2020年中考复习 几何代数综合题 的解法(2)

2020年中考复习几何代数综合题的解法（2）

1.(2018。永州)如图，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B，C两点，与y轴交于点E（0，3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点F（0，-3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图②，连接AB，若点P是线段OE上一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M，N（点M，N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积。

解析：(1)设抛物线y=a(x-1)2+4，将点E（0，3）代入求a，化为一般式得：y=-x2+2x+3。

（2）作E关于对称轴的对称点E` ，连接FE`交对

称轴于点P。由题意可得E`(2，3)，设直线解析式

为y=kx+b，将E`(2，3)，F（0，-3）两点代入可得

y=3x-3，当X=1时，y=0，所以P （1，0）.根据两点间线段最短，可知存在点G （P ），使得EG+FG 最小。 （3）设点N （n, -n 2+2n+3）,过点N 作NH ⊥OB,NG ⊥OA,垂足分别为点G 、H 。知道A(1,4), B （0，3）可求得直线AB 的解析式：Y=-2X+6，这样可得D （n,-2n+6），进而求得ND=-n 2+4n-3.由题意可得△NMD ∽△BHD ∽△BFA,所以FA

ND

=

BF MN ,BF=2,FA=4,这样MN=５

５＋－２－

２)n (55又知1

设直线PN 解析式为y=2

1

x+b ，N 点代入得，y=2

1x+2，所以PO=2.

故△PON 的面积 =21PO ·NG=2

1

×2×2=2.

2.（2018.玉林）如图，直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点p ，连接PB ，得△PCB ≌△BOA （O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.

（1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m 为何值时，△MAB 的面积S 取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标。

解析：(1)由△PCB ≌△BOA 可得PC=OB=3,BC=OA=1,所以P （3，4），（0，4）.将P （3，4），C （0，4）代入解析式得，b=3, c=4，所以抛物线y=-x 2+3x+4。

（2）过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，

则S △AMB =S 梯形MNOB -S △AOB -S △AMN ,代入整理得；S △AMB =-2

1（m-3）2+5,又知 0≤m ≤4，且a=-2

1<0，所以当m=3时，有最

大值为5，当m=0时，面积最小为2

1

。

（3）此问分两种情况①当M 点在OP 左侧，当∠MPO=∠POA 时，M 点与P 重合，此时M （0，4）.②当M 点在OP 的右侧，当∠MPO=∠POA 时，有PG=OG,设G （x ，0）由勾股定理得 PG 2=（x-3）2+16 所以x 2=（x-3）2+16 解得x=

6

25

，这样可求得PM 的解析式：

Y=-724x+7

100与

y=-x 2+3x+4建立方程组可求得M(

724,49124

) 当∠MPO=∠POA 时,M(0,4)或M(724,49

124

)

3.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与两坐标轴相交于A(-1,0),B(3,0),C （0，

3），D 是抛物线的顶点，E 是线段AB 的中点。 （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；

（2）F （x,y ）是抛物线上的动点：①当X>1, Y>0时，求△BDF 的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE 时，求点F 的坐标。 解析：（1）将A(-1,0),B(3,0),C （0，3）代入抛物线解析式：可得a=-1,b=2,c=3,所以y=-x 2+2x+3. (2)

①过点F 作FG ∥y 轴,交DB 于点G 。

利用两点法可求得直线DB 的解析式：y=-2x+6，则FG=-x 2+4x-3. 所以S △DBF =2

1

×(-x 2+4x-3)×2 =-2

1(x-2)2+1

由-2

1<0，知当x=2时，三角形的面积最大为1.

②当∠AEF=∠DBE 时，有如图两种情况，

因为EF ∥DB ，所以斜率相同，k 值为-2，又知道过点E ，可求得EF 的解析式：y=-2x+2将其与y=-x 2+2x+3建立方程组可得F （2-5，

25-2）.由对称性可求得在横轴下方时的解析式：y=2x-2再与y=-x 2+2x+3建立方程组，可得F （-5，-25-2）。

4.（2018.衡阳）如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （-1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E 。

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P 在线段OB （点p 不与O ，B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN ，MB ，请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）将点A （-1，0）和点B （3，0）代入抛物线解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x 2-2x-3. (3)

通过同角的余角相等得∠EPO=∠PCB,

∠EOP=∠PBC-900,得△EPO ∽△PCB ，所以

BC

OP

=

PB EO ,设OE=y ，OP=x ，则y=-41x 2+43x=-41(x-23)2+169

(0

又-41<0，所以当x=23时，OE 有最大值为16

9。

(4) 过点M 作MG ∥y 轴，交BN 于点G ，

设M （m,m 2-2m-3）。由N 、B 两点可求得直