二次函数线段最值问题

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中考数学：二次函数——线段最大值问题

中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。

（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。

二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。

求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。

在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。

解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。

对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。

练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。

点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。

二次函数线段最值问题

题型七：线段最值问题【例9】如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．2.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是y轴，点D，P在抛物线上，A（0，2），D（0，1），PC⊥x轴于点C，CB∥AP，交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的动点，四边形ABCP是什么特殊的四边形？证明你的结论；（3）设点Q是x轴上一动点，当（2）中的四边形ABCP是正方形时，△DQP周长是否存在最小值，若存在，请直接写出△DQP周长最小时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．2. 如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4）x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.1. 已知,如图11,二次函数223y ax ax a=+-(0)a≠图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:33y=对称.（1）求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;（2）求二次函数解析式;（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、OyxAB CNM、MK,求HN NM MK++和的最小值.2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4-．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；(2) 抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为1d，点P到点A的距离为2d，试说明211d d=+；(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。

二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题

二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标；（3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC-最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∵抛物线经过A 、B 、C 三点， ∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）．（2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ，要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC∴△BFE ∽△BOC ∴BF EF BO CO=， ∴3133EF -=, ∴2EF = ∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，F E要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x =∴点P 的坐标为（37，0）（4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ，要使QB QC -最大，即QA QC -最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ，解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=，∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ∴△AOC ∽△AFQ ∴AO CO AF QF=， ∴1311QF=+, ∴6QF = ∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QC QA QC AC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC-【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2． QF -- C ′Py=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为（23，﹣825）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5． ∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20，∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM． ∴ED C O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124 解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x 【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝ 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （－1，0），B ( －1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2）， ∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩E∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1．根据题意可列方程组21,11 2.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+．抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上． ∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值，最大值为。

二次函数求线段最值问题

二次函数求线段最值问题二次函数是高中数学的一个重要内容，本文将会详细介绍二次函数以及如何利用二次函数解决线段最值问题。

一、二次函数的基本概念1.二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向（是向上开口还是向下开口），b决定了二次函数的对称轴，c是二次函数的纵坐标系原点和曲线的纵坐标的距离。

2.二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以画出二次函数的图像。

当a大于0时，二次函数开口向上；当a小于0时，二次函数开口向下。

b决定了二次函数的对称轴，对称轴的方程是x=-b/2a。

3.二次函数的最值针对二次函数，我们通常关心的是它的最值问题，也就是函数的峰值和谷值。

对于开口向上的二次函数，它的最小值处于对称轴上；对于开口向下的二次函数，它的最大值处于对称轴上。

二、利用二次函数求线段最值的步骤1.确定二次函数的表达式首先，我们需要明确给定线段的条件，确定二次函数的表达式。

例如，给定线段为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是待确定的系数。

2.求二次函数的对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。

3.求二次函数的最值通过求解对应二次函数的最值问题，可以得到线段的最值。

需要将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最值对应的纵坐标。

三、例题解析下面通过一个具体的例题，来说明如何利用二次函数求解线段最值的问题。

例题：给定线段y=x^2-4x+5上的点M(-2, 13)，求线段上的最小值。

解析：根据题意，给定线段的二次函数表达式为y=x^2-4x+5。

1.求对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。

本题中，a=1，b=-4，所以对称轴的横坐标为x=-(-4)/2*1=2。

2.求最小值线段的最小值处于对称轴上，对应的纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最小值对应的纵坐标。

二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题（一）例1.已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；y＝x2﹣2x﹣3（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；练习1.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3，（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；练习2.如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；y＝x2﹣2x﹣3，（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．例2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；y＝x2﹣4x+3（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为．练习3.在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；y＝＝2x2﹣6x﹣8．（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；y＝﹣x2+x+2；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；练习4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；y＝x2﹣2x+1．（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？、练习5.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y＝x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．y＝﹣x2﹣x+3，（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB 于点D，求线段PD的最大值．练习6.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；y＝x2+2x﹣3．（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；例4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（y＝﹣x2+2x+3）（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；练习7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；例5.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；y＝x2﹣3x﹣4；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．练习8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P 的坐标；。

二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版

二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。

2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。

二次函数线段最值问题二师兄解答

二次函数线段最值问题二师兄解答（实用版）目录1.二次函数线段最值问题的基本概念2.二次函数线段最值问题的求解方法3.二次函数线段最值问题的实际应用正文一、二次函数线段最值问题的基本概念二次函数线段最值问题是指在给定的二次函数中，求解某一区间内函数的最大值或最小值。

