概率论与数理统计数学期望
概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
0
1 3
.
(3)
E(X 2)
x2 f ( x)dx
1 2x3dx
0
1 2
x4
1 0
1 2
.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
0
0
(
xex
)
0
exdx
0
1
e x
0
1
.
(3) 正态分布N(, 2)的数学期望
设X服从正态分布，其概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,
x ,
2
则 EX .
证明：E( X )
xf ( x)dx
＋
x
( x )2
e 2 2 dx
2
令t
x
1
(t
)e
t2 2
dt
甲： 环数 8
9 10 乙： 环数 8
9 10
P 0.4 0.2 0.4
P 0.2 0.5 0.3
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
第一节 数学期望(概率论与数理统计)
x 5
E ( M ) xf M ( x)dx
0 5xe
137 60
x
(1 e
x 4
) dx
E ( M ) 13760 11 1 E( N ) 5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
e
dy
y
xe
x2 2
dx
1
x2 2
e
dx x ye
y2 2
dy
1
e
x2
dx
1
其中 e dx
x2
称为 概率积分
( e dx )
x2 2
e
( x 2 y 2 )
X ,Y 相互独立，则
E (max{ X , Y })
E (min{ X , Y })
四、数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) 常数
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
概率论与数理统计 数学期望
解:设 1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
则
n
E(Xi) p
X Xi
i 1
n
n
E( X ) E(X i ) p np
i 1
i 1
作业： 第137页，习题4-1，
A组：1；2；3；5；6
例4.1.5 设X~E()，求E(X2)
解：X的密度函数为
ex ,
f(x) 0,
x 0, x 0,
则E(X2 )
x
2
f (x)dx
2
2
例4.1.6 设X~U(a，b)，求E(X2)
解：X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
0
a x b, 其 它,
2
三.随机变量函数的期望
定理1
若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望 E(g(X))为
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk . k 1
例 4.1.3 设 X 的分布律为
X Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求 E( X 2 1) 。
1 0 1 2 0.3 0.4 0.1 0.2
k!
E(X )
k
k
e
e
k 1
;
k0 k!
k1 (k 1)!
4. 均匀分布U(a, b)
X
~
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他,
b
E(X )
概率论与数理统计课件数学期望
二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
若Y a.
E(Q) 0 QfY ( y)d y
x[my n(a y)] 1 ey θ d y ma 1ey θ d y
0
θ
x
θ
(m n)θ (m n)θea θ nx,
令 d E(Q) (m n)ea θ n 0, dx
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.
5 k nk 3.37.
k0 n
平均射中环数 5 k nk
随机波动 k0 n
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
5 k nk
k0 n
n
5
k pk
k0
随机波动
稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
则有
E( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
例5，P94，6
2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
概率论与数理统计0-随机变量的数学期望
第三章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节随机变量的数学期望内容要点：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义设是离散型随机变量的概率分布为X 2,?1,?x}?p,i{PX ii????.xpE(X)?如果为绝对收敛, 则定义的数学期望(又称均值) pxX iiiii?11i?二、连续型随机变量的数学期望定义设是连续型随机变量, 其密度函数为,如果)xf(X??xf(x)dx ????xf(x)dx.(EX)?数学期望为, 绝对收敛定义的X??三、随机变量函数的数学期望设是一随机变量, 为一实函数,则也是一随机变量, 理论上, 虽然可通)Y?g(X)xg(X过的分布求出的分布, 再按定义求出的数学期望. 但这种求法一般)](XE[g)gXg(X)(X比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1设是一个随机变量, ,且存在, 则)(XY?g)E(YX（1）若为离散型随机变量, 其概率分布为X 2,,?,p}xXP{??i1ii则的数学期望为Y．?? .g(x))?E[g(X)]?pE(Y ii1?i则的数学期望为若为连续型随机变量, 其概率密度为,（2）)f(xYX?? .(x))](X?dxg(x)fE(Y)?E[g??. 