5极点配置与观测器的设计
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第5章 极点配置与观测器的设计
舒欣梅 西华大学电气信息学院
2020/4/5
第5章 极点配置与观测器的设计
5.1 反馈控制结构 5.2 系统的极点配置 5.3 状态解耦 5.4 观测器及其设计方法 5.5 带状态观测器的反馈系统 5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用
2020/4/5
综合与设计问题，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
j
3
解：因为
1 0 0
ranbk Ab A2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
2020/4/5
1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
s 3 4 s 2 8 s 8
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
2020/4/5
4)
a 2 a 1 1 10 0121 121 Q bA bA 2 b a 1 10 01 1 210 110
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
2020/4/5
5.1.2 输出反馈
当 D 0 时，输出反馈系统动态方程为
x&ABHCxBV
yCx
2020/4/5
5.1.3 状态反馈系统的性质
定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统 能控的充分必要条件是原系统能控。
这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
0 1
A~PAP1
1
an an1 a1
2020/4/5
0
b~ Pb
0
1
c ~ c 1 P n n 11 d~d
引入状态反馈
u vK%x% K %k% 1 k% 2 L k% n 则闭环系统 % K 的状态空间表达式为
% K
:
x&% ( A% b%K%)x% b%v y (c% d%K%)x% d%v
2020/4/5
其中，显然有
0
1
(A%b% K%)
O
an
k% 1
an1k% 2
L
1 a1k% n
系统 % K 的闭环特征方程为
s n ( a 1 k ~ n ) s n 1 ( a 2 k ~ n 1 ) s n 2 ( a n k ~ 1 ) 0
2020/4/5
同时，由指定的任意 n个期望闭环极点*1,*2,,*n
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x AxBu :
y CxDu
通过状态反馈 uvkx任意配置极点的充
要条件 完全能控。
2020/4/5
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~xPx必能将它变为能控标准形
%: x&% A%x% b%u
，
y c%x% d%u
证明 对任意的K阵，均有
IA B K B IAB K I 0 I
上式中等式右边的矩阵
I
K
0
I
，对任意常值都是非奇异的。
因此对任意的 和K，均有
r a n k I A B K B r a n k I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
2020/4/5
例 系统
状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的 主要内容。
2020/4/5
5.1 反馈控制结构
5.1.1 状态反馈
给定系统
x& Ax Bu y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u=V-Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
2020/4/5
状态空间表达式为：
x & A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
：
x& 13
2 1
x10u
y [1 2]x 完全能控能观，引入反馈 u[3 1]xV
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x&
1 0
2 0
x10v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
能观测。
2020/4/5
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
1 00 00 1 100 100
5)
1 2 11 0 0 1
PQ1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 2 1
6)
0 0 1
kk% P8 7 20 1 12 3 3
一般说来，这种控制规律常取反馈形式。
经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置 闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了 利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供 更多的校正信息。
由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要 用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。
将 K 变换为 KKP1
直接求K阵方法
根据要求极点，写出希望闭环特征多项式
令
n
sIAB Kf*s s*
求解
i 1
2020/4/5
例 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
可求得期望的闭环特征方程
( s * 1 ) s ( * 2 ) ( s * n ) s n a 1 * s n 1 a n 1 * s a n * 0
通过比较系数，可知
a
a
2
1
k~ ~ kn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
1
a1 a
* 2
*
an
~ k1
a n*
2020/4/5
由此即有
k~
~ k1 2
a
an*
* n 1
an a n1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v K x v K P 1 x % v K % x %
所以
K K%P
2020/4/5
K阵的求法
根据能控标准形求解
求线性变换P阵，将原系统变换为能控标准 形。然后根据要求的极点配置，计算状态 反馈阵 K a n a n ,a n 1 a n 1 ,L ,a 1 a 1
舒欣梅 西华大学电气信息学院
2020/4/5
第5章 极点配置与观测器的设计
5.1 反馈控制结构 5.2 系统的极点配置 5.3 状态解耦 5.4 观测器及其设计方法 5.5 带状态观测器的反馈系统 5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用
2020/4/5
综合与设计问题，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
j
3
解：因为
1 0 0
ranbk Ab A2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
2020/4/5
1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
s 3 4 s 2 8 s 8
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
2020/4/5
4)
a 2 a 1 1 10 0121 121 Q bA bA 2 b a 1 10 01 1 210 110
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
2020/4/5
5.1.2 输出反馈
当 D 0 时，输出反馈系统动态方程为
x&ABHCxBV
yCx
2020/4/5
5.1.3 状态反馈系统的性质
定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统 能控的充分必要条件是原系统能控。
这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
0 1
A~PAP1
1
an an1 a1
2020/4/5
0
b~ Pb
0
1
c ~ c 1 P n n 11 d~d
引入状态反馈
u vK%x% K %k% 1 k% 2 L k% n 则闭环系统 % K 的状态空间表达式为
% K
:
x&% ( A% b%K%)x% b%v y (c% d%K%)x% d%v
2020/4/5
其中，显然有
0
1
(A%b% K%)
O
an
k% 1
an1k% 2
L
1 a1k% n
系统 % K 的闭环特征方程为
s n ( a 1 k ~ n ) s n 1 ( a 2 k ~ n 1 ) s n 2 ( a n k ~ 1 ) 0
2020/4/5
同时，由指定的任意 n个期望闭环极点*1,*2,,*n
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x AxBu :
y CxDu
通过状态反馈 uvkx任意配置极点的充
要条件 完全能控。
2020/4/5
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~xPx必能将它变为能控标准形
%: x&% A%x% b%u
，
y c%x% d%u
证明 对任意的K阵，均有
IA B K B IAB K I 0 I
上式中等式右边的矩阵
I
K
0
I
，对任意常值都是非奇异的。
因此对任意的 和K，均有
r a n k I A B K B r a n k I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
2020/4/5
例 系统
状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的 主要内容。
2020/4/5
5.1 反馈控制结构
5.1.1 状态反馈
给定系统
x& Ax Bu y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u=V-Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
2020/4/5
状态空间表达式为：
x & A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
：
x& 13
2 1
x10u
y [1 2]x 完全能控能观，引入反馈 u[3 1]xV
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x&
1 0
2 0
x10v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
能观测。
2020/4/5
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
1 00 00 1 100 100
5)
1 2 11 0 0 1
PQ1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 2 1
6)
0 0 1
kk% P8 7 20 1 12 3 3
一般说来，这种控制规律常取反馈形式。
经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置 闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了 利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供 更多的校正信息。
由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要 用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。
将 K 变换为 KKP1
直接求K阵方法
根据要求极点，写出希望闭环特征多项式
令
n
sIAB Kf*s s*
求解
i 1
2020/4/5
例 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1
可求得期望的闭环特征方程
( s * 1 ) s ( * 2 ) ( s * n ) s n a 1 * s n 1 a n 1 * s a n * 0
通过比较系数，可知
a
a
2
1
k~ ~ kn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
1
a1 a
* 2
*
an
~ k1
a n*
2020/4/5
由此即有
k~
~ k1 2
a
an*
* n 1
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~ kn
a1*
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又因为
u v K x v K P 1 x % v K % x %
所以
K K%P
2020/4/5
K阵的求法
根据能控标准形求解
求线性变换P阵，将原系统变换为能控标准 形。然后根据要求的极点配置，计算状态 反馈阵 K a n a n ,a n 1 a n 1 ,L ,a 1 a 1