由系统函数零极点分布决定频响特性

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信号系统课程设计系统函数的零极点分布决定时域特性

信号系统课程设计--系统函数的零极点分布决定时域特性成绩评定表课程设计任务书摘要本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。

首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。

然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。

最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。

关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件目录1课程设计目的 (1)2实验原理 (1)3实现过程 (1)3.1MATLAB简介 (1)3.2系统函数极点分布情况 (2)3.2.1极点为单实根 (2)3.2.2极点为共轭复根 (2)3.2.3极点为重根 (2)3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2)3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6)3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6)3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19)3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19)3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19)4设计体会 (23)5参考文献 (24)1 课程设计目的1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。

2.学习MATLAB 软件知识及应用。

3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。

2 实验原理拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。

由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。

当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。

拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

拉普拉斯变换408由系统函数零极点分布决定频响特性分段函数拉普拉斯变换复变函数拉普拉斯变换阶跃函数拉普拉斯变换正弦函数拉普拉斯变换频响函数频响函数传递函数matlab求频响函数matlab频响函数幅频响应函数
§ 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性
•定义 •几种常见的滤波器
•根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
j
σ
O
zj
jω 是滑动矢量， jω 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 N m e jψm H jω K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 M n e jθ n
N1 N 2 N m e jψ1 ψ2 ψm K M1 M 2 M n e jθ 1 θ 2 θ n
H jω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
X
二．几种常见的滤波器
H j
低通滤波器
H j
高通滤波器
通带
O
阻带
c 截止频率
H j

O
c

带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2

O
c1
c 2

X
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H jω H s s jω K
s z
m
s P
i 1 i
j 1 n
j
s jω K
jω z
m
jω p
i 1 i
j 1 n
j
可见H j ω的特性与零极点的位置有关。

§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

jω
p1
z1
jω
p3
j2
j1
j2
j1
z3
−2
−1
ψ1 O
− j1
θ1
1 2
θ3 ψ3
O
1 2
σ
−2
−1
σ
− j1
p2
z2 − j 2
p4
− j2
z4
ψ =ψ3 1
θ1 >θ3
ψ −θ1 < ψ3 −θ3 1
第
三．级联
非最小相移网络可以等效为最小相移网络与非最小相移网络可以等效为最小相移网络与全通网络最小相移网络的级联。的级联。
0
第
K− jω0
Em H( jω0 ) e− jϕ(ω0 ) = −2 j
Kjω0 =
Em H( jω0 ) e jϕ(ω0 ) 2j
3 页
Kn K1 K2 R(s) = + + + +⋯+ s + jω0 s − jω0 s − p1 s − p2 s − pn
K− jω0
Kjω0
系统的稳态响应
第
二．最小相移网络
20 页
零点仅位于左半平面或ω轴的网络称为“ j 移网络” • 零点仅位于左半平面或轴的网络称为“最小相移网络”。若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“ ●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数” 这类网络称为“非最小相移网络” 最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。
V2 (s) 1/ sc 1 1 H(s) = = = ⋅ V1(s) R +1/ sc RC s + 1 RC

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性

第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为S域函数F(S)；反之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的f(t) 。
由于f(t)与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函数的典型形式透视出内在性质。
而其零点位于
s 0 （一阶） s 1 j1 （一阶） s 1 j1 （一阶） s= （一阶）
（4.7-1）
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
将此系统函数的零、极点图绘于图中的平面内，用符号圆圈“o”表示零点， “x”表示极点。在同一位置画两个相同的符号表示为二阶，例如-1处有二阶极点
h(t)
L1[H (s)]
n
L1[
i 1
Ki ] s pi
n
L1[
i 1
Hi (s)]
n i 1
hi (t)
n
h(t) Kie pit i 1
（4.7-3）
1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形式出现。
2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（单调增幅）形式。

