概率论与数理统计数学期望
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E(X ) + xf (x）dx -
为随机变量X的数学期望。
1、当随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即
有密度函数
1 f (x) b a
axb
0
其他
则
E(X )
+ xf (x）dx=
-
b a
x
b
1
dx a
b
1
a
1 2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
|ba
a
2
b
2、当随机变量X服从参数为 的指数分布，
数学期望
离散型随机变量的数学期望 3个常用的离散型随机变量的数学期
望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望
先看例子：某人进行射击，射击了100次， 成绩如下
环数k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 hk 0 1 3 2 4 7 12 25 20 21 5
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
E( X )
kpk
k 0
k
k 0
k e
k!
=
k 1 e
k 0 (k 1)!
*
= e e
连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)，则称
2、E(CX ) CE( X )
对于离散型随机变量X，有
E(CX ) Cxk pk C xk pk CE(X )
k 1
k 1
对于连续型随机变量X，有
E(CX ) Cxf (x)dx C xf (x)dx CE(X )
3、E(X1 X2 Xn) E(x1) E(x2) E(xn) 4、当 X1与X2 互相独立时，E(X1 X2) E(X1) E(X2)
即有密度函数
e-x x>0
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex)
-
0
0
=-xe-x
|0
exdx
0
0
1
ex
|0
1
3、随机变量X～ N(, 2) ，则
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
则
E( X ) + xf (x）dx= -
问：平均每次击中环数是多少？
平均值 1 (0 0 11 2 3 3 2 4 4 5 7 100
612 7 25 8 20 9 2110 5) 710 7.1
100
定义1 若随机变量x的分布律为
P(X xk ) pk (k 1, 2 n )即
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
(-<x<+)
1
2
( x )2
xe 2 2
dx
令u= x-
=
1
（
+
u）e-
u2 2
du
2
=
e- u2 2
du
u2
ue 2 du
2
2
*
=
数学期望的性质 1、设C是常数，则E(C)=C
常数C可以看成是这样一个随机变量X，其分布为
X
C
C
P
1
0
于是由数学期望的定义，有
E(C) C 1 C 0 C
为随机变量X的数学期望。
1、当随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即
有密度函数
1 f (x) b a
axb
0
其他
则
E(X )
+ xf (x）dx=
-
b a
x
b
1
dx a
b
1
a
1 2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
|ba
a
2
b
2、当随机变量X服从参数为 的指数分布，
数学期望
离散型随机变量的数学期望 3个常用的离散型随机变量的数学期
望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望
先看例子：某人进行射击，射击了100次， 成绩如下
环数k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 hk 0 1 3 2 4 7 12 25 20 21 5
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
E( X )
kpk
k 0
k
k 0
k e
k!
=
k 1 e
k 0 (k 1)!
*
= e e
连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)，则称
2、E(CX ) CE( X )
对于离散型随机变量X，有
E(CX ) Cxk pk C xk pk CE(X )
k 1
k 1
对于连续型随机变量X，有
E(CX ) Cxf (x)dx C xf (x)dx CE(X )
3、E(X1 X2 Xn) E(x1) E(x2) E(xn) 4、当 X1与X2 互相独立时，E(X1 X2) E(X1) E(X2)
即有密度函数
e-x x>0
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex)
-
0
0
=-xe-x
|0
exdx
0
0
1
ex
|0
1
3、随机变量X～ N(, 2) ，则
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
则
E( X ) + xf (x）dx= -
问：平均每次击中环数是多少？
平均值 1 (0 0 11 2 3 3 2 4 4 5 7 100
612 7 25 8 20 9 2110 5) 710 7.1
100
定义1 若随机变量x的分布律为
P(X xk ) pk (k 1, 2 n )即
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
(-<x<+)
1
2
( x )2
xe 2 2
dx
令u= x-
=
1
（
+
u）e-
u2 2
du
2
=
e- u2 2
du
u2
ue 2 du
2
2
*
=
数学期望的性质 1、设C是常数，则E(C)=C
常数C可以看成是这样一个随机变量X，其分布为
X
C
C
P
1
0
于是由数学期望的定义，有
E(C) C 1 C 0 C