二次函数线段最值问题

二次函数线段最值问题

———几何类

“最短距离”经典问题汇总 一、“两点之间线段最短”．

【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．

【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找

一点A B 、，使得PAB ∆的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接

12P P ，与12l l 、分别交于A

B 、两点，即为所求． 【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．

【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移

到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′

，与直线O

B A

P 2P 1P

l 2l 1

l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．

【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下．

A B 、是位于河两岸的两个村庄，

要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求．

【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点．

二、“垂线段最短”．

例题探究：

【探究1】 如图，抛物线42

12+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，

0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．

在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周

长；

【探究2】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交

于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x

轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，在线段BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

【探究4】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A

在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自OC 的中点M 出发，先到达

x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F

），最后

运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

【探究5】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线

3

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y x =-+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，

将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB

上，折痕交x 轴于点C ．设过A 、B 、C 三点的抛物线211164

4

y x x =-+的对称轴

与直线BC 的交点为T ，Q 为线段BT 上一点，请求出QA QO -的取值范围．

【探究6】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线268y x x =-+经过A （2，0）、B （4，0）

两点，直线122

y x =+交y 轴于点C ，且过点

(8,)D m ．

将抛物线268y x x =-+左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．

【探究7】 已知： 抛物线223y x x =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C ，顶点为D.直线l 过点C ,且l ∥x 轴,E 为l 上一个动点，EF ⊥x 轴于F ．求使DE+EF+BF 的和为最小值的E 、F 两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF 的最小值.