只需知道的分布即可, 不必知道的分布, 注: (i)定理的重要性在于:求时)](XE[g)Xg(X;这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便, 即有(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形则,, 且存在, 定理2设是二维随机向量)Z?gYX,()ZE,Y)((X 其概率分布为1）若为离散型随机向量, （)Y(X, ),2, p(i,j?1,P{X?xY?y}?ijij的数学期望为则Z???? ,pg(x,y)[E(Z)?Eg(X,Y)]?ijji1i?j?1的数学期望为, 其概率密度为则（2）若为连续型随机向量Z)f(x(X,Y),y???? .)dx)f)],Y?(x,yg(x,yE(Z)?E[g(X????四、数学期望的性质是常数, 则1. 设C;?CE(C) ．若是常数，则 2 );X?(kX)kE(Ek 3. );XX)?E(E(X?X)?E(2121; , 则4. 设独立YX,)YX)E(E(XY)?E( 中，已计算得不一定能推出: (i) 由独立，例如，在例10注Y,X)YE(X)(E(XY)?E9 ，?)E(X)E(YE(XY)?413 ，显然但?}P{Y?0},?0}?0,P{X?1??P{X1,Y84 }{Y?0??P{X1}?PYP{X?1,?0} 不独立故与YX. 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形(ii)例题选讲：离散型随机变量的数学期望XX, , 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为, 它们的分布律分别为讲义例例1 (1) 甲21012XX01221, 1.00p.308p.0020..6ii试评定他们的成绩的好坏.我们来计算的数学期望, 得(分解).88.?1.0220100)XXE(????.??11而乙所得1.8, 所得分数的算术平均就接近, 那么, 如果甲进行很多次的射击, 这意味着．分数的数学期望为)..5(分?2?0.1?0E(X)?0?0.6?1?0.32. 乙的成绩远不如甲的成绩很明显,?若规定2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数, 的泊松分布例2 (讲义例80.?疵; 价值8元个不多于元; 疵点数大于14个为二等品, 疵点数不超过1个为一等品, 价值10:求4个为废品. 点数超过; 产品的废品率(1).产品价值的平均值(2)?代表每件产品上的疵点数, 由题意知解设.0.8?X4k80.?80.?,001411?0.因为?1{X?4}?1P{X?e4}??P)(1!k0?k..0014110所以产品的废品率为:, 那么的概率分布为设代表产品的价值)(2YY08Y10 }4{X?X?4}PPP{X?1}P{1?所以产品价值的平均值为}?4P{1?X?P{X?1}?8?E(Y)?10}?40?P{X?14kk8.8.00??8?0.8?0. 0??e?10?e?8).(元?9.61 !kk!2?0kk?但到站的之间都恰有一辆客车到站, 某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00例3 按规定，. 其规律为时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立8:00~9:00到站时间8:508:10 8:309:10 9:30 9:50 9:00~10:00到站时间1/63/62/6概率一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.解设旅客的候车时间为(以分计). 的分布律为135791 ???p i6666666613 其中为事件“第一班车在在上表中, 例如AP{X?70}?P(?,AB)?P(A)P(B)?66 为候车时间的数学期望为到站“第二班车在”., 到站”309:810:B32132 ).分.22(?27E(X)?10??30??50??70??90?66363636连续型随机变量的数学期望0,x?0??F(x)?x/4,0?x?4, 的分布函数已知随机变量3)(4例讲义例X 求).XE(??1,x?4?4x?4,0?1/??的分布密度为随机变量解?x?,F)(xf()X?其它0,?42x14????故.dx?2?E(X)??x?xf(x)dx 840??0记使用寿命为某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 例5 (讲义例4)X:), 规定(以年计;1500元1,一台付款?X,?2;1X一台付款2000元;2500元3,一台付款2?X?,?3X一台付款3000元.X , 设寿命概率密度为服从指数分布1?10x/??0x?e,???fx?10?,0?0.x?Y.试求该商店一台电器收费的数学期望即有先求出寿命落在各个时间区间的概率, 解X11?1?0.?x/10 ,.0952?edx?1?P{X?1}?e010012?2.?0?0.1?x/10 ,.0861?0ee??edx?XP{1??2} 10113?30.0.2?/?x10? ,0779?0.eedx?e}?P{2X?3??1021??310?0.?x/ ,?XP{?3}.e7408?0?edx103则的分布律为Y30002500Y15002000 740807790.0861.09520.0.p0k.即平均一台收费元得,.15)?2732E(Y15.27327 且例6 设随机变量X~f(,x),E(X)?120?x?ax?b,1??)f(x?其它,0?.并求分布函数与ab的值, 求)xF( 由题意知解a1???? ,??1?b)dx?ax(?b)dx(fx20??ab7??1??x(ax?dx(x)?b)dxxf)?XE( ??,?12320??解方程组得,1a?.2/1?b??当时, 有,??)f(F(x)?tdt?t?dt1?x?0??222??0??0x?0,??12所2xx1??xx以.10?x)?(x??x),(Fx?2?1x?1,?)2k?1,X(其,, 它们的寿命服从统一指数分布7 例有2个相互独立工作的电子装置k概率密度为1??/?x?0?e,x?.0??)f(x , ???,0x?0?N.