这类问题在数学和实际生活中都有广泛的应用，如在物理学、经济学、工程学等领域。

为了更好地理解和解决这类问题，我们需要对二次函数的性质有一定的了解。

二次函数的函数图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），其最值的求解可以通过求导数的方法得到。

然而，在实际问题中，我们通常需要求解线段上的最值，这就需要利用一些特殊的方法。

二、二次函数线段最值问题的求解方法求解二次函数线段最值问题的方法主要有以下两种：1.区间套定理区间套定理是指，如果一个函数在一个区间 [a, b] 的两个端点的函数值异号，那么在这个区间内一定存在一个点 c，使得函数在这个点取得最值。

对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过求解 f(a) 和f(b) 的符号，确定最值点 c 所在的区间，然后通过求导数或代入法求解最值。

2.函数图像法函数图像法是指通过观察函数图像，直观地判断函数在某一区间内的最值。

对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过观察抛物线的开口方向、顶点坐标等特征，来判断函数在给定区间内的最值。

三、二次函数线段最值问题的实际应用二次函数线段最值问题在实际生活中的应用非常广泛，下面举一个简单的例子：假设一个物体在重力作用下从高处落下，其运动符合二次函数模型：h(t)=-16t^2+8t+1（其中 h 表示物体的高度，t 表示时间，单位均为国际单位制中的基本单位）。

