勾股定理与网格问题
八年级《勾股定理》知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EF G H S S S∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b=+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBAb，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c+<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c+>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及222a b c+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：丢番图发现的：式子nmnmmnnm>+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++nnnnn（1>n的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠，1.5CD =，2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。
网格中的三角函数
1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用
八年级数学下册【勾股定理】4种简单应用一、勾股定理在网格中的应用例1、已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n的式子表示)为＿.分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.二、勾般定理在最短距离中的应用例2、如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形问题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3、如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m 选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。
10 专题 勾股定理(逆定理)与网格画图
专题 勾股定理（逆定理）与网格画图
【方法归纳】通过网格运用勾股定理及其逆定理来研究三角形或四边形的形状．
1．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ．
2．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3，22，5，且三角形的三个顶点都在格点上．
3．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为5的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4．在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 ． A
C
B
第2
题图第3题图
第4
题图
6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上．
（1）图1中，以AB 为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其
边长．
（2）图2中，以AB 为底边的等腰三角形有 个，画出其中一个，并直接写出其底边上的高．
图4图3图2图
1图2
图1图2图1
A
B A B。
勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1
勾股定理的应用(六)在网格图形中的应用
祖π数学
新人教 八年级下册
之高分速成 1
【题型6】网格中的勾股定理
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
3.如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )
A.25
B.12.5
C.9
D.8.5
（第1题） （第2题） （第3题）
4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
甲
乙
B C
A B C。
勾股定理的各类题型
勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法1：方法2：方法3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.2016春宜春期末一旗杆在其的B处折断;量得AC=5米;则旗杆原来的高度为A．米B．2米C．10米D．米考点勾股定理的应用．分析可设AB=x;则BC=2x;进而在△ABC中;利用勾股定理求解x的值即可．解答解：由题意可得;AC2=BC2﹣AB2;即2x2﹣x2=52;解得x=;所以旗杆原来的高度为3x=5;故选D．点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．2.2016春防城区期中如图;在△ABC中;∠B=40°;EF∥AB;∠1=50°;CE=3;EF比CF大1;则EF的长为A．5 B．6 C．3 D．4考点勾股定理；平行线的性质．分析由平行线的性质得出∠A=∠1=50°;得出∠C=90°;设CF=x;则EF=x+1;根据勾股定理得出方程;解方程求出x;即可得出EF的长．解答解：∵EF∥AB;∴∠A=∠1=50°;∴∠A+∠B=50°+40°=90°;∴∠C=90°;设CF=x;则EF=x+1;根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2;即32+x2=x+12;解得：x=4;∴EF=4+1=5;故选：A．点评本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质;并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3.2015春蚌埠期中已知;如图长方形ABCD中;AB=3cm;AD=9cm;将此长方形折叠;使点B 与D重合;折痕为EF;则BE的长为A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点翻折变换折叠问题．分析根据折叠的性质可得BE=ED;设AE=x;表示出BE=9﹣x;然后在Rt△ABE中;利用勾股定理列式计算即可得解．解答解：∵长方形折叠点B与点D重合;∴BE=ED;设AE=x;则ED=9﹣x;BE=9﹣x;在Rt△ABE中;AB2+AE2=BE2;即32+x2=9﹣x2;解得x=4;∴AE的长是4;∴BE=9﹣4=5;故选C．点评本题考查了翻折变换的性质;勾股定理的应用;根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．4.2008秋奎文区校级期末在我国古代数学着作九章算术中记载了一个有趣的问题;这个问题的意思是：有一个水池;水面是一个边长为10尺的正方形;在水池正中央有一根新生的芦苇;它高出水面1尺;如图所示;如果把这根芦苇垂直拉向岸边;它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少芦苇长为多少考点勾股定理的应用．分析找到题中的直角三角形;设水深为x尺;根据勾股定理解答．解答解；设水深为x尺;则芦苇长为x+1尺;根据勾股定理得：;解得：x=12尺;芦苇的长度=x+1=12+1=13尺;答：水池深12尺;芦苇长13尺．点评此题是一道古代问题;体现了我们的祖先对勾股定理的理解;也体现了我国古代数学的辉煌成就．三：勾股定理应用：求最短距离问题1.2014秋环翠区期中如图;长方体的底面边长为1cm和3cm;高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B;那么所用细线最短需要A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm考点平面展开-最短路径问题．分析要求所用细线的最短距离;需将长方体的侧面展开;进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答解：将长方体展开;连接A、B′;则AA′=1+3+1+3=8cm;A′B′=6cm;根据两点之间线段最短;AB′==10cm．故选C．点评本题考查了平面展开﹣最短路径问题;本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”;用勾股定理解决．2.2016春繁昌县期末如图;是一长、宽都是3cm;高BC=9cm的长方体纸箱;BC上有一点P;PC=BC;一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm考点平面展开-最短路径问题．分析将图形展开;可得到安排AP较短的展法两种;通过计算;得到较短的即可．解答解：1如图1;AD=3cm;DP=3+6=9cm;在Rt△ADP中;AP==3cm；2如图2;AC=6cm;CP=3+3=6cm;Rt△ADP中;AP==6cm．综上;蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．故选A．