5极点配置与观测器的设计
利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班姓名 学号 授课老师 预定时间 实验时间实验台号 一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
原理简述状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cx y Bu Ax x =+=&如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为： B BK A sI C G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件内容步骤、数据处理题5-1 某系统状态方程如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦=& [](s+ (s^2 + +------------------------------------(s+30) (s+ (s^2 + +>> A=[-10 -35 -50 -24;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];B=[1;0;0;0];C=[1 7 24 24];D=0;G=ss(A,B,C,D);p=[-30 +4i ];k=place(A,B,p);A1=A-B*k;G1=ss(A1,B,C,D);t=0::20;u=ones(size(t));y2=lsim(G1,u,t);y1=lsim(G,u,t);plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦=& 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
05第五章 极点配置与观测器设计
A11 B1K c
A22
开环不能控极点无法改变
结论：
1. 状态反馈只改变能控性极点； 2. 只有开环系统完全能控时，所有的极点都可改 变，即开环系统完全能控时，可任意配置极点； 3. 不能控极点不稳定时（不能控极点有实部≥0）， 无论如何选择K，闭环系统都不 s 2s 1
k1 2 2 k1 k 2 1 1
k1 4 k 2 4
k 4 4
(5) 代入 k 4 - 4 1 s 1 -1 1 2 A bk , sI- A bk 4 s 3 s 1 4 3
sI A bk s n d1s n1 d 2 s n2 d n1s d n
这里A, b已知，期望极点1 , 2 n 给定
即：d1 , d 2 ,, d n已知
由上式可得出 k 值
例：
1 1 0 x x 1 u 0 1
例：
1 G( s) 2 s 3s 1
超调量： p % 5% 要求闭环满足： 峰值时间：t p 0.53
阻尼振荡频率： d 10
解: (1) 状态空间模型（实现）
0 x - 1
1 0 x 1 u 3
(2) 根据时域指标求取期望极点
第五章 极点配置与观测器设计
5.1 概述
5.2 单输入系统的极点配置 5.3 多输入系统的极点配置
5.4 观测器及其设计方法
5.5 用状态观测器的反馈系统
第一节
一、问题的提出
• 系统的描述：
概述
模型结构，如第一章状态方程内容
• 系统的分析：
5第五节极点配置
K = [− 9.4 − 79.1 − 170.8]
以上述状态阵K反馈后的状态方程为：
1 0 0 0 ɺ X = ( A + B K ) X + Bv = 0 0 1 X + 0 v − 172.8 − 82.1 − 14.4 1 y 输出方程为： = x1 = [1 0 0]X
Saturday, June 25,1]一个三阶系统的微分方程为：ɺ(t ) + 5 ɺɺ(t ) + 3 y (t ) + 2 y (t ) = u (t ) y 希望该系统有小的超调量，调整时间小于1秒。试确定状态反馈 阵K，以满足上述要求。
选择希望的特征方程为： * (λ ) = (λ2 + 2ζλ + ω n 2 )(λ + ζω n ) = 0 f 因为要求小的超调量，所以可以取ζ = 0.8，那么调整时间为：
Saturday, June 25, 2011
11
Saturday, June 25, 2011
9
u K 状态反馈阵K是： = [k1 k 2 k3 ] 。取控制量为： = K X ɺ 则：X = A X + B K X = ( A + B K ) X 1 0 0 0 1 其中：A + B K = 0 − 2 + k1 − 3 + k 2 − 5 + k3 特征方程为： f (λ ) = det[λI − ( A + B K )] = λ3 + (5 − k3 )λ2 + (3 − k 2 )λ + (2 − k1 )
u
B
图a
ɺ x
+
现代控制理论课件PPT极点的配置和观测器的设置
(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
利用matlab实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课老师 预定时间实验时间实验台号一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cxy Bu Ax x =+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件⎣[y1=lsim(G,u,t); plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6]'; C=[1 0 0]; D=0;p=[-1 -2 -3]; L=(acker(A',C',p))' 结果：L = 40 -10。
利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
订 线实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课老师 预定时间实验时间实验台号一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cxy Bu Ax x=+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件[0410x y ⎢=⎢⎢--⎣=理想闭环系统的极点为（1）采用直接计算法进行闭环系统极点配置；（2）采用Ackermann订 线y1=lsim(G,u,t); plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)要点