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性

如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
结论：
若H(s)极点落于左半平面，则h(t)波形为衰减形式；若H(s)极点落于右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃；而虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。
在s域中，系统响应与激励信号、系统函数
之间满足
R(s) H (s)E(s)
（4-84）
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
系统响应的时域特性
r(t) L1[R(s)]
(4.7-4)
显然，R(s)的零、极点由H(s)与的E(s)零、极点所决定。由前面可知，H(s)和E(s)可以分别写作以下形式：
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
为便于表征系统特性，定义系统行列式（特征方程）的根为系统的“固有频率”（或称“自由频率”、“自然频率”）。
由前节可看出，行列式△位于H(s)之分母，因而H(s) 的极点pi都是系统的固有频率，可以说，自由响应的函数形式应由系统的固有频率决定。
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间
函数为t或t2/2。如H (S)
1 S2
j
h(t) t
t
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应

m

s

z
j

m

j
ω

z
j

H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c

(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c

H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2

0
c1
c 2

(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω

K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn

K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复平面内。

§4-6 系统函数与系统的频响特性

H (s)
k s1
(s 1)(s 2 )
H ( j)
k j1
( j 1)( j 2 )
系统函数的零极图如下：
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
⑴ 当Ω=0，零点矢量的模等于0，相角
等于π/2，幅频响应|H( jΩ)|=0；极点矢量的相角均等于零， φ(Ω)= (π/2)。 1
如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。
先看以电容电压为输出的情况。其零极图如下：
R
ui (t)
C
uo (t)
⑴ 当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长为α，相角等于0；于是 |H( jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。
⑵ 当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑； |H( jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§4-6 系统函数的零极点分布与系统的频率响应
一、H(s)与H(jΩ)
由前所讲，拉氏变换是傅氏变换由实频域Ω至复频域s的推广，傅氏变换是拉氏变换在s平面虚轴上的特例。即
j
H ( j) H (s) |s j
二、H(s)的零极点分布与H(jΩ)
由于H(s)一般是有理分式，即它可表示为
s
C (s p1)(s p2)
上式中 1 ( 1 )2 4
p1,2 RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
令 1
2RC
1 LC

系统函数零极点分布决时域特性课件

总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的时间常数，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误差是指系统在稳态下的误差，动态误差是指系统在过渡过程中产生的误差。

实验三零极点分布对系统频率响应地影响(数字信号实验)

备注：（1）、按照要求独立完成实验内容。

（2）、实验结束后，把电子版实验报告按要求格式改名（例：09号_张三_实验七.doc）后，实验室统一刻盘留档。

实验三零极点分布对系统频率响应的影响一、实验目的学习用分析零极点分布的几何方法分析研究信号和系统频率响应。

二、实验原理如果知道信号的Z变换以及系统的系统函数H(z)，可以得到它们的零极点分布，由零极点分布可以很方便地对它们的频率响应进行定性分析。

信号的幅度特性由零点矢量长度之积除以极点矢量的长度之积，当频率ω从0变化到2π时，观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，重点观察那些矢量长度较短的情况。

另外, 由分析知道, 极点主要影响频率响应的峰值，极点愈靠近单位圆，峰值愈尖锐；零点主要影响频率特性的谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈深，如果零点在单位圆上，那么频率特性为零。

根据这些规律可以定性画出频率响应的幅度特性。

峰值频率和谷值频率可以近似用响应的极点和零点的相角表示，例如极点z1=0.9ejπ/4，峰值频率近似为π/4，极点愈靠近单位圆，估计法结果愈准确。

本实验借助计算机分析信号和系统的频率响应，目的是掌握用极、零点分布的几何分析法分析频率响应，实验时需要将z=ejω代入信号的Z变换和系统函数中，再在0~2π之间，等间隔选择若干点，并计算它的频率响应。

三、实验内容（包括代码与产生的图形）要求：不仅打印幅度特性曲线，而且要有系统频率特性的文字分析。

1. 假设系统用下面差分方程描述：y(n)=x(n)+ay(n-1)假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。

