西安石油大学现代数值计算方法第8章
西安石油大学计算方法课件1-5章
取x 0 3 取x 0 3 收敛性不同。
x n 1 l g(x n 2) 计算结果见表 2.4
25
2.收敛定理（定理2.2） 设 ( x )在[a, b]
y " 2
y(0) y (0) 1
'
希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 6 数值方法。
un a n
uk xuk 1 a k pn ( x ) u0
则乘法次数仅为n.
1000
( k n-1,n-2 , ,1,0)
又如
17
1000 1 1 1 1 ( ) 1 n ( n 1 ) n1 1001 n 1 n 1 n
2.防止大数“吃掉”小数 当|a|>>|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则
近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
e( s*) s(a*, b*) s(a*, b*) e(a*) e(b*) a b b * e(a*) a * e(b*) | e( s*) || b* || e(a*) | | a* || e(b*) | 60 0.2 120 0.1 24cm 2
x
23
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
现代数值计算方法word精品文档5页
吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生公共课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）执笔人：李永海制定日期：2019年5月吉林大学研究生公共数学课程教学大纲课程编号：课程名称：现代数值计算方法课程英文名称：Modern numerical method学时/学分：64/3（硕士）/32/2（博士）课程类别：研究生教育课程课程性质：必修课适用专业：理、工、经、管等专业开课学期：第Ⅰ或第Ⅱ学期考核方式：考试（闭卷）一、本课程的性质、目的和任务本课程属于非数学类研究生数学公共基础课程之一，数值计算方法作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如力学、电磁学、化学、生物、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为数值计算方法的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握现代数值计算方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解现代数值计算方法的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握现代数值计算方法在物理、电子、化学、生物、工程等领域的许多应用。
二、本课程教学基本要求1. 线性代数方程组直接法理解线性代数方程组直接法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组直接法的求解步骤。
2. 线性代数方程组迭代法理解线性代数方程组迭代法求解算法原理，了解算法收敛性结果；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般线性代数方程组迭代法的求解步骤。
3. 矩阵特征值与特征向量计算理解乘幂法和反幂法算法原理，了解实对称矩阵的Jacobi方法；理解算法应用条件；掌握用软件实现一般矩阵特征值与特征向量计算。
数值分析复习提纲 西安石油大学研究生
数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。
第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
第五章插值法1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；2. 掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；3．了解差分与等距节点插值多项式公式；4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。
第七章数值微积分1. 了解数值求积基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；3. 了解Romberg 求积公式原理；4．了解数值微分的方法。
第八章常微分方程数值解1. 掌握Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler预估-校正公式），局部截断误差，公式的阶；2. 了解Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典Runge-Kutta 公式；3. 掌握线性多步方法的原理与公式推导。
现代数值计算方法课程设计
现代数值计算方法课程设计1. 背景现代数值计算方法是计算机科学中的一门重要课程，它涉及到了计算机科学、数学等多个学科领域，是目前计算机科学领域中的热门研究方向。
现代数值计算方法的主要研究内容包括：数值解法理论、数值算法、计算结果的误差分析、数值计算软件等。
现代数值计算方法的研究对于人类社会的发展具有重要的意义。
它可以用于解决许多重要的科学和工程问题，如大气科学、材料科学、地球物理学、医学等领域的研究。