问题：物体在 0~4 秒内落的最远距离是多少？解：首先，根据函数的性质，可知物体落地时的高度为 1。

然后，求解 h(t) 在 [0, 4] 区间的最大值。

二次函数线段最值问题

二次函数线段最值问题二次函数线段最值问题是高中数学中经常出现的一个问题。

在实际生活中，许多问题都可以通过二次函数线段最值问题来解决。

本文将从以下几个方面来探讨这个问题：二次函数线段的定义、最值问题的解法、实际应用、注意事项等。

一、二次函数线段的定义二次函数线段是指一条由二次函数所描述的直线。

一般来说，它的函数公式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c均为常数。

其中，a控制二次函数的“开口向上”或“开口向下”，b控制二次函数图像的位置，c为常数项。

当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。

二、最值问题的解法求解二次函数线段最值的问题，需要先找到函数图像的顶点。

顶点是函数图像的最高点或最低点。

根据函数的定义，可以求得顶点的坐标为：x = -b / 2ay = f(x) = -Δ / 4a + c其中Δ = b² - 4ac为判别式。

当a>0时，函数的最小值为y = f(x)，当a<0时，函数的最大值为y = f(x)。

三、实际应用二次函数线段最值问题在许多实际问题中都有广泛应用。

例如，在生产生活中，我们需要计算能够取得最大利润的销售数量；在物理学、化学等领域，也需要求出最高或最低点的数值。

此外，对于空间中的曲面图像，也可以利用二次函数线段最值问题来求出曲面的极值点。

四、注意事项在解题过程中，需要注意以下几点：1. 判别式Δ要大于等于0，否则函数没有最值。

2. 当a = 0时，不是二次函数，也不存在最值问题。

3. 在应用中，需要理解题目中的具体含义，才能正确求解最值问题。

总之，二次函数线段最值问题是高中数学中的重要内容，应当掌握。

通过理解其定义、解法以及实际应用，我们可以更好地理解和应用二次函数线段的相关知识，更好地完成数学学习。

二次函数中的线段最值问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

例题精讲【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．解：过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），A（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得，，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∵PQ∥y轴，∴∠PQM＝45°，∵PM⊥BC，∴△PMQ为等腰直角三角形，∴PM＝PQ，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴PM＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PM的最大值为．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PN∥y轴，N在直线AD上，∴N（m，﹣m﹣），∴PN＝﹣m﹣﹣m2+m+2＝﹣m2+m+．∴当m＝时，PN的最大值是；（3）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x轴，M在直线AD上，M与P纵坐标相同，把y＝m2﹣m﹣2，代入y＝﹣x﹣中，得x＝﹣m2+2m+2∴M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2）∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2∴当m＝时，PM的最大值是．【变1-2】．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，此时PQ的最大值为2．【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？解：（1）如图1，∵OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴将A（﹣3，0），C（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得．故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x﹣3；（2）如图，连接AP，BP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P′，∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BC＝＝＝，∵点A，B关于抛物线对称轴对称，∴AP＝BP，∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，此时PA+PC+BC最小，即△BCP的周长最小，∴当P、A、C三点共线时，△BCP的周长最小，即P在P′所在的位置，设直线AC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）如图3，设N（t，t2+2t﹣3），则M（t，﹣t﹣3），∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝﹣，即点N的坐标为（﹣，）时，线段MN的长度最大，最大值为．变式训练【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．解：（1）∵B点坐标为（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（﹣，﹣）．【变2-2】．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由二次函数顶点C（1，4），设y＝a（x﹣1）2+4，将B（3，0）代入得：4a+4＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴D（0，3），设直线BD解析式为y＝kx+3，将B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x+3，设P（m，﹣m+3），则M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PM取最大值，最大值为；（3）存在点Q，使△BDQ中BD边上的高为，理由如下：过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，如图：设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵OB＝OD，∴∠OBD＝45°，∴∠BGE＝45°＝∠QGH，∴△QGH是等腰直角三角形，当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，∴QG＝2，∵点Q在第一象限，QG＝|﹣x2+3x|，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点Q，坐标为（1，4）或（2，3）．1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，把点B（3，0）代入y＝kx+3中，得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣+，∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m＝时，点N的坐标为（，），∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝．△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB＝PN时，即＝，解得：n＝，此时点P的坐标为（2，）；②当PB＝BN时，即＝，解得：n＝±，此时点P的坐标为（2，﹣）或（2，）；③当PN＝BN时，即＝，解得：n＝，此时点P的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M 的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A（1，0），C（﹣3，0），当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，所以点M坐标为（﹣1，2）；（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，线段EF最长．4．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO ＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，当＝时，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P坐标为（2，3）．6．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴当m＝时，n的值最大，最大值是．7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，过直线BC 的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D．（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M、N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2））∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝，∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P（1，﹣2），∴P′（1，﹣1），∵A（﹣1，0），∴直线AP′的解析式为y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（0，﹣），∴AM＝＝，PN＝＝，∴AM+MN+PN的最小值为+1．8．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．解：（1）∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为（3，2），把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．9．如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3，），A点在y 轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC 相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+1；把A（0，1），B（﹣3，）代入y＝ax2﹣x+c得，，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣x+1；（2）设点N的坐标为（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣m+1），∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+1＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，MN取最大值，最大值为；（3）假设存在，设点N的坐标为（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．∵点B坐标为（﹣3，），点C的坐标为（﹣3，0），∴BC＝．∵四边形BCMN为菱形，∴MN＝﹣m2﹣m＝BC＝，解得：m1＝﹣2，m2＝﹣1．当m＝﹣2时，点N的坐标为（﹣2，），∴BN＝＝，BC＝，BN≠BC，故m＝﹣2（舍去）；当m＝﹣1时，点N的坐标为（﹣1，4），∴BN＝＝，BC＝，BN＝BC，∴点N（﹣1，4）符合题意．故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）．10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C∴点C坐标为（0，﹣3）∴直线BC解析式为：y＝x﹣3∵点B（3，0），点C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周长＝DE+EF+DF＝（1+）DF，设点D（a，a2﹣2a﹣3），则F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+∴当a＝时，DF有最大值为，即△DEF周长有最大值为（1+）×＝，（3）存在，如图1，过点M作GH⊥OC，过点P作PH⊥GH，连接MN，PM，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴点M（1，4）∵以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∴∠PMH+∠NMG＝90°，且∠PMH+∠MPH＝90°，∴∠NMG＝∠MPH，且MN＝PM，∠H＝∠NGM＝90°，∴△MNG≌△PMH（AAS）∴GM＝PH＝1，∴点P的纵坐标为﹣3，∴﹣3＝x2﹣2x﹣3∴x＝0（不合题意舍去），x＝2，∴点P的横坐标为2，如图2，过点P作GH⊥AB，过点N作NG⊥GH，过点M作MH⊥GH，易证：△NGP≌△PHM，可得NG＝PH，GP＝MH，设点P横坐标为a，（a＞1）∴NG＝PH＝a，∴点P纵坐标为﹣4+a，∴﹣4+a＝a2﹣2a﹣3∴x＝（不合题意舍去），x＝综上所述：点P的横坐标为2或11．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BDQ中BD边上的高为．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，则C（2，﹣3），设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝；（2）存在，点Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即D（0，﹣3），由B（3，0），D（0，﹣3）得到直线BD的解析式是y＝x﹣3，如上图，过点Q作QE⊥BD交BD的延长线于点E，则QE＝2，过点Q作QN⊥x轴于点N，交BD于点H，由直线BD的表达式知，∠HBN＝45°＝∠QHE，则QH＝QE＝＝4，设点Q（m，m，m2﹣2m﹣3），则点H（m，m﹣3），则QH＝|y Q﹣y H|＝4，即m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝±4，解得m＝﹣1或4，∴Q的坐标为：（﹣1，0）或（4，5）；（3）存在，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0），理由：设点F的坐标为（x，0），点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），而点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，﹣3），①当AC为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得（舍去），故点F的坐标为（1，0）；②当AF为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得解得，即点F的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；③当AG为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得，解得（舍去），故点F的坐标为（﹣3，0），综上，点F的坐标为（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．12．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+3过点B和点C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为：x＝1，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4）；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，过点P作PD⊥BC于点D，OC＝OB＝3，则∠DPH＝∠CBA＝45°，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵＜0，故d有最大值，此时x＝，则点P（，）；（3）点A关于y轴的对称点A'（1，0），设点F（m，3﹣m），而点C（0，3），A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，FC2＝2m2，由题目知，∠A′CF≠90°，则当△FA'C是直角三角形时，分以下两种情况：当CF为斜边时，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2m2，解得：m＝；当A′C为斜边时，同理可得：m＝2，故点F的坐标为：（，）或（2，1）．13．如图①，已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求点C的坐标及a的值；（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3．C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P 作y轴的平行线，交CE于点F．①求线段PF长的最大值；②若PE＝EF，求点P的坐标．解：（1）顶点C为（﹣1，﹣4）．∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0＝a（1+1）2﹣4，解得，a＝1；（2）①∵C2与C1关于x轴对称，∴抛物线C2的表达式为y＝﹣（x+1）2+4，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，∴E（5，0），设直线CE的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线CE的解析式为y＝x﹣，设P（x，﹣x2+6x﹣5），则F（x，x﹣），∴PF＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣）＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，PF有最大值为；②若PE＝EF，∵PF⊥x轴，∴x轴平分PF，∴﹣x2+6x﹣5＝﹣x+，解得x1＝，x2＝5（舍去）∴P（，）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M 和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M 和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．15．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝，故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范围为：2≤t≤．。

