动量定理和动量守恒定律(大学物理)

炮车与地面间的摩擦力不计。 m u
M
x u cos V
MV mu cos V 0
V m u cos
mM
t
t
x Vdt
m u(t) cosdt
0
0 mM
火箭飞行
前
长
苏 联 东 方 1 号 火
征 三 号 运 载 火
火 箭 发 射
箭
箭
火箭飞行
M
M-dm
质量为设在m某，一速瞬度时为tv，火，箭在的其
f2N
...
f N 1N )dt
mNN
mNN 0
t N
t0
i 1
Fi
dt
t t0
N i 1
N 1 j 1
fij
dt
N
mivi
N
mi vi 0
i 1
i 1
N N 1
因为：
fij 0
i1 j 1
wenku.baidu.com
t
t0
N i 1
Fi dt
N i 1
mivi
N i 1
四、动量定理和动量守恒定理的应用：
F
m1 1 2m2
F
t2
Fdt
t1
t2 t1
F
t1
t2 t
F
p2t2 pt11
p
t2 t1 t
F
t2 t1
Fdt
p
t2 t1 t
注意
在 p一定时
t越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·s-1的刚球，以与
后 t 到 t d t 时间内，火箭喷
v
出了质量为 d m 的气体，d m是
v
dv
质量m 在d t 时间内的增量，
喷度了d为出v喷喷所的。u气 喷气气，前 出后体使总 燃火相火动 气箭对箭量 的的于的为 动动火速：量量箭度为为m的增：：v速加(m(td时dm刻m))((vvudu)vt+)dt时dm刻
注意： （1）动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系，在非惯性系需 要考虑惯性力的影响； （2）除了系统所受合外力等于零时，系统动量守恒，当系统所 受合外力在某一方向上为零，则在该方向上动量守恒。 （3）系统内力远大于所受外力，可近似认为系统的动量守恒。 (4)对于质点系运用动量定理和动量守恒定理时，所有的质点的 物理量都必须是相对于同一参考系而言的。
则 F ex m1g yg
由质点系动量定理得
F exdt dp
又 dp d( yv)
ygdt d( yv)
m2
O
m1
y
y
yg dyv
dt
yg dyv
dt
两边同乘以 y d y 则
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y2 d y yv yvdyv
0
0
m2
完全非弹性碰撞。
e,分离1 速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。
0 e,机 1械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
e v2 v1 v10 v20
可以证明恢复系数等于恢复过程和压缩过程的冲量之比。
e 2 1 I2 10 20 I1
v10
v20
f1 m碰1 撞前 m2
f2 m碰1 撞时m2
v1
m=0.05kg的质点，受到冲量
I
(2.5iˆ
2
ˆj)
N.s的
作用，则质点的末速度为_______。
例题、力F12tiˆ (SI)作用在质量m=2kg的物体
上，使物体由静止开始运动，则该物体在3s末 的速度为__________。
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链 条自由下落在地面上时
一、质点的动量定理
F
dp
dt
Fdt
dp
两边积分有：
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量 ——质点的动量定理
F
分量表示式
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I y
t2 t1
Fy dt
mv2 y
mv1y
I z
t2 t1
Fz dt
mv2 z
mv1z
二、质点系的动量定理
质点系内部质点之间 的相互作用力，称为内力。
F
Fx
2mv cos
t
14.1 N
方向与Ox 轴正向相同．
F' F
例、质量为m=300kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落到受锻 压的锻件上，如图所示，工件发生变形。如果作用时间（1） t=0.1s；（2）t=0.01s，求锤对工件的平均冲力。
(F mg)t 0 (m) m 2gh
F m 2gh mg t
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
大球碰撞小球
小球碰撞大球
同样大小的球相碰
如果两球在碰撞前的速度在两球的中心连线上， 那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞 称为对心碰撞（或称正碰撞）。
非对心碰撞
设
和v10
分v别20 表示两球在碰撞前的速度，
和
v1
分v2
别表示两球在碰撞后的速度， 和m1 分m别2为两球的质
量。
v10
v20
f1 m碰1 撞前 m2
f2 m碰1 撞时m2
v1
v2
m1
m2
碰撞后
牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速度 ，与
碰撞(v2前两v1)球的接近速度 料性质决定。
成正比，比(v值10 由 v两20) 球的材
恢复 系数
e v2 v1
v10 v20
e,碰 0撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为
例题、如图所示，A、B 和C三物体的质量均为M，BC之间有 一长度为l0的细绳相连，放在光滑的水平桌面上，t=0时，BC 距离为零，求：
（1）AB开始运动后，经过多长的时间C开始运动？
（2）C刚开始运动时的速度。
C
B
A
T
A
Mg
(Mg T )t M 0
T
B
Tt M 0
t
dt l0
0
例、 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
t0 (F1
f21
f31 ...
f N1)dt
m11 m110
t
t0 (F2
f12
f32
...
f N 2 )dt
m22 m220
t
t0 (Fi
f1i
f2i
...
f ji ...
f N1)dt
mii mii0
............