点评本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题;熟悉平面展开图是解题的关键．3.2016 大悟县二模如图;小红想用一条彩带缠绕易拉罐;正好从A点绕到正上方B点共四圈;已知易拉罐底面周长是12cm;高是20cm;那么所需彩带最短的是A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm考点平面展开-最短路径问题．分析要求彩带的长;需将圆柱的侧面展开;进而根据“两点之间线段最短”得出结果;在求线段长时;借助于勾股定理．解答解：由图可知;彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处;将易拉罐表面切开展开呈长方形;则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长;∵易拉罐底面周长是12cm;高是20cm;∴x2=12×42+202;所以彩带最短是52cm．故选D点评本题考查了平面展开﹣最短路径问题;圆柱的侧面展开图是一个矩形;此矩形的长等于圆柱底面周长;高等于圆柱的高;本题就是把圆柱的侧面展开成矩形;“化曲面为平面”;用勾股定理解决．4.2016 游仙区模拟长方体敞口玻璃罐;长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm;在罐内点E处有一小块饼干碎末;此时一只蚂蚁正好在罐外壁;在长方形ABCD中心的正上方2cm处;则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．A．7 B．C．24 D．考点平面展开-最短路径问题．分析做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内;在平面内线段最短;根据勾股定理即可计算．解答解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过;蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H ′E===7;②若蚂蚁从平面ABCD 和平面BCEH 经过;则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H ′E==故选B ．点评考查了平面展开﹣最短路径问题;此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点;然后把立体的长方体放到一个平面内;求出最短的线段．5.2015秋 宜兴市校级期中如图;一圆柱高8cm;底面半径为cm;一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食;要爬行的最短路程是 10 cm ．考点平面展开-最短路径问题．分析此题最直接的解法;就是将圆柱展开;然后利用两点之间线段最短解答．解答解：底面圆周长为2πr;底面半圆弧长为πr;即半圆弧长为：×2π×=6cm;展开得：∵BC=8cm;AC=6cm;根据勾股定理得：AB==10cm ． 故答案为：10．点评此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短;解题的关键是根据题意画出展开图;表示出各线段的长度．四：网格问题简单1、在边长为1的小正方形组成的网格中;△ABC 的三个顶点均在格点上;则△ABC 中BC 边上的高为答案：设△ABC 中BC 边上的高为h ．∵AB^ 2 =5;AC^ 2 =20;BC^ 2 =25;∴BC^ 2 =AB^ 2 +AC ^2 ;∴∠A=90°;S △ABC =21 AB ⨯AC= 21BC ⨯h;即525⨯ =5h ．解得;h=2．故答案是：2．2. 如图;方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形;我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图一中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．1求图一中四边形ABCD 的面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG;使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图一 图二答案：解：1方法一：S＝12×6×4＝12方法二：S＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝122只要画出一种即可3、如图;在由边长为1的小正方形组成的网格中;△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：1画AD∥BCD为格点;连接CD；2试判断△ABC的形状请说明理由；答案：1图象如图所示；2由图象可知AB2=12+22=5;AC2=22+42=20;BC2=32+42=25;∴BC2=AB2+AC2;△ABC是直角三角形..4、如图;是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场;一只鸽子落在点A处;•它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食;则鸽子至少需要走多远的路程答案：AB=5cm;BC=13cm．•所以其最短路程为18cm难题5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格;它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形;这样的三角形称为单位正三角形..1直接写出单位正三角形的高与面积..2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线..答案1单位正三角形的高为;面积是..2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形;因此其面积..3过A作AK⊥BC于点K如图所示;则在Rt△ACK中;;;故五：方位角问题1、如图所示;在一次夏令营活动中;小明从营地A点出发;沿北偏东60°方向走了3500m到达B点;然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．1求A、C两点之间的距离；2确定目的地C在营地A的什么方向2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险;没有了水;需要寻找水源．为了不致于走散;他们用两部对话机联系;已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发;他以6千米/时的速度向东行走;1小时后乙出发;他以5千米/时的速度向北行进;上午10：00;甲、乙二人相距多远还能保持联系吗答案：如图;甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时;走了12千米;即OA=12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时;走了5千米;即OB=5．在Rt△OAB中;AB2=122十52=169;∴AB=13;因此;上午10：00时;甲、乙两人相距13千米．∵15＞13;∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米;两人还能保持联系．3、如图;甲乙两船从港口A同时出发;甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行;乙船向南偏东50°航行;3小时后;甲船到达C岛;乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里;问乙船的航速是多少答案：从两船航行的方向看;北偏东40度和南偏东50度的夹角为90AC⊥AB甲船速度每小时16海里;所以AC=16×3=48海里AB2=BC2-AC2=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时：36÷3=12海里4、如图;北海海面上;一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练;突然接基地命令;要该舰前往C岛;接送一病危渔民到基地医院救治;已知C岛在A的北偏东600方向;且在B北偏西450方向;军舰从B处出发;平均每小时走20海里;需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院精确到0.1小时;参考数据：73.13≈;41.12≈解：作CD⊥AB于D;根据题意;得∠CAB=30°;∠CBD=45°不妨设CD=x海里;则BD=x海里;AD=2x海里;AC=x海里; BC=2x海里;∴3x+x=40∴x=203 -20海里∴AC+BC=）（）（203202203202-+-=206+403 -202 -40=）（2-2-22620+≈49.98海里 49.98÷20=2.499≈2.5小时答：需要大约2.5小时才能把患病渔民送到基地医院..。
中考数学真题分类汇编及解析(二十五)勾股定理
（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。
勾股定理的应用(二)
所以卡车能通过隧道.
书本P62复习题第4题
分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OD,必先求
OC,最先求出OA.