因此，在高校中开设现代数值计算方法课程是非常必要的。
2. 课程设计简介本次现代数值计算方法课程设计主要涉及两个方面的内容：数值求解和绘图。
具体来说，数值求解的内容包括求解非线性方程、插值、数值微分与积分等；绘图的内容则包括如何使用Matplotlib等常用的绘图工具，绘制各类数学函数的图形，并以此来分析和解释计算结果。
为了完成这个课程设计，我们将使用Python编程语言，并从以下几个方面来探索现代数值计算方法的各个方面：•第一部分：非线性方程求解。
我们将介绍几种常见的求解非线性方程的数值方法，例如二分法、牛顿迭代法、离散牛顿法等，并编写相应的程序来进行数值求解。
•第二部分：插值。
我们将介绍三种主要的插值方法：线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值，并编写相应的程序来进行插值计算。
•第三部分：数值微分与积分。
我们将介绍数值微分与积分的基本概念以及数值计算的主要方法，并编写相应的程序来进行数值计算。
•第四部分：绘图。
我们将介绍Matplotlib绘图工具，包括如何绘制常用的数学函数、如何设置坐标轴等，以此来更好地展示数据和计算结果。
3. 课程设计具体步骤第一部分：非线性方程求解1.确定求解的非线性方程，并确定其解的大致范围。
2.学习二分法、牛顿迭代法、离散牛顿法等求解非线性方程的数值方法。
3.编写程序来实现这些数值方法，并使用程序来进行求解。
4.比较不同方法求解的耗时和解的精度。
第二部分：插值1.确定插值数据点，并使用Matplotlib绘图工具进行可视化展示。
精品课件-计算方法(蔺小林)-第8章
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
8.3.1 龙格—库塔方法的基本思想 我们首先从欧拉公式及改进的欧拉公式着手进行分析。 欧拉公式可改写为
yn1 yn K1 K1 hf (xn , yn )
用它计算yn+1需要计算一次f(x，y)的值。若设yn=y(xn)， 则yn+1的表达式与y(xn+1)在xn处的泰勒展开式的前两项完全相 同，即局部截断误差为O(h2)。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
Rn，h之所以称为局部的，是因为如果假设y(xn)=yn， 即 第n步以及以前各步都没有误差，则由式yn+1=yn+hφ(xn, yn, h)所得的yn+1与y(xn+1)之差为
即在假定的y(xn)=yn条件下， Rn，h=y(xn+1)－yn+1， 这就是 Rn, h称为局部的含义。
xa,b
令
,
则
Rn,h
h2
2
M
O(h2 )
故欧拉方法是一阶方法。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
例 8.1 应用向前欧拉公式求初值问题:
y x y 1
y(0)
1
0 x 1
取步长h=0.1， 将计算结果与精确解y=x+e-x对照。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
解 将区间［0, 1］进行10等分，h=0.1，xn=nh(n=0.1, …，10)。
向前欧拉公式为
yn1 yn 0.1(xn yn 1)
y0
1
数值解yn与精确解y(xn)及误差列于表8.1。
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
第八章 常微分方程初值问题的数值解法
现代数值分析详解
工程数值分析题解
学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理
2.注意各种方法的构造手法
3.重视各种方法的误差分析
4.做一定量的习题 5.注意与实什么？ 研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
In 1 I n 1 5 5n
( n 8, 7, ,1)
算法的优劣：
评价标准：(1) 计算量的大小
n n1 P ( x ) a x a x a n1x an 例：计算 n 0 1
直接计算：需 n ( n +1)/2 次乘法和 n 次加法。 迭代计算：P n ( x) {[(a 0 x a1 ) x a2 ]x a n1}x an 按下列迭代公式计算
u0 a0 uk x uk 1 ak P ( x) u n n , k 1, 2, , n
只需 n 次乘法和 n 次加法。
(2) 存储量的多少 (3) 逻辑结构是否简单
二、数值分析的特点
1. 近似：由此产生“误差” 在计算数学和应用数学中一个有趣的问题： 什么是零？ 1 原点附近
2. 与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
1.2 误差
( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification )
模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数学模型 观测误差 ( Measurement Error ): 通过测量得到模型中参数 的值 方法误差 (截断误差 Truncation Error）: 求近似解。求解数 学模型时，用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引 起的误差 舍入误差 ( Roundoff Error ): 机器字长有限，通常用四舍五 入的办法取近似值，由此引起的误差.