t
t0
(FN
f1N
由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。 根据动量受恒定律
mv (m d m)(v d v) ( d m)(v u)
化简
d v u d m
m
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
dv2
v1
v
m2
m1
u
dm m
v2
v1
u ln
m1 m2
设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
内力必定是成对出现的， 每对内力都是一对作用力 F1
和反作用力。
质点系之外的物体对 质点系内部质点所施加的 作用力，称为外力。
F2
f 21 f12
m1
m2
F1
f 21
dp1 dt
F2
f12
dp2 dt
t
t0
t
(F1
f21)dt
m11
m110
t0 (F2 f12 )dt m22 m220
t 0.1s F 1.9104 N
t 0.01s F 1.7105 N
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：： （A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
t 0
M m
Vdt
M m
SM
M Sm SM m SM SM R
例题、在光滑的水平桌面上，光滑小球m1的直径为d， 以初速度10运动与另一直径相同的静止小球m2发生碰 撞，两求球心之间的距离为b，恢复系数为e，求碰撞
后两小球的速度各为多少？
m1
10
b
y
b 10
m2
d
x
m y 1
b
d m x 2
mi vi 0
三、动量守恒定律
若 Fi 0 则有
N N
mivi mivi0
i 1
i1
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外
力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但是，
系统的总动量保持不变，即：系统的总动量守恒。
注意
➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
dm
dp
dm0
dI
Fdt
dp
dm dm0
例、将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高 出盒底h=5m处将小石子流以每秒n=100个的速率注入盒中，假 设每个小石子的质量为m=0.02kg，都从同一高度下落且落到盒 内后就停止运动，求从石子开始注入到t=10秒是秤的读数。
取g=10m/s2
例 一柔软链条长为l，
单位长度的质量为，链条放
在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围．由于某种扰 动,链条因自身重量开始下落.
m2
O
m1
y
y
求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系
水中航行，在船尾以相对于船为u的速度
抛出质量为m的小物体，设v、u在同一直
线上，求抛出物体后，小船的速度变为多
少？假设水平方向船受的阻力可以忽略不
计。
vu
v
X
例题、如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和
炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为u，求：
（1）炮车的反冲速度V；
（2）若炮筒的长度为l，则在炮弹的发射过程中，炮 车反冲的距离。
v
M
M 0
u
dm m
u ln
M0 M
多级火箭
火箭的 质量比
n
vn ui ln Ni i 1
ui 第i级火箭喷气速率
N i 第i级火箭质量比
F 400 4105 t 3
子弹从枪口射出时的速率为300 m/s ，假设子弹离开枪 口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间 t = 0. 003 s 。 （2）子弹在枪筒中所受力的冲量 I = 0. 6 N.s 。 （3）子弹的质量 m = 2 g 。
例、初速度为 0 (5iˆ 4 ˆj) m/s、质量为
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，地面
所受链条的作用力？
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
dm
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdtv v 2 2m(l h)g f '
dt
L
地面受力
F
f ' ml g
m (3l 2h)g L
Lm h
v2
m1
m2
碰撞后
I1 m2 ( 20 ) I1 m1( 10 )
I1
(
1 m1
1 m2
)
10
20
v10
v20
f1 m碰1 撞前 m2
f2 m碰1 撞时m2
v1
v2
m1
m2
碰撞后
I2 m2 (2 ) I2 m1(1 )
I2
(1 m1
1 m2
)
2
1
例题、一质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨 道上，另有一质量为m的小物体以水平速度0滑向 车顶，设物体与车顶之间的摩擦系数为，要使小物 体不滑下车顶，小车顶的长度至少应为多少？
1y
10
sin
10
b d
10 m22x m11x m110 cos
cos d 2 b2
d
e 2x 1x
10 cos
例、一质量 m1 5的0k人g 站在一条质量为
，
长度m2 200的kg船的船头l上。4m开始时船静止，试求
当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻
力不计。）
u
例：总质量为M的载物小船以速度v在静
F1
F2
1
2
f21
m1 m2
f12
t
t0 (F1
F2
f21
f12 )dt
(m11
m22 ) (m110
m2 20 )
f12 f21
t
t0
(F1
F2
)dt
(m11
m22
)
(m110
m220 )
F1
F2
1
2
f21
m1 m2
f12
mi
m6
mN
m3
m5
m4
m1
m2
t
m 0
M
m0 (M m)
am
mg
m
g
aM
mg
M
Sm
2 02
2am
2
SM 2aM
S Sm SM
例题、质量为M的物体有一四分之一圆弧形滑槽，静 止在光滑水平面上，另一质量为m的物体自其顶部由 静止开始下滑，求当m滑至滑槽的底部时，M移动的 距离。
m
x V
M
MV mx
Sm
t
0xdt
x
mv1
钢板法线呈45º角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率
mv2 O
和角度弹回来．设碰撞时间
为0.05 s．求在此时间内钢板
y
所受到的平均冲力．
解 由动量定理得：
Fxt mv2x mv1x
x
mv cos (mv cos)
2mvcos
mv1
mv2 O
Fyt mv2y mv1y
y
mvsin mvsin 0