在Rt△AOB中，
AB2 BO2 2.52 0.72 2.4 OA _______________________ . C 2.5
A
在Rt△COD中， OC=OA-AC=2.4-0.4=2
分析 只需利用勾股定理看哪一
个矩形的对角线满足要求．
A
图1
B
解 (1) 图1中AB长度为2 2 ．
练习： 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） A
3
B
4
12
E
5
G
C
6
F
8
D
4．如图所示，公路MN和公路PQ在P处交汇， ∠QPM=30°，在A处有一所中学，AP=160米， 假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影 响，那么拖拉机在公路MN上以每秒8米的速度从 N往M方向行驶时，学校是否受到噪声影响？若受 到影响，影响的时间有多长？并说明理由． [提示：直角三角形中， 30°角所对的直角边 等于斜边的一半。]
A
D
？
CD OD OC
2 2
2
CD OD 2 OC 2
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能 否通过，只要看卡车位于隧道中线一 因为2＞1.8，高 侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量， 如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
第2讲 利用勾股定理解决坐标系和网格问题(解析版)
2020-2021学年人教版八年级下册第17章《勾股定理》同步练习【第2讲：利用勾股定理解决坐标系和网格问题】一、选择题：1．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A．3 B．4 C．5 D【答案】C【分析】画图，根据勾股定理求解.【详解】如图所示：∵P（3，4），5．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（－5，0）D．（5，0）【答案】B【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用圆的性质得出CO 的长，即可得出答案．【详解】∵点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，3），∴3BO =，4AO =，∴5AB =．∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，∴541CO =-=，则点C 的坐标为（－1，0）．故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，正确得出CO 的长是解题关键．3．如图，点P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P 表示的实数是（ ）A ．-2B ．-2.2C ．D ．【答案】D【解析】【分析】在三角形AOB 中，利用勾股定理求出AB 的长，即可确定出AP 的长，得到P 表示的实数.【详解】在Rt△AOB 中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：，∴OP=AP -1，则P 表示的实数为+1．故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 面积的和是( )cm 2.A ．64B ．81C ．128D ．192【答案】D【分析】根据勾股定理可知，S g = S e +S f =S a +S b +S c +S d ，求出最大正方形的面积即可求解.【详解】解：根据勾股定理知,S g = S e +S f ，S e =S a +S b ， S f = S c +S d ，∴S g = S e +S f =S a +S b +S c +S d ，∵最大的正方形的面积为S g =（8×8）cm 2=64cm 2，∴正方形a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 面积的和是64×3=192cm 2，故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．5．如果3，a ，5是勾股数，则a 的值是（ ）A ．4BC ．4．4或34 【答案】A【分析】满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a ．【详解】解：∵3，a ，5是勾股数，∴22235a =+或22253a =-）或a=4故选A ．【点睛】本题考查了勾股数，掌握勾股数是正整数是解题关键．6．如图，以直角三角形的三边a ，b ，c 为边，向外分别作半圆、等腰直角三角形和正方形..上述三种情况中，面积关系满足S 1+S 2=S 3，的图形个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3；（2）第二个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3；（3）第三个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．【详解】（1）S1=π8a2，S2=π8b2，S2=π8c2，，∵a2+b2=c2，∴π8a2+π8b2=π8c2，∴S1+S2=S3．（2）S1=14a2，S2=14b2，S2=14c2，∵a2+b2=c2，∴14a2+14b2=14c2，∴S1+S2=S3．（3）S1=a2，S2=b2，S2=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3.综上，可得面积关系满足S1+S2=S3的图形有3个.故选D.【点睛】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（2）此题还考查了等腰直角三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1-S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S 1、S 2、3S 、4S 与△ABC 的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想.【详解】解：如图所示, 过点F 作FG⊥AM 交于点G, 连接PF.根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90o ,即∠ABC=∠EBD.在△ABC 和△EBD 中,AB=EB ，∠ABC=∠EBD, BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S 4=ABC S ,同理可证,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90o , 所以四边形AQFG 是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC, 所以点Q 、P, F 三点共线, 故S 3+S 1=AQF S , S 2=AGF S . 因为∠QAF+∠CAT=90o ,∠CAT+∠CBA=90o ,所以∠QAF=∠CBA, 在△AQF 和△ACB 中, 因为∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故S 1﹣S 2+S 3+S 4=ABC S = 12 ⨯3 ⨯4 =6,故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.8．在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S 1+S 2=1，S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，S 1+S 2+S 3+S 4=4，故选A ．点睛：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．9．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是（ ）A ．3:4B ．5:8C ．9: 16D ．1:2【答案】B【分析】 利用割补法求出阴影部分面积，即可求出阴影面积与正方形ABCD 面积之比．【详解】 解：阴影部分面积为214413=166=102-⨯⨯⨯-，正方形ABCD 面积为16，∴阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是10∶16=5∶8.故选B【点睛】在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，则BC 边上的高为（ ）．ABCD．【答案】C 【分析】根据题意可求得AB ，AC ，BC 的长，作AD⊥BC 于D ，根据勾股定理就不难得到AD 的长了．【详解】根据题意得BC = ∴△ABC 为一等腰三角形，作AD⊥BC 于D ，∴BD=，2=即BC边上的高为2故选C【点睛】解答本题要充分利用正方形的性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用．二、填空题11．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________ .【答案】13【解析】分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长.详解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理,得=在Rt△ABD中,BD=12,根据勾股定理,得=13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键.12．在平面直角坐标系中，已知点()A、)B，点C在坐标轴上，且8AC BC+=，写出满足条件的所有点C的坐标______．【答案】()0,3，()0,3-，()4,0，()4,0-【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则8x x+=，解得x=4或x=-4；②当点C 在y 8=，解得y=±3综上所述，满足条件的所有点C 的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理13．若A(8，4)和点B(5，k )间的距离是5，则k ＝____．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.14．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点()6,8P -的距离等于10的点共有______个． 【答案】3【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q （x ，0）或（y ，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q 点坐标【详解】解：设这一点为Q ，坐标轴上点Q 到点P 的距离等于10，若点Q 在x 轴上，设Q （x ，0）则10PQ =，解得x=0或x=-12，此时Q 点坐标为（0,0），（-12,0）；若点Q 在y 轴上，设Q （0，y ）则10PQ =，解得y=0或y=16，此时Q 点坐标为（0,0），（0,16）所以坐标轴上到点P （-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论15．