以小时计)的数学期望若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(?/?x?01?e?,x?)F(x,的分布函数为解)2?1,X(k?k,0x?0??/?2x?0,x?e?12?(x)]1?[1?F,F(x)?的分布函数为},X?min{XN?min210,x?0?2??/2x??ex?0,?F)??f,(x(x)的概率密度为因而N??minmin?,00x??22x???????/?2x的数学期望为于是N.dx?eE(N)??xf(x)dx min??0??随机变量函数的数学期望:的联合概率分布为8 (讲义例5) 设例)YX,(3 2 Y 0 1X0 3/8 1 0 3/80 0 1/83 1/8求).(XYY),EE(X),E(解要求和需先求出和的边缘分布. 关于和的边缘分布为),E((EX)YYXXYX13Y0123 P3/41/4P1/83/83/81/8313 则有?3??E(X)?1?44213313 ????310????2(EY)?88882331E(X?Y)?(1?0)?0?(1?1)??(1?2)??(1?3)?0?(3?0)??(3?1)?08881?)??(330)?(?32? ./?9482?及求上服从均匀分布设随机变量X在, 例9 (讲义例6))(X(sinX),EE],[02 .X)]X?E(E[解根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有?1????? ,dxx?xf(x)dx?(EX)???20??112?????? sin??(x)E(sinX)?dx?(?cosx)|dx?sin,xf0 ???0??2?1?????222?x(E(X)?x),dx??dxxf?30??222???1??????2x????dxE[X?E(X)]?EX ?.?????2212????0例10 设随机变量的概率密度)X,Y(31??y?x,,x?1,?23x?,xy)f( y2x??其它.0,?1??求数学期望.E(Y),E??XY???? dydx?3y2x x/1113xln????x???dyy][lndx?3 ??????dydx),yyfE(Y)?(x 解????3x??? dx???.???32224xx??111133??????x??????33x/12xx11??1x33ln3????dydxE?)x,yf(.dy?dx???34xyXY5y2x??????x11/:单位设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量(11 (讲义例7) 例X; 万元可为国家赚取外汇3它服从区间上的均匀分布, 每销售出一吨商品, 吨), ][40002000,?, 才能使国家收益最大万元则每吨商品需贮存费1, 问应组织多少货源若销售不出,的函数)是单位:万元解设组织货源吨, 显然应要求国家收益(t,?t4000?2000XYt?t3,X?.?g(X) 表达式为),g?(XY?t,?X4X?t?4000x?2000,2000?/1??)(,xf则于是的期望为设的概率密度函数为),f(xXY?其他,0?14000???? dxxdxxfxg)E(Y?()()?g()20002000??11t4000????62tdx?dx?3(4x?t)).10?8?(?2t??14000t??20002000??t2000??3500t, 因此组织3500吨商品为好达到最大考虑的取值使, 易得. t)E(Y2222. 例12 设均存在，证明)](X)?X)][?E(XE(E[X?E)E(X),E(X222因为证,)]E(X?E(X)E[X?(X)]??X[?2X 于是222 }??2X?E(XX)?[E(XE[X?E(X)])]E{2222.E(XX?E()])?E)2E(X?E(X)?[(X)]X?E([)?例13 （二项分布的数学期望）若求),n,pX~b().(XE解因则表示重伯努利试验中的“成功”次数. ),pX~b(n,nX1,如第i次试验成功?, 则若设X?,2,,n)(i1,XX?X? ?X? ??in120,如第i次试验失败?因为,p)??(1?pE(X)?1?p?P{X?1}?p,?P{X0}?1?p,0iiin?所以.?npE(X(EX)?)i1?i pnp.的二项分布的随机变量, 服从参数为和的数学期望是可见nX数学期望的性质例14 (讲义例8)一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).0,在第i站没有人下车?解引入随机变量X?,10.,i1,2, ??i1,在第i站没有人下车?易知.X? ?X?X?X1012现在来求按题意, 任一旅客不在第站下车的概率为因此20位旅客都不,109/i).XE(2020,)/101?(9,)/10(9 即站有人下车的概率为在第站下车的概率为在第ii2020,10)(9/X{?1}?19{PX?0}?(/10)?,P.10, ,?i1,2ii20,)/10?)1?(9E(X进而由此.10 ,2,,i?1i )X? ?XX()?E(X?E102120]?8.)/(110?[?910784)次())X(E)?XE?(E ??(X1021．注: 本题是将分解成数个随机变量之和, 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变X量数学期望之和来求数学期望的, 这种处理方法具有一定的普遍意义.。
概率论与数理统计数学期望
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex )
-
0
0
=-xe-x
|0
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
概率论与数理统计期望
第一节 数学期望
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一、离散型随 机变量的数学 期望
汇报日期
我们希望引进这样一个特征数字，它能反 映随机变量X所取数值的集中位置，就象 力学系统中的重心反映该系统质量的集中 位置一样，在概率论中，这样一个数字就 是随机变量的数学期望（也称平均值）. 先看一个例子。
中靶环数(xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频 数(ni) 1 2 1 2 3 3 2 1 2 2 1
0,
0 x,
其它.