二次函数线段最值问题二师兄解答

二次函数线段最值问题二师兄解答
【实用版】
目录
1.二次函数线段最值问题的基本概念
2.二次函数线段最值问题的求解方法
3.二次函数线段最值问题的实际应用
正文
一、二次函数线段最值问题的基本概念
二次函数线段最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到二次函数的性质以及线段最值的求解。

在实际生活和学习中，我们经常会遇到这类问题，例如在物理、化学、经济学等领域，它都有广泛的应用。

二次函数是指一个函数的最高次项是二次的函数，它的一般形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。

线段最值问题是指在线段上寻找某一函数的最大值或最小值。

二、二次函数线段最值问题的求解方法
求解二次函数线段最值问题，通常采用以下两种方法：
1.配方法：将二次函数转化为顶点式，然后根据顶点的横坐标求出最值。

配方法的步骤是：先将二次项和一次项的系数分别除以 2，然后将二次项和一次项的平方项加减到一个完全平方项中，从而将二次函数转化为顶点式。

2.导数法：对二次函数求导，然后令导数等于 0，求出极值点。

根据极值点的横坐标，可以判断出最大值或最小值。

三、二次函数线段最值问题的实际应用
二次函数线段最值问题在实际应用中非常广泛，例如在经济学中的最
优化问题，求解最大利润或最小成本；在物理学中的抛物线运动问题，求解最高点或最低点等。

掌握好二次函数线段最值问题的求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。

综上所述，二次函数线段最值问题是一个具有实际意义的数学问题，通过配方法和导数法，我们可以有效地求解这类问题。

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。

这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。

在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。

首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。

根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。

对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。

这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。

2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。

根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。

3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。

通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。

同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。

4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。

这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。

如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。

通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。

当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。

但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。

总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。

二次函数中线段长度的最值问题

1：如图1，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

2：如图2，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

3：如图3，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线
的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。

4：如图4，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 点Q ，求三角形PDQ 周长的最大值；
5：如图5，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，作BC PQ ⊥点，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点M ，求PMQ ∆最大值；
图4。