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于____．【答案】2π【分析】首先把1S 与2S 的表达式列出来，然后求和时根据勾股定理可得到与斜边AB 平方的关系，然后得到1S +2S 的值．【详解】2121==228AC C S A ππ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，2221=2=28BC B S C ππ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅ 则1S +2S =()2222888AC BC AC BC πππ⋅+⋅=⋅+ 在直角三角形ABC 中有：222AC BC AB +=则1S +2S =()222=162888AC BC AB ππππ⋅+⋅=⨯=故答案为：2π【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题关键在于通过勾股定理建立好两个半圆的面积与斜边的联系．16．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A （2，3）、B （4，1），已知AB 两点，则“宝藏”点的坐标是 ．【答案】（1，0）或（5，4）【分析】根据两点间的距离公式列方程组求解即可．【详解】解：设宝藏的坐标点为C （x ，y ），根据坐标系中两点间距离公式可知，AC=BC ，=两边平方，得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=（x ﹣4）2+（y ﹣1）2，化简得x ﹣y=1；，所以（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=10； 把x=1+y 代入方程得，y=0或4，即x=1或5，所以“宝藏”C 点的坐标是（1，0）或（5，4）．故答案为（1，0）或（5，4）．17．如图，3×3网格中一个四边形ABCD ，若小方格正方形的边长是1，则四边形ABCD 的周长_______【答案】【分析】由于小方格正方形的边长为1，由勾股定理根据图形可以分别求出AD，CD，AB，BC，然后就可以求出四边形ABCD的周长．【详解】解：由于小方格正方形的边长为1，由勾股定理从图中知，四边形ABCD.【点睛】解答本题的关键是熟练掌握网格的特征，灵活选择合适的直角三角形运用勾股定理．⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则AB，AC，AD，三条线段中，长18．如图，在26度最接近5的线段是______.【答案】AC【分析】根据题意找到AC、AB、AD所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．【详解】根据题意得：=，==因为所以长度最接近5的线段是AC．故答案为AC【点睛】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．19．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△，则△中边上的高是 ．【答案】2【分析】求出三角形ABC 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC 边上的高．【详解】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，S △ABC =S 正方形AEFD -S △AEB -S △BFC -S △CDA =1113221211122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= =∴△ABC 中BC 边上的高是322⨯= 故答案为：220．观察下列式子：当2n =时，224a =⨯=，2213b =-=，2215c =+=，3，4，5是一组勾股数； 当3n =时，236a =⨯=，2318b =-=，23110c =+=，6，8，10是一组勾股数； 当4n =时，248a =⨯=，24115b =-=，24117c =+=，8，15，17是一组勾股数……根据以上规律，用含n （2n ≥的整数）的代数式表示具备上述特点的勾股数a = _______，b = _______，c =_______.【答案】2n ； 21n -； 21n +.【分析】分析题中所给式子，即可得出a ＝2n ，b ＝n 2−1，c ＝n 2＋1．【详解】根据以上规律，用含n （2n ≥的整数）的代数式表示具备上述特点的勾股数：a ＝2n ，b ＝n 2−1，c ＝n 2＋1.【点睛】此题主要考查了数据变化规律以及勾股数，根据所给式子得出a 、b 、c 与n 的关系是解题关键．三、解答题21．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.【答案】12BEFD S =正方形.【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=. 所以212BEFD S BD ==正方形.【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.22．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．【答案】（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.【详解】（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10===，∴△ADB的面积为ADB11S AB DE1031522∆=⋅=⨯⨯=.23．如图，点E在正方形ABCD内，AE=6，BE=8，AB=10．试求出阴影部分的面积S．【答案】76【解析】试题分析：先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积-直角△ABE的面积即可求解.试题解析：在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，∴△ABE是直角三角形，∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76．24．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．【答案】10【分析】根据直角坐标系的特点及勾股定理即可求出各边的长，即可求出周长与面积.【详解】解：∵A（0，2），B （4，0），C （6，4），BCAC，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC＝＝∵AB 2+BC2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积＝1102⋅=．【点睛】此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是熟知勾股定理进行求解.25．已知，如图，点A （a ，b ），B （c ，d ）在平面直角坐标系中的任意两点，且AC⊥x 轴于点C ，BD⊥x 轴于点D ．（1）CD= ，|DB ﹣AC|= ；（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）（2）请猜想：A ，B 两点之间的距离 ；（3）利用猜想，若A （﹣2，5），B （4，﹣4），求AB 两点之间的距离．【答案】（1）,c a b d -- ；（2；（3）【分析】（1）CD 的长为A 、B 两点的横坐标之差的绝对值；|DB ﹣AC|为A 、B 两点的纵坐标之差的绝对值；（2）作垂线构造直角三角形，利用勾股定理推出距离公式；（3）利用（2）的公式计算．【详解】解：（1）CD=|c ﹣a|，|DB ﹣AC|=|b ﹣d|；（2）如图，过点B 作BE ⊥AD 与点E ， AE a c =-，BE bd =-， 由勾股定理，AB ==（3）根据上一问的公式，=． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需要注意的是在用坐标表示线段长度的时候要加上绝对值．26．已知：整式()()22212A n n -＝+，整式0B >．尝试: 化简整式A ．发现: 2A B =，求整式B ．联想:由上可知，222212B n n +＝（﹣）（），当n ＞1时2,1,2,n n B -为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：【答案】尝试：221（）A n =+；发现：21＝B n +；联想：17，37. 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答．【详解】A=（n 2﹣1）2+（2n ）2=n 4﹣2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2+1=（n 2+1）2．∵A=B 2，B ＞0，∴B=n 2+1，当2n=8时，n=4，∴n 2+1=42+1=17；当n 2﹣1=35时，n 2+1=37．故答案为：17；37．【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．。
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)
3、运用勾股定理进行计算（重难点）
（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
①x2+y2=49， ②x﹣y = 2，
③2xy+4=49， ④x+y=9．
其中说法正确的是（ ）
A、①② B、①②③
C、①②④ D、①②③④
二．填空题（共2小题）
12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．
13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）
A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
A、 16 B、15
C、 14 D、13
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A、 1 B、
C、 D、2
6．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对
② ，则该△为三角形
专题04 勾股定理与网格问题(解析版)