西安石油大学研究生数值分析08 09年试题
c1 b2 a3
c2 b3
c3 a n 1
bn 1 an
= c n 1 bn
2
。
二、（此题10分）长方体的长宽高大约为50cm，20cm和10cm，长度测量误差限满足什么 条件时，其表面积不超过1cm ? 三、（此题10分）设线性方程组AX=b的系数矩阵和常数列向量为
八、（10分）对初值问题
y / f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
假设 y n 2 y ( x n 2 ), y n 1 y ( x n 1 ), y n y ( x n ) ，用线性多步法求得局部截断误差为 O（ h ）的计算公式为
4
y n 1 y n h[af ( x n , y n )
2 1 1 1 A 1 2 1 ， b 1 1 1 2 1
分别讨论解此方程组的雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法的收敛性。 四、（10分）证明：方程 x ln x 4 0 在区间[1,2]内有惟一的根 x ，用迭代法求 x ，
=（
）。 ）。 )。
4. 方程f(x)=0的隔跟区间[a,b]满足（
5. k阶差商与向前差分的关系为f[ x 0 , x1 ,..., x k ]=(
6. 用最小二乘法求解矛盾线性方程组AX=b时，归结为求解法方程组。由矛盾方程组AX= b得到的法方程组为（ ）。 7. 龙贝格求积公式中的 Rn 与 C n 及 C 2 n 的关系为 Rn =（ ）。 ）。 ）。
2
（取 x 0 1.5 ，精确到3为有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。 五、（10分）设 xi （i=0,1,2,…,n）为互异节点，试证明拉格朗日插值基函数 l i ( x) 具有以下 性质
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式值法插一、）插值法拉格朗日（Lagrange1.两点一次：a)b)三点二次：）插值牛顿（Newton2.次牛顿法多项式：a)n其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下）插值三次埃米尔特（Hermite3.二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x带入求A ii3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度,…x m2m+1时不成立，则称此f(x)=x若求积公式对f(x)=1,x,x时精确成立，而对求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立其次行2）3）三角不等式域上的一个向量范数为称常见范数：矩阵范数定义：其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数设满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行三角不等式3）4）乘积性质域上的一个矩阵范数为称常见范数：行范数列范数的最大按模特征值为2.谱半径3.雅可比迭代向量：的方程，分量通式如下：xi个方程解出i用第矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：带入下边的公式，分量个方程解出xi的方程，并将上式得到的用第i通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中5.松弛迭代雅可比松弛（JOR）：时，收敛注：当雅可比方法收敛时，收敛逐次超松弛（SOR）：注：系数矩阵A对称正定，时收敛六、方程求根1.大范围收敛定理a)?(x)在[a,b]上连续；b)当x?[a,b]时，?(x) ?[a,b]；c)?'(x)存在，且对任意x?[a,b]有2.牛顿迭代法牛顿下山法，其中3.割线法七、矩阵特征问题求解1.规范化乘幂法2.原点位移乘幂法，用B=A-I*?替代A，则得到的特征值u=?-?，特征向量不变?取一个00i0i八、常微分方程的数值解法1.欧拉公式2.向后欧拉公式3.梯形公式4.改进欧拉公式。
西安石油大学现代数值计算方法第1章
②若有效数x*= 2500，则绝对误差限 η(x*)=0.5 ，相对误差限 δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.0002 x*具有4位有效数字.
③若有效数x*= 25×102，则 η(x*)=50 ， δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.02，x*具有2位有效 数字.
Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。
Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是 估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对 最后一位进行四舍五入得到有效数。
– 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据 123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据 156.7cm是为了得到有效数157.cm。
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
有效数：当x*为四舍五入得到的近似数， 则称x*为有效数。有效数的绝对误差限、 相对误差限，有效数字位数举例：
例①若有效数x*=1.02,则绝对误差限： η(x*)=0.005相 对误差限： δ(x*)= η(x*)/| x*|= 0.0049，
4.误差度量间的联系
绝对误差与相对误差
E(x*)/x*Er(x*)
绝对误差与有效数字（教材第7页1.2.2式）
E(x*) 121 0mn
相对误差与有效数字（教材第8页1.2.3式）
➢ 定理：
10
若 x*具有 n 位有效数字，则相对误差
Er
(x*)
1 2α1
10
1n
；
20
若相对误差
Er
(x*)
1 2(α1 1)
解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限
过程，而使得算法必须在有限步内执行结束 而导致的。
《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答
= 0 0 0 0 0
2.7 提示: Bs = (D − L)−1 U = − 1 2 0 值 λ1 = 0, λ2 = λ3 0 1 BJ = 2 −2 1 Jacobi 迭代发散. = −1 , 2
1 2
0 1
1 2
2.2218 ≤ n ≤ 2.9208 ⇒ n √ = 2. 1.8 提示: x1,2 =
282 − √781 28+ 783
= 28 ±
√
783, x1 = 28 + 27.982 = 55.982 ≈ 55.98, x2 = 28 −
1−cos2 1◦ 1+cos 1◦
=
1 55.982
≈ 0.01786. =
√
5 2
> 1, 故
2.8 提示: (1) A = 1 3 a > 1, ⇒ a3 − 14a + 12 > 0, Seidel 迭代收敛.