二次函数求线段最值问题

二次函数求线段最值问题二次函数求线段最值问题是指给定一个二次函数，要求求出函数在某个线段上的最大值或最小值。

以下是求解二次函数线段最值问题的详细步骤：1. 确定二次函数公式：首先，确定二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别为常数。

根据具体问题的条件，可以得到函数的具体表达式。

2. 确定线段的范围：根据问题中给定的线段范围，确定函数的自变量x的取值区间。

这个区间必须在函数的定义域内。

3. 确定最值类型：判断问题中要求求解的是最大值还是最小值。

这可以通过问题的描述或背景来确定。

4. 求解最值点：针对求解最大值或最小值的情况，进行以下步骤：- 求解函数的导数f'(x)。

导数可以通过对函数f(x)进行求导得到。

- 解求导函数f'(x)的解析解或数值解。

这些解即为函数的驻点，也就是函数取得最值的可能点。

- 验证驻点是否在线段范围内。

检查求得的驻点是否在给定的线段范围内。

如果在范围内，则进入下一步；如果不在范围内，则取线段端点的函数值作为最值点。

- 计算驻点或线段端点的函数值。

将驻点或线段端点的x值代入二次函数，计算对应的函数值。

- 比较函数值大小，找出最值点。

比较上一步中得到的函数值，找出最大值或最小值点。

5. 补充边界情况：除了在线段内求解最值以外，还需要检查函数在线段的端点处的函数值。

比较端点的函数值与之前求得的最值点的函数值，确定最终的最值点。

6. 验证最值点：最后，将求得的最值点代入二次函数，验证它们是否为最大值或最小值。

即比较最值点的函数值与其他可能的函数值，以确定最值点的正确性。

以上是求解二次函数线段最值问题的详细步骤。

通过这些步骤，可以找到函数在给定线段上的最大值或最小值点。

注意，在具体的问题中，可能需要对步骤进行一些适当的调整和修改，以适应不同的求解需求。

二次函数中的线段最值问题

二次函数中的线段问题例1.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．直线BC解析式y＝x+3；（1）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P使PB﹣PC的值最大，求出P点的坐标变式1.如图，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；例2.如图，抛物线y＝﹣x2+x；过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？例3.如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+4，的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点（0，4）．A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0），A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求出M点的坐标．变式1.如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3，的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），直线BD解析式为y＝﹣x+3，P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值．变式2.如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．直线BC的解析式为y＝x﹣3，点P为抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PM⊥直线BC，垂足为M，当PM最大时，请直接写出此时点P的坐标．变式3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，再过点E作EF⊥BC于点F，请求出DE+EF的最大值．变式4.已知顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B左边），直线y＝n与抛物线分别交于点M，N（点M在点N左边）．直线y＝n与线段DB交于点P，求PN的最大值；变式5.已知抛物线y ＝（x ﹣1）2的顶点为（1，0），与y 轴的交点坐标为（0，）．R （1，1）是抛物线对称轴l 上的一点．若P 是抛物线上的一个动点，求证：点P 到R 的距离与点P 到直线y ＝﹣1的距离恒相等；例4.如图,拋物线y=421-2++x x 与坐标轴交于A 、B 、C 三点,对称轴与x 轴交于点P,点E 是x 轴上方抛物线上的动点,过点E 作EN ⊥x 轴于点N.连接AE 交抛物线对称轴于点F,连接BE 并延长交对称轴于点G,试证明PF+PG 的值为定值,并求出该定值.作业1.已知如图，抛物线y=x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA ﹣MC |最大？若存在请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．2.如图，二次函数y ＝﹣x 2+x +2的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ．直线BC 的解析式为y ＝﹣x +2，点P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为点Q ，连接PC ．求线段PQ 的最大值；3.如图，P （m ，n ）是抛物线142-=x y 上任意一点，l 是过点（0，﹣2）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．（1）填空：当m ＝0时，OP ＝，PH ＝；当m ＝4时，OP ＝，PH ＝；（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．4.已知抛物线y ＝x 2﹣4x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为 D ．点E 为x 轴下方抛物线y ＝x 2﹣4x+3上一动点，抛物线的对称轴DH 交x 轴于点H ，直线AE 交y 轴于点M ，直线BE 交对称轴DH 于点N ，求MO+NH 的值；。