专题04 勾股定理与网格问题一、单选题1．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条【答案】B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【解析】=，=d=2，5∵长度是无理数的线段有2条，故选B．【小结】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．A B C E为格点．O为大正方形的内切圆，BC 2．如图，在22⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1,,,,∠=（）交O于点D，则cos AEDA B C．D5【答案】B【分析】由圆周角定理得到∵AED=∵ABD ，再由勾股定理求出BC 的长，即可求出cos∵AED 的值．【解析】由题意可得，∵AED=∵ABD在Rt∵ABC 中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：==所以cos∵AED=cos∵ABD=AB BC == 故选：B ．【小结】本题考查了圆周角定理，利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，解题的关键是找到直角三角形，从而利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形3．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵【答案】A【分析】 利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.【解析】由图，根据勾股定理，可得出∵图中阴影三角形的边长分别为：；∵∵图中阴影三角形的边长分别为：∵图中阴影三角形的边长分别为：可以得出∵∵22===，所以图∵∵两个阴影三角形相似；故答案为：A.【小结】本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确. 4．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则BAC ∠的大小是（ ）A ．30BAC ∠=B ．45BAC ∠= C ．60BAC ∠=D ．90BAC ∠=【答案】D【分析】 根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案．【解析】2AB ==AC ==5BC ==∵AB 2+AC 2=BC 2=25，∵∵ACB 是直角三角形，∵∵BAC=90°．故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．5．在正方形网格中，ABC ∆的位置如图所示，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，先证出∵ADC 是直角三角形和CD 的长，即可求出sin BAC ∠的值．【解析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，如下图所示，由图可知：∵ADC 是直角三角形，CD=3个小正方形的边长根据勾股定理可得：5=个小正方形的边长 ∵3sin 5CD BAC AC ∠== 故选A ．【小结】此题考查的是求一个角的正弦值，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键．6．如图，正方形ABCD 是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE ，AF ，则EAF ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】 连结EF ，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE ，EF ，AF 的长度，继而可得出∵EAF 的度数．【解析】如图，连接EF .根据勾股定理，得225AE EF ==，210AF =.因为5510+=，所以222AE EF AF +=，所以AEF ∆是等腰直角三角形，所以45EAF ∠=︒.故选B.【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断∵AEF 是等腰直角三角形是解决本题的关键．7．如图，在44⨯的正方形网格中，点A ，B ，M ，N 都在格点上．从点M ，N 中任取一点，与点A ，B 顺次连接组成一个三角形，则下列事件是必然事件的是（ ）A．所得三角形是锐角三角形B．所得三角形是直角三角形C．所得三角形是钝角三角形D．所得三角形是等腰三角形【答案】D【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件的概念解答．【解析】如图，连接AN，AM，BM．A、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是锐角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．B、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是直角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．C、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是钝角三角形属于不可能事件，故本选项说法错误．D、如图，由AB＝BN，AM＝BM得到∵ABN和∵ABM是等腰三角形，则所得三角形是等腰三角形属于必然事件，故本选项说法正确．故选D．【小结】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件，解题时，利用了数形结合的数学思想，难度不大．，则AC边上的高是（）8．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得ABCA B C D 【答案】D【分析】首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC 的长，最后根据三角形的面积公式求出AC 边上的高．【解析】∵三角形ABC 的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即S ∵ABC =2×2－12×1×2－12×1×2－12×1×1=32，=,∵AC 边上的高=3122÷. 故本题答案为：D.【小结】本题主要考查了勾股定理、正方形及三角形的面积公式，根据题意求出∵ ABC 的面积及AC 的长是解题的关键.9．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB ∠的值为（ ）A B C ．12 D ．3【答案】A【解析】【分析】设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ，由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin∵ACB 的值．设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ， ∵S ∵ABC =2×7-12×1×3−12×1×7−12×2×4=5， 由勾股定理可知：AC=221752+= ，∵12AC•BD=5， ∵BD=2，由勾股定理可知：BC=221310+= ，∵sin∵ACB=BD BC =25510= . 故选：A ．【小结】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD 的长．10．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∵CAB 等于（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin∵CAB【解析】作CD ∵AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC BC ＝2，AB ∵322AB CD BC ⋅⨯=，∵2322CD ⨯=，解得，CD∵sin∵CAB ＝CD AC ==， 故选：B ．【小结】本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，∵ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos∵C ＝（ ）A ．12B ．2C ．2D 【答案】D【分析】连接BD ，根据图形，可以求得AB 、AD 、DB 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到∵ADB 时直角三角形，再根据图形，可以得到AC 、BC 的长，即可得到CD 的长，然后即可得到cos∵C 的值．【解析】连接BD ，由图可得，BD ，AD AB ，∵BD 2+AD 2＝AB 2，∵∵ADB 是直角三角形，∵ADB ＝90°，∵AC=AD BC 5=，∵CD ＝，∵cos∵C ＝CD CB =， 故选：D ．【小结】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∵C ＝CD CB，是解题的关键． 12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，ABC ∆是格点三角形，在图中的88⨯正方形网格中，将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆（不含ABC ∆），使得ADE ∆也是格点三角形（同一位置的格点三角形ADE ∆只算一个），这样的格点三角形ADE ∆一共有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用勾股定理求出AB=5=AC ，利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ，可得3个∵ADE 即可．【解析】利用勾股定理=5=AC ，以点A 为圆心旋转∵BAC 得∵AD 1E 1，以点A 为圆心旋转90°得∵AD 2E 2，以点A 为圆心旋转90°+∵BAC 得∵AD 3E 3，在网格中将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆共有 3个．故选择：C ．【小结】本题考查三角形全等变换，掌握全等变换的方法，关键利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ． 13．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A ．S ∵ABC ＝10B ．∵BAC ＝90°C ．AB ＝D ．点A 到直线BC 的距离是2【答案】A【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．A 、S ∵ABC ＝4×4﹣12×3×4﹣12×1×2﹣12×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B 、∵AC 2＝12+22＝5，AB 2＝22+42＝20，BC 2＝32+42＝25，∵AC 2+AB 2＝BC 2，∵∵BAC ＝90°，本选项结论正确，不符合题意；C 、∵AB 2＝20，∵AB ＝D 、设点A 到直线BC 的距离为h ，则1212×5×h ， 解得，h ＝2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．14．如图，在四个44⨯的正方形网格中，三角形相似的是（ ）A ．∵和∵B ．∵和∵C ．∵和∵D ．∵和∵【答案】D【分析】 根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【解析】如图∵=2=如图∵==、3如图∵，该三角形的三条边长分别是：2==如图∵，该三角形的三条边长分别是：35．