D=0;
p=[-30 -1.2 -2.4+4i -2.4-4i];
k=place(A,B,p);
A1=A-B*k;
sys=ss(A1,B,C,D);
G1=zpk(sys)
结果：Zero/pole/gain:
(s+1.539) (s^2 + 5.461s + 15.6)
------------------------------------
k=place(A,B,p);
A1=A-B*k;
sys=ss(A1,B,C,D);
G1=zpk(sys)
结果：
Zero/pole/gain:
(s+4.303) (s+0.6972)
--------------------
(s+3) (s+2) (s+1)
则其极点为-1，-2，-3
题5-2某控制系统的状态方程描述如下：
sys=ss(A1,B,C,D);
G1=zpk(sys)
结果：Zero/pole/gain:
(s^2 + 5s + 15)
-------------------------
(s+1) (s+1.999) (s+3.001)
则其极点为பைடு நூலகம்1 ,-2 ,-3
(2)
程序：
>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
实验报告
实验名称利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器
系
专业
自动化
班
姓名
学号
授课老师
预定时间
实验五 状态观测器的设计
实验五 状态观测器设计一、实验目的：（1） 理解观测器在自动控制设计中的作用（2） 理解观测器的极点设置（3） 会设计实用的状态观测器二、实验原理：如果控制系统采用极点配置的方法来设计，就必须要得到系统的各个状态，然后才能状态反馈进行极点配置。
然而，大多数被控系统的状态是不能直接得到的，怎么办？于是提出了利用被控系统的输入量和输出量重构原系统的状态，这样原系统的状态就能被等价取出，从而进行状态反馈，达到改善系统的目的。
另外，状态观测器可以用来监测被控系统的各个参量。
观测器的设计线路不是唯一的，本实验采用较实用的设计。
给一个被控二阶系统，其开环传递函数是12(1)(1)K T s T s ++ ，12 K K K = 设被控系统状态方程X=AX+BuY=CX构造开环观测器， X、 Y 为状态向量和输出向量估值 X=AX+Bu Y=CX由于初态不同，估值 X状态不能替代被控系统状态X ，为了使两者初态跟随，采用输出误差反馈调节，即加入 H(Y-Y)，即构造闭环观测器，闭环观测器对重构造的参数误差也有收敛作用。
X=AX+Bu+H(Y-Y)Y=CX也可写成 X=(A-HC)X+Bu+HY Y=CX只要（A-HC ）的特征根具有负实部，状态向量误差就按指数规律衰减，且极点可任意配置，一般地，（A-HC ）的收敛速度要比被控系统的响应速度要快。
工程上，取小于被控系统最小时间的3至5倍，若响应太快，H 就要很大，容易产生噪声干扰。
实验采用X=AX+Bu+H(Y-Y)结构，即输出误差反馈，而不是输出反馈形式。
由图可以推导： 11112222[()]1[()]1K x u Y y g T s K x u Y y g T s =+-+=+-+所以： 111111112222122121 ()1 ()K g K x x u Y y T T T K g K x x x Y y T T T =-++-=-+- 比较： X=Ax+Bu+H(Y-Y)Y=Cx可以得到：[]1111111222221210 , B= , C=01,10g K K T T g T A H g K g K T T T ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择观测器极点为1λ，2λ即有：12()()s s λλ++故：特征式 d e t ()S I A H C-+=12()()s s λλ++ 取：1212min 3520,5,2,0.5,0.2K K T T t λ-======，求解12g g ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、实验设备：THBDC-1实验平台THBDC-1虚拟示波器Matlab/Simulink 软件四、实验步骤：按要求设计状态观测器(一)在Matlab环境下实现对象的实时控制1、将ZhuangTai_model.mdl复制到E:\MA TLAB6p5\work子目录下，运行matlab，打开ZhuangTai_model.mdl注：‘实际对象’模块对应外部的实际被控对象，在simulink下它代表计算机与外部的接口：●DA1对应实验面板上的DA1，代表对象输出，输出通过数据卡传送给计算机；●AD1对应实验面板上的AD1，代表控制信号，计算机通过数据卡将控制信号送给实际对象；2、如图，在Simulink环境下搭建带状态观测器的系统实时控制方框图3、如图正确接线，并判断每一模块都是正常的，包括接好测试仪器、设置参数、初始化各个设备和模块；接成开环观测器，双击误差开关，使开关接地。
线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本
一. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨=⎩二. 状态观测器设计原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩设ˆx x x=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-解得：(A GC)t(0),t 0x ex -=≥由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cxy CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩将等号左边分别用z 的各分量12,,,n z z z 表示，有121(n 1)(n 2)(n 3)2n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣⎦如果系统完全能观，则rankQ n =即1ˆ(Q Q)T Tx Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
5.5状态观测器设计
N =B, K =E
于是得到一特定的n 维KX 观测器。
⎧ z& = ( A − LC )z + Bu + Ly
⎨ ⎩W
=
Kz
(5-35)
称此为∑ 的一个全维KX观测器；K=I为 ∑ 的一个全维状态观测
器.