a=0.7代码：B=1;a=0.7A=[1,-a];subplot(3,1,3);zplane(B,A);xlabel('Êµ²¿Re');ylabel('Ðé²¿Im');title('y(n)=x(n)-ay(n-1)´«Êäº¯ÊýÁã¡¢¼«µã·Ö²¼');grid on[H,w]=freqz(B,A,'whole');subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('·ùÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ');axis([0,2,0,6]);subplot(3,1,1);plot(w/pi,angle(H),'linewidth',2);grid on;axis([-0.1,2.1,-3,3]);xlabel('\omega/\pi');ylabel('\phi(\omega)');title('ÏàÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ');图像：-505-101实部Re虚部I my(n)=x(n)-ay(n-1)传输函数零、极点分布00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825ω/π|H (e j ω)|幅频响应特性0.20.40.60.81 1.2 1.41.61.82-22ω/πφ(ω)相频响应特性a=0.8代码：B=1;a=0.8A=[1,-a];subplot(3,1,3);zplane(B,A); xlabel('Êµ²¿Re'); ylabel('Ðé²¿Im');title('y(n)=x(n)-ay(n-1)´«Êäº¯ÊýÁã¡¢¼«µã·Ö²¼'); grid on[H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2); grid on ;xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|H(e^j^\omega)|'); title('·ùÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ'); axis([0,2,0,6]);subplot(3,1,1);plot(w/pi,angle(H),'linewidth',2); grid on ;axis([-0.1,2.1,-3,3]); xlabel('\omega/\pi');ylabel('\phi(\omega)'); title('ÏàÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ');图像：-6-4-20246实部Re虚部I my(n)=x(n)-ay(n-1)传输函数零、极点分布00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.61.825ω/π|H (e j ω)|幅频响应特性0.20.40.60.81 1.2 1.41.61.82-202ω/πφ(ω)相频响应特性a=0.9代码：B=1;a=0.9A=[1,-a];subplot(3,1,3);zplane(B,A); xlabel('Êµ²¿Re'); ylabel('Ðé²¿Im');title('y(n)=x(n)-ay(n-1)´«Êäº¯ÊýÁã¡¢¼«µã·Ö²¼'); grid on[H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2); grid on ;xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|H(e^j^\omega)|'); title('·ùÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ'); axis([0,2,0,6]);subplot(3,1,1);plot(w/pi,angle(H),'linewidth',2); grid on ;axis([-0.1,2.1,-3,3]); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('\phi(\omega)'); title('ÏàÆµÏìÓ¦ÌØÐÔ');图像：-505-101实部Re虚部I my(n)=x(n)-ay(n-1)传输函数零、极点分布00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.825ω/π|H (e j ω)|幅频响应特性0.20.40.60.81 1.2 1.41.61.82-22ω/πφ(ω)相频响应特性分析：由y (n )=x (n )+ay (n -1)可知:H[z]=B[z]/A[z]=1/(1-az^(-1))系统极点z=a ，零点z=0，当B 点从w=0逆时针旋转时，在w=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰,并且当a 越大，极点越接近单位圆，峰值愈高愈尖锐；在w=pi 点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。

§5.8 系统函数的零极点与时域特性和频域特性的关系

有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , h t 0 ，这表明H ( s ) 的极点位于左半平面。
X
1.2 由H(s) 的零、极点确定系统的时域响应
激励： e( t ) u E ( s )
E (s)
l 1 v
( s zl )
H ( s) 系统函数： h( t ) m H (s)
X
第 15 页
2.1 H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源 e t Em sinω0 t 系统的稳态响应 rss t E m H 0 sin ω0 t 0 其中H s s j ω0 H j ω0 H 0 e j0
平面内。
j ω pi M i e j θi
将 j ω z j、 j ω pi 都看作两矢量之差，将矢量图画于复
X
第 18 页
画零极点图
零点： jω N j e
jψ j
zj
极点： j ω M i e jθi pi
θi
jω
Mi pi
Nj
ψj
jω
Nj
zj
j
zj
O
σ
jω 是滑动矢量， jω 矢量变 , 则 N j、 ψ j 和 M i、 θ i 都发生变化。
当α 0 ，极点在左半平面，衰减振荡当 α 0 ，极点在右半平面，增幅振荡
X
第 7页
二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点, h( t ) tu( t ), t , h( t ) s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 (s a) h( t ) t e t u( t ),α 0, t , h( t ) 0 2s H (s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ω ) h( t ) t sin tu( t ), t , h( t ) 增幅振荡