只有图∵中的三角形的三条边与图∵中的三条边对应成比例，故选：D ．【小结】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．15．在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A ．sin 2A =B ．1cos 2A = C ．tan 3A = D ．cos A =【答案】D【分析】本题需要构造出直角三角形，求出A ∠的度数，进而得出结论．【解析】如图将各顶点分别记为D 、E 、F ，连接BC ，由题意可得每个小格是一个正方形，设正方形的边长为1，∵1AF =，1AE =，1DC =，3BF =，2CE =，2BD =，根据勾股定理得：ABAC = BC ==∵2210+=，即 222AC BC AB +=，∵ACB 是直角三角形，且AC BC =，∵ACB 是等腰直角三角形，∵45A ∠=︒，∵cos A =故选：D ．【小结】此题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的相关知识，正确理解题意是解题的关键． 16．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得∵ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【解析】由勾股定理得：AC =∵S ∵ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∵12AC•BD ＝72，＝7，∵BD 故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．17．如图，∵ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∵ACB 的值为（ ）A ．13B ．35C ．23D ．12【答案】D【分析】根据题意连接BD 可知90ADB ∠=︒，进而利用勾股定理得出BD 和CD ，最后即可得出tan∵ACB 的值．【解析】如图，连接BD ，根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，则有BD CD ====，所以12BD tan ACB CD ∠===． 故选：D ．【小结】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．18．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示（顶点均落在格点上），则cos α的值是（ ）A．35B．34C．45D．53【答案】C【分析】在直角三角形ABC中，先求解AB的长，再由锐角的余弦的定义直接可得答案．【解析】如图，标注三角形的顶点,,,A B C904,3,ACB AC BC∠=︒==，5,AB∴=由余弦的定义可得：4 cos.5ACABα==故选：.C【小结】本题考查的是余弦的定义，勾股定理的应用，掌握锐角余弦的定义是解题的关键．19．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为（）A B C D 【答案】A【分析】首先，根据勾股定理求得ABC ∆各边的长度；然后，根据勾股定理逆定理推知ABC ∆是直角三角形；最后，根据面积法来求ABC ∆中AB 边上的高．【解析】设ABC ∆中AB 边上的高为h ．210AB ，28AC =，22BC =，222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒， 1122ABC S BC AC AB h ，即112221022h ．解得，h =． 故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 20．图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到∵ABC ，则AC 边上的高为（ ）A B C D．2【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用网格采取分割法求出三角形ABC的面积，利用面积公式求出AC边上的高即可．【解析】小正方形边长为1，利用网格与勾股定理求得S∵ABC=S正方形ADEF-S∵ADC-S∵CEB-S∵AFB=4-1-12-1=32，设AC边上的高为h，∵13 AC h22=，∵h5=，故选择：A．【小结】本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积，掌握勾股定理以及面积额的求法，会利用面积求三角形的高是解题关键．21．如图，网络中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置的个数是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由勾股定理求出AB=∵当A为顶角顶点时；∵当B为顶角顶点时；∵当C为顶角顶点时；即可得出结果．【解析】由勾股定理得：AB=∵当A为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；∵当B为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有2个；∵当C为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1＋2＋1＝4（个）．故选：C．【小结】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定，分类讨论是解决问题的关键．22．如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将∵OAB绕点O逆时针旋转90°，得到∵OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（）A．B．5C D【答案】C【分析】由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．如图，由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，∵每个小正方形的边长均为1，∵AB'=故选：C．【小结】本题考查了旋转的性质，勾股定理，确定点B'的位置是本题的关键．23．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测km那么能半径为5km的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在Р点，每一个小格的边长为1,被雷达监测到的最远点为（）A．G点B．H点C．M点D．N点【答案】B【分析】根据网格特征结合勾股定理分别求得点P到各点的距离即可判断．【解析】PG=3，PN=4，=，5=>，不在监测范围内，5∵能被雷达监测到的最远点为H点，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．24．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∵ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．150 °【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理证明∵ACB为等腰直角三角形即可得到∵ABC的度数．【解析】连接AC，由勾股定理得：，∵AC2+BC2=AB2=10，∵∵ABC为等腰直角三角形，∵∵ABC=45°，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是（ ）．A ．AB ，CD ，EFB ．AB ，CD ，GHC ．AB ，EF ，GHD ．CD ，EF ，GH【答案】B【分析】 先运用勾股定理计算出四条线段的平方，在每个选项中：把三条线段的平方按大小排序．若两个小数之和不等于最大的数，则不能构成直角三角形，该选项错误；若较小的两数之和等于最大的数就能构成直角三角形，该选项正确．【解析】由题意可得222125GH =+=，222228EF =+=，2223425AB =+=，2222420DC =+=，对于A 选项，∵222228EF =+=2223425AB =+=2222420DC =+=20+8≠25∵AB ，CD ，EF 三条线段不能构成直角三角形．对于B 选项，∵222125GH =+=2223425AB =+=2222420DC =+=∵GH ，DC ，AB 三条线段能构成直角三角形．对于C 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2223425AB =+=5+8≠25∵AB ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．对于D 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2222420DC =+=5+8≠20∵CD ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．综上讨论只有B 选项中三条线段能构成直角三角形．故选：B ．【小结】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．运用勾股定理计算长度时，要分清直角边和斜边，计算斜边用平方和，计算直角边用平方差；运用勾股定理的逆定理时，先把三角形三边按大小排序，再看最大边的平方是否等于较小两边的平方和，若相等则构成直角三角形，否则不构成直角三角形．26．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ， B 都是格点，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．2【答案】A【分析】 建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度即可．【解析】5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理的知识，关键是作出图形使用勾股定理求解．27．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦值为（ ）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∵ABC 的余弦值．【解析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．AB=2232BD AD +=，BC=2210BD CD +=．∵12AC•BD=12AB•CE ，即12×2×3=12•CE ，，=∵cos∵ABC=5BE BC ==． 故选：B ．【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC的长度是解题的关键．28．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos∵ADC 的值为（ ）A ．13BC ．13D ．