理论力学第十四章 虚位移原理

4、中间铰 δr N
N/
Nδr + N /δr = 0
5、轴承约束 YB
XB
YA XA
δr = 0
6、无重刚杆（二力构件）
θBδrB
NA
B
θA δrA
N/
Nδ rA + N /δ rB
= −Nδ rA cosθ A + N /δ rB cosθ B
∵δrA cosθ A = δrB cosθ B
∴ Nδ rA + N /δ rB = 0
∑ 于是可得：
Fi •δ ri = 0
例：已知OA=r， 求系统在图示位 置平衡时，力偶 M与力F的关系。
A
M
θ
O
θ = 900 ϕ = 300
B
ϕ
F
解：（1）研究对象：机构整体
（2）受力分析：作虚功的力：M，F 给出虚位移：
（3）求M与F关系：
δ rA A
− Mδθ + F ⋅δrB = 0
δθ
证明：（必要性）
考虑一处于平衡状态的质点系。
对任意质点，有：Fi + FNi = 0
Fi
任给虚位移，使之做虚功，则：
Fi •δ ri + FNi • δ ri = 0
mi FNi δ ri
∑ ∑ 对整个质点系，则有： Fi •δ ri + FNi •δ ri = 0 ∑ 在理想约束情况下有： FNi •δ ri = 0
7、不可伸长柔索
TA θA A δrA
θB TB B
δrB
8、只滚不滑
δφ
（同无重刚杆）
F N
δr = 0
§14-2 虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的静止质点系，其平衡 条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位 移上的虚功之和等于零。
∑ Fi •δ ri = 0
投影式： ∑( Fxδx+Fyδy+Fzδz）＝0
⎝
2π ⎠
FN
=
4π
h
F
y A
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
解：（1）研究对象：整体
例：图示椭圆规机构，连 杆AB长为l，杆、滑块的 重量和滑道、铰链上的摩 擦力忽略不计。求在图示 位置平衡时，主动力FA和 x FB之间的关系。
vB
δ rB
（2）受力分析：给出虚位移，作虚功的力：FA和FB （3）求FA和FB之间的关系：
因为： δrB = δxB = tanϕ δrA δyA
将虚位移间的关系代入虚 功方程，求解可得：
所以，同样可以得到：δrB = δrA ⋅ tanϕ
y A
FA = δrB = tanϕ FB δrA
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
完整约束的一般形式:
•双面约束：约束方程为等式的约束 单面约束：约束方程为不等式的约束
θl
x
杆
x2 + y2 = l2
M（x，
绳
x2 + y2 ≤ l2
y
y）
gN ≥ 0, λN ≥ 0, g N λN = 0
二 虚位移
虚位移：在给定瞬时，质点或质 点系为约束所允许的任何无限小 位移。
M（x,y,z)
建立虚位移 δθ 和 δrB间的关系： δ rA = δ rB δ rA = r ⋅δθ
所以：δ rB = r ⋅δθ
θM ϕ
B
F
O
δ rB
将虚位移间的关系代入虚功方程，求解可得： M = rF
F A
δϕ
例：在螺旋压榨机的手柄AB上作用一
F
B
在水平面内的力偶(F,F’)，其力偶矩
等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡
时作用于被压榨物体上的压力。
C
δ rC
解： （1）研究对象：系统整体
（2）受力分析：给机构一组虚位移，
FN （3）求FN：
所以：
δϕ δrC 作虚功的力：（F，F/），FN
2Fl ⋅δϕ − FN ⋅δrC = 0
δϕ / 2π = δ rC / h
δrC = (h / 2π )⋅δϕ
代入虚功方程，求解： ⎜⎛ 2Fl − FN h ⎟⎞δϕ = 0
建立虚功方程： FAδrA − FB ⋅ δrB = 0
建立虚位移δrA 和δrB 间的关系：
方法一：虚速度法
假想虚位移是在某很短的时间 dt内
发生的，于是定义 v = δr / dt 为虚速度。因为位移之比即速度之比，
所以可通过分析速度来建立虚位移间的关系。δrB / δrA = vB / vA
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
三 虚功 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功。
δW=Fδr 四、理想约束：
约束反力虚功之和为零的约束。
ΣδWN = ΣNδr = 0
那些约束为理想约束？ 回到动能定理里理想约束部分
1、光滑面 N δr
3、固定支座 Y X
Nδr = 0
δr = 0
2、可动支座 N
δr
M（x，Fra Baidu bibliotek） y 单摆
x
θ1 l1
M1（x1，y1）
y
θ2 l2
双锤摆
M2（x2，y2）
约束: 刚杆 l1, l2
约束方程 x12 + y12 = l 2
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 = l 2
A M
O
P
x
B
xA2 + yA2 = r2
(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 = l 2
由AB的速度瞬心P可知：
y
vB = PB = tanϕ
vA PA
A
P
于是：δrB = δrA ⋅ tanϕ
δ rA vA FA
O
FB ϕ B
x
vB
δ rB
方法二：坐标变分法
yA = lsinϕ xB = lcosϕ
分别求变分，可得：δyA = l ⋅ cosϕ ⋅δϕ δxB = −l ⋅sinϕ ⋅δϕ
切
δr1
平
面
A
δS A
M
O
δSB
P x
B
质点：δr 质点系:(δr1 ,δr2 ,…,δrn )
说明: 1.对给定瞬时而言(不同位置位移不同). 2.为约束所允许的(不能破坏约束). 3.无限小位移(不是有限位移).
4.任何无限小位移(不只一个;对质点 系来说不只一组).
M（x,y,z)
切
δr1
平
第十四章 虚位移原理
虚位移原理应用虚功的概念分析系统的平衡问题.
§14-1 约束、虚位移与虚功 一 约束及其分类
约束 限制质点或质点系运动的条件。 约束方程 表示约束的数学方程
1. 几何约束与运动约束 几何约束：约束方程中不含速度项的约束
实 例 θl
x 约束:无重刚杆. 约束方程: x2 + y2 = l 2
yB = 0
运动约束：约束方程中含有速度项的约束
ω
vA r
yA = r
vA − rω = 0
xA − rθ = 0
2. 定常约束与非定常约束 •定常约束：约束方程中不显含时间t的约束 非定常约束：约束方程中显含时间t的约束
x2 + y 2 = (l0 − vt)2
2. 其它分类 •完整约束： 非完整约束：