5.8系统函数零极点分布对系统时域特性的影响

7
几点认识
•响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。
•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。 •自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
1
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
p1 j, p2 j,共轭根
当 0，极点在左半平面，衰减振荡
当 0，极点在右半平面，增幅振荡
4
2．H(s)极点分布与原函数的对应关系
几种典型情况
j
j 0
O
j0
5
二阶极点
H(s) 1 , 极点在原点, h(t) tu(t), t , h(t) s2
H(s) 1 ,极点在实轴上， (s a)2
11
稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应
Rs 1.5 1 2 1 2.5 1
s
s1 s2
r(t) 1.5
极点位于虚轴极点位于s左半平面
2et 2.5e2t (t 0)
稳态响应
Rs 1.5 1 暂2态响1 应 2.5 1
s s1 s2
E(s)的极点 H(s)的极点
r(t) 1.5 2et 2.5e2t (t 0)
h(t) tet u(t), 0, t , h(t) 0 H(s) 2s , 在虚轴上，

连续系统零极点分布与频响特性的关系

连续系统零极点分布与频响特性的关系班级：2014211202学号：2014210请利用MATLAB软件绘制下列因果系统的零极点图和频率响应特性曲线，并分析系统的滤波特性。

(1) H1(s);程序如下：close allb=[2];a=([1 2]);SYS=tf(b,a);pzplot(SYS);axis([-4,4 -2,2]);figure;freqs(b,a);MATLAB绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。

可知该系统具有低通滤波特性。

-2-1.5-1-0.500.511.52Real Axis (seconds -1)I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)101010-80-60-40-200Frequency (rad/s)P h a s e (d e g r e e s )10101010-0.710-0.410-0.1Frequency (rad/s)M a g n i t u d e(2) H 2(s);程序如下：close all b=[1 0]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a);MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。

可知该系统具有高通滤波特性。

零极点图频率特性曲线图Real Axis (seconds -1)I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1)10101010Frequency (rad/s)P h a s e (d e g r e e s )1010101010101010Frequency (rad/s)M a g n i t u d e(3) H 3(s);程序如下：close all b=[1]; a=([1 3 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a);MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。

4-4系统函数零极点∽频响特性,拉氏变换VS傅里叶变换

m
( j p )
i i 1
j 1 n

频率特性取决于零、极点 z j , pi的分布
j z j N j e j j 令 ji j pi M i e
矢量：模、辐角
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
O

N1e j1 N 2e j 2 N me j m H ( j ) K M 1e j1 M 2e j2 M n e jn N1 N 2 N m j[(1 2 m ) (1 2 n )] K e M 1M 2 M n H ( j ) e
R

L

1 解：令 Z1 sL, Z 2 ，则 Z1Z 2 R 2 sC 从 v2 端向左应用戴维南定理，
2Z1Z 2 Z Z1 V1 ( s) 2 内阻为，等效电源为 Z 2 Z1 Z1 Z 2
V2 ( s ) Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R R H (s) V1 ( s ) Z 2 Z1 R 2 Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R 2Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 2 Z 2 Z1 R Z 2 Z1 R Z1 L R Z 2 Z1 R Z1 s L s
j ( )
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
N1 N 2 N m H ( j ) K M 1M 2 M n 其中 ( ) ( ) ( ) 1 2 m 1 2 n
0

[例2] 研究图示的 RC 高通滤波网络的频响特性
1 1 z1 0, p1 , p2 R1C1 R2C2

由系统函数零极点分布决定频响特性

i 1
X
第 8
页
m

j
ω

z
j

H jω
Hs s
jω

K
j1 n
j ω pi
i 1
令分子中每一项 jω z j N j ejψ j
分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复平面内。
s j0

K j0
s j0

Em H 2j
0
(
e j 0
s j0

s
e
j 0
j0
)
X
上式的逆变换为
第 4
页
LБайду номын сангаас1

K s
j 0
j0

K s
j 0
j
0

Em H0 2j

e
j 0
e
j 0 t

e
j 0
e
j0t
X
第
画零极点图
9
页
零点： jω N j ejψj z j 极点： jω Mi ejθi pi
jω
jω
θi
Mi
Nj
zj
j
pi Nj
zj
ψj
σ O
σ O
jω是滑动矢量，jω 矢量变动,则N j、ψ j和 Mi、θi都
发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
第 10
页
H
jω
K
3 页