因为满足结构条件的L 不唯一,全维观测器也不唯一。全6 维
观测器设计较简单。
5.5.2 全维状态观测器设计
⎨ ⎩
W = Ez
(5-34)
称为全维观测器。
若 r < n ，M ≠ 0 ，相应观测器称为降维观测器。
对 r = n 全维观测器，参数除按通常步骤外，有特定取法：
F = A − LC ,
G=L
则 PA− FP = PA− (A − LC)P = PA− AP + LCP = LC
有 P = In 从而
y = [1 1 0 ] x
设计特征值为-3,-3和-4的全维状态观测器.
解:
⎡c⎤
⎡1 1 0⎤
rank
⎢ ⎢
cA
⎥ ⎥
=
rank
⎢ ⎢
−1
−3
−1⎥⎥ = 3 = n
8
⎢⎣cA2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 5 0 ⎥⎦
可知系统完全观测.
⎡−1 0 1 ⎤
⎡1⎤
A
=
AT
=
⎢ ⎢
−
2
−1
0
⎥ ⎥
,
b
= cT
=
完全能控
⎡ 1 0 0⎤ ⎡0 −1 1⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡ 2 2 1⎤
P = ⎡⎣ A2b Ab b ⎤⎦ ⎢⎢α 2
1
极点配置与状态观测器课件
存在复杂的障碍物和动态环境
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
机器人的运动状态和控制输入信号可能不稳定 2. 极点配置的作用
提高机器人的运动稳定性和导航精度
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
优化避障和路径规划的性能 极点配置方法可以有效地抑制噪声和干扰 3. 状态观测器的应用价值
02 极点配置的合理与否直接影响到状态观测的精度 和稳定性。
02 极点配置的稳定性对于状态观测的抗干扰性能有 着至关重要的影响。
状态观测器对极点配置的优化
通过状态观测器的反馈控制，可 以实时调整极点配置，以达到最
优的控制效果。
状态观测器的观测精度和稳定性 对于极点配置的优化有着重要的
影响。
通过状态观测器的实时反馈，可 以实现对极点配置的在线优化和
加强与其他学科领域的交叉融合，如人工智能 、机器学习等，以探索新的理论和方法，推动 极点配置与状态观测器技术的发展。
针对实际应用中的难点和需求，开展更加深入 的研究和应用案例分析，以推动极点配置与状 态观测器在实际工程领域的应用和发展。
THANKS
感谢观看
调整。
二者结合的优势与挑战
优势
极点配置和状态观测器相结合，可以充分发挥各自的优势，实现系统性能的最优控制。
挑战
二者的结合需要考虑到系统的复杂性和实际运行环境，设计合理的控制策略和算法，以实现最 优的控制效果。
05
案例分析
案例一
1. 无人机控制系统的特点
受到风、干扰等外部因素 影响
需要对飞行姿态、位置等 状态进行实时控制
在实际应用中，极点配置与状态观测器面临着诸多挑 战，如模型不确定性、外部干扰、时变参数等。
5极点配置与观测器的设计
G y u ( s ) ( s 1 0 0 ) ( s 2 K v 1 4 .1 s 1 0 0 ) s 3 1 1 4 .1 s 2 K 1 v 5 1 0 s 1 0 0 0 0
因为 所以
eplsi m 0s1 sG eu(s)lsi m 0[1 G yu(s)]0
引入状态反馈
u vKx Kk1 k2
kn
则闭环系统 K 的状态空间表达式为
x ( A bK )x bv K : y (c dK )x dv
2019/11/24
其中，显然有
0 (AbK) ank1
1 an1k2
1
u=V-Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
2019/11/24
状态空间表达式为：
x A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
2019/11/24
2019/11/24
求得闭环期望特征多项式为
f s s 2 s 1 j3 s 1 j3 s 3 4 s 2 8 s 8
比较两多项式同次幂的系数，有 ：
2 k 4,2k k 1 8, k k k 8
对应特征多项式为
s318s272s
2019/11/24
（2）根据技术指标确定希望极点
系统有三个极点，为方便，选一对主导极点 s，1 , s另2 外一
个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为： % e 12
状态重构和状态观测器设计要求
2. 渐近状态观测器
Asymptotic state observer 前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量
得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳
✓ 其估计误差 x(t) xˆ(t)将会因为矩阵A 具有在 s 平面 右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或 产生等幅振荡。
的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观部分，由可检测 的假定，A22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即
limx% 0,
t
x0,xˆ0,u
于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。
证毕。
下面分析状态估计误差是否能趋于零。
先定义如下状态估计误差:
x x xˆ
则有
x(xxˆ)A(xxˆ)G(yyˆ) A(xxˆ)GC(xxˆ) (AGC)x
t
即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态, ➢ 则称该状态估计器为渐近状态观测器。
根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状 态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的 状态观测器:
x ˆ& Ax ˆBuG(yyˆ) yˆCx ˆ
(31)
其中G 称为状态观测器的反馈矩阵。 于是重构状态方程为
M
a
* 1
a1
其中 ai* 和 ai (i=1, 2, …, n)分别为期望的状态观测器 的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的
特征多项式的系数。
✓ 因此, 原系统Σ(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为
G TG%
例3-1 设线性定常系统的状态空间模型为（P265 习题10-5-5）
显然, 当 x(0) xˆ(0) 时, 则有 x(t) xˆ(t) , ✓ 即估计值与真实值完全相等。
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x AxBu :
y CxDu
通过状态反馈 uvkx任意配置极点的充
要条件 完全能控。
2020/4/5
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~xPx必能将它变为能控标准形
%: x&% A%x% b%u
，
y c%x% d%u
：
x& 13
2 1
x10u
y [1 2]x 完全能控能观，引入反馈 u[3 1]xV