a > 0, a 2 − 1 > 0, ⇒ 2 , 当 |a| > 5 时, Jacobi 迭代收敛. (2) a3 − 14a + 12 > 0, a 所以, 当 a ≥ √ 14 时, A 对称正定, 从而 Gauss-
10 +1+10
1.11 (1) (A) 比较准确; (2) (A) 比较准确. 1.12 算法 2 准确. 在算法 1 中, ε0 ≈ 0.2231 带有误差 0.5 × 10−4 , 而这个误差在以后的每次计算中 顺次以 41 , 42 , · · · 传播到 In 中. 而算法 2 中的误差是按
数值计算方法(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年中国石油大学(华东)
数值计算方法（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新中国石油大学（华东）第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()参考答案:截断误差;;舍入误差.2.参考答案:只有模型误差、观测误差与舍入误差；3.参考答案:4位4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是参考答案:5.参考答案:第二章测试1.参考答案:0.56252.参考答案:;3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：参考答案:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
;Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：参考答案:;Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
5.参考答案:6第三章测试1.算法的计算量与近似成正比。
2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：参考答案:提高了稳定性，减少了误差的影响。
3.参考答案:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
;只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
4.参考答案:;5.;第四章测试1.给定n+1个互异的插值节点，求插值多项式。
下列命题中正确的是：参考答案:若要求插值多项式的次数等于n，则用不同方法求出的插值多项式是相等的。
;若要求插值多项式的次数小于n，则插值多项式可能不唯一。
2.关于插值多项式对被插值函数的逼近效果，正确的命题是：参考答案:插值点靠近所有插值节点时，插值余项的绝对值较小。
3.关于差商，下列命题中正确的命题是：参考答案:;4.关于多项式插值的Runge现象，下列命题中正确的命题是：参考答案:采用分段低次多项式插值可以避免Runge现象。
;用三次样条函数插值可以避免Runge现象。
5.关于三次样条函数，下列命题中正确的命题是：参考答案:三次样条函数是连续函数。
;三次样条函数具有连续导数。
;三次样条函数具有连续的2阶导数。
第五章测试1.用正交多项式求一个函数的最佳平方逼近多项式的主要优点是节省计算量。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
现代数值计算方法MATLAB版教学设计
现代数值计算方法MATLAB版教学设计一、教学目标本教学设计旨在使学生能够掌握现代数值计算方法，并使用MATLAB软件进行数值计算。
具体目标如下：1.熟练掌握现代数值计算方法的理论基础；2.学会使用MATLAB软件进行数值计算，并能够利用各类数学工具箱解决实际问题；3.能够应用数值计算方法并进行分析和评估，使得数值结果更加准确可靠。
二、教学内容和教学方法1. 教学内容本课程主要包括以下部分：1.现代数值计算方法的基础知识：数值误差分析，舍入误差分析，插值与拟合问题；2.常微分方程数值解法：欧拉法、改进欧拉法、梯形法、四阶龙格库塔法等；3.偏微分方程数值解法：有限差分法、有限体积法、有限元法等；4.MATLAB数学工具箱的使用：ODE工具箱、PDE工具箱、优化工具箱等。
2. 教学方法本课程采用轮廓课程、普通课程和实验课的教学方法相结合，使得学生既能了解数值计算方法的理论基础，又能亲自动手进行数值计算并对结果进行分析和评估。
具体安排如下：1.轮廓课程：讲授现代数值计算方法的基本概念和理论知识。
2.普通课程：讲解具体的数值计算方法，并进行案例分析。
3.实验课：学生根据教材中的案例自主使用MATLAB软件进行数值计算，并对结果进行分析和评估。
三、教学评价本课程的教学评价主要包括以下方面：1.知识掌握水平：考查学生对现代数值计算方法和MATLAB软件的掌握水平。
2.分析能力：考查学生对数值计算结果的分析和评估能力。
3.实践能力：考查学生对数值计算方法的应用能力，是否能够利用相应的数学工具箱解决实际问题。
四、教学建议为了使得本课程的教学效果更好，教师可以考虑以下建议：1.建立深入浅出的教学体系，以更好地帮助学生理解数值计算方法的基本概念和理论知识。
2.加强实验课的教学质量，提高学生的实践能力。
3.增加实际应用案例，加深学生对数值计算方法和MATLAB软件的认识和理解。
4.不断更新教材和案例，以确保课程内容的科学性和实用性。
现代数值计算方法公式总结材料
现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
现代计算方法
l 样条函数 1. 定义： 设给定一组节点： −∞ = x0 < x1 < x2 < x3 < L < xN < xN +1 = +∞ ，又设分段 函数 S ( x ) 满足条件： i. 在每个区间 [ x j , x j +1 ]( j = 0,1,L , N ) 上， S ( x ) 是一个次数不超过 n 的 多项式； ii.