由系统函数零、极点分布决定频响特性

i i 1 m
j 1 n
M1
H ( j ) k
( j z )
j
p1
N1
( j p )
i i 1
j 1 n
z1
j 1
j z1 N1e
j p1 M1e
j1
5
H ( j ) k
( j z j ) ( j p )
i i 1 j 1 n
28
对第四章的基本要求
理解拉普拉斯变换的定义；熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能利用拉普拉斯变换求解线性系统的冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性，掌握频响特性曲线的几何作图法。理解全通网络、最小相移网络的概念。会判定系统的稳定性。
17
极点相同，零点以jw轴成镜像，则它们的幅频特性相同
18
对应零点在左半面的图
对应零点在右半面的图
“最小相移网络” ：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为“最小相移网络”。前提条件：极点都位于左半平面即为稳定系统。
19
非最小相移网络
非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的级联
s j 0 t
0
单边拉氏变换
傅氏变换
s j t
LT [ f ( t )] FT [ f ( t )u( t )e t ] ( s j )
26
由已知的单边拉氏变换求取傅里叶变换前提条件：函数f(t)为有始信号，即当t<0时，f(t)=0。
29
最小相移网络
全通网络不是最小相移网络
22
4.11 线性系统的稳定性稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数（有界输入有界输出 BIBO系统）。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关系统的冲激响应h(t)和系统函数 H(s)也表征了系统的稳定性

47系统函数零、极点分布决定时域特性

1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
X
第
二． H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1. 系统零极点的概念
对系统函数分子分母多项式进行因式分解得
3 页
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) H ( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) K
1 H ( s) , s
H (s)
单极点
4 页
p1 0 在原点
h(t ) L1[ H (s)] u(t )
a0 a0
在左实轴上， h(t ) e 在右实轴上，h(t ) e
1 , sa
p1 a
at at
u (t ) ，指数衰减 u (t )， a 0
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H s , E s 都有关。
X
暂态响应和稳态响应
第 12 页
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
X
第
3.系统函数的极点分布与冲激响应
8 页
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , ht 0 这表明H (s )的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴， F s 和F (j )均存在，两者可通用，只需将 s j 即可。极点pi决定系统自由响应（固有响应）的变化的规律。取决于系统的结构与元件的参数，且量纲为1/s，故pi称为系统的自然频率或固有频率。

4-8由系统函数零、极点分布决定频响特性

j0
Em H ( j0 ) Em H 0e j0 2j 2j
0
其中 H ( j0 ) H0e j
H ( j0 ) H0e j0
Em H 0 j (0t 0 ) j ( 0t 0 ) RS ( s) e e 2j

rs (t ) Em H0 sin(0t 0 )

N

U 2 ( s) R s H ( s) 1 U1 ( s) R 1 s sc RC
—
H ( j ) | H ( j ) | e
j ( )
N j ( ) e M
j
0, N 0, M 1 RC N M 0 90 0 90
( jω p )
i i 1
j 1 n
ψ i θl ) N1 N 2 N m j ( k e i1 l 1 M 1M 2 M n
m
n
三 .一阶二阶系统的S平面分析
已知某系统的H(s)的零极点在S平面的分布，根据几何法确定该系统的幅频特性和相频特性的趋势和渐近线
e(t ) Em sin 0t
稳态响应
e(t)与e(t)通过系统后产生的稳态响应有什么异同？
系统频率响应特性
H (s) |s jω0 H ( jω0 ) H 0e | H ( jω0 ) | e
jφ0
jφ ( ω0 )
当正弦信号频率 ω改变时，则： H ( s ) |s jω H ( jω) H ( jω) e

M1
N N H ( j ) M M
( ) ( ) ( ` )
推广：
j p1 M1e

47系统函数零、极点分布决定时域特性解析

§4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应
一．序言
第 2 页
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。主要优点：
•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。
X
第
4.零点的影响
系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有影响。比如已知系统函数及相应响应
9 页
s 1 H1 (s) (s 1) 2 32
s4 H 2 ( s) (s 1) 2 32
h1 (t ) L1[ H1 ( s)] et cos(3t )u (t )
X
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应
激励： e( t ) E ( s )
u
第 10 页
系统函数：h( t ) H ( s) m (s z j ) (s zl ) j 1 E ( s ) lv1 H ( s) n ( s Pk ) ( s Pi )
h2 (t ) L1[ H 2 ( s)] et cos(3t )u (t ) e t sin(3t )u (t ) et [cos(3t ) sin(3t )]u (t ) e t 2 sin(3t 45o )u (t )