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x&
1 0
2 0
x10v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
能观测。
2020/4/5
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
第5章 极点配置与观测器的设计
舒欣梅 西华大学电气信息学院
2020/4/5
第5章 极点配置与观测器的设计
5.1 反馈控制结构 5.2 系统的极点配置 5.3 状态解耦 5.4 观测器及其设计方法 5.5 带状态观测器的反馈系统 5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用
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综合与设计问题，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
j
3
解：因为
1 0 0
ranbk Ab A2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
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1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
一般说来，这种控制规律常取反馈形式。
经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置 闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了 利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供 更多的校正信息。
由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要 用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。
这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
0 1
A~PAP1
1
an an1 a1
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0
b~ Pb
0
1
c ~ c 1 P n n 11 d~d
引入状态反馈
u vK%x% K %k% 1 k% 2 L k% n 则闭环系统 % K 的状态空间表达式为
% K
:
x&% ( A% b%K%)x% b%v y (c% d%K%)x% d%v
证明 对任意的K阵，均有
IA B K B IAB K I 0 I
上式中等式右边的矩阵
I
K
0
I
，对任意常值都是非奇异的。
因此对任意的 和K，均有
r a n k I A B K B r a n k I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
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例 系统
可求得期望的闭环特征方程
( s * 1 ) s ( * 2 ) ( s * n ) s n a 1 * s n 1 a n 1 * s a n * 0
通过比较系数，可知
a
a
2
1
k~ ~ kn
n
1
a1 a
* 2
*
an
~ k1
a n*
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由此即有
将 K 变换为 KKP1
直接求K阵方法
根据要求极点，写出希望闭环特征多项式
令
n
sIAB Kf*s s*
求解
i 1
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例 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
1 00 00 1 100 100
5)
1 2 11 0 0 1
PQ1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 2 1
6)
0 0 1
kk% P8 7 20 1 12 3 3
状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的 主要内容。
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5.1 反馈系统
x& Ax Bu y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u=V-Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
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状态空间表达式为：
x & A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
s 3 4 s 2 8 s 8
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
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4)
a 2 a 1 1 10 0121 121 Q bA bA 2 b a 1 10 01 1 210 110
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其中，显然有
0
1
(A%b% K%)
O
an
k% 1
an1k% 2
L
1 a1k% n
系统 % K 的闭环特征方程为
s n ( a 1 k ~ n ) s n 1 ( a 2 k ~ n 1 ) s n 2 ( a n k ~ 1 ) 0
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同时，由指定的任意 n个期望闭环极点*1,*2,,*n
k~
~ k1 2
a
an*
* n 1
an a n1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v K x v K P 1 x % v K % x %
所以
K K%P
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K阵的求法
根据能控标准形求解
求线性变换P阵，将原系统变换为能控标准 形。然后根据要求的极点配置，计算状态 反馈阵 K a n a n ,a n 1 a n 1 ,L ,a 1 a 1
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
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5.1.2 输出反馈
当 D 0 时，输出反馈系统动态方程为
x&ABHCxBV
yCx
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5.1.3 状态反馈系统的性质
定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统 能控的充分必要条件是原系统能控。