y = UP −1LUx 解 Ly = Pb 得 y ；令 z = P −1 LUx 解 y = Uz 得 z；令 w = Ux 解 Pz = Lw 得 w；最后解 w = Ux 得 x
l 矩阵特征值 Ax = λ x 1. 幂法
取V = u ≠ 0 0 0 x1 lim max uk = ， （Vk ) = λ1 Vk = Auk −1 (k = 1, 2,L , ) lim k →∞ k →∞ max( x ） 1 Vk uk = max(Vk )
Fi , n (t ) =
1 n!
∑ (−1) C
j j =0
n −i
j n +1
(t + n − i − j ) n
Nm ( x ) =
1 m+1 m +1 j m + 1 x+ − ( −1) ∑ m ! j =0 2 j
j +
m
n=2 二次 B 样条曲线的起点在 向量的中点上， 终点在向量 的中点上。 起点位置及在起点的切向 量仅与向量 V0、V1 相关，终 点位置及在终点的切向量 仅与向量 V1、V2 相关。 n=3 P(0)， 即起点在 ∆V0V1V2 底边 V0V1 的中线，离 V1 点 1/3 处。 P(1) ，即终点在 ∆V1V2V3 底边
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证明：由 yn1
yn
h[ 2
f
(xn ,
yn )
f
( xn1 ,
yn 1 )
]
和 y[k1] n1
yn
h[ 2
f
(xn , yn)
f
( xn1 ,
y(k) n1
)]
有：
y (k 1) n1
yn1
1h 2
f
( xn1 ,
y(k) n1
)
f (xn1, yn1)
1 2
h
f y
(
xn1
,
)(
y (k ) n 1
Rn
y( xn1)
yn1
h3 12
y(n )
n [xn , xn1]
用泰勒展开法推导Euler预估－校正 格式的局部截断误差
改写Euler预估－校正公式为：
yn1
yn
h 2
(k1
k2 )
k1 f (xn , yn )
k2 f (xn h, yn hk1)
在 yn y(xn ) 的假定下，
yn1 )
1 2
hL
y(k) n 1
yn1
(介于yn( k1) 与yn 1之间)
反复使用不等式有：
y (k 1) n1
yn1
1 2
hL
y(k) n 1
yn1
（ 1 hL）k 1 2
y (0) n 1
yn1
0
三、Euler预估-校正格式
实用中,在h 取得较小时,用梯形公式计算,第二式 只迭代一次就结束,得到Euler预估-校正格式:
问题的解y(x)在区间[a，b]中的点列
xi xi1 h（i i 1，2， n）上的近似值 y.i以下设 hi
不变，记为h-步长 。
定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
则上述微分方程有唯一解y(x)
假设解y(x)在区间[a,b]上是存在而且唯一的， 并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充
yn1
yn
hf
(xn ,
yn )
yn1
yn
h[ 2
f
(xn , yn) f( xn 1 ,yn 1 )]( n
0,1,2,
)
第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。
四、方法的误差估计、收敛性和稳定性
定义1：n y（xn） yn 为 xn某一数值方法在xn处
的整体截断误差(不考虑舍入误差的影响)。
从而得到Euler公式。
3、数值微分法
y y ( xn1)
( xn )
xn1 xn
y(xn )
f (xn , y(xn ))
4、几何方法
过点(xn,yn)作以f(xn ,yn)为斜率的直线方程：
y yn f (xn , yn )(x xn )
将x=xn+1处该直线上的函数值做为y(xn+1)的近似
