 11};int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);int M = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {M *= m[i];}if (chinese_remainder(a, m, n, M)) {printf("同余方程组有解");} else {printf("同余方程组无解");}return 0;}```在这个示例中，我们定义了一个名为`chinese_remainder` 的函数，用于求解给定的同余方程组。

中国余数定理c语言

中国余数定理c语言
（最新版）
目录
1.引言：介绍中国余数定理
2.中国余数定理的概念与公式
3.C 语言编程实现中国余数定理
4.示例与解析
5.总结：中国余数定理在计算机科学中的应用
正文
【引言】
中国余数定理，又称中国剩余定理，是我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中提出的一种求解同余方程组的方法。

这个定理在现代密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍中国余数定理的概念与公式，并通过 C 语言编程实现该定理。

【中国余数定理的概念与公式】
中国余数定理描述如下：设 m1, m2,..., mn 是互质的正整数，a1, a2,..., an 是整数，满足同余方程组：
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
...
x ≡ an (mod mn)
则存在唯一解 x0，满足：
x0 ≡ a1M1y1 + a2M2y2 +...+ anMnyn (mod M)
其中，M = m1m2...mn，Mi = M / mi，yi 是 Mi 关于 mi 的乘法逆元。

【C 语言编程实现中国余数定理】
为了实现中国余数定理，我们需要编写一个 C 语言程序，完成以下功能：
1.判断给定的 m1, m2,..., mn 是否互质。

2.计算 M = m1m2...mn。

3.计算 Mi = M / mi，并找出 mi 关于 Mi 的乘法逆元 yi。

4.根据公式计算 x0。

中国余数定理
中国余数定理，又称中国剩余定理，是一种求解具有同一个模的多项式方程组的定理。

它是中国古代数学家张丘建在《九章算术》中提出的，被认为是中国古代数学发展到高度时一个重要的成就，也是中国古代数学史上最伟大的成就之一。

中国余数定理可以说是一种循环系统，它解决了多项式方程组的求解问题，是一种古老而又精妙的数学理论。

它表明，对于任意的正整数a，b，c，…，n，当它们满足x ≡ a (mod n)，x ≡ b (mod n)，x ≡ c (mod n)，…，x ≡ n (mod n)时，存在一个唯一的x，使得它们都成立，这个x就是所谓的“中国余数定理”。

该定理可以看作是一种映射，将多项式方程组映射到一个简单的线性系统，通过求解线性系统来求解多项式方程组，从而使求解多项式方程组成为可能。

中国余数定理的精妙之处在于，它将多项式方程组的求解转化为一种精确的求解方法，即通过求解一组线性方程，可以求解出原多项式方程组的根。

中国余数定理还可以用来求解多元一次方程组，而且该定理也可以应用于求解非线性方程组。

例如，它可以用
来求解具有非线性特征的方程组，如二次方程组、立方方程组等。

此外，中国余数定理还可以用来解决在数论中涉及到的许多问题，如有关数列的和的问题，以及有关于素数的问题，甚至有关群论的问题。

总之，中国余数定理是一种非常精妙的数学理论，它不仅可以用于求解多项式方程组，而且可以用于解决数论、群论等问题。

因此，它也被称为“中国数学奇迹”。

中国余数定理

中国余数定理(CR T)及其应用中国余数定理(Chinese Remainder Theory,CRT)目前我还没有看出什么用处，作为数论里一个知识罗列一下吧。

所以叫中国余数定理，是因为据信他是中国古代数学家在公元100年左右发现的。

笛卡儿积笛卡儿积是集合论中很重要的概念，已知一组集合S1、S2、...、S n，他们的笛卡儿积S定义为：S = {(x1,x2,...,n) |x1∈S1，x2∈S2，......x n∈S n}一个相关的概念叫关系，集合族S1、S2、...、S n的一个关系定义为他们的笛卡儿积S的一个子集。

如果这个子集是空集或者S本身，则称这个关系是一个平凡关系。

举例而言，集合N和N的笛卡儿集合为二维空间集合{(x,y) | x,y∈N}，而关系y=2x可以表示为笛卡儿集合的一个子集 {(x,2x)|x∈N}映射集合X和Y，如果存在一种关系，使得X中的任意一个元素x都对应于集合Y的一个元素y或者一组元素y，则称呼这种关系为X集合到 Y集合的一个映射，记做f:x→y。

其中x称作y在X中的原象，y称为x在Y中的象。

有时，映射也记做y = f(x)如果X中任意一个元素在Y中只有一个象，称这个映射为一个单射。

如果y中任意一个元素在X中都存在一个原象，则称呼映射为满射。

映射f:x→y，如果能找到象到原象的映射，则称为该映射的逆映射。

一个映射如果既是单射又是满射，则称该映射为一个一一映射距离算子集合S上定义的距离算子ρ指得是S×S到非负实数集合R+上得一个映射满足：1.ρ(x,y) ≥0，且当且仅当x=y时取0，非负律2.ρ(x,y) = ρ(y,x) 交换律3.ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z) 三角公式运算集合S上定义的二元运算是指S×S 到S的一个单射，即任意x,y∈S 存在z∈S，z = x⊙y是S×S中元素(x,y)在S 中的象，其中⊙称呼为这个运算的运算符，运算也可以表示为一个二元函数关系，记做z = ⊙(x,y)同态映射和同构映射集合X到Y上的一个一一映射f，X、Y上分别定义了运算+和×（注意，这是抽象运算，和四则运算中的对应符号没有关系），如果对于X中的任意元素x1、x2，他们在Y中的象分别是y1、y2，如果x3=x1 +x2y3=y1 ×y2则y3是x3在Y上的象，也就是说f(x1 +x2) = f( x1) × f( x2)则称这个映射f为集合X到Y的一个同态映射。