23【答案】C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【解析】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt∵ABC 中，2AC =，3BC =，∵AB =∵cos∵ADC 3cos13BC ABC AB =∠===； 故答案选C ．【小结】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键．∠的度数为（）29．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABCA．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∵ABC 的度数．【解析】如图，连结AC，由题意可得：=====AB AC BC∵AC=BC，222AB AC BC=+，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC=∵BAC=45°，故选A ．【小结】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．30．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】 把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【解析】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0）则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【小结】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键. 31．如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．12B ．2C ．1 D【答案】B【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【解析】如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC +=，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠=== 故答案为B ．【小结】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．32．如图，设每个小方格的边长都为1 ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】2，3【解析】2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF故选：D．【小结】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．33．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则ABC中AB边上的高长为（）A B C D．2【答案】A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出∵ABC的面积和AB的长，利用三角形面积公式可得答案．【解析】过C作CD∵AB于D，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， 且12ABC S AB CD =⋅△，∵AB == ∵1322AB CD ⋅=，则CD ==， 故选：A ．【小结】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】 欲求有几个符合条件的三角形与ABC 相似，先利用勾股定理求出ABC 的三边的长度，然后再去求以D ，1P ， 5P 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．【解析】根据题意得AC =AB =5BC =. 连接25P P，5DP =2DP =25P P =. 故522AC AB BC DP DP P P ==，∵52ACB DP P .同理可找到24P P D ，54P DP 和ACB △相似.故选B.【小结】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”, 理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键．35．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A 、B 、C 、D 四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（ ）AB ．5.5 CD ．【答案】A【分析】 设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．【解析】设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，在Rt∵DET、Rt∵POT、Rt∵PHA，Rt∵ABM中，可得EF＝ET+OT+AH+AM＝2x sinθ+3x cosθ＝19, ∵JH＝PJ+PH＝3x cosθ＝15, ∵解得x sinθ＝2，x cosθ＝5；两边平方相加得x2＝29，所以正方形的边长x．故选：A．【小结】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．二、填空题36．如图所示，∵ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD∵AC于点D，则BD的长为____________【答案】3【分析】BD即为∵ABC中AC上的高，利用等面积法即可求得BD．【解析】根据网格可知，BC=5，5AC==，11153=5222ABC S AC BD BD ， 解得BD=3，故答案为：3．【小结】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识．掌握等面积法是解题关键．37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点,,A B C 在小正方形的格点上，连接,AB BC ，则ABC ∠=________．【答案】45【分析】 连接,AC 利用勾股定理求解222,,,AB AC BC 证明ABC 为等腰直角三角形，从而可得答案．【解析】如图，连接,AC由勾股定理得：2222222221310,1310,2420,AB AC BC =+==+==+=222,,AB AC AB AC BC ∴=+=ABC ∴为等腰直角三角形，90,BAC ∠=︒45,ABC ∴∠=︒故答案为：45︒,【小结】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．38．如图，点A、点B均在边长为1的正方形网格的格点上，则线段AB的长度_______________3．(填“>”，“=”或“<”)【答案】＜【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】AB==∵(28=，239=，89<，∵3，故答案为：<．【小结】本题考查了勾股定理以及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键．39．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，∵ABC 的三个顶点都在格点上，则AB 边上的高为___________．【答案】65【分析】 如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积公式即可得．【解析】设AB 边上的高为h如图，由网格的特点得：2,4,3,5AC AD BD AB =====1122ABC S AC BD AB h =⋅=⋅ 1123522h ∴⨯⨯=⨯⋅ 解得65h = 故答案为：65．【小结】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．40．如图，ABC 在三个顶点均在正方形网格格点上，求AB AC=______．【分析】设正方形网格边长为x ，再根据勾股定理求得AB 、AC 的长度，从而求得其比值即可．【解析】设正方形网格边长为x ，=，=，∵10AB AC ==．． 【小结】考查了勾股定理，解决关键是根据勾股定理求出AB 和AC 的值．41．在如图所示的正方形网格中，∵ABC 的三个顶点A 、B 、C 均在格点上，则点C 到AB 的距离为_____．【答案】85【分析】设点C 到AB 的距离为h ，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】设点C 到AB 的距离为h ，∵AB 5，∵S ∵ABC ＝12×2×4＝12×5×h ，∵h ＝85， 故答案为：85． 【小结】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．42．如图所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点均为格点，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD =________．【答案】【分析】如图，根据SABC ABG BCF AEC BGEF S S S S =---矩形，12ABC S AB DC =△据此可求． 【解析】 115S 5420,448,51222ABG BCF BGEF S S =⨯==⨯⨯==⨯⨯=矩形， 131322AEC S =⨯⨯=△， ABC ABG BCF AEC BGEF S S S S S ∴=---矩形，5320822=---， 8=，Rt ABG A B ===在中，CD AB ⊥，1142822ABC S AB CD CD ∴==⨯=△，CD ∴=，故答案为：【小结】本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积． 43．如图，已知∵ABC 的3个顶点均在格点上，则tanA 的值为__．【答案】12【分析】 如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD∵AC ，解直角三角形即可得到结论．【解析】如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD ∵AC ，解直角三角形即可得到结论．如图，连接BD ，∵BC ＝2，BD ，CD∵22222224CD BD BC +=+=+==，∵BD ∵AC ，∵BD AD∵tanA ＝BD AD ＝12， 故答案为：12． 【小结】本题考查了解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．44．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出∵EFD 、∵ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∵EDF ∵∵BAC ，即可解决问题．【解析】设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∵DE ＝EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∵1EF DE DF BC AB AC ===， ∵∵EDF ∵∵BAC ，∵DEF 与ABC ，．。