E(Y)0sinx1dx2
f(x) 1e1 2x2, x
2
E(例X)10设xfX(x~)dNx (0,1), 求 E(xX)1,E(eX122x2)d.x 0
2解
E( X 2 )
x2 f (x)d x
x2
1
x2
e 2 dx
2
1
x2
xd(e 2 )
2
方法1 先利用分布函数法求得Y的概率密度为
fY (y)
2, 1y2
0 y 1,
0,
其它.
再由公式(2)得
1
E(Y) y
0
12y2dy2
例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分 布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.
概率论与数理统计第四章数学期望
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
P(X=xk)=pk , k=1,2,…
E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和.
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利 润为
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手射中的环数分别为 X 1 , X 2 . 甲射手
击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
200
即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击90次,(命中的 环数是一个随机变量).射中次数 记录如下 命中环数 k 0 1 2 3
命中次数 nk
2 13 15
4 20
5
10
30
2 13 15 nk 10 20 30 频率 90 90 90 n 90 90 90 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1 3 200 0 4 4
50(元).
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局 B 胜1局 的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0 3 1 其概率分别为: 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 3 1 200 0 150(元). 等于 4 4
概率论与数理统计：数学期望
前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能全面地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，一方面，求分布函数有时是困难的；另一方面，有时不需要了解全貌，只需了解随机变量的某些特征或某个侧面就可以了，例如分布的中心，只要知道它的这方面的特征就够了，这时可以用一个或几个实数来描述这个侧面，这种实数就称为随机变量的数字特征.在这些数字特征中最常用的数字特征有：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等，本章将着重介绍这些常用的数字特征， 要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念.§4.1 数学期望先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯或 22305610171819202119.7100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。
而1718192021195++++=是把这五个数的地位或权重看得相同。
对于一般随机变量，其平均值定义如下：4.1.1离散型随机变量的数学期望定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,i i P X x p i ===, 若1i i i xp ∞=<+∞∑,则称1i i i x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望,简称期望或均值,记为()E X , 即()E X =1i i i x p ∞=∑. 若级数1i i i xp ∞=∑发散,则称随机变量X 的数学期望不存在.注 （1）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）离散型随机变量的数学期望)(X E 在数学上解释就是X 加权平均，权就是其分布列；（3）级数∑∞=1)(i i i x P x 绝对收敛保证了级数的和不随各项次序的改变而改变，这是因为i x 的顺序对随机变量并不是本质的.（4）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个绝对收敛的级数的和. 引例 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为Y X ,，且分布如下：试比较他们的射击水平。
随机变量的数学期望【概率论与数理统计+浙江大学】
买五个户头的期望得奖金额为
6 解
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); （诸Xi相互独立时）
四、数学期望性质的应用
例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客 下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每 位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否 下车相互独立)
概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
例4.2 按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者 到站的时间相互独立。其规律为：
到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50
概率
1/6 3/6 2/6
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e-x x>0
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex)
-
0
0
=-xe-x
|0
exdx
0
0
1
ex
|0
1
3、随机变量X～ N(, 2) ，则
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
则
E( X ) + xf (x）dx= -
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
2、E(CX ) CE( X )
对于离散型随机变量X，有
E(CX ) Cxk pk C xk pk CE(X )
k 1
k 1
对于连续型随机变量X，有
E(CX ) Cxf (x)dx C xf (x)dx CE(X )
3、E(X1 X2 Xn) E(x1) E(x2) E(xn) 4、当 X1与X2 互相独立时，E(X1 X2) E(X1) E(X2)
(-<x<+)
1
2
( x )2
xe 2 2
dx
令u= x-
=
1
（
+
u）e-
u2 2
du
2
=
e- u2 2
du
u2
ue 2 du
2
2
*
=
数学期望的性质 1、设C是常数，则E(C)=C
常数C可以看成是这样一个随机变量X，其分布为
X
C
C
P
1
0
于是由数学期望的定义，有
E(C) C 1 C 0 C
问：平均每次击中环数是多少？
平均值 1 (0 0 11 2 3 3 2 4 4 5 7 100
612 7 25 8 20 9 2110 5) 710 7.1
100
定义1 若随机变量x的分布律为
P(X xk ) pk (k 1, 2 n )即
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
E( X )
kpk
k 0
k
k 0
k e
k!
=
k 1 e
k 0 (k 1)!
*
= e e
连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)，则称
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
数学期望
离散型随机变量的数学期望 3个常用的离散型随机变量的数学期
望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望
先看例子：某人进行射击，射击了100次， 成绩如下
环数k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 hk 0 1 3 2 4 7 12 25 20 21 5
E(X ) + xf (x）dx -
为随机变量X的数学期望。
1、当随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即
有密度函数
1 f (x) b a
axb
0
其他
则
E(X )
+ xf (x）dx=
-
b a
x
b
1
dx a
b
1
a
1 2
Hale Waihona Puke x2|baa
2
b
2、当随机变量X服从参数为 的指数分布，