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用 y(x表n) 示, 数值解法的精确解用 y表n 示。
常微分方程数值解法一般分为：
（1）一步法：在计算yn1 时，只用到xn1 ,xn和 y，n 即前一步的值。
（2）多步法：计算 yn1 时，除用到 xn1,xn 和 yn 以外，还要用 xn p和 yn p ( p 1,2 k; k 0) ,即前
k步的值。
（3）显式格式与隐式格式。
§8.1 欧拉法与梯形法
一、欧拉(Euler)法
设节点为 xn x0 nh（n 0，1，2,3 ），得欧拉方法计算公 式为： yn1 yn hf（xn，yn）（n 0，1，2，3， ） 下面通过几种常用的方法来推导该公式。
1、泰勒展开法
假设在 x附n 近把y（x）做Taylor展开，有：
第八章
常微分方程初值问题的数值解法
§8.0 概述 §8.1 欧拉法与梯形法
§8.2 泰勒展开法与龙格-库塔 （Runge–Kutta）方法
§8.3 线性多步法 §8.4 数值算例
§8.0 概述
本章着重讨论一阶常微分方程初值问题
dy dx
f（x，y）
a
xb
y（x0） y0
的数值解法。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初值
y( xn1 ))
h3 12
f ''(, y())
(xn , xn1)
从而得到梯形公式：
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)
n 0,1,2,
梯形方法关于yn+1是隐式的，而Euler方法是显式 的。一般情形下不容易从上式解出yn+1，因而可将上
式与Euler公式联合使用，即
由
取h的线性部分,并用 y表n 示 y的(x近n ) 似值,得
2、数值积分法
从xn 到 xn +h对等式 y´(t )=f(t,y(t)) 进行积分得到
y(xn h) y(xn )
xn1 f (t, y(t))dt
xn
再利用左矩形公式，得
y(xn h) y(xn ) hf (xn, y(xn ))
k 1
f
(xn ,
yn )
y'(xn )
而
k2 f (xn h, yn hk1)
f (xn h, y(xn ) hk1)
f
(
xn
,
y
(
xn
))
h
x
f
(xn ,
y(xn )) hk1
值，则有Euler公式。这实质上是在每个小区间上利 用折线来代替曲线的结果，故Euler法又称Euler折线 法。
二、梯形法
在式 y(xn1）
y(xn )
xn1 xn
f（中t，,y将（积t））分d用t 梯形公式来
代替，则有
y( xn1 )
y(xn )
h 2
[
f
(xn ,
y(xn ))
f
( xn1 ,
y (k1) n1
y(k) n1
来控制迭代次数，这里为允许误差。把满足误差要求的
y(k 1) n1
作为y(xn+1)的近似值yn+1.类似地可以得出yn+2,yn+3,…
可以证明,当f(x,y)满足Lipschitz条件,即：
f L, 且 h L 1
y
2
(L为Lipschitz常数)时,上述数列收敛。
y(0) n1
yn
hf
(xn ,
yn )
y(k 1) n1
yn
h[ 2
f
(xn , yn)
f
( xn1 ,
y(k) n1
)](k
0,1,2,
;n
0,1,2,
)
使用上式时，先用第一式算出xn+1处yn+1的初始近
y(0) n 1
似
再用第二式反复迭代，得到数列 用 y(k1) n1 k 0
定义2：对单步法，在 yn y（xn）的假设下，
R n
y（xn1）
yn1
称为在
xn处的局部截断误差。
（P232定义1）
Remark1: Euler法的局部截断误差为(由泰勒余项):
Rn
y( xn1)
yn1
h2 2
y(n )
n [xn , xn1]
Remark2: 梯形方法的局部截断误差为（由梯形积分）