勾股定理的典型应用举例
勾股定理的典型应用举例勾股定理，在数学中有着非常重要的应用。
下面就举例说明。
1、拼图中用勾股定理例1、(温州市)在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。
解析：设面积为S 1的正方形的边长AB=x ，面积为S 2的正方形的边长DE=y ，面积为S 3的正方形的边长PQ=m ，面积为S 4的正方形的边长ST=n ，我们易证△BAC ≌△CDE ，△GFH ≌△HMO ，△QPR ≌△RTS ，所以，根据勾股定理，得：x 2+y 2=BC 2=1，y 2+z 2=GH 2=2，z 2+m 2=QR 2=3，x 2+y 2+y 2+z 2+z 2+m 2=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2+（z 2+y 2）=1+2+3，x 2+y 2 +z 2+m 2=4，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4。
2、正方形网格上用勾股定理例2、在5×5的正方形网格上，如图2，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则a 、b 、c 的大小的关系是 ：A a ＜b ＜cB c ＜a ＜bC c ＜b ＜aD b ＜a ＜c （04广州）分析 ：假设每个正方形的边长为1，分别在三个阴影三角形中，根据勾股定理，得：AC=b=，=+2215AB=c==，2232+13BC=a==231+10所以，b ＜a ＜c ，因此，D 是正确的。
解：选D 。
例3、在5×5的正方形网格上，如图3，在三角形ABC 中，三角形的三边的长分别为a ，b ，c ，则点B 到AC 的距离是 。
分析：直接求这个距离，比较不容易，如果通过求三角形ABC 的面积，后利用面积公式求就容易多了。
数学网格问题
3
【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果 △A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为 （ ）．
A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ．
[解析] 根据轴对称的性质， y 轴垂直平分线段AA'，因此点 A与点A'的横坐标互为相反数， 纵坐标相等．点A(－4，2) ， 因此A'(4，2)．选D．
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直 线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC C G 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个 N 等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 A AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边 的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜 边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三 角形有3个，符合题意的点有4大个家．好 选C．
[解析] 图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过 程中对应点的连线平行且相等．图1中的图形N平移到图2，就 是点A平移到点A′，先向下移动大2家格好 ，再向左移动1格，选C． 13
【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将
△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
4(n+1)．
网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖
的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，
网格问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开
展复习．
大家好
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大家好
中考数学复习：专题4-12 网格中的勾股定理
专题12 网格中的勾股定理【专题综述】网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。
正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。
【方法解读】一、面积问题例1 如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2【举一反三】如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习二、长度问题例2 如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c【举一反三】勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。
我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。
我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。
现在把这个数轴叫做x 轴，同时，增加一个垂直于x 轴的数轴，叫做y 轴，如下图。
这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A 点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所对应的点即为A 。
若平面上的点M ()11,x y ，N ()22,x y ，我们定义点M 、N 在x 轴方向上的距离为： 12x x -，点M 、N 在y 轴方向上的距离为： 12y y -。
勾股定理与网格问题
勾股定理与网格问题
1、在边长为１的小正方形组成的网格中,△AＢC的三个顶点均在格点上，则△ABC中BC边上的高为
2、如图，在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC是否是直角三角形．
3、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ＡBC的三个顶点均在格点上，则△ＡBC的周
长是
4、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则ＢＣ边上的高为．
5、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ＡBＣ的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题: （1）用签字笔画AＤ∥BC(Ｄ为格点）,连接C
Ｄ；
(2)通过计算说明三角形ABC是直角三角形;
(3）线段CD的长为
(4)四边形ABCＤ的面积是
ﻫ
６、如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ＡBC的三个顶点均在格点上，Ｅ为BC中点，请按要求完成下列各题:ﻫ(1)画AＤ∥ＢC（D为格点）,连
接ＣD；
(２）通过计算说明△ABC是直角三角形;
7、如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.ﻫ请按要求完成下列各题:ﻫ(1)画AD∥ＢC（Ｄ为格点)，连接CD;ﻫ（2）试判断△ＡBC的形状?请说明理由;
(3）若E为BC中点，F为AD中点.四边形AECF是什么特殊的四边形?
请说明理由.
7、如图,在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点
上，请按要求完成下列各题:ﻫ(1)画线段AD∥BC且使AD=BC，连接Ｃ
D；
（2）线段AC的长为；
(3)△ACＤ的形状为；
(４）若E为BＣ的中点,则AE的长为．。
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c2 c
a a2
例1 如图是由边长为1m的正方形地 砖铺设的地面示意图，小明沿图中 所示的折线从A→B→C所走的路程 为__2_5__m(结果保留根号)．
A
B C
例2 如图，在由单位正方形组成的
网格图中标有AB、CD、EF、GH
四条线段，其中能构成一个直角三
角形三边的线段是（ C ）
求△ABC的面积．
m
A
n
C B
S△ABC＝8mn
1．如图，在正方形网格中，每个小正 方形的边长为1，则网格上的△ABC的 边长为无理数的边数是（ C ） A．0 B．1 C．2 D．3
A
C
B
2．在5×5的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1，请在给定网格中按 下列要求画出图形．
(1)从点A出发画一条线段AB，使它的 另一端点B在格点上，且长度为 5 ； (2)画出所有的以(1)中的AB为边的等
5
22
3
5、2 2、3
29 10
37
10、 29、 37
例5 如图，在4×4的正方形网格中， 小正方形的边长为1，A、B、C三点 都是小正方形的格点．请你过点C做 出线段AB的垂线CD，使得点D也是 正方形的格点，并说明理由．
A
C
B
D
例6 如图，在4×4的正方形网格中画出 格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且 相似比为 2 ．
A．CD、EF、GH C E B
B．AB、CD、GH
H
C．AB、EF、GH D．AB、CD、EF
F
A
D
G
例3 如图，小正方形的边长为1， 则△ABC的AC 边上的高是（ D）
A．3
2 2
C．4 5 5
B．3105
A
B
D．3
5 5
C
例4 如图，每一个小正方形的边 长都是1．请以图中的格点为顶点 画出相应的三角形．
D
F
E
C
AB
例7 如图，在5×5的网格中画出格点 △DEF，使△DEF∽△ABC，且面积 最大，并求出相似比．
F
D
E C
D A4的正方形网格中， 每个小正方形的边长都是1．请判断格 点△ABC和△DEF是否相似，并证明 你的结论． A B
C D
FE
问题1 在△ABC中， AB＝ 5，BC＝ 10，AC＝ 13， 求△ABC的面积．
腰三角形，使另一个顶点在格点上， 且每边的长度都是无理数．
C1
C2
C5
C6
A
B
C4
C3
C8
C7
你能通过建立正方形网格，再在网 格中画出格点△ABC，利用割补法 求出△ABC的面积吗？
A
1
B C
S△ABC＝3.5
问题2 在△ABC中， AB＝ 5a ，BC＝2 2a，AC＝ 17a， 求△ABC的面积．
A
a
B
C S△ABC＝3a2
问题3
在△ABC中，
AB＝ m2 16n2 ， BC＝ 9m2 4n ， AC＝ 2 m2 n2 ， 其中m＞0，n＞0且m≠n，