2019年天津市高考数学试卷(理科)以及答案解析

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

理科数学

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）

A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）

A．2B．3C．5D．6

3．（5分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）

A．5B．8C．24D．29

5．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）

A．B．C．2D．

6．（5分）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）

A．﹣2B．﹣C．D．2

8．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）

A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．

10．（5分）（2x﹣）8的展开式中的常数项为．

11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．

12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为．

13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．

14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B ＝4a sin C．

（Ⅰ）求cos B的值；

（Ⅱ）求sin（2B+）的值．

16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．

17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC ＝2．

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．

18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率．19．（14分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．

（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．

（i）求数列{a（c﹣1）}的通项公式；

（ii）求a i c i（n∈N*）．

20．（14分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；

（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．

2019年天津市高考数学（理科）答案解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；

【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，

则A∩C＝{1，2}，

∵B＝{2，3，4}，

∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；

故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图：

联立，解得A（﹣1，1），

化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．

【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果

【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，

∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，

∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，