《信号与系统》课程讲义4-5

§4.5系统函数零极点∽频响特性一、频响特性1．概念①系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况②H (s )稳定系统0sin()m E t ω0()lim ()~ss t r t r t ω→∞=③包括：幅频特性、相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性00120012...j j n nK K K K K s j s j s p s p s p ωωωω−=++++++−−−−j e H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000−=−−⋅=⋅+=−−=−ϕωωωωωωje H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000ϕωωωωωω=⋅=⋅−==2．稳定系统的频响特性)()(220s H s E s R m zs ωω+=①系统响应：000()j H j H e ϕω=000()j H j H e ϕω−−=令则§4.5系统函数零极点∽频响特性0000()lim ()j t j tss zs j j t r t r t K e K e ωωωω−−→∞==+)sin()(2000)()(00000ϕωωωϕωϕ+=+−=++−t H E e e jE m t j j t j m 0000sin()sin()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++②0000cos()cos()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++§4.5系统函数零极点∽频响特性③ωω()H s 当正弦激励信号频率改变时，将代入得到频率响应()()()|()j s j H j H s H j e ϕωωωω===幅频特性相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性[例1]求系统的稳态响应22()3()2()2()3()d d dr t r t r t e t e t dt dt dt ++=+()sin cos 2e t t t=+解：222323()()3232s j H s H j s s j ωωωω++=→=+++−2(arctan arctan3)33213(1)1310j j H j ej −+==+4(arctan arctan3)32345(2)26210j j H j ej π−−+==−+()ss r t 13251()sin(arctan arctan 3)cos(2arctan arctan 3)10332210ss r t t t π=+−++−−§4.5系统函数零极点∽频响特性c ωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络允许信号通过低通特性时，网络不允许信号通过cωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络不允许信号通过高通特性时，网络允许信号通过1c ω2c ωω()H j ω带阻特性3．滤波网络分类：幅频特性1c ω2c ωω()H j ω带通特性1c ω§4.5系统函数零极点∽频响特性1111()()()()()()mmj j j j nniii i K s z K j z H s H j s p j p ωωω====−−=→=→−−∏∏∏∏Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωi M jN ,j i z p 频率特性取决于零、极点的分布4．频响特性的S 平面几何分析法()H j ωjj j j j z N eψω−=ij i i j p M eθω−=→令§4.5系统函数零极点∽频响特性121212121212[()()]1212()()()m nm n j j j m j j j n j m nj N e N e N e H j KM e M e M e N N N KeM M M H j e ψψψθθθψψψθθθϕωωω+++−+++=== 1212()()()m n ϕωψψψθθθ=+++−+++ 1212()m nN N N H j KM M M ω= 其中Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωiM jN §4.5系统函数零极点∽频响特性RC 21()()11()V s R sH s V s R s sC RC ===++CR++-1v -2v 【例2】研究图示的高通滤波网络的频响特性10z =零点：11p RC=−极点：解：转移函§4.5系统函数零极点∽频响特性()|()s j H s H j ωω==11()1211()j j j N e V H j e M e V ψϕωθω==→211111,()V N V M ϕωψθ==−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ=σ1RC−以矢量因子表示为1211111110,000,90()90N V N M RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩0ω=时，§4.5系统函数零极点∽频响特性121111111222,2245,90()45N V N M RC RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩ 1211111190,90()0N V M V θψϕω⎧→⇒→⎪⎨⎪→=→=⎩1RC ω=时，此点为高通滤波网络截止频率点ω→∞时，45 901RCω()ϕωO ()H j ω221§4.5系统函数零极点∽频响特性s RC 21()()()V j H j V j ωωω=1122R C R C ++-1v -2v C1R1C2R2++--3v 3kv 【例3】由平面几何法研究下图所示二阶系统的频响特性，，且§4.5系统函数零极点∽频响特性1311211112112223221()()1()()11()()()()()1sC V s V s R V s k s sC H s V s R C s s R R C R C V s kV s R sC ⎧⎪⎪=⎪+⎪⇒==⎨⎪++⎪=⎪+⎪⎩i 1121122110;,z p p R C R C ==−=−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ= σ111R C −×2M 2θ221R C−解：零、极点为：1122R C R C 由于221R C −，所以靠近原点，111R C −离开较远。