二次函数求线段最大值

二次函数求线段最大值介绍二次函数是数学中常见的函数类型之一，具有一系列重要的性质和应用。

在本文中，我们将讨论如何利用二次函数求解线段的最大值问题。

通过深入探讨二次函数的性质和求解最优化问题的方法，我们将为读者提供一种全面、详细的解决方案。

二次函数的概述二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

它是一个关于x的二次多项式函数，其中包含了一元二次方程的特殊情况。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。

求解线段最大值的问题我们考虑一个简单的问题：给定一条线段，在一定范围内选择一个点，使得该点到线段两个端点的距离之和最大。

这个问题在几何学和优化问题中经常出现，例如在寻找物体最远位置的路径规划中。

为了解决这个问题，我们可以使用二次函数和数学优化的方法。

数学建模1.假设线段的两个端点分别为(A, B)，其中A的横坐标小于B的横坐标。

2.我们需要找到一个点C，使得AC + BC的和最大。

3.假设C的横坐标为x，则C的纵坐标可以通过二次函数的表达式来计算。

求解过程1.首先，我们可以将线段的两个端点坐标用二次函数的形式表示。

2.然后，我们需要计算AC + BC的和，即二次函数上两点之间的距离之和。

–AC的距离可以由已知点坐标的差值计算得到。

–BC的距离可以由已知点坐标的差值计算得到。

3.将AC + BC的表达式进行化简，并求导数。

4.令导数为0，求解方程得到最值点的横坐标。

5.将最值点的横坐标代入二次函数的表达式，计算得到最值点的纵坐标。

6.最后，得到线段上到两个端点距离之和最大的点的坐标。

举例说明我们通过一个具体的例子来说明如何求解线段最大值的问题。

假设有一条线段，其两个端点的坐标分别为A(1, 2)和B(5, 6)。

我们需要找到线段上到端点A和B距离之和最大的点的坐标。

1.首先，我们将线段的两个端点坐标用二次函数的形式表示：–端点A的坐标表示为：f(x) = x^2 - 2x + 3–端点B的坐标表示为：f(x) = x^2 - 10x + 312.计算AC + BC的和，即二次函数上两点之间的距离之和：–AC的距离 = |x^2 - 2x + 3 - 2|–BC的距离 = |x^2 - 10x + 31 - 6|–AC + BC的和 = |x^2 - 2x + 3 - 2| + |x^2 - 10x + 31 - 6|3.将AC + BC的表达式进行化简，并求导数：–AC + BC的和 = |x^2 - 2x + 1| + |x^2 - 10x + 25|–求导数：d(AC + BC)/dx = (2x - 2) + (2x - 10)4.令导数为0，求解方程得到最值点的横坐标：–(2x - 2) + (2x - 10) = 0–4x - 12 = 0–x = 35.将最值点的横坐标代入二次函数的表达式，计算得到最值点的纵坐标：–f(3) = 3^2 - 2*3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 66.结果分析：–线段上到端点A和B距离之和最大的点的坐标为(3, 6)。

完整版)二次函数的线段最值问题

完整版)二次函数的线段最值问题二次函数的线段最值问题例1：给定三个点A（4,0），B（-4，-4），C（0,2），连接AB,BC,AC，求抛物线的解析式和点P的坐标，其中点P是抛物线对称轴上的一点。

解析：首先，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的对称轴方程为x=0.然后，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（0,2）。

因此，抛物线的解析式为y=ax^2+2，其中a为待定系数。

接下来，我们可以利用点A或点B的坐标，带入解析式求解a的值。

得到a=-1/8，因此抛物线的解析式为y=-x^2/8+2.点P在对称轴上，因此其横坐标为0.我们可以通过求解点P到线段BC的垂线，得到点P的纵坐标。

具体来说，我们可以利用线段BC的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。

然后，利用点P和线段BC的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。

最后，求解垂线与线段BC的交点的纵坐标即可。

经过计算，得到点P的坐标为（0,-3/2）。

例2：给定抛物线y=x^2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D。

求抛物线的解析式，点P在运动的过程中线段PD长度的最大值，以及是否存在点M使|MA﹣MC|最大，若存在则求出点M的坐标，若不存在则说明理由。

解析：首先，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的解析式为y=x^2.然后，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（2,4）。

因此，抛物线的解析式为y=x^2+4.点P沿抛物线从点C到点A运动，因此其轨迹为抛物线上的一段。

我们可以通过求解点P到线段CD的垂线，得到点P在运动过程中线段PD的长度。

具体来说，我们可以利用线段CD的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。

然后，利用点P和线段CD的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。

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一、二次函数线段